segunda sesión repaso de matemáticas (2) repaso (y algo nuevo) de mecánica clásica

Segunda sesión

• Repaso de Matemáticas (2)• Repaso (y algo nuevo) de

Mecánica Clásica

Repaso de matemáticas

• Sistemas de coordenadas– Coordenadas cartesianas– Coordenadas esféricas polares– Coordenadas cilíndricas– Coordenadas elipsoidales confocales

• Determinantes– Evaluación de determinantes: método de

cofactores– Propiedades de los determinantes

Repaso de matemáticas (2)

• Notación de sumatoria y producto• Vectores

– Vectores unitarios– Operaciones con vectores– Derivación de vectores– Ecuaciones vectoriales

• Números complejos– Complejo conjugado– Fórmula de Euler

Repaso de matemáticas (3)

• Operadores– Álgebra de operadores– El conmutador– Operador nabla– Operador Laplaciano– Operadores complejos– Operadores lineales

• Ecuaciones de valores propios

Repaso de matemáticas (4)

• Propiedades de simetría de funciones y sus integrales– Funciones pares e impares– Integrales de funciones simétricas

Repaso de matemáticas (5)

• Probabilidad

Probabilidad

• Funciones discretas y funciones continuas.

• Diferencia entre contar y medir.

• ¿Qué es contar?

Probabilidad

• Funciones discretas y funciones continuas.

• Diferencia entre contar y medir.

• ¿Qué es contar?– Contar es hacer una biyección con los

naturales.

Probabilidad

• Funciones discretas y funciones continuas.

• Diferencia entre contar y medir.• ¿Qué es contar?

– Contar es hacer una biyección con los naturales.

• Las mediciones pueden tomar cualquier valor en un rango dado (y por lo tanto, existe un continuo de valores).

Probabilidad (2)

• En probabilidad:– Discreto – Funciones de probabilidad

discretas.– Continuo – Funciones de probabilidad

continuas o densidades de probabilidad.

• Las funciones de probabilidad determinan una distribución de las probabilidades

Probabilidad (3)

• Función de probabilidad discreta.

• Un ejemplo sencillito: número que sale al tirar 2 dados.

Probabilidad (4)

Probabilidad (5)

La probabilidad de todo el espacio es 1. P(S)=1

Probabilidad (6)

Probabilidad (7)

P(1), P(6), P(3x7), P(3<x7), P(3x<7), (3<x<7), P(-x)

Continuas (Densidad)

Continuas (Densidad) (2)

Probabilidad = Área bajo la curva

Continuas (Densidad) (3)

b)xP(aF(a)-F(b)f(x)dx b

a

Continuas (Densidad) (4)

a

a0F(a)-F(a)f(x)dxLas probabilidades de puntos

son cero, ya que

Continuas (Densidad) (5)

Probabilidad de todo el espacio

1f(x)dx

Repaso de física

(Basado en el Hanna)

• Mecánica Clásica.

• Sistemas conservativos

• Formas lagrangiana y hamiltoniana de las ecuaciones de movimiento

• Coordenadas internas y movimiento del centro de masa

Mecánica Clásica

• Newton – Leyes del movimiento• Lagrange y Hamilton – Formulaciones

más generales• “Principio de correspondencia” – En el

límite de tamaño de los sistemas clásicos, el resultado dado por la mecánica cuántica debe coincidir con el resultado previamente establecido por la mecánica clásica.

Mecánica Clásica (2)

• El problema fundamental de la mecánica clásica es describir el movimiento de sistemas de partículas sujetos a varios tipos de fuerzas y condiciones iniciales.

• En la práctica, es resolver las ecuaciones diferenciales resultantes de la segunda Ley de Newton (Isaac Newton (1642-1727)):

Fi = mai

Sistemas conservativos

• La energía total (energía cinética + energía potencial) no varía con el tiempo

• Esto implica que las fuerzas deben ser de tal naturaleza que hagan que el trabajo sobre una trayectoria cerrada sea cero:

)1...(0 sF d

Sistemas conservativos (2)

• Cuando se cumple (1) se dice que las fuerzas son conservativas

• (1) significa que no pueda haber fricción, ni ningún otro tipo de fuerzas disipativas.

• Una definición alternativa de sistema conservativo es:

)2...(Vii F

Sistemas conservativos (3)

• Una partícula en una dimensión:

...(3)xmdtd

m 2

2

xxF

• Si se cumple (2):

)4...(dx

dV(x)xF

Sistemas conservativos (4)

• (4) en (3):

dtxd

mxmdx

dV(x)

• Integrando respecto a x:

Sistemas conservativos (5)

C V(x)xm21

xm21

CV(x)

xdxm

dtdx

xdmdx dtxd

mdVdxdx

dV(x)

2

2

Por lo tanto, si suponemos que se cumple (2) que la suma de energía cinética + potencial para la partícula es independiente del tiempo sistema conservativo

Sistemas conservativos (6)

• Constante de movimiento: cualquier propiedad de un sistema mecánico que sea independiente del tiempo.

• En el caso anterior, la constante de movimiento es la energía total E.

• A partir de ahora para la energía cinética se usará el símbolo: T.

E = T + V

Movimiento armónico simple

• Resorte que obedece la Ley de Hooke (Robert Hooke (1635-1702))

Fx = - kx• Donde k es la constante de fuerza del resorte• De la segunda ley de Newton:

2

2 )()(

dttxd

mtkx

Movimiento armónico simple (2)

• El problema ahora es encontrar x como función de t

)()(

2

2

txmk

dttxd

x

Movimiento armónico simple (3)

• Si proponemos:

2

1

mk

Entonces, la solución es:

tAtx2

1

mk

sen)(

Movimiento armónico simple (4)

• Dado que la función seno oscila entre -1 y +1, la constante “A” será la amplitud máxima de desplazamiento en la dirección “x”.

• Con este problema también podemos ilustrar la equivalencia de las dos definiciones de sistema conservativo.

Movimiento armónico simple (5)

CkxxV

dxkxxdV

kxdxxdV

2

21

)(

)(

)(

Movimiento armónico simple (6)

• Si ponemos como condiciones iniciales que para x=0, V=0 C=0, y como

tAtx2

1

mk

sen)(

• Entonces, la energía potencial en función del tiempo será:

Movimiento armónico simple (7)

tmk

kAtV2

1

22sen21

)(

Y la energía cinética:

tmk

kAT

tmk

Amk

mdtdx

mmvT

2

1

22

2

1

222

2

cos21

cos21

21

21

Movimiento armónico simple (8)

• La energía total será:

2

2

1

22

1

22

21

csen21

kAE

tmk

ostmk

kAVTE

• Que es una cantidad independiente del tiempo.

Formas lagrangiana y hamiltoniana de las ecuaciones de movimiento

• Las ecuaciones de Newton están muy bien para coordenadas cartesianas.

• Pero para problemas en otros sistemas de coordenadas, ya no funcionan tan chido.

• Generalizaciones independientes del sistema de coordenadas:– Formulación de Lagrange– Formulación de Hamilton

Formas lagrangiana y hamiltoniana de las ecuaciones de movimiento (2)• Joseph Louis

Lagrange (1736-1813)

• William Rowan Hamilton (1805-1865)

Coordenadas, velocidades y momentos generalizados

• Consideremos un sistema de 3 partículas• Para especificar completamente el estado del

sistema al tiempo t se deben especificar sus coordenadas y sus velocidades:

• 9 coordenadas:

(x1,y1,z1,x2,y2,z2,x3,y3,z3)

• y 9 velocidades:

333222111 ,,,,,,,, zyxzyxzyx

Coordenadas, velocidades y momentos generalizados (2)

• En general, para un sistema de N partículas se deben especificar 3N coordenadas y 3N velocidades

• Así que si el sistema no tiene restricciones, tendrá 6N grados de libertad

• Para formular la mecánica clásica de forma general se introducen para un sistema de N partículas, 3N coordenadas generalizadas qi y 3N velocidades generalizadas:

dtdq

q ii

Coordenadas, velocidades y momentos generalizados (3)

• Las formas lagrangiana y hamiltoniana de las ecuaciones de movimiento se derivan en términos de las coordenadas y las velocidades generalizadas.

La función lagrangiana

tqVqqTtqqL ,,,, • Donde T es la energía cinética en

términos de velocidades y coordenadas generalizadas y V es la energía potencial en términos de las coordenadas generalizadas y el tiempo.

• Si el sistemas e conservativo: ni L, ni V dependen del tiempo.

Ecuaciones de movimiento en la formulación lagrangiana

jijjj qqiqqi qL

qL

dtd

,, 1

• Como estas ecuaciones están en coordenadas generalizadas, sirve para cualquier sistema de coordenadas.

• A partir de ahora, las 6N- 1 variables constantes en las derivadas se sobrentenderán y no se escribirán.

El movimiento armónico simple a la Lagrange

2

2

21

)(

21

),(

kxqV

xmqqT

xq

xq

i

ii

i

i

El movimiento armónico simple a la Lagrange (2)

• Con lo que la función de Lagrange queda:

22

21

21

),( kxxmxxL

• Y entonces:

kxxL

xmxL

y

El movimiento armónico simple a la Lagrange (3)

kxxmxmdtd )(

• Que es el mismo resultado obtenido a partir de la segunda ley de Newton.

• Las ecuaciones lagrangianas son un conjunto de 3N ecuaciones diferenciales de segundo orden.

Formulación de Hamilton

• En la formulación de Hamilton se transforman las 3N ecuaciones de segundo orden en 6N ecuaciones de primer orden, definiendo el momento generalizado:

k

k qL

p

Formulación de Hamilton (2)

• Y se define una nueva función:

LqpH i

N

ii

3

1

Formulación de Hamilton (3)

• Y se puede demostrar que para un sistema conservativo:

iii

ii

pqL

qH

yqpH

,

• Que son las ecuaciones de movimiento en la forma Hamiltoniana

Formulación de Hamilton (4)

• Para el que quiera demostrar lo anterior: Ejercicio 2-4 del Hanna.

Formulación de Hamilton (5)

• La función de Hamilton tiene la propiedad de ser la energía total del sistema.

• Si sustituimos la función lagrangiana

en la ecuación

LqpH i

N

ii

3

1

tqVqqTtqqL ,,,,

Formulación de Hamilton (6)

• Obtenemos:

VTqT

qH

VTqL

qH

iii

iii

Formulación de Hamilton (7)

• Se puede demostrar en general que el primer término de la ecuación anterior es igual 2T (2 veces la energía cinética)

• Aquí lo veremos el caso de una partícula en una dimensión, para mayor claridad

Formulación de Hamilton (8)

• Para una partícula en una dimensión, la energía cinética es:

TmqqT

q

yqmqT

qmT

ii

i

ii

i

2

,

21

2

2

Formulación de Hamilton (9)

• Por lo tanto:

H = 2T – T + V = T + V• Un razonamiento similar se pude usar par un

sistema de muchas partículas y se obtiene el mismo resultado H = T + V

• La función de Hamilton es la energía total del sistema

Coordenadas internas y movimiento del centro de masa

• Un problema muy importante en mecánica cuántica es el de dos partículas de masa m1 y m2 que interactúan y donde el potencial solo es función de la distancia que las separa.

• Si las coordenadas cartesianas de las dos partículas son: x1, y1, z1 y x2, y2, z2 entonces el cuadrado de la distancia que las separa es:

212

212

212

212 )()()( zzyyxxr

Coordenadas internas y movimiento del centro de masa (2)

• El problema se simplifica mucho si se transforma a nuevas coordenadas que involucran a las coordenadas del centro de masa del sistema (X, Y y Z) y a las coordenadas “internas” o relativas (x, y y z)

• Definimos:

121212

21

2211

21

2211

21

2211

;;

;;

zzzyyyxxx

mmzmzm

Zmmymym

Ymmxmxm

X

Masa reducida

• Se define la masa reducida (μ) del sistema de dos partículas como sigue:

21

21

mmmm

Supuestos básicos de la mecánica clásica

• Se presupone que un experimentador puede medir de manera precisa las posiciones y velocidades de todas las partículas de un sistema para un tiempo t dado, con objeto de describir el estado del sistema.

• Una vez que queda especificado el estado inicial, las leyes de la mecánica y el conocimiento de las fuerzas que actúan sobre el sistema permiten caracterizarlo en cualquier tiempo t posterior.

Supuestos básicos de la mecánica clásica (2)

• Por lo tanto, en principio, un experimentador puede medir la posición, velocidad, energía, momento, etc. De cualquier partícula en cualquier tiempo t y comparar con las predicciones teóricas.

• Lo anterior se puede resumir en tres suposiciones básicas inherentes a la mecánica clásica:

Supuestos básicos de la mecánica clásica (3)

1. No existe límite en la exactitud con las que se pueden medir simultáneamente varias variables de un sistema clásico, excepto la limitación impuesta por la precisión del instrumento de medición.

2. No existe restricción en el número de variables dinámicas que pueden ser medidas simultáneamente con exactitud, y

Supuestos básicos de la mecánica clásica (4)

3. Dado que las expresiones para la velocidad son funciones contínuas de la variable tiempo, la velocidad y, en consecuencia, la energía cinética, pueden variar continuamente. Es decir, no existen restricciones para los valores que puede tomar una variable dinámica.

Repaso de Estructura de la Materia

• Espectros atómicos

• Radiación de un cuerpo negro

• Efecto fotoeléctrico

• Hipótesis de De Broglie

• Principio de incertidumbre

Espectro electromagnético

1

c

Tarea 11

• Compara las radiaciones de radio de frecuencia modulada con las de la luz visible en cuanto a frecuencia, velocidad, longitud de onda y número de onda.

Región visible del espectro

Tarea 12

• Los átomos de Bario excitados emiten una radiación de 455 nm. ¿Cuál es la frecuencia y cuál el color de esa radiación?

Espectros atómicos

• Gustav Robert Kirchoff (sentado) y Robert Wilhelm Bunsen (parado)

• Alrededor de 1859: espectroscopio

Espectros atómicos (2)

Átomo de Hidrógeno

Ecuación de Balmer

1

22

581.677,109

;1

211

cmR

Znn

R

Johann Jakob Balmer (1825-1898)