seccion 7 interés compuesto v2
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MATEMATICA FINANCIERA
Semana 7
Interés Compuesto
Interés Simple Tasa Nominal Tasa
Proporcional
Tasa
Equivalente
Tasa
Efectiva Interés Compuesto
I = C * j * n
I = C * [( 1 + i ) n – 1]
j
i
Se multiplica o divide
Se potencia o radica
Fuente: http://www.ecoingenieros.com.ar/gtpusal/2008/clases/clase%2019%20finanzas%20aplicadas.pdf
Interés compuesto
Es la ley financiera en el cual el interés generado por un capital,
en una unidad de tiempo, se capitaliza formando un nuevo
capital, el mismo que genera un nuevo interés en la siguiente
unidad de tiempo y así sucesivamente.
I = C * [( 1 + i ) n – 1]
Frecuencia de Capitalización
en un año (m)
Capitalización
m = 1 Anual
m = 2 Semestral
m = 3 Cuatrimestral
m = 4 Trimestral
m = 6 Bimestral
m = 12 Mensual
m = 24 Quincenal o bimensual
m = 52 Semanal
m = 360 Diaria
Periodo/Frecuencia de Capitalización (m)
Es el período de tiempo fijo donde los intereses ganados, se convierten en nuevo capital para el siguiente período de tiempo. Número de veces que los intereses son incorporados al capital en un año y se les denota con la letra “m”.
10% 10% 10%
Presente Futuro
Período de Capitalización
Antes de resolver cualquier problema de finanzas, debemos
hacernos la siguiente pregunta:
¿Quién manda?
Manda el período de capitalización!!!!!!!!!
Si no lo conoce con anterioridad o no se indica, SE DEBE
ASUMIR que este se produce en forma diaria.
Período de Capitalización
El dinero crecerá parte a parte como producto de la
capitalización
Por ejemplo, si tengo S/. 1,000.00 y lo invierto durante tres meses a una tasa compuesta
de 10% mensual capitalizable mensualmente. ¿qué sucederá mes a mes?
10% 10% 10%
Presente Futuro
Mes 1 Mes 2 Mes 3
Cómo calcular el interés
Los S/. 1,000.00 iniciales producirán al final del primer período
mensual:
Interés = 10% * 1,000.00 = 100.00 Antiguo Capital = 1,000.00 Nuevo Capital = 1,100.00
10%
Presente
Mes 1
Futuro
0
Capitalización
Los S/. 1,100.00 producirán al final del segundo período
mensual:
Interés = 10% * 1,100.00 = 110.00 Antiguo Capital = 1,100.00 Nuevo Capital = 1,210.00
10%
Presente
Mes 2 Mes 1
Futuro
Capitalización
Los S/. 1,210.00 producirán al final del tercer período
mensual:
Interés = 10% * 1,210.00 = 121.00 Antiguo Capital = 1,210.00 Nuevo Capital = 1,331.00
10%
Presente
Mes 3
Futuro
Mes 2
Capitalización
Podemos afirmar que de manera efectiva nuestro capital en tres meses creció en S/ 331, lo que expresado como porcentaje del capital inicial, diremos que creció en 33.1% (ojo y no 30% como podríamos haber creído inicialmente)
Cuando la tasa de interés compuesta convenida en una
operación financiera se capitaliza más de una vez por año,
recibe el nombre de Tasa de Interés Nominal (j)
La frecuencia de capitalización (m) siempre acompaña a la
Tasa Interés Nominal. Ambas variables siempre van
asociadas y definen en conjunto el rendimiento o costo
efectivo de una operación financiera.
Tasa Nominal
Tasa Nominal y Periodo de Capitalización
¿Cómo nos presentan esta información?
15% nominal anual capitalizable mensualmente
TNA = 0.15 m = 12
15% nominal capitalizable trimestralmente
TNA = 0.15 m = 4
4% nominal trimestral capitalizable diariamente
TNT = 0.04 m = 360
TNA = 0.16 m = 360
9% nominal semestral capitalizable bimestralmente TNS = 0.09 m = 6 TNA = 0.18 m = 6
x 4
x 2
15% nominal anual (capitalización se asume diaria) TNA = 0.15 m = 360 6% nominal cuatrimestral capitalizable cuatrimestralmente TNC = 0.06 m = 3 TNA = 0.18 m = 3 1.5% quincenal capitalizable
semestralmente
TNQ = 0.015 m = 2
TNA = 0.36 m = 2
x 3
x 24
Tasa Nominal y Tasa Efectiva
El interés se capitaliza
más de una vez en el año.
Tasa Nominal (j)
El interés se capitaliza
solo una vez en el año.
Tasa Efectiva (i)
Tasa
Equivalente
Dos tasas anuales de interés con diferentes
períodos de conversión son equivalentes si ambos
generan el mismo interés y por lo tanto el mismo
monto al término de un mismo lapso de tiempo,
no importando el plazo de la inversión.
FORMULA PARA CALCULAR LA TASA
EFECTIVA ANUAL “i” DE INTERÉS A
PARTIR DE UNA TASA NOMINAL “j”
QUE SE CAPITALIZA “m” VECES EN
EL AÑO
Tasa Nominal y Tasa Efectiva (Ejemplo)
¿INVIRTIR $10,000 AL 8% CAPITALIZABLE ANUALMENTE DURANTE UN AÑO, SERÁ
LO MISMO QUE SI SE INVIERTE ESOS $10,000 AL 8% CAPITALIZABLE
MENSUALMENTE EN EL MISMO LAPSO DE TIEMPO?
NO SON EQUIVALENTES
¿Cuál es la tasa de
interés i capitalizable
anualmente que será
equivalente? iCS 11
m
m
jCS
12
Si ambas tasas son equivalentes,
se debe cumplir que…
S1=S2
12
12
08.011
CiC
112
08.01
12
i
i = 8.2999% efectiva
La tasa de interés siempre ingresa a las fórmulas
expresada como tasa unitaria, es decir dividida entre
100.
Cuando no se indica nada acerca de la tasa de interés
nominal, se asume que esta se encuentra expresada en
términos anuales.
De la misma manera, si la capitalización no está
definida se asume automáticamente que capitaliza
diariamente.
La tasa de interés y el tiempo siempre deben de estar
expresados en la misma unidad de medida.
Normas a seguir
Fórmulas a utilizar
Elementos
• S = Monto a interés compuesto (valor futuro)
• C = Capital (valor presente)
• n = Número de periodos
• i = tasa de interés por periodo
niCS 1*
n
niS
i
SC
1*
1
Fórmulas a utilizar
Elementos TNA = Tasa Nominal Anual (j) m = Frecuencia o períodos de capitalización en un año i = Tasa de interés correspondiente al periodo de capitalización
Interpretación de la tasa:
Ejemplo: Si coloco un capital a una tasa del 18% nominal anual capitalizable trimestralmente por un plazo de tres años, tendremos lo siguiente: TNA=0.18, m=4,
es decir durante cada trimestre percibirá una tasa de i = 0.045
m
TNAi
Fórmulas a utilizar
Elementos n = Número de periodos totales de capitalización en el plazo establecido. Guarda concordancia con la tasa de interés N = Plazo (en número de años) m = Frecuencia de capitalización en un año
Interpretación del exponente:
Ejemplo: Si coloco un capital a una tasa del 18% nominal anual capitalizable trimestralmente por un plazo de tres años, tendremos lo siguiente: N=3, m=4, es decir durante 12 periodos trimestrales (n=4 x 3) el capital ganará intereses
Nmn *
Fórmulas a utilizar
Elementos S = Monto a interés compuesto (valor futuro) C = Capital (valor presente) N = Plazo (en número de años) m = Número de períodos de capitalización en un año; meses, trimestres, etc j = TNA = Tasa de interés nominal anual, % por año
Nm
m
TNACS
*
1*
Valor Futuro o monto: Valor Actual o capital:
Nm
Nmm
TNAS
m
TNA
SC
*
*1*
1
Fórmulas a utilizar
1*
*
1
Nm
C
SmTNA
m
TNAm
C
S
N
1ln*
ln
Si se desea calcular la Tasa de interés:
Si se desea calcular el tiempo:
En primer lugar se deberá proceder a calcular el valor de la Tasa
Nominal Anual (TNA). Por ejemplo si realizamos un depósito de
1,000 soles y nos dan como dato una tasa de interés de 12%
nominal trimestral (TNT=0.12) capitalizable mensualmente,
convertimos esa TNT a TNA y se mantiene la capitalización
mensual
Resumen Metodológico
TNT = 0.12 m = 12 TNA = 0.48 m = 12
x 4
Finalmente, para realizar cualquier cálculo con interés compuesto deberemos seguir los siguientes pasos:
Luego si el plazo de la operación no esta expresado en términos
anuales, debemos re-expresar el tiempo en términos anuales (N):
Por ejemplo si nos dan como información que el capital
permanece por 7 meses depositado en una cuenta de ahorros,
entonces
N= (7/12)
Resumen Metodológico
Finalmente debemos aplicar la fórmula deducida anteriormente y
conocer que después de un trimestre tendremos:
Resumen Metodológico
12
7*12
12
48.01*000,1
S
93.315,1S
Variación de la Tasa de Interés
• Para determinar el valor futuro de un capital sujeto a cambios
de tasa de interés se procede de la siguiente forma:
– OPCIÓN 1: El valor inicial se traslada con sus respectivos
intereses hasta donde se encuentre un cambio de tasa de interés.
Se calcula el valor futuro hasta ese punto del tiempo y se
traslada ese valor hasta donde se encuentre una nueva variación
de tasa de interés. El proceso continua hasta llegar al valor final
o saldo disponible de la cuenta en el periodo de análisis. No hay
que olvidar que el tiempo involucrado para cada traslado
corresponde al tiempo de vigencia de cada tasa.
– OPCION 2: El valor inicial es trasladado al futuro afectándolo
por tantos factores de capitalización como cambios de tasas de
interés existan en el plazo de la operación. El tiempo
involucrado para cada factor corresponde al de la vigencia de
cada tasa.
Variación de la Tasa de Interés
0 N1
Tiempo
(periodos)
Flu
jo d
e c
aja
u.m
.
Capital
S=Saldo
z
TNA3 , m3 TNA2 , m2 TNA1 , m1
N2 N3
x y
Opción 1: Traslado punto a punto
Variación de la Tasa de Interés
11
1
11*
Nm
xm
TNACSaldo
22
2
21*
Nm
xym
TNASaldoSaldo
33
3
31*
Nm
yzm
TNASaldoSaldo
Variación de la Tasa de Interés
0 N1
Tiempo
(periodos)
Flu
jo d
e c
aja
u.m
.
Capital
S=Saldo
z
TNA3 , m3 TNA2 , m2 TNA1 , m1
332211
3
3
2
2
1
1 1*1*1*
NmNmNm
m
TNA
m
TNA
m
TNACS
N2 N3
x y
Opción 2: Uso de factores
Variación de la Tasa de Interés
332211
3
3
2
2
1
1 1*1*1*
NmNmNm
m
TNA
m
TNA
m
TNACS
332211
3
3
2
2
1
1 1*1*1
NmNmNm
m
TNA
m
TNA
m
TNA
SC
Calculo de valor futuro (S) cuando el capital (C) esta sujeto a variaciones de la tasa de interés
Calculo de valor Actual (C) cuando ha existido variaciones de la tasa de interés
Ecuación de Valor
• En el caso de cuentas de deposito se trata de establecer una
relación entre depósitos y retiros ubicando todos los valores en un
solo punto en el tiempo, al cual se le denomina fecha focal. La
diferencia entre ambos representa el saldo de la cuenta en la fecha
seleccionada
• En el caso de obligaciones por pagar, se trata de reemplazar un
conjunto de pagos por otro equivalente referidos siempre a una
misma deuda u obligación de pago. Esto surge cuando las
condiciones iniciales de tasas y tiempos no pueden ser cumplidas
teniéndose que negociar nuevas alternativas de pago. Los valores
referidos a la situación inicial son llevados a un mismo punto en el
tiempo (fecha focal) y son igualados a los valores referidos a la
nueva situación de pago en ese momento del tiempo, despejando
de esta forma el valor de las incógnitas (tiempo o valor por pagar)
Ecuación de Valor
0 1 2 3 4
Tiempo
(periodos)
Flu
jo d
e c
aja
S/.
S/.D0 S/.D1 S/.D3 S/.R2 S/.R4
n
tirosVFDepositosVFSaldo Re..
. .
.
Fecha
Focal
TNA, m
Ecuación de Valor
0 1 2 3 4
Tiempo
(periodos)
+
-
Flu
jo d
e c
aja
u.m
.
S/.1,000 S/.1,500
S/.X S/.X
TNA, m
Fecha Focal
Flujos Múltiples – Ecuación de Valor
• Para determinar el saldo de una cuenta de depósitos en una
fecha determinada se trabaja el concepto de valor futuro de dos
formas:
– OPCION 1: El depósito inicial se traslada con sus respectivos
intereses hasta donde se encuentre otro movimiento de fondos o
cambio de tasa de interés. Si se encuentra un depósito se le
suma al saldo y si es un retiro se le resta, este procedimiento
continua hasta llegar al valor final o saldo disponible de la
cuenta en el periodo de análisis.
– OPCION 2: Todos los depósitos (D) se trasladan de manera
independiente hasta el periodo de tiempo en el cual se quiera
determinar el saldo de la cuenta y una vez ubicados allí se
suman. Similar acción se toma con los retiros ( R). El Saldo en
consecuencia seria igual a la diferencia entre el TOTAL
DEPOSITOS y el TOTAL RETIROS
Flujos Múltiples – Ecuación de Valor
0 1 2 3 4
Tiempo
(periodos)
Flu
jo d
e c
aja
u.m
.
TNA1 , m1
S/.D0 S/.D1 S/.D3 S/.R2 S/.R4
Saldo
n
+ + - -
Cuenta Depósitos
Opción 1:
TNA2 , m2 TNA3 , m3
Flujos Múltiples – Ecuación de Valor
0 1 2 3 4
Tiempo
(periodos)
Flu
jo d
e c
aja
u.m
.
S/.D0 S/.D1 S/.D3 S/.R2 S/.R4
n
Cuenta Depósitos
Opción 2: tirosVFDepositosVFSaldo Re..
. . .
TNA1 , m1 TNA2 , m2 TNA3 , m3
Flujos Múltiples – Ecuación de Valor
0 1 2 3 4
Tiempo
(periodos)
Flu
jo d
e c
aja
u.m
.
Préstamo Pago1 Pago3 Pago2 Pago4
Saldo = 0
n
+ - - -
Cuenta Préstamo
Opción 1:
Pagon
-
. . .
TNA3 , m3 TNA2 , m2 TNA1 , m1
Flujos Múltiples – Ecuación de Valor
0 1 2 3 4
Tiempo
(periodos)
Flu
jo d
e c
aja
u.m
.
Préstamo Pago1 Pago3 Pago2 Pago4
n
+
Cuenta Préstamo
Opción 2:
Pagon
VA.PagosestamoPr
. . .
TNA1 , m1 TNA2 , m2 TNA3 , m3
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