rev 1.2 enero 2001 · ing. mario r. modesti 10. 1 universidad tecnologica nacional facultad...

Ing. Mario R. Modesti

10. 1

UNIVERSIDAD TECNOLOGICA NACIONALFACULTAD REGIONAL CORDOBADEPARTAMENTO ELECTRONICA

Carrera : Ingeniería ElectrónicaAsignatura : Análisis de Señales y Sistemas

T.P.N 10 : Series y transformada de Fourier, Transformada inversa deFourier, aplicaciones en señales de uso en comunicaciones y control.

Rev 1.2 Enero 2001

Serie trigonométrica de Fourier

f(t) = a0 + + + ++ + + +

a Cos t a Cos t a Cos tb Sen t b Sen t b Sen t

1 2 3

1 2 3

2 32 3

ϖ ϖ ϖϖ ϖ ϖ

.........

a0 = =−∫ ∫

1 1

2

2

0Tf t dt

Tf t dt

T

T T

( ) ( )

a f(t) Cos n f(t) Cos nn = =−∫ ∫

2 2

2

2

0Tt dt

Tt dt

T

T T

ϖ ϖ

bT

t dtT

t dtT

T T

n f(t) Sen n f(t) Sen n= =−∫ ∫

2 2

2

2

0

ϖ ϖ

MATHEMATICA

Serie exponencial de Fourier

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10. 2

f(t) = F0 + + + + + +

+ + + + + +−−

−− −

−−

F e F e F e F e

F e F e F e F e

J t J t J tn

Jn t

J t J t J tn

Jn t

1 22

33

1 22

33

ϖ ϖ ϖ ϖ

ϖ ϖ ϖ ϖ

.... .....

..... .....

f(t)=n=-

F e para t t t TnJn t

∞

∞

∑ < < +ϖ ( )0 0

Ff(t)(e ) dt

e (e ) dt

1T

f(t)e dtn

Jn t *

t0

t T

Jnv t Jn t *

t

t TJn t

t

t T

0

0

0

0

0

= =

+

+−

+∫

∫∫

ω

ϖ

ω

MATHEMATICA

Relación de coeficientes entre la serie trigonométrica y exponencial

( )

( )

aa

0

n

== +

= +

= +

−

−

FF F

b J F F

F a Jb

n n

n n n

n n n

0

12

Espectro de frecuencias de Fourier

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10. 3

F( )ϖ ϖ=−∫ f(t) e dt -Jn t

T2

T2

f(t)=

1T

F e Jn t

n

( )ϖ ϖ

=−∞

∞

∑

Transformada de Fourier

f t F e dJ t( ) ( )=−∞

∞

∫1

2πϖ ϖϖ

F f t e dtJ t( ) ( )ϖ ϖ= −

−∞

∞

∫

La función F( )ϖ es la densidad espectral , y otro modo de expresar lastransformadas es:

[ ]f t f t e dtJ t( ) ( )= −

−∞

∞

∫ ϖ [ ]−

−∞

∞

= ∫1 12

F F e dJ t( ) ( )ϖπ

ϖ ϖϖ

MATHEMATICA

APLICACIONES

10.1) Hallar los coeficientes de Fourier correspondientes a la función , y la seriecorrespondiente.

F(x)0 5 x 03 0 x 5

Periodo 10=− < <

< <

=

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10. 4

( ) ( ) ( ) =

=

+== ∫∫ ∫∫

−

5

0

0

5

5

00 53

51

301022

dttn

CosdttnCosdttnCosfT

aT

tn

πϖϖ

Resolución analítica

( ) ( ) ( ) =

=

+== ∫∫ ∫∫

−

5

0

0

5

5

00 53

51

301022

dttn

SendttnSendttnSenfT

bT

tnπ

ϖϖ

( )[ ]=+−=

=

= ∫ 0

35

35

53

51

5

0

5

0

CosnCosn

tn

Cosn

dttn

Senn

bn ππ

ππ

ππ

( )[ ]ππ

nCosn

bn −= 13

( ) ( )23

053101

3101

301011 5

0

0

5

5

000 =−==

+== ∫ ∫∫

−

tdtdtfT

aT

t

Mathematica

52 ππ

ϖ ==T

tn

dutn

u55ππ

=∴=

[ ] 003

53

55

351

5

0

5

0

=−=

=

= ∫ π

ππ

ππ

πSenSen

nt

nSen

ndtt

nCos

nan

00 ≠= nan

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10. 5

10.2) Desarrollar F x x x( ) = < <2 0 2π en serie de Fourier

a - Si el período es 2πb- Si el período no se especifica

5 10 15 20 25

10

20

30

40

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10. 6

10.3) Se define una función rectangular f(t) a continuación

F ttt

( ) =< <

− < <

1 01 2

ππ π

Aproximar esta función mediante la forma de onda sen t, en el intervalo ( , )0 2π demodo que el error cuadrático medio sea mínimo

f t Sen t( ) =

Considerando la función rectangular, demostrar que puede obtenerse unaaproximación mejor mediante una gran cantidad de funciones mutuamenteortogonales.

10.4) Desarrollar f t Sen t( ) = , 0 < <t π en serie de Fourier trigonométrica

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10. 7

10.5) Considerar la onda seno rectificada ( onda completa ), correspondiente a

una función del tipo f t Sen t( ) = , 0 < <t π , desarrollar en serie de Fourierexponencial

10.6) Considersr la función periódica ( )tf en 0 < <t π y determinar el espectro

de frecuencias de la función

( )tf Sen t= .

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10. 8

10.7) Desarrollar f x x( ) = , 0 2< <x en serie de semiperíodo funciónseno.

10.8) Desarrollar f x x( ) = , 0 2< <x en serie de semiperíodo funcióncoseno.

10.9) Hacer la gráfica y desarrollar en serie de Fourier trigonométrica

F(x)8 0 x 2

8 2 x 4 Periodo 4=

< <− < <

=

10.10) Hacer la gráfica y desarrollar en serie de Fourier trigonométrica

F xx 4 x 0

x 0 x 4Periodo 8( ) =

− − ≤ ≤≤ ≤

=

10.11) Desarrollar en serie de Fourier de período 8

F(x)2 x 0 x 4x 6 4 x 8

Periodo 8=− < <− < <

=

10.12) Calcular los coeficientes a a bn n0 , , de la serie trigonométrica querepresenta en período 2 π .

a) F(t) Sen tb) F(t)= Cos t

=

10.13) Desarrollar en serie de Fourier trigonométrica

F(x)x 0 x 48 x 4 x 8

=< <

− < <

10.14) Graficar la función extendida periodicamente con período 2π y hallar sutransformada de Fourier.

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10. 9

<<<<

=πππ

2t0t0tsen

F(t)

10.15) Dada una onda cuadrada periódica f(t)=A 0 < t < T / 20 2 0− < <

T t/

,

determinar

a) El espectro de frecuenciasb) F(w)c) la función f(t)

[ ]

[ ]1enA

J1eJn

A

eJn

Adte

JnA

dte A

dte A dte0 dte f(t))F(

Jn-2T

Jn-

2T

0tJn-

2T

0

2T

0

tJn-tJn-

0

2T

2T

0

tJn-tJn-2

T

2T

tJn-

−=

−−=

=−=−==

=+==

∫ ∫

∫ ∫∫−−

πϖ

ϖϖϖ

ϖϖϖ

ϖϖ

ϖϖ

ϖ

[ ]∑∑∞

−∞=

∞

−∞=

−=

n

tJnJnp-

n

tJn e1enA

JT1

)eF(T1

=f(t) ϖϖ

ϖϖ

10.16) Desarrollar la función rectificada media onda en serie de Fourier

trigonométrica f tSen t t

t( ) =

< << <

00 2

ππ π

10.17) Considerar la onda seno rectificada ( media onda), correspondiente a una

función del tipo f tSen t t

t( ) =

< << <

00 2

ππ π , desarrollar en serie de

Fourier exponencial

10.18) Determinar el espectro de frecuencias de la función precedente.

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10. 10

10.19) Evaluar la transformada de Fourier de la señal exponencial unilateral (a= 2)

u(t)ef(t) at−=

J?21

)e(eJ?2

1dtee? ) F( 0

0

tJat

+=−

+−== ∞−

∞−−∫ ϖ

2s1

F(s)+

=

MATLAB

a=[1,2]; % Coeficientes del denominador en orden decrecienteb=[1]; % Coeficientes del numeradorw=-50:.05:50; % Rango de frecuencia en rad/s

H=freqs(b,a,w);mag=abs(H);fase = angle(H);axis([-50,50,0,.5]);

figure (1);plot(w,mag);title(‘ Espectro de frecuencias ( magnitud)');xlabel('frecuencia, rad/s');ylabel('magnitud');grid;

figure(2);

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10. 11

fase =fase*180/pi; % Cambio de fase de radianes a gradosaxis([-50,50,-200,200]);plot(w,fase);title('Respuesta en frecuencia (fase)');xlabel('frecuencia, rad/s');ylabel('fase, degrees');grid;axis;

-50 -40 -30 -20 -10 0 10 20 30 40 500

0.05

0.1

0.15

0.2

0.25

0.3

0.35

0.4

0.45

0.5

-50 -40 -30 -20 -10 0 10 20 30 40 50-100

-80

-60

-40

-20

0

20

40

60

80

100

MATHEMATICA

10.20) Evaluar la transformada de Fourier de la señal exponencial bilateral

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10. 12

f t e a t( ) = −

10.21) Evaluar la función pulso rectangular como se define a continuación

>

<=

2T

t0

2T

t1f(t)

10.22) Evaluar la transformada de Fourier de un impulso y de una constante.

10.23) Transformada de la función signum , f(t)=sgn(t).

10.24) Determinar la serie de Fourier trigonométrica , la serie exponencial ydeducir el espectro de frecuencias de la función definida a continuación.

( )f θ θ π θ π= − ≤ ≤para

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10. 13

10.25) Determinar la serie de Fourier de :

− < <= − < ≤ − ≤ <

1 1 t 1

f(t) 2 t 10

1 t 2

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10. 14

Referencias :

Señales y sistemaslan V. Oppenheim - Alan S.WillskyPrentice Hall

Mathematica 3.0MatLab 5.0GrapMath 1.30C