resoluciÓn de sistemas de ecuaciones lineales mediante determinantes departamento de matemáticas
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RESOLUCIÓN DE SISTEMAS DE
ECUACIONES LINEALES MEDIANTE
DETERMINANTES
Departamento de Matemáticas
Ecuaciones lineales
11 1 12 2 1 1· · ................ ·n na x a x a x b
Una ecuación lineal con n incógnitas, es una ecuación polinómica de grado 1.
1 2,, ............ nx x x
Dos ecuaciones son equivalentes cuando tienen la misma solución (o soluciones).
Si multiplicamos o dividimos los dos términos de una ecuación por un número distinto de cero, la ecuación que resulta es equivalente a la primera.
Departamento de Matemáticas
Solución de una ecuación lineal con n incógnitas es un conjunto de números reales que al sustituir a las incógnitas verifican la ecuación.
nsss ,......,, 21
11 E·E
Sistemas de ecuaciones lineales
Departamento de Matemáticas
Un sistema de m ecuaciones lineales con n incógnitas, es un conjunto de ecuaciones lineales que tienen solución (o soluciones) comunes.
11 1 12 2 1 1
21 1 22 2 2 2
1 1 2 2
· · ................ ·
· · ................ ·
.......... .......... ................ ......... .....
· · ................ ·
n n
n n
m m mn n m
a x a x a x b
a x a x a x b
a x a x a x b
Si el sistema se llama homogéneo. 0ib i
Sistemas de ecuaciones lineales
Departamento de Matemáticas
Si un sistema tiene solución se llama compatible.
Si la solución es única, se llama compatible determinado.
Si tiene más de una solución se llama compatible indeterminado.
Si un sistema no tiene solución se llama incompatible.
Solución de un s. de m e. l. con n incógnitas es un conjunto de números reales que al sustituir a las incógnitas verifican, a la vez, todas las ecuaciones.
nsss ,......,, 21
Dos sistemas son equivalentes cuando tienen la misma solución (o soluciones).
Sistemas de ecuaciones lineales
1º)
2
1
E
E
2
1 0·
E
E
2º)
2
1
E
E
2
21
E
EE
3º)
1
2
1
E
E
E
2
1
E
E
Departamento de Matemáticas
4º)
21
2
1
EE
E
E
2
1
E
E
Criterios de equivalencia:
RESOLUCIÓN SISTEMAS DE ECUACIONES: MÉTODO DE GAUSS
Consiste en transformar un sistema de ecuaciones en otro escalonado de la forma:
3333231
2232221
1131211
bzayaxa
bzayaxa
bzayaxa
333
22322
1131211
bza
bzaya
bzayaxa
= nº distinto de 0
Nº de ec. = nº de incógnitas
Solución única
0 0
0 0
00 0
Ecuación imposible
No hay solución
0 0
0
Nº de ec. <nº de incógnitas
Infinitas soluciones
00
Departamento de Matemáticas
Matrices asociadas a un sistema de ecuaciones lineales
Departamento de Matemáticas
Matriz del sistema: Es la matriz de los coeficientes del sistema de ecuaciones.
mn2m1m
n22221
n11211
a.....aa
......................
a.....aa
a.....aa
Matriz ampliada con los términos independientes:
mmn2m1m
2n22221
1n11211
ba.....aa
..........................
ba.....aa
ba.....aa
Sistemas de ecuaciones lineales: Notaciones
Notación ordinaria:
3333231
2232221
1131211
bzayaxa
bzayaxa
bzayaxa
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3
2
1
333231
232221
131211
b
b
b
z
y
x
aaa
aaa
aaaNotación matricial:
Notación vectorial:
3
2
1
33
23
13
32
22
12
31
21
11
b
b
b
z·
a
a
a
y·
a
a
a
x·
a
a
a
Teorema de ROUCHÉ
Departamento de Matemáticas
La condición necesaria y suficiente para que un sistema S sea compatible es que el rango de la matriz de los coeficientes coincida con el rango de la matriz ampliada con los términos independientes.
ran = ran
333231
232221
131211
aaa
aaa
aaa
3333231
2232221
1131211
baaa
baaa
baaa
S: es compatible si: 3333231
2232221
1131211
bzayaxa
bzayaxa
bzayaxa
REGLA DE CRAMER
Si tenemos un sistema de 3 ecuaciones con tres incógnitas con
(ran(A) = ran(A´)= 3),
3333231
2232221
1131211
bzayaxa
bzayaxa
bzayaxa
el sistema es compatible y su solución es:
33323
23222
13121
aab
aab
aab
333231
232221
131211
aaa
aaa
aaax =
333231
232221
131211
aaa
aaa
aaa
33331
23221
13111
aba
aba
aba
y =
333231
232221
131211
aaa
aaa
aaa
33231
22221
11211
baa
baa
baa
z =
Departamento de Matemáticas
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Resolución de sistemas de ecuaciones lineales
Departamento de Matemáticas
Resolución de sistemas de ecuaciones lineales
Hay infinitas soluciones:
Soluciones:
Los planos se cortan en una recta
Hacemos z =
,3
71,
31
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Resolución de sistemas de ecuaciones lineales
Solución: (3,-2,1)
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Resolución de sistemas de ecuaciones lineales
Solución: (0,-1,2)
Departamento de Matemáticas
Resolución de sistemas de ecuaciones lineales
Solución:
Resolución de sistemas de ecuaciones lineales
Calculamos el rango de A:
Departamento de Matemáticas
ran A = ran A´= 2 < nº incógnitas S es compatible indeterminado
Buscamos un menor de orden 3 distinto de 0
Como todos son iguales a 0
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Resolución de sistemas de ecuaciones lineales
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Resolución de sistemas de ecuaciones lineales
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