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Representación multiresolución de terrenos
mediante eliminación de curvas de nivel
Luis A. Zarrabeitia, Univ. de La Habana
Victoria Hernández, ICIMAF
IntroducciónObjetivo
Objetivo
Obtener una representación multirresolución de una superficieproveniente de un Modelo Digital de Terreno mediante unproceso de simplificación iterativo que aproveche lainformación de curvas de nivel.
L. Zarrabeitia Representación multirresolución de MTD por curvas de nivel
IntroducciónObjetivo
ObjetivoObtener una representación multirresolución
de una superficieproveniente de un Modelo Digital de Terreno mediante unproceso de simplificación iterativo que aproveche lainformación de curvas de nivel.
L. Zarrabeitia Representación multirresolución de MTD por curvas de nivel
IntroducciónObjetivo
ObjetivoObtener una representación multirresolución de una superficieproveniente de un Modelo Digital de Terreno
mediante unproceso de simplificación iterativo que aproveche lainformación de curvas de nivel.
L. Zarrabeitia Representación multirresolución de MTD por curvas de nivel
IntroducciónObjetivo
ObjetivoObtener una representación multirresolución de una superficieproveniente de un Modelo Digital de Terreno mediante unproceso de simplificación iterativo
que aproveche lainformación de curvas de nivel.
L. Zarrabeitia Representación multirresolución de MTD por curvas de nivel
IntroducciónObjetivo
ObjetivoObtener una representación multirresolución de una superficieproveniente de un Modelo Digital de Terreno mediante unproceso de simplificación iterativo que aproveche lainformación de curvas de nivel.
L. Zarrabeitia Representación multirresolución de MTD por curvas de nivel
IntroducciónObjetivo
ObjetivoObtener una representación multirresolución de una superficieproveniente de un Modelo Digital de Terreno mediante unproceso de simplificación iterativo que aproveche lainformación de curvas de nivel.
L. Zarrabeitia Representación multirresolución de MTD por curvas de nivel
IntroducciónObjetivo
ObjetivoObtener una representación multirresolución de una superficieproveniente de un Modelo Digital de Terreno mediante unproceso de simplificación iterativo que aproveche lainformación de curvas de nivel.
L. Zarrabeitia Representación multirresolución de MTD por curvas de nivel
IntroducciónObjetivo
ObjetivoObtener una representación multirresolución de una superficieproveniente de un Modelo Digital de Terreno mediante unproceso de simplificación iterativo que aproveche lainformación de curvas de nivel.
L. Zarrabeitia Representación multirresolución de MTD por curvas de nivel
IntroducciónModelos digitales de terreno.
¿Qué son los MDT?
Son aproximaciones a secciones de la Tierra que permiten suestudio y representación mediante una computadora.
Obtenidas
Mediciones directasMapas existentesSatéliteRadar. . .
Representados medianteTriangulaciones irregularesMallas regulares (raster)Curvas de nivel
L. Zarrabeitia Representación multirresolución de MTD por curvas de nivel
IntroducciónModelos digitales de terreno.
¿Qué son los MDT?Son aproximaciones
a secciones de la Tierra que permiten suestudio y representación mediante una computadora.
Obtenidas
Mediciones directasMapas existentesSatéliteRadar. . .
Representados medianteTriangulaciones irregularesMallas regulares (raster)Curvas de nivel
L. Zarrabeitia Representación multirresolución de MTD por curvas de nivel
IntroducciónModelos digitales de terreno.
¿Qué son los MDT?Son aproximaciones a secciones de la Tierra
que permiten suestudio y representación mediante una computadora.
Obtenidas
Mediciones directasMapas existentesSatéliteRadar. . .
Representados medianteTriangulaciones irregularesMallas regulares (raster)Curvas de nivel
L. Zarrabeitia Representación multirresolución de MTD por curvas de nivel
IntroducciónModelos digitales de terreno.
¿Qué son los MDT?Son aproximaciones a secciones de la Tierra que permiten suestudio y representación mediante una computadora.
Obtenidas
Mediciones directasMapas existentesSatéliteRadar. . .
Representados medianteTriangulaciones irregularesMallas regulares (raster)Curvas de nivel
L. Zarrabeitia Representación multirresolución de MTD por curvas de nivel
IntroducciónModelos digitales de terreno.
¿Qué son los MDT?Son aproximaciones a secciones de la Tierra que permiten suestudio y representación mediante una computadora.
Obtenidas
Mediciones directasMapas existentesSatéliteRadar. . .
Representados medianteTriangulaciones irregularesMallas regulares (raster)Curvas de nivel
L. Zarrabeitia Representación multirresolución de MTD por curvas de nivel
IntroducciónModelos digitales de terreno.
¿Qué son los MDT?Son aproximaciones a secciones de la Tierra que permiten suestudio y representación mediante una computadora.
Obtenidas
Mediciones directasMapas existentesSatéliteRadar. . .
Representados medianteTriangulaciones irregularesMallas regulares (raster)Curvas de nivel
L. Zarrabeitia Representación multirresolución de MTD por curvas de nivel
IntroducciónModelos digitales de terreno.
¿Qué son los MDT?Son aproximaciones a secciones de la Tierra que permiten suestudio y representación mediante una computadora.
Obtenidas
Mediciones directas
Mapas existentesSatéliteRadar. . .
Representados medianteTriangulaciones irregularesMallas regulares (raster)Curvas de nivel
L. Zarrabeitia Representación multirresolución de MTD por curvas de nivel
IntroducciónModelos digitales de terreno.
¿Qué son los MDT?Son aproximaciones a secciones de la Tierra que permiten suestudio y representación mediante una computadora.
Obtenidas
Mediciones directasMapas existentes
SatéliteRadar. . .
Representados medianteTriangulaciones irregularesMallas regulares (raster)Curvas de nivel
L. Zarrabeitia Representación multirresolución de MTD por curvas de nivel
IntroducciónModelos digitales de terreno.
¿Qué son los MDT?Son aproximaciones a secciones de la Tierra que permiten suestudio y representación mediante una computadora.
Obtenidas
Mediciones directasMapas existentesSatélite
Radar. . .
Representados medianteTriangulaciones irregularesMallas regulares (raster)Curvas de nivel
L. Zarrabeitia Representación multirresolución de MTD por curvas de nivel
IntroducciónModelos digitales de terreno.
¿Qué son los MDT?Son aproximaciones a secciones de la Tierra que permiten suestudio y representación mediante una computadora.
Obtenidas
Mediciones directasMapas existentesSatéliteRadar
. . .
Representados medianteTriangulaciones irregularesMallas regulares (raster)Curvas de nivel
L. Zarrabeitia Representación multirresolución de MTD por curvas de nivel
IntroducciónModelos digitales de terreno.
¿Qué son los MDT?Son aproximaciones a secciones de la Tierra que permiten suestudio y representación mediante una computadora.
Obtenidas
Mediciones directasMapas existentesSatéliteRadar. . .
Representados medianteTriangulaciones irregularesMallas regulares (raster)Curvas de nivel
L. Zarrabeitia Representación multirresolución de MTD por curvas de nivel
IntroducciónModelos digitales de terreno.
¿Qué son los MDT?Son aproximaciones a secciones de la Tierra que permiten suestudio y representación mediante una computadora.
Obtenidas
Mediciones directasMapas existentesSatéliteRadar. . .
Representados mediante
Triangulaciones irregularesMallas regulares (raster)Curvas de nivel
L. Zarrabeitia Representación multirresolución de MTD por curvas de nivel
IntroducciónModelos digitales de terreno.
¿Qué son los MDT?Son aproximaciones a secciones de la Tierra que permiten suestudio y representación mediante una computadora.
Obtenidas
Mediciones directasMapas existentesSatéliteRadar. . .
Representados medianteTriangulaciones irregulares
Mallas regulares (raster)Curvas de nivel
L. Zarrabeitia Representación multirresolución de MTD por curvas de nivel
IntroducciónModelos digitales de terreno.
¿Qué son los MDT?Son aproximaciones a secciones de la Tierra que permiten suestudio y representación mediante una computadora.
Obtenidas
Mediciones directasMapas existentesSatéliteRadar. . .
Representados medianteTriangulaciones irregularesMallas regulares (raster)
Curvas de nivel
L. Zarrabeitia Representación multirresolución de MTD por curvas de nivel
IntroducciónModelos digitales de terreno.
¿Qué son los MDT?Son aproximaciones a secciones de la Tierra que permiten suestudio y representación mediante una computadora.
Obtenidas
Mediciones directasMapas existentesSatéliteRadar. . .
Representados medianteTriangulaciones irregularesMallas regulares (raster)Curvas de nivel
L. Zarrabeitia Representación multirresolución de MTD por curvas de nivel
IntroducciónCurvas de nivel
Terreno, Massachusetts
5 x 4 Km293 602 puntos586 624 triángulos478 curvas de nivelMuchos datos redundantes
“curvas”poligonales
“de nivel”cerradas
funcióngrafo planar
L. Zarrabeitia Representación multirresolución de MTD por curvas de nivel
IntroducciónCurvas de nivel
Terreno, Massachusetts
5 x 4 Km
293 602 puntos586 624 triángulos478 curvas de nivelMuchos datos redundantes
“curvas”poligonales
“de nivel”cerradas
funcióngrafo planar
L. Zarrabeitia Representación multirresolución de MTD por curvas de nivel
IntroducciónCurvas de nivel
Terreno, Massachusetts
5 x 4 Km293 602 puntos
586 624 triángulos478 curvas de nivelMuchos datos redundantes
“curvas”poligonales
“de nivel”cerradas
funcióngrafo planar
L. Zarrabeitia Representación multirresolución de MTD por curvas de nivel
IntroducciónCurvas de nivel
Terreno, Massachusetts
5 x 4 Km293 602 puntos586 624 triángulos
478 curvas de nivelMuchos datos redundantes
“curvas”poligonales
“de nivel”cerradas
funcióngrafo planar
L. Zarrabeitia Representación multirresolución de MTD por curvas de nivel
IntroducciónCurvas de nivel
Terreno, Massachusetts
5 x 4 Km293 602 puntos586 624 triángulos478 curvas de nivel
Muchos datos redundantes
“curvas”poligonales
“de nivel”cerradas
funcióngrafo planar
L. Zarrabeitia Representación multirresolución de MTD por curvas de nivel
IntroducciónCurvas de nivel
Terreno, Massachusetts
5 x 4 Km293 602 puntos586 624 triángulos478 curvas de nivelMuchos datos redundantes
“curvas”poligonales
“de nivel”cerradas
funcióngrafo planar
L. Zarrabeitia Representación multirresolución de MTD por curvas de nivel
IntroducciónCurvas de nivel
Curvas de nivel, Massachusetts
5 x 4 Km293 602 puntos586 624 triángulos478 curvas de nivelMuchos datos redundantes
“curvas”poligonales
“de nivel”cerradas
funcióngrafo planar
L. Zarrabeitia Representación multirresolución de MTD por curvas de nivel
IntroducciónCurvas de nivel
Curvas de nivel, Massachusetts
5 x 4 Km293 602 puntos586 624 triángulos478 curvas de nivelMuchos datos redundantes
“curvas”poligonales
“de nivel”cerradas
funcióngrafo planar
L. Zarrabeitia Representación multirresolución de MTD por curvas de nivel
IntroducciónCurvas de nivel
Curvas de nivel, Massachusetts
5 x 4 Km293 602 puntos586 624 triángulos478 curvas de nivelMuchos datos redundantes
“curvas”
poligonales“de nivel”
cerradas
funcióngrafo planar
L. Zarrabeitia Representación multirresolución de MTD por curvas de nivel
IntroducciónCurvas de nivel
Curvas de nivel, Massachusetts
5 x 4 Km293 602 puntos586 624 triángulos478 curvas de nivelMuchos datos redundantes
“curvas”poligonales
“de nivel”cerradas
funcióngrafo planar
L. Zarrabeitia Representación multirresolución de MTD por curvas de nivel
IntroducciónCurvas de nivel
Curvas de nivel, Massachusetts
5 x 4 Km293 602 puntos586 624 triángulos478 curvas de nivelMuchos datos redundantes
“curvas”poligonales
“de nivel”
cerradas
funcióngrafo planar
L. Zarrabeitia Representación multirresolución de MTD por curvas de nivel
IntroducciónCurvas de nivel
Curvas de nivel, Massachusetts
5 x 4 Km293 602 puntos586 624 triángulos478 curvas de nivelMuchos datos redundantes
“curvas”poligonales
“de nivel”cerradas
funcióngrafo planar
L. Zarrabeitia Representación multirresolución de MTD por curvas de nivel
IntroducciónCurvas de nivel
Curvas de nivel, Massachusetts
5 x 4 Km293 602 puntos586 624 triángulos478 curvas de nivelMuchos datos redundantes
“curvas”poligonales
“de nivel”cerradas
función
grafo planar
L. Zarrabeitia Representación multirresolución de MTD por curvas de nivel
IntroducciónCurvas de nivel
Curvas de nivel, Massachusetts
5 x 4 Km293 602 puntos586 624 triángulos478 curvas de nivelMuchos datos redundantes
“curvas”poligonales
“de nivel”cerradas
funcióngrafo planar
L. Zarrabeitia Representación multirresolución de MTD por curvas de nivel
IntroducciónLiteratura previa
Esquemas generales
B-Splines producto tensorial jerárquicos.Splines de Powell-Sabin. Base de Dierckx.
Esquemas específicos (Floater et al, 2005 )Adelgazamiento no adaptativo.Adelgazamiento adaptativo.
L. Zarrabeitia Representación multirresolución de MTD por curvas de nivel
IntroducciónLiteratura previa
Esquemas generales
B-Splines producto tensorial jerárquicos.Splines de Powell-Sabin. Base de Dierckx.
Esquemas específicos (Floater et al, 2005 )Adelgazamiento no adaptativo.Adelgazamiento adaptativo.
L. Zarrabeitia Representación multirresolución de MTD por curvas de nivel
IntroducciónLiteratura previa
Esquemas generales
B-Splines producto tensorial jerárquicos.Splines de Powell-Sabin. Base de Dierckx.
Esquemas específicos (Floater et al, 2005 )
Adelgazamiento no adaptativo.Adelgazamiento adaptativo.
L. Zarrabeitia Representación multirresolución de MTD por curvas de nivel
IntroducciónLiteratura previa
Esquemas generales
B-Splines producto tensorial jerárquicos.Splines de Powell-Sabin. Base de Dierckx.
Esquemas específicos (Floater et al, 2005 )Adelgazamiento no adaptativo.Adelgazamiento adaptativo.
L. Zarrabeitia Representación multirresolución de MTD por curvas de nivel
IntroducciónEliminación de curvas
ObjetivoObtener una representación multirresolución de una superficieproveniente de un Modelo Digital de Terreno mediante unproceso iterativo de simplificación de una triangulaciónirregular que aproveche la información de curvas de nivel.
L. Zarrabeitia Representación multirresolución de MTD por curvas de nivel
IntroducciónEliminación de curvas
ObjetivoObtener una representación multirresolución de una superficieproveniente de un Modelo Digital de Terreno mediante unproceso iterativo de simplificación de una triangulaciónirregular que aproveche la información de curvas de nivel.
L. Zarrabeitia Representación multirresolución de MTD por curvas de nivel
IntroducciónEliminación de curvas
ObjetivoObtener una representación multirresolución de una superficieproveniente de un Modelo Digital de Terreno mediante unproceso iterativo de simplificación de una triangulaciónirregular que aproveche la información de curvas de nivel.
MDTz = f (x , y)
L. Zarrabeitia Representación multirresolución de MTD por curvas de nivel
IntroducciónEliminación de curvas
ObjetivoObtener una representación multirresolución de una superficieproveniente de un Modelo Digital de Terreno mediante unproceso iterativo de simplificación de una triangulaciónirregular que aproveche la información de curvas de nivel.
MDTz = f (x , y)
MultiresoluciónSi+1 ⊂ Si
L. Zarrabeitia Representación multirresolución de MTD por curvas de nivel
IntroducciónEliminación de curvas
ObjetivoObtener una representación multirresolución de una superficieproveniente de un Modelo Digital de Terreno mediante unproceso iterativo de simplificación de una triangulaciónirregular que aproveche la información de curvas de nivel.
MDTz = f (x , y)
MultiresoluciónSi+1 ⊂ Si
Simplificación
Si+1 = Si − ci
L. Zarrabeitia Representación multirresolución de MTD por curvas de nivel
IntroducciónEliminación de curvas
ObjetivoObtener una representación multirresolución de una superficieproveniente de un Modelo Digital de Terreno mediante unproceso iterativo de simplificación de una triangulaciónirregular que aproveche la información de curvas de nivel.
MDTz = f (x , y)
MultiresoluciónSi+1 ⊂ Si
Simplificación
Si+1 = Si − ci
L. Zarrabeitia Representación multirresolución de MTD por curvas de nivel
IntroducciónEliminación de curvas
ObjetivoObtener una representación multirresolución de una superficieproveniente de un Modelo Digital de Terreno mediante unproceso iterativo de simplificación de una triangulaciónirregular que aproveche la información de curvas de nivel.
MDTz = f (x , y)
MultiresoluciónSi+1 ⊂ Si
Simplificación
Si+1 = Si − ci
L. Zarrabeitia Representación multirresolución de MTD por curvas de nivel
IntroducciónEliminación de curvas
ObjetivoObtener una representación multirresolución de una superficieproveniente de un Modelo Digital de Terreno mediante unproceso iterativo de simplificación de una triangulaciónirregular que aproveche la información de curvas de nivel.
MDTz = f (x , y)
MultiresoluciónSi+1 ⊂ Si
Simplificación
Si+1 = Si − ci
L. Zarrabeitia Representación multirresolución de MTD por curvas de nivel
Algoritmo de eliminaciónPropuesta
Proceso de eliminación
Estimar el error asociado a la eliminación de cada curva.while exista curva eliminable do
Buscar curva c de menor error asociado.Eliminar c.Actualizar estimación del error para las restantes.
L. Zarrabeitia Representación multirresolución de MTD por curvas de nivel
Algoritmo de eliminaciónPropuesta
Proceso de eliminaciónEstimar el error asociado a la eliminación de cada curva.
while exista curva eliminable doBuscar curva c de menor error asociado.Eliminar c.Actualizar estimación del error para las restantes.
L. Zarrabeitia Representación multirresolución de MTD por curvas de nivel
Algoritmo de eliminaciónPropuesta
Proceso de eliminaciónEstimar el error asociado a la eliminación de cada curva.while exista curva eliminable do
Buscar curva c de menor error asociado.Eliminar c.Actualizar estimación del error para las restantes.
L. Zarrabeitia Representación multirresolución de MTD por curvas de nivel
Algoritmo de eliminaciónPropuesta
Proceso de eliminaciónEstimar el error asociado a la eliminación de cada curva.while exista curva eliminable do
Buscar curva c de menor error asociado.
Eliminar c.Actualizar estimación del error para las restantes.
L. Zarrabeitia Representación multirresolución de MTD por curvas de nivel
Algoritmo de eliminaciónPropuesta
Proceso de eliminaciónEstimar el error asociado a la eliminación de cada curva.while exista curva eliminable do
Buscar curva c de menor error asociado.Eliminar c.
Actualizar estimación del error para las restantes.
L. Zarrabeitia Representación multirresolución de MTD por curvas de nivel
Algoritmo de eliminaciónPropuesta
Proceso de eliminaciónEstimar el error asociado a la eliminación de cada curva.while exista curva eliminable do
Buscar curva c de menor error asociado.Eliminar c.Actualizar estimación del error para las restantes.
L. Zarrabeitia Representación multirresolución de MTD por curvas de nivel
Algoritmo de eliminaciónEstimación del error
Estimando el error de una curva c
Determinar la región Ωc que contiene a la curva c.Construir interpolante f : Ωc ⊆ R2 → R.Evaluar f en los vértices de c.
L. Zarrabeitia Representación multirresolución de MTD por curvas de nivel
Algoritmo de eliminaciónEstimación del error
Estimando el error de una curva cDeterminar la región Ωc que contiene a la curva c.
Construir interpolante f : Ωc ⊆ R2 → R.Evaluar f en los vértices de c.
L. Zarrabeitia Representación multirresolución de MTD por curvas de nivel
Algoritmo de eliminaciónEstimación del error
Estimando el error de una curva cDeterminar la región Ωc que contiene a la curva c.Construir interpolante f : Ωc ⊆ R2 → R.
Evaluar f en los vértices de c.
Interpolación: f := F 〈ce, ci1 , ci2〉
f (p) = he = h(ce) si p ∈ cef (p) = hij = h(cij ) si p ∈ cij
L. Zarrabeitia Representación multirresolución de MTD por curvas de nivel
Algoritmo de eliminaciónEstimación del error
Estimando el error de una curva cDeterminar la región Ωc que contiene a la curva c.Construir interpolante f : Ωc ⊆ R2 → R.Evaluar f en los vértices de c.
Evaluar ferrores = [|f (x)− h(c)| for x in c]error = m«ax(errores)
L. Zarrabeitia Representación multirresolución de MTD por curvas de nivel
Algoritmo de eliminaciónEstimación del error
Estimando el error de una curva cDeterminar la región Ωc que contiene a la curva c.Construir interpolante f : Ωc ⊆ R2 → R.Evaluar f en los vértices de c.
Interpolación: f := F 〈ce, ci1 , ci2〉
f (p) = he = h(ce) si p ∈ cef (p) = hij = h(cij ) si p ∈ cij
L. Zarrabeitia Representación multirresolución de MTD por curvas de nivel
Algoritmo de eliminaciónInterpolación - Triangulación
Problemas
. . .
Ramificación Triángulos degenerados
L. Zarrabeitia Representación multirresolución de MTD por curvas de nivel
Algoritmo de eliminaciónInterpolación - Triangulación
Problemas
. . .
Ramificación Triángulos degenerados
L. Zarrabeitia Representación multirresolución de MTD por curvas de nivel
Algoritmo de eliminaciónInterpolación - Triangulación
Problemas
. . .
Ramificación
Triángulos degenerados
L. Zarrabeitia Representación multirresolución de MTD por curvas de nivel
Algoritmo de eliminaciónInterpolación - Triangulación
Problemas
. . .
Ramificación Triángulos degenerados
L. Zarrabeitia Representación multirresolución de MTD por curvas de nivel
Algoritmo de eliminaciónDos funciones de interpolación
Dos funciones de interpolación: Curvas originales (arriba),Delaunay (izquierda), Basado en distancias (derecha)
L. Zarrabeitia Representación multirresolución de MTD por curvas de nivel
Algoritmo de eliminaciónInterpolación - basado en distancias
Interpolante basado en distancias (Hormann et al, 2003)
No requiere triangular.C1-continua en casi todos los puntos.Muy rápido de evaluar (versión discreta).
ProblemasNo se puede graficar directamente.Las curvas internas deben tener igual altura.
L. Zarrabeitia Representación multirresolución de MTD por curvas de nivel
Algoritmo de eliminaciónInterpolación - basado en distancias
Interpolante basado en distancias (Hormann et al, 2003)No requiere triangular.
C1-continua en casi todos los puntos.Muy rápido de evaluar (versión discreta).
ProblemasNo se puede graficar directamente.Las curvas internas deben tener igual altura.
L. Zarrabeitia Representación multirresolución de MTD por curvas de nivel
Algoritmo de eliminaciónInterpolación - basado en distancias
Interpolante basado en distancias (Hormann et al, 2003)No requiere triangular.C1-continua en casi todos los puntos.
Muy rápido de evaluar (versión discreta).
ProblemasNo se puede graficar directamente.Las curvas internas deben tener igual altura.
L. Zarrabeitia Representación multirresolución de MTD por curvas de nivel
Algoritmo de eliminaciónInterpolación - basado en distancias
Interpolante basado en distancias (Hormann et al, 2003)No requiere triangular.C1-continua en casi todos los puntos.Muy rápido de evaluar (versión discreta).
ProblemasNo se puede graficar directamente.Las curvas internas deben tener igual altura.
L. Zarrabeitia Representación multirresolución de MTD por curvas de nivel
Algoritmo de eliminaciónInterpolación - basado en distancias
Interpolante basado en distancias (Hormann et al, 2003)No requiere triangular.C1-continua en casi todos los puntos.Muy rápido de evaluar (versión discreta).
Problemas
No se puede graficar directamente.Las curvas internas deben tener igual altura.
L. Zarrabeitia Representación multirresolución de MTD por curvas de nivel
Algoritmo de eliminaciónInterpolación - basado en distancias
Interpolante basado en distancias (Hormann et al, 2003)No requiere triangular.C1-continua en casi todos los puntos.Muy rápido de evaluar (versión discreta).
ProblemasNo se puede graficar directamente.
Las curvas internas deben tener igual altura.
L. Zarrabeitia Representación multirresolución de MTD por curvas de nivel
Algoritmo de eliminaciónInterpolación - basado en distancias
Interpolante basado en distancias (Hormann et al, 2003)No requiere triangular.C1-continua en casi todos los puntos.Muy rápido de evaluar (versión discreta).
ProblemasNo se puede graficar directamente.Las curvas internas deben tener igual altura.
L. Zarrabeitia Representación multirresolución de MTD por curvas de nivel
Algoritmo de eliminaciónInterpolación - basado en distancias
Interpolación lineal
h : R2 → R
h(p) =hide(p) + di(p)he
de(p) + di(p)
dα(p) = minq∈cα‖p − q‖
L. Zarrabeitia Representación multirresolución de MTD por curvas de nivel
Algoritmo de eliminaciónInterpolación - basado en distancias
Interpolación lineal
h : R2 → R
h(p) =hide(p) + di(p)he
de(p) + di(p)
dα(p) = minq∈cα‖p − q‖
L. Zarrabeitia Representación multirresolución de MTD por curvas de nivel
Algoritmo de eliminaciónInterpolación - basado en distancias
Interpolación lineal
h : R2 → R
h(p) =hide(p) + di(p)he
de(p) + di(p)
dα(p) = minq∈cα‖p − q‖
L. Zarrabeitia Representación multirresolución de MTD por curvas de nivel
Algoritmo de eliminaciónCriterio de eliminación
Limitaciones
Las curvas internas deben estar a la misma altura.Hay que “adivinar” la altura de las cimas y huecos.
Criterio de eliminaciónUna curva c es eliminable si:
Existe la frontera externa ce.Ωc tiene al menos una frontera interna cij .∀cij , h(cij ) = cte y h(cij ) 6= h(ce).
Eliminablesc, ce.
No eliminablesci1 , ci2
L. Zarrabeitia Representación multirresolución de MTD por curvas de nivel
Algoritmo de eliminaciónCriterio de eliminación
LimitacionesLas curvas internas deben estar a la misma altura.
Hay que “adivinar” la altura de las cimas y huecos.
Criterio de eliminaciónUna curva c es eliminable si:
Existe la frontera externa ce.Ωc tiene al menos una frontera interna cij .∀cij , h(cij ) = cte y h(cij ) 6= h(ce).
Eliminablesc, ce.
No eliminablesci1 , ci2
L. Zarrabeitia Representación multirresolución de MTD por curvas de nivel
Algoritmo de eliminaciónCriterio de eliminación
LimitacionesLas curvas internas deben estar a la misma altura.Hay que “adivinar” la altura de las cimas y huecos.
Criterio de eliminaciónUna curva c es eliminable si:
Existe la frontera externa ce.Ωc tiene al menos una frontera interna cij .∀cij , h(cij ) = cte y h(cij ) 6= h(ce).
Eliminablesc, ce.
No eliminablesci1 , ci2
L. Zarrabeitia Representación multirresolución de MTD por curvas de nivel
Algoritmo de eliminaciónCriterio de eliminación
LimitacionesLas curvas internas deben estar a la misma altura.Hay que “adivinar” la altura de las cimas y huecos.
Criterio de eliminaciónUna curva c es eliminable si:
Existe la frontera externa ce.Ωc tiene al menos una frontera interna cij .∀cij , h(cij ) = cte y h(cij ) 6= h(ce).
Eliminablesc, ce.
No eliminablesci1 , ci2
L. Zarrabeitia Representación multirresolución de MTD por curvas de nivel
Algoritmo de eliminaciónCriterio de eliminación
LimitacionesLas curvas internas deben estar a la misma altura.Hay que “adivinar” la altura de las cimas y huecos.
Criterio de eliminaciónUna curva c es eliminable si:
Existe la frontera externa ce.Ωc tiene al menos una frontera interna cij .∀cij , h(cij ) = cte y h(cij ) 6= h(ce).
Eliminablesc, ce.
No eliminablesci1 , ci2
L. Zarrabeitia Representación multirresolución de MTD por curvas de nivel
Algoritmo de eliminaciónNos falta...
Proceso de eliminaciónEstimar el error asociado a la eliminación de cada curva.while exista curva eliminable do
Buscar curva c de menor error asociado.Eliminar c.Actualizar estimación del error para las restantes.
ProblemaCurvas muy densas.
SoluciónSimplificación horizontal.
L. Zarrabeitia Representación multirresolución de MTD por curvas de nivel
Algoritmo de eliminaciónNos falta...
Proceso de eliminaciónEstimar el error asociado a la eliminación de cada curva.while exista curva eliminable do
Buscar curva c de menor error asociado.Eliminar c.Actualizar estimación del error para las restantes.
ProblemaCurvas muy densas.
SoluciónSimplificación horizontal.
L. Zarrabeitia Representación multirresolución de MTD por curvas de nivel
Algoritmo de eliminaciónNos falta...
Proceso de eliminaciónEstimar el error asociado a la eliminación de cada curva.while exista curva eliminable do
Buscar curva c de menor error asociado.Eliminar c.Actualizar estimación del error para las restantes.
ProblemaCurvas muy densas.
SoluciónSimplificación horizontal.
L. Zarrabeitia Representación multirresolución de MTD por curvas de nivel
ReconstrucciónGraficando el interpolante
Algoritmo de reconstrucción
Aproximación de los ejes medialesGeneración de puntos nuevosEvaluación del interpolanteRetriangulación 3D final
L. Zarrabeitia Representación multirresolución de MTD por curvas de nivel
ReconstrucciónGraficando el interpolante
Algoritmo de reconstrucción
Aproximación de los ejes medialesGeneración de puntos nuevosEvaluación del interpolanteRetriangulación 3D final
L. Zarrabeitia Representación multirresolución de MTD por curvas de nivel
ReconstrucciónGraficando el interpolante
Algoritmo de reconstrucción
Aproximación de los ejes mediales
Generación de puntos nuevosEvaluación del interpolanteRetriangulación 3D final
Ejes mediales
Diagrama de VoronoiTriangulación de Delaunay
L. Zarrabeitia Representación multirresolución de MTD por curvas de nivel
ReconstrucciónGraficando el interpolante
Algoritmo de reconstrucción
Aproximación de los ejes mediales
Generación de puntos nuevosEvaluación del interpolanteRetriangulación 3D final
Ejes medialesDiagrama de Voronoi
Triangulación de Delaunay
L. Zarrabeitia Representación multirresolución de MTD por curvas de nivel
ReconstrucciónGraficando el interpolante
Algoritmo de reconstrucción
Aproximación de los ejes mediales
Generación de puntos nuevosEvaluación del interpolanteRetriangulación 3D final
Ejes medialesDiagrama de VoronoiTriangulación de Delaunay
L. Zarrabeitia Representación multirresolución de MTD por curvas de nivel
ReconstrucciónGraficando el interpolante
Algoritmo de reconstrucción
Aproximación de los ejes medialesGeneración de puntos nuevos
Evaluación del interpolanteRetriangulación 3D final
Puntos adicionales
Restricciones adicionalesPuntos de Steiner
L. Zarrabeitia Representación multirresolución de MTD por curvas de nivel
ReconstrucciónGraficando el interpolante
Algoritmo de reconstrucción
Aproximación de los ejes medialesGeneración de puntos nuevos
Evaluación del interpolanteRetriangulación 3D final
Puntos adicionalesRestricciones adicionales
Puntos de Steiner
L. Zarrabeitia Representación multirresolución de MTD por curvas de nivel
ReconstrucciónGraficando el interpolante
Algoritmo de reconstrucción
Aproximación de los ejes medialesGeneración de puntos nuevos
Evaluación del interpolanteRetriangulación 3D final
Puntos adicionalesRestricciones adicionalesPuntos de Steiner
L. Zarrabeitia Representación multirresolución de MTD por curvas de nivel
ReconstrucciónGraficando el interpolante
Algoritmo de reconstrucción
Aproximación de los ejes medialesGeneración de puntos nuevosEvaluación del interpolante
Retriangulación 3D final
Evaluación
Localizar cada punto añadidoObtener la función de interpolación
L. Zarrabeitia Representación multirresolución de MTD por curvas de nivel
ReconstrucciónGraficando el interpolante
Algoritmo de reconstrucción
Aproximación de los ejes medialesGeneración de puntos nuevosEvaluación del interpolante
Retriangulación 3D final
EvaluaciónLocalizar cada punto añadido
Obtener la función de interpolación
L. Zarrabeitia Representación multirresolución de MTD por curvas de nivel
ReconstrucciónGraficando el interpolante
Algoritmo de reconstrucción
Aproximación de los ejes medialesGeneración de puntos nuevosEvaluación del interpolante
Retriangulación 3D final
EvaluaciónLocalizar cada punto añadidoObtener la función de interpolación
L. Zarrabeitia Representación multirresolución de MTD por curvas de nivel
ReconstrucciónGraficando el interpolante
Algoritmo de reconstrucción
Aproximación de los ejes medialesGeneración de puntos nuevosEvaluación del interpolanteRetriangulación 3D final
Triangulación 3D
“Proyectar” los triángulos a R3
La iluminación “oculta” los triángulos
L. Zarrabeitia Representación multirresolución de MTD por curvas de nivel
ReconstrucciónGraficando el interpolante
Algoritmo de reconstrucción
Aproximación de los ejes medialesGeneración de puntos nuevosEvaluación del interpolanteRetriangulación 3D final
Triangulación 3D
“Proyectar” los triángulos a R3
La iluminación “oculta” los triángulos
L. Zarrabeitia Representación multirresolución de MTD por curvas de nivel
ReconstrucciónGraficando el interpolante
Algoritmo de reconstrucción
Aproximación de los ejes medialesGeneración de puntos nuevosEvaluación del interpolanteRetriangulación 3D final
Triangulación 3D
“Proyectar” los triángulos a R3
La iluminación “oculta” los triángulos
L. Zarrabeitia Representación multirresolución de MTD por curvas de nivel
ReconstrucciónGraficando el interpolante
Algoritmo de reconstrucción
Aproximación de los ejes medialesGeneración de puntos nuevosEvaluación del interpolanteRetriangulación 3D final
L. Zarrabeitia Representación multirresolución de MTD por curvas de nivel
ImplementaciónLocalización – Interioridad – Distancia punto-polígono
Subproblemas de implementación
Localización.Chequeo de interioridad.Estimación de la distancia punto-polígono.
L. Zarrabeitia Representación multirresolución de MTD por curvas de nivel
ImplementaciónLocalización – Interioridad – Distancia punto-polígono
Subproblemas de implementaciónLocalización.
Chequeo de interioridad.Estimación de la distancia punto-polígono.
L. Zarrabeitia Representación multirresolución de MTD por curvas de nivel
ImplementaciónLocalización – Interioridad – Distancia punto-polígono
Subproblemas de implementaciónLocalización.
Chequeo de interioridad.Estimación de la distancia punto-polígono.
LocalizaciónEn la eliminación.
En la reconstrucción.
Solución
Árbol de terreno
L. Zarrabeitia Representación multirresolución de MTD por curvas de nivel
ImplementaciónLocalización – Interioridad – Distancia punto-polígono
Subproblemas de implementaciónLocalización.
Chequeo de interioridad.Estimación de la distancia punto-polígono.
LocalizaciónEn la eliminación.En la reconstrucción.
Solución
Árbol de terreno
L. Zarrabeitia Representación multirresolución de MTD por curvas de nivel
ImplementaciónLocalización – Interioridad – Distancia punto-polígono
Subproblemas de implementaciónLocalización.
Chequeo de interioridad.Estimación de la distancia punto-polígono.
LocalizaciónEn la eliminación.En la reconstrucción.
Solución
Árbol de terreno
L. Zarrabeitia Representación multirresolución de MTD por curvas de nivel
ImplementaciónLocalización – Interioridad – Distancia punto-polígono
Subproblemas de implementaciónLocalización.
Chequeo de interioridad.Estimación de la distancia punto-polígono.
LocalizaciónEn la eliminación.En la reconstrucción.
Solución
Árbol de terreno
L. Zarrabeitia Representación multirresolución de MTD por curvas de nivel
ImplementaciónLocalización – Interioridad – Distancia punto-polígono
Subproblemas de implementaciónLocalización.
Chequeo de interioridad.Estimación de la distancia punto-polígono.
LocalizaciónEn la eliminación.En la reconstrucción.
Solución
Árbol de terreno
L. Zarrabeitia Representación multirresolución de MTD por curvas de nivel
ImplementaciónLocalización – Interioridad – Distancia punto-polígono
Subproblemas de implementaciónLocalización.Chequeo de interioridad.
Estimación de la distancia punto-polígono.
Chequeo de interioridad
Lanzamiento de rayosPoligonales muy grandes
Descartar aristasQuadtree
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ImplementaciónLocalización – Interioridad – Distancia punto-polígono
Subproblemas de implementaciónLocalización.Chequeo de interioridad.
Estimación de la distancia punto-polígono.
Chequeo de interioridadLanzamiento de rayos
Poligonales muy grandes
Descartar aristasQuadtree
L. Zarrabeitia Representación multirresolución de MTD por curvas de nivel
ImplementaciónLocalización – Interioridad – Distancia punto-polígono
Subproblemas de implementaciónLocalización.Chequeo de interioridad.
Estimación de la distancia punto-polígono.
Chequeo de interioridadLanzamiento de rayosPoligonales muy grandes
Descartar aristasQuadtree
L. Zarrabeitia Representación multirresolución de MTD por curvas de nivel
ImplementaciónLocalización – Interioridad – Distancia punto-polígono
Subproblemas de implementaciónLocalización.Chequeo de interioridad.
Estimación de la distancia punto-polígono.
Chequeo de interioridadLanzamiento de rayosPoligonales muy grandes
Descartar aristasQuadtree
L. Zarrabeitia Representación multirresolución de MTD por curvas de nivel
ImplementaciónLocalización – Interioridad – Distancia punto-polígono
Subproblemas de implementaciónLocalización.Chequeo de interioridad.Estimación de la distancia punto-polígono.
Distancia punto-polígono
Búsqueda exacta costosaCálculo aproximado
Vértice más cercanokd-tree
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ImplementaciónLocalización – Interioridad – Distancia punto-polígono
Subproblemas de implementaciónLocalización.Chequeo de interioridad.Estimación de la distancia punto-polígono.
Distancia punto-polígono
Búsqueda exacta costosa
Cálculo aproximado
Vértice más cercanokd-tree
L. Zarrabeitia Representación multirresolución de MTD por curvas de nivel
ImplementaciónLocalización – Interioridad – Distancia punto-polígono
Subproblemas de implementaciónLocalización.Chequeo de interioridad.Estimación de la distancia punto-polígono.
Distancia punto-polígono
Búsqueda exacta costosaCálculo aproximado
Vértice más cercanokd-tree
L. Zarrabeitia Representación multirresolución de MTD por curvas de nivel
ImplementaciónLocalización – Interioridad – Distancia punto-polígono
Subproblemas de implementaciónLocalización.Chequeo de interioridad.Estimación de la distancia punto-polígono.
Distancia punto-polígono
Búsqueda exacta costosaCálculo aproximado
Vértice más cercanokd-tree
L. Zarrabeitia Representación multirresolución de MTD por curvas de nivel
ImplementaciónResultados
L. Zarrabeitia Representación multirresolución de MTD por curvas de nivel
ImplementaciónResultados - eliminación
205/450 curvas
L. Zarrabeitia Representación multirresolución de MTD por curvas de nivel
Conclusiones y recomendacionesConclusiones
TeoríaFunciones de interpolación
Simplificación horizontalMedidas de error
Graficación
ImplementaciónSolución a problemas clásicos:Localización con QuadtreeÁrbol de terrenoÁrbol-kd
Resultado principalRepresentación multirresolución de MDTs
mediante eliminación iterativa de curvas de nivel
L. Zarrabeitia Representación multirresolución de MTD por curvas de nivel
Conclusiones y recomendacionesConclusiones
TeoríaFunciones de interpolación
Simplificación horizontalMedidas de error
Graficación
Implementación
Solución a problemas clásicos:Localización con QuadtreeÁrbol de terrenoÁrbol-kd
Resultado principalRepresentación multirresolución de MDTs
mediante eliminación iterativa de curvas de nivel
L. Zarrabeitia Representación multirresolución de MTD por curvas de nivel
Conclusiones y recomendacionesConclusiones
TeoríaFunciones de interpolación
Simplificación horizontalMedidas de error
Graficación
ImplementaciónSolución a problemas clásicos:
Localización con QuadtreeÁrbol de terrenoÁrbol-kd
Resultado principalRepresentación multirresolución de MDTs
mediante eliminación iterativa de curvas de nivel
L. Zarrabeitia Representación multirresolución de MTD por curvas de nivel
Conclusiones y recomendacionesConclusiones
TeoríaFunciones de interpolación
Simplificación horizontalMedidas de error
Graficación
ImplementaciónSolución a problemas clásicos:Localización con Quadtree
Árbol de terrenoÁrbol-kd
Resultado principalRepresentación multirresolución de MDTs
mediante eliminación iterativa de curvas de nivel
L. Zarrabeitia Representación multirresolución de MTD por curvas de nivel
Conclusiones y recomendacionesConclusiones
TeoríaFunciones de interpolación
Simplificación horizontalMedidas de error
Graficación
ImplementaciónSolución a problemas clásicos:Localización con QuadtreeÁrbol de terreno
Árbol-kd
Resultado principalRepresentación multirresolución de MDTs
mediante eliminación iterativa de curvas de nivel
L. Zarrabeitia Representación multirresolución de MTD por curvas de nivel
Conclusiones y recomendacionesConclusiones
TeoríaFunciones de interpolación
Simplificación horizontalMedidas de error
Graficación
ImplementaciónSolución a problemas clásicos:Localización con QuadtreeÁrbol de terrenoÁrbol-kd
Resultado principalRepresentación multirresolución de MDTs
mediante eliminación iterativa de curvas de nivel
L. Zarrabeitia Representación multirresolución de MTD por curvas de nivel
Conclusiones y recomendacionesConclusiones
TeoríaFunciones de interpolación
Simplificación horizontalMedidas de error
Graficación
ImplementaciónSolución a problemas clásicos:Localización con QuadtreeÁrbol de terrenoÁrbol-kd
Resultado principal
Representación multirresolución de MDTsmediante eliminación iterativa de curvas de nivel
L. Zarrabeitia Representación multirresolución de MTD por curvas de nivel
Conclusiones y recomendacionesConclusiones
TeoríaFunciones de interpolación
Simplificación horizontalMedidas de error
Graficación
ImplementaciónSolución a problemas clásicos:Localización con QuadtreeÁrbol de terrenoÁrbol-kd
Resultado principalRepresentación multirresolución de MDTs
mediante eliminación iterativa de curvas de nivel
L. Zarrabeitia Representación multirresolución de MTD por curvas de nivel
Conclusiones y recomendacionesConclusiones
TeoríaFunciones de interpolación
Simplificación horizontalMedidas de error
Graficación
ImplementaciónSolución a problemas clásicos:Localización con QuadtreeÁrbol de terrenoÁrbol-kd
Resultado principalRepresentación multirresolución de MDTs
mediante eliminación iterativa de curvas de nivel
L. Zarrabeitia Representación multirresolución de MTD por curvas de nivel
Conclusiones y recomendacionesRecomendaciones
Combinar la simplificación horizontal y la eliminación.Eliminar vértices individuales además de curvas.
Extender el interpolante basado en distancias.Definirlo para alturas internas distintas.
Usar otras funciones de interpolación.Triangulaciones con restricciones.
L. Zarrabeitia Representación multirresolución de MTD por curvas de nivel
Conclusiones y recomendacionesRecomendaciones
Combinar la simplificación horizontal y la eliminación.Eliminar vértices individuales además de curvas.
Extender el interpolante basado en distancias.Definirlo para alturas internas distintas.
Usar otras funciones de interpolación.Triangulaciones con restricciones.
L. Zarrabeitia Representación multirresolución de MTD por curvas de nivel
Conclusiones y recomendacionesRecomendaciones
Combinar la simplificación horizontal y la eliminación.Eliminar vértices individuales además de curvas.
Extender el interpolante basado en distancias.Definirlo para alturas internas distintas.
Usar otras funciones de interpolación.Triangulaciones con restricciones.
L. Zarrabeitia Representación multirresolución de MTD por curvas de nivel
Conclusiones y recomendacionesRecomendaciones
Combinar la simplificación horizontal y la eliminación.Eliminar vértices individuales además de curvas.
Extender el interpolante basado en distancias.Definirlo para alturas internas distintas.
Usar otras funciones de interpolación.Triangulaciones con restricciones.
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FIN
FIN
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Referencias
Laurent Demaret, Nira Dyn5, Michael S. Floater, Armin Iske
Adaptive Thinning for Terrain Modelling and ImageCompression.Advances in Multeresolution for Geometric Modelling, 2005
Horman K., Spinello S., Schröder P.C1-continuous Terrain Reconstruction from SparseContoursIn Proc. Vision, Modeling, and Visualization 2003 (2003),pp. 289–297
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