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Relaciones y Funciones (segunda parte)

I.E.S. Celso Díaz

Función lineal Todas las funciones cuya expresión es un polinomio de grado cero o

uno representan rectas

2xf(x)

No es lineal

Función lineal. Función afín Todas las funciones cuya expresión es un polinomio de grado cero o

uno representan rectas

La función de la forma f(x)=b se denomina

función constante.

Su gráfica es una recta paralela al eje de

abscisas

La función de la forma f(x)=mx se denomina

función lineal.

Su inclinación depende de m

La función de la forma f(x)=mx+n se

denomina función afín.

Su inclinación depende de m

y n determina la posición vertical

Función lineal.

x3

1y

xy

x2y x3y

x5,0y

La función y=mx se

denomina

función lineal.

La función lineal siempre

pasa por el origen

m se llama pendiente. Indica

la inclinación de la recta

respecto del eje de abscisas es el desplazamiento en vertical

respecto del desplazamiento en

horizontal

Si m>0 la gráfica es

creciente. (primer y tercer cuadrante)

Si m<0 la gráfica es

decreciente. (segundo y cuarto cuadrante)

Si m=0 es la función

constante la gráfica es

paralela al eje OX.

9y

1/2

Función afín.

x3

1y

5x3

1y

5-x3

1y

La función y=mx+n se llama

función afín.

m es la pendiente. Las

rectas paralelas tienen la

misma pendiente

n es la ordenada en el

origen, es el valor de y

cuando x vale 0.

Si n=0 es la función lineal

Dos funciones f(x)=mx+n y

g(x)=m´x+n´

son paralelas si y solo sí

m=m´

En caso contrario son

secantes

5,0

5,0

5x2y

3/1

3/1

3/1

2/1

1/(-2)

4/3

5/(-4)

Haz los ejercicios 46, 47, 48, 49 páginas 218

Ecuaciones de la recta y aumenta 1 unidad cuando x aumenta 2

La pendiente es 1/2

La ordenada en el origen es 3

3x2

1y

12

12

xx

yym

La pendiente de la recta que pasa por

dos puntos (x1,y1), (x2,y2) es:

La ecuación de la recta de pendiente

m y que pasa por el punto (x1,y1) es:

)xm(xyy 11

Se llama ecuación

punto-pendiente

Si pasamos al primer miembro los

términos con x e y se obtiene

ax+by-c=0

que se llama forma general

Ecuaciones de la recta. Ejemplos

313

28

xx

yym

12

12

1) Encuentra la ecuación de la recta que pasa por (1, 2) y (3,8)

1)3(x2y Punto-pendiente

También se puede resolver:

3-3x2y 1-3xy Afín o

explícita

-1y3x- General

nmxy

n3m88) (3,por Pasa

n1m22) (1,por Pasa

nm38

nm2Se resuelve

el sistema:

nm38

nm2-3m

2m6

1-n

13xy

2

6

1

3

1-n

3m

Ecuaciones de la recta. Ejemplos 2) Encuentra la ecuación de la recta que pasa por el origen y por A(2,-1)

2

1-m2m-1)por A(2,-1 pasa Simxy

Si pasa por el origen es una función lineal

y=mx x2

1-yes ecuación La

3) Encuentra la ecuación de la recta que pasa por A(1,3) y cuya pendiente es m=2

Se trata de una función afín

y=mx+n

n2xy2mnmxy

12xy

1nn2·13por A(1,3) pasa Sin2xy

3) Dada la recta -2x+7y+17=0 calcula su pendiente y su ordenada en el origen

0177y2xgeneral Ecuación

7

17x

7

2y172x7y

ydespejando explícita forma a pasa Se

7

17n

7

2m

Ecuaciones de la recta. Ejemplos 5) Encuentra la ecuación de la recta que pasa por el origen y por A(1,3) y B(7, -2)

Se puede hacer de dos formas: Método 1

Método 2

6

5

17

32

x-x

y-ym

pendiente la de Fórmula

12

12

1)(x6

5-3y

A(1,3)

6

5-m

pendiente punto Forma

023-6y5xgeneral Ecuación

nmxy

n7m-22)- (7,por Pasa

n1m33) (1,por Pasa

6

5-m6m5

ecuaciones las sumando

n7m2

nm3

n7m2-

nm3

6

23nn-5186nn1

6

5-3

023

x5-

yexplícita Ecuación 66

6

23x

6

5-y

5-5x18-6y

Ecuaciones de la recta. Ejemplos 6) Calcula la pendiente y la ordenada en el origen de la recta que pasa por A(3,4) y B(2, -1) nmxy

n2m-11)- (2,por Pasa

n3m44) (3,por Pasa

m5

ecuaciones las sumando

n2m1

n3m4

n2m1-

n3m4

-11nn3·54 115xy

7) Calcula la recta paralela a 10x-2y+6=0 que pasa por C(1, -2)

Si es paralela tiene la misma pendiente

La pendiente de 10x-2y+6=0 se calcula despejando y 2y=10x+6y=5x+3m=5

-7nn5·1-2C(1,-2)por Pasan5xy 75xy

8) Calcula la recta que tiene la misma ordenada en el origen que 2x+3y-5=0 y pasa por M(2,7)

La ordenada en el origen de 2x+3y-5=0 se calcula despejando y

3

5n

3

5x

3

2-y053y2x

3

5m·27M(2,7)

3

5mxy 8

2

16m52m21

3

58xy

Ecuaciones de la recta. Ejemplos 9) Calcula la recta que pasa por A(2,1) y B(-6,3). Encuentra otro punto de la recta. Pertenecen C(1, -5) y D(10, -1) a esa recta?

nx4

1-y

4

1

8-

2

26-

13

x-x

y-ym

B(-6,3) y por A(2,1) Pasa

12

12

2

3

2

11n

4

21nn

4

2-

n·24

1-1por A(2,1) Pasa

2

3x

4

1-y 064yx6-x4y

Para calcular puntos de la recta se dan valores a una variable y se calcula la otra

...Q(-6,3)3y124y064y66x

2

30,P

2

3

4

6y0x

064yx

C(1, -5) pertenece a la recta si cumple su ecuación

pertenece No065-4·1

D(10, -1) pertenece a la recta si cumple su ecuación

pertenece Sí061-4·10

Haz los ejercicios 50, 51, 52, 53, 54 página 218

Función de proporcionalidad directa

Función de proporcionalidad inversa

Ejemplos

Haz los ejercicios 55, 56, 57, 59, 60 páginas 218 y siguiente

Función cuadrática

2xf(x)

0

0

-1

1

-2

4

-3

9

-4

16

1

1

2

4

3

9

4

16

2xf(x)

0

0

-1

-1

-2

-4

-3

-9

-4

-16

1

-1

2

-4

3

-9

4

-16

Son gráficas pares: simétricas respecto del eje de ordenadas. El vértice es (0,0) Si a>0 el vértice es mínimo relativo Si a<0 el vértice es máximo relativo

Son gráficas pares: simétricas respecto del eje de ordenadas. Si c>0 está desplazada verticalmente hacia arriba Si c<0 está desplazada verticalmente hacia abajo El vértice es V(0,c) Si a>0 el vértice es mínimo relativo Si a<0 el vértice es máximo relativo

21-xf(x)

F(x)=a(x-p)2

El eje de simetría es x=p. El vértice es V(p,0)

Si a>0 el vértice es mínimo relativo Si a<0 el vértice es máximo relativo

Representa la parábola y =x2 A partir de ella representa y=(x-1)2-2. Indica el vértice y el eje

de simetría

Ejemplos:

V(1,-2)

1 xrecta la

simetría de eje

2xy 21-xy2

21-xy2

Una unidad a la derecha

Dos unidades abajo

Ejemplos:

2xy

2xy 2

Ejemplos:

22-xy

2xy

Haz los ejercicios 5, 6, 7, 8 y 9 de la hoja 8 del documento de actividades

La función f (x)= a(x-p)2+q

es polinómica de grado 2 y su gráfica es una parábola. Ejemplo: f(x) = (x-0.5)2 – 2.25

=ax2+ bx + c

= x2 –x+0.25– 2.25 = x2 –x– 2

f(x)=a(x-p)2+q El eje de simetría es x=p.

El vértice es V(p,q)

Si a>0 el vértice es mínimo r.

Si a<0 el vértice es máximo r.

f(x)=ax2+bx+c El eje de simetría es x=-b/2a.

El vértice es

4a

b4ac,

2a

bV

2

v

Calcula el vértice y los puntos de corte con los ejes y dibuja la siguiente parábola y=x2-2x+1

Ejemplos:

1

2

2

2a

bx vérticeelcalcular Para

12xxy

v

2

(0,1)112·00y0xOY Eje

(1,0)12

4-42x

012xx0yOX Eje

ejes los con corte de Puntos

2

2

1 xrecta la

simetría de eje

V(1,0)012·11y 2v

relativo mínimo es vérticeel

Calcula el vértice y los puntos de corte con los ejes y dibuja la siguiente parábola y=x2-4x+3

Ejemplos:

2

2

4

2a

bx vérticeelcalcular Para

34xxy

v

2

(0,3)334·00y0xOY Eje

(1,0)1x

(3,0)3x

2

24

2

12-164x

034xx0yOX Eje

ejes los con corte de Puntos

2

2

V(2,-1)-134·22y 2v

2 xrecta la

simetría de eje

relativo mínimo es vérticeel

Calcula el vértice y los puntos de corte con los ejes y dibuja la siguiente parábola y=x2-4x+3

Ejemplos:

2

2

4

2a

bx vérticeelcalcular Para

34xxy

v

2

(0,3)334·00y0xOY Eje

(1,0)1x

(3,0)3x

2

24

2

12-164x

034xx0yOX Eje

ejes los con corte de Puntos

2

2

V(2,-1)-134·22y 2v

2 xrecta la

simetría de eje

relativo mínimo es vérticeel

Calcula el vértice y los puntos de corte con los ejes y dibuja la siguiente parábola y=-x2-2x-2

Ejemplos:

1

2(-1)

2

2a

bx vérticeelcalcular Para

22xxy

v

2

(0,-2)-222·00y0xOY Eje

solución sin2

8-42x

022xx0yOX Eje

ejes los con corte de Puntos

2

2

V(1,-1)-121-2·1y 2v

1 xrecta la

simetría de eje

relativo máximo es vérticeel

3

2(-1)

6

2a

bx vérticedel Cálculo

46xxy

v

2

(0,-4)-4y0xOY Eje

-0,76x

-5,23x

2-

16-366x

022xx0yOX Eje

ejes los con corte de Puntos

2

V(-3,5)543-6·3y2

v

3- xrecta la

simetría de eje

relativo máximo es vérticeel

Calcula el vértice y los puntos de corte con los ejes y dibuja la siguiente parábola y=2x2-5

Ejemplos:

02(2)

0

2a

bx vérticeelcalcular Para

52xy

v

2

(0,-5)-552·0y0xOY Eje

1,58,0

1,58,01,58

2

5x

2

5x

052x0yOX Eje

ejes los con corte de Puntos

2

2

2

V(0,-5)-55-2·0y 2v

0 xrecta la

simetría de eje

relativo mínimo es vérticeel

Representa la parábola y =x2 A partir de ella representa y=(x-1)2-2. Indica el vértice y el eje

de simetría

Ejemplos:

V(1,-2)

1 xrecta la

simetría de eje

2xy 21-xy2

21-xy2

Una unidad a la derecha

Dos unidades abajo

Ejemplos:

4

xy

2

V(2,1)

14

1

22-xy

Dos unidades a la derecha

Una unidad arriba

2 xrecta lasimetría de eje

r. máximo es vérticeEl

14

1

22-xy

Ejemplos:

V(-2,-3)

32xy2

Dos unidades a la izquierda

Tres unidades abajo

2 xrecta la

simetría de eje

2xy 32xy2

Haz los apartados a, e, n, p, t del ejercicio 10 de la hoja 8

del documento de actividades