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Regiones en el plano complejo

● Disco abierto, vecindad o entorno:

El conjunto de puntos que satisfacen la desigualdad

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Recordemos que representa la

distancia entre y

donde es número real positivo [ : entorno]

Ejemplos

●

●

Regiones en el plano complejo

● Punto interior:

un punto en un conjunto S se le llama punto interior de S, si hay un disco abierto, o vecindad circular, que está completamente contenido en S

Ejemplo:

en el conjunto Re(z)>0, pues

existe un disco contenido

en el conjunto:

Regiones en el plano complejo

● Si cada punto del conjunto S es un punto interior, entonces S es un conjunto abierto

Ejemplo: un disco abierto es un conjunto abierto

● Un conjunto abierto S es conexo, si para cada

par de puntos y en S pueden unirse

por una línea poligonal.

Regiones en el plano complejo

Ejemplo: el anillo es un conjunto abierto y conexo

Regiones en el plano complejo

● A un conjunto abierto y conexo se le llama dominio

Regiones en el plano complejo

Regiones en el plano complejo

● Punto frontera: un punto está en la frontera de S, si cada vecindad de contiene al menos un punto en S y punto fuera de S

● Un conjunto es cerrado si contiene a todos sus puntos frontera

Ejemplo: (disco cerrado)

● Los números complejos pueden visualizarse como puntos en la esfera unidad o esfera de Riemann por medio de una proyección estereográfica.

● Esta proyección asocia un punto z en el plano ecuatorial con un punto sobre la esfera, por el cual una línea recta corta la esfera al unir z y el polo norte de la esfera

Regiones en el plano complejo

Regiones en el plano complejo

El punto infinito se identifica con el polo norte de la esfera. A la unión de este punto y el plano complejo se le llama plano complejo extendido

Regiones en el plano complejo

Riemann movie

Funciones analíticas

● Una vez introducido y estudiado los números

complejos (y definido regiones en el plano x-y) quisieramos estudiar funciones de esos números:

● Recordemos que un función f es una regla que asigna a cada elemento de un conjunto A uno y sólo (*) un elemento de un conjunto B

(*) las funciones multivaluadas las veremos más tarde

Mapeos

● Si f asigna el valor b al elemento a en A, es decir, tenemos que:

El conjunto A es el dominio(*) de definición de f y el conjunto de imágenes f(a) es el rango de f

(*) puede no ser el dominio que hemos definido anteriormente

imagen de a sobre f

Mapeos

● Comentario

Podemos construir, de hecho ya lo hemos hecho, funciones que van del conjunto de los números reales al conjunto de los números complejos

Por ejemplo

Pero estas funciones se pueden estudiar mediante el análisis vectorial de funciones reales

Mapeos

Ejemplo:

Sea

a)Describa las curvas en el plan x-y tales que

y

Mapeos

b) Describa las curvas en el plan u-v cuya preimagen está dada por las coordenadas x=a e y=b

Mapeos

● Ejemplo: Describa la función para z

en el semidisco dado por con

Límites y continuidad

● De manera informal: se dice que es el límite de la función f(z) cuando z se aproxima a , si f(z) se encuentra arbitrariamente cerca de para z suficientemente cerca de .

Límites y continuidad

● Formalmente tenemos que:

Sea f(z) una función definida en alguna vecindad, o entorno, con la posible excepción del punto

Se dice que el límite de f(z) cuando z tiende a es el número , y se escribe como,

si para cada existe un número positivo tal que siempre que

Límites y continuidad

Algunos teoremas sobre límites:

Si y entonces

●

●

●

Límites y continuidad

Continuidad:

Sea f una función definida en el entorno de . Entonces f es continua en si

Es decir, para que f sea una función continua en , ésta debe tener un valor límite y este límite debe ser

Límites y continuidad

Si f(z) y g(z) son continuas en entonces ●

●

●

son funciones continuas en

Límites y continuidad

De aquí que las funciones polinomiales de la

forma

son también funciones continuas

Funciones analíticas

● De manera informal podemos decir que una función analítica “trata” a z=x + iy como una sóla unidad

Ejemplo: si

con y

entonces f(z) es admisible.

En cambio si y

esta función no es admisible

Funciones analíticas

● Para definir formalmente analiticidad, primero veamos el concepto de derivada.

Definición:

Sea f una función compleja definida en un entorno de . Entonces la derivada de f en está dado por el límite

suponiendo que este límite existe.

Notemos que es un número complejo y puede aproximarse a cero de muchas formas.

Funciones analíticas● Algunos teoremas:

Si f y g son funciones diferenciables entonces

C : constante

● Como consecuencia de los teoremas anteriores tenemos cualquier polinomio

es diferenciable en todo el plano y su derivada es

Funciones analíticas

● Comentario: existen funciones que sólo son diferenciables en un punto, pero estos son casos especiales.

En general, aquí trataremos con funciones diferenciables en un conjunto abierto.

● Esto nos lleva a la siguiente observación:

una función continua no es necesariamente derivable. Sin embargo, la existencia de la derivada de una función en un punto implica que la función es continua en ese punto.

Funciones analíticas

● Definición (función analítica):

Una función compleja f(z) se dice que es analítica en un conjunto abierto si la derivada de esta función existe en cada punto del conjunto

● Si la función es analítica en todo el plano complejo, se dice que la función es entera. Por ejemplo, los polinomios son funciones enteras.

Funciones analíticas

● Comentario:

En ocasiones se dice “f(z) es analítica en el punto ” . Con esto se quiere decir que f es analítica en un entorno de

● Veremos pues que analiticidad es el criterio que buscabamos para funciones que “respetan” la estructura de la variable z

Funciones analíticas

Ecuaciones de Cauchy-Riemann

● Veamos como la propiedad de analiticidad induce ciertas relaciones entre la parte real e imaginaria de una función.

● Ecuaciones de Cauchy-Riemann: