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SOLUCIONARIO ENSAYO FORMA UST– 115 1
Este material es propiedad de la Pontificia Universidad Católica de Chile. Prohibida su reproducción total o parcial.
PSU
Resolución Ensayo Forma: UST – 115 Matemática
Indicaciones generales
Este cuadernillo contiene la resolución de cada pregunta del Ensayo de Matemática. Te permitirá conocer preliminarmente tu puntaje de acuerdo a tus respuestas y saber
cómo se responden aquellas preguntas que omitiste o respondiste erradamente.
Buenas Malas Omitidas Puntaje
=
SOLUCIONARIO ENSAYO FORMA UST– 115 2
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1. Eje Temático: Números
Operamos directamente.
3 1 3 3 9 8 9 11 2 1 1
4 2 4 2 8 8 8 8
(A)
2. Eje Temático: Números
Vemos que en la recta numérica los números racionales a, b c y d están ubicados entre 0 y 1, es decir, son positivos menores que 1.
Analicemos entonces cada afirmación planteada.
I) es falsa, ya que b
c es una multiplicación entre los
racionales positivos b y el recíproco de c, que es también
racional, por lo tanto es siempre racional. II) es verdadera, ya que el conjunto de los racionales es
denso, por lo tanto entre dos números racionales cualesquiera siempre existe otro racional.
III) es verdadera, ya que el producto de dos números racionales siempre será racional.
(D)
3. Eje Temático: Números
Dado el valor 1,35791, al aproximarlo por redondeo se debe considerar
el dígito inmediatamente a la derecha de la cifra de corte. Veamos cada alternativa aproximando
A) a la décima: dejamos una cifra después de la coma. La subsiguiente es 5, por lo que aumentará la décima a 4, dando 1,4. Es falsa.
B) a la milésima: tercera cifra después de la coma. La subsiguiente es 9, con lo que la milésima aumentará a 8, dando 1,358. Es
verdadera. C) a la unidad: primera cifra antes de la coma. La subsiguiente es 3,
con lo que la unidad no aumentará, dando 1. Es falsa. D) a la centésima: segunda cifra después de la coma. La subsiguiente
es 7, con lo que la centésima aumentará a 6, dando 1,36. Es falsa. E) falsa.
(B)
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4. Eje Temático: Números
De los 25 kg restamos como lo expresa el enunciado según la expresión:
25 2 2525 25
2 3 2
25 2 25 1 25 254,16
2 3 2 3 2 6
dado que la tercera cifra después de la coma es 6, aumenta al redondear, la centésima a 7, dando 4,17.
(D)
5. Eje Temático: Números
Si t es un valor entre 0 y 1, entonces su recíproco 1
st
es mayor que
1. Veamos en cada expresión si resulta 1:
I) 2 21st t t 1
t
II)
1
2s t tt 1
1t s
t
III) 1
st t 1t
(B)
6. Transformando el número decimal a fracción y expresando en lenguaje matemático:
1 5 2 46 5 2 92 15 12 655
9 6 3 9 6 3 18 18
.
Entonces la mitad es 1 65 65
2 18 36 .
(A)
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7. PILOTAJE
8. Eje Temático: Números
Dados los números r, s y t, la relación de orden correcta entre ellos es
r<s<t y además son consecutivos. Veamos cada alternativa planteada.
A) s
1 / rr . Dado que r es negativo, la relación que se obtiene es
s r . Es verdadera.
B) t 2 r t r 2 . Es verdadera, ya que
t s 1 r 1 1 r 1 1 r 2 .
C) Dado que los cocientes son positivos,
2 2 2t s s 1 ss 1 s 1 s s 1 s
s r s s 1
. La
afirmación es falsa.
D) t r 2n r 2 r 2n 2r 2 2n 2 r 1 2n es
verdadera.
E) t s 0 s 1 s 0 1 0 . Es verdadera.
(C)
9. Eje Temático: Números
Dados b blog m x y log p w , analizamos, considerando la definición
y propiedades de los logaritmos, cada alternativa planteada.
A) verdadera, b b bx w log m log p log m p por propiedad.
B) verdadera, x
bb m log m x por definición.
C) verdadera, wwb
p b p b log p w por definición.
D) verdadera, bp
b
log mxlog m
w log p por propiedad de cambio de base.
E) Falsa,
b bx w log m log p
1
b b blog m 1 log m log p
1
blog m 1 .
(E)
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10. Eje Temático: Números
Sabemos que p es racional y q es la raíz cuarta de ese racional p. Analizamos cada proposición:
I) p + q no es siempre irracional, ya que, por ejemplo, si p = 1,
entonces q = 1 y su suma es 2, es racional, o bien, si p = 0 ocurre algo similar. Por tanto es falsa.
II) Es verdadera, ya que basta que p sea un entero cuadrado
perfecto y se tiene 2
2 4q p p será entero.
III) Es falsa, ya que basta tomar un valor negativo para p y su raíz cuarta será un número complejo.
(B)
11. Eje Temático: Números
En primer lugar todos los números son positivos. Al elevar al cuadrado los números la relación de orden no se altera, por lo tanto obtenemos:
2A 11 , 2 64B 7,1
9 , 2 65
C 16,254
y 2
2D 2 3 12 , por lo que
el orden correcto de mayor a menor es C, D, A, B. (A)
12. Eje Temático: Números
Si z a bi , entonces z a bi . Al expresar que sea siempre
verdadero, lo que se pide es que la relación se cumpla
independientemente de los valores a y b. Veamos cada alternativa:
A) Es falsa, ya que z z a bi a bi 2a .
B) z a bi a bi , entonces es falsa, ya que obtenemos
z z a bi a bi a bi a bi 2bi .
C) Es falsa, ya que 2 2 2 2 2z z a bi a bi a b i a b .
D) Es verdadera, ya que la longitud, por Teorema de Pitágoras, es 2 2z a bi a b .
SOLUCIONARIO ENSAYO FORMA UST– 115 6
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E) Es falsa, ya que 2 2
1 1 a bi a biz
z a bi a bi a b
.
(D)
13. Pilotaje
14. Eje Temático: Números
El perímetro de una circunferencia de radio r es P 2 r .Entonces para:
I) r = 1 cm, P = 6,283185307…, el que aproximado por exceso a la milésima es 6,284. Verdadera.
II) r = 0,5 cm, P es el mismo valor de , el que aproximado por
defecto a la diezmilésima es el número truncado a la cuarta cifra
después de la coma, 3,1415. Falsa. III) r = 2 cm, P = 12,566370614…, que aproximado por redondeo a
la décima es 12,6, ya que la segunda cifra después de la coma es
mayor que 5. Verdadera.
(C)
15. Eje Temático: Números
Según el plano, los números son z 3 4i y w 2 i
Por lo tanto la expresión pedida es
3 4i 3 4i 2 i3 4i 3 4i
2 i 2 i 2 i
2 11i3 4i
5
15 20i 2 11i
5
13 9i
5
(A)
SOLUCIONARIO ENSAYO FORMA UST– 115 7
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16. Eje Temático: Números
375 108 5 3 6 3
6 2 3
2 3
2 2
22
(B)
17. Eje Temático: Álgebra y Funciones
Desarrollando la expresión
2 2 2 2
a b a–b–
a–b a ba – ab b a ab b
a–b a b
Partiendo por el numerador
a + b
a–b–
a–b
a + b=
a + b( )2
- a - b( )2
a - b( ) a + b( )=
a2 + 2ab + b2 - a2 - 2ab + b2( )a - b( ) a + b( )
=
=a2 + 2ab + b2 - a2 + 2ab - b2
a - b( ) a + b( )=
4ab
a - b( ) a + b( )
Luego el denominador
a2 - ab + b2
a - b+
a2 + ab + b2
a + b=
a + b( ) a2 - ab + b2( ) + a - b( ) a2 + ab + b2( )a - b( ) a + b( )
Se reconoce que en el numerador se han formado una suma de cubos
y una diferencia de cubos. Reemplazando:
=a3 + b3 + a3 - b3
a - b( ) a + b( )=
2a3
a - b( ) a + b( )
Reuniendo los resultados del numerador y del denominador:
SOLUCIONARIO ENSAYO FORMA UST– 115 8
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4ab
a - b( ) a + b( ):
2a3
a - b( ) a + b( )=
4ab
a - b( ) a + b( )×
a - b( ) a + b( )2a3
Simplificando llegamos al resultado final
2b
a2
Þ (A)
18. Eje Temático: Álgebra y Funciones
Planteando el enunciado dado, se tiene
x x 1b
c 1 c
Despejando b se obtiene
x x 1b
c 1 c
Resolviendo la diferencia de fracciones con denominador c(c+1)
cx c 1 x 1b
c c 1
Desarrollando el producto del numerador
cx cx c x 1b
c c 1
Eliminando paréntesis del numerador
cx cx c x 1b
c c 1
Reduciendo términos semejantes
c x 1b
c c 1
Sacando factor común en el denominador
c x 1b
c c 1
(D)
19. Eje Temático: Álgebra y Funciones
SOLUCIONARIO ENSAYO FORMA UST– 115 9
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Definiendo las variables: x: lado menor del rectángulo original.
2x: lado mayor del rectángulo original.
x+2: lado menor del nuevo rectángulo. 2x+3: lado mayor del nuevo rectángulo.
Área del rectángulo original: x ×2x = 2x2
Área del nuevo rectángulo:
x + 2( ) × 2x + 3( ) = 2x2 + 3x + 9x + 6 = 2x2 + 7x + 6
Calculando la diferencia entre las áreas de los dos rectángulos se
obtiene:
2x2 + 7x + 6( ) - 2x2( ) = 7x + 6
Þ (B)
20. Eje Temático: Álgebra y Funciones
Se llama compatible determinado a un sistema de ecuaciones que posee una única solución, esto significa, que las rectas que son
representadas en el sistema se intersectan en un solo punto. Debemos entonces revisar que las rectas no sean paralelas o
coincidentes. Para esto, revisamos que los coeficientes que acompañan a las incógnitas de una de las ecuaciones no resulten de amplificar o
simplificar los coeficientes de la otra.
I) Ordenando la ecuación, vemos que los coeficientes de la segunda, resultan de amplificar por 3 la primera.
II) Se observa que los coeficientes no son múltiplos. III) Ordenando se observa que los coeficientes de la segunda
ecuación, resultan de multiplicar por 2 los de la primera
ecuación. Se concluye entonces que solo en la opción II se muestra un sistema
compatible determinado.
Þ (B)
21. Eje Temático: Álgebra y Funciones
SOLUCIONARIO ENSAYO FORMA UST– 115 10
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El cargo fijo es una constante que se cobra todos los meses por el uso de los minutos del plan. Al consumir más minutos estos son
considerados adicionales por lo que cada uno de ellos tendrá un costo de $ 79. Entonces si x es el número de minutos adicionales, entonces
el costo por el uso de éstos es 79 × x .
Luego la función que modela lo que se debe pagar es
f x( ) = 23990 + 79 × x
Þ (E)
22. Eje Temático: Álgebra y Funciones
Sean: x el número de vasos plásticos. y el número de vasos térmicos.
En cada cotización multiplicamos el número de vasos de cada tipo por su respectivo valor unitario, luego sumamos obteniendo el valor total.
La primera cotización sería
24 × x + 20 × y = 4480
La segunda cotización sería
30 × x +15 × y = 4800
Planteando el sistema de ecuaciones:
24 × x + 20 × y = 4480
30 × x +15 × y = 4800
Simplificando cada ecuación, la primera por 4 y la segunda por 15, de modo de reducir los coeficientes y facilitar la resolución.
6x + 5y = 1120
2x + y = 320
Aplicando el método de reducción se amplifica la segunda ecuación por –5
6x + 5y = 1120
–10x - 5y = -1600
Al reducir sumando término a término queda:
SOLUCIONARIO ENSAYO FORMA UST– 115 11
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-4x = -480 /: -4
x = 120
Þ (C)
23. Eje Temático: Álgebra y Funciones
En una ecuación cuadrática de la forma las soluciones
son reales y distintas si
Ordenando y calculando el discriminante en cada alternativa, se tiene:
A)
B) Ordenando: entonces el discriminante:
C) Ordenando la ecuación entonces el discriminante es
Se observa que la alternativa C cumple con la condición.
D)
E) Ordenando la ecuación
entonces el discriminante es:
24. Eje Temático: Álgebra y Funciones
I) f x( ) = x - 3( )
2
+ 2
Se obtiene al trasladar la gráfica de
ax2 + bx + c = 0
D = b2 - 4 ×a ×c > 0
D = 02 - 4 ×2 ×5 = -40 < 0
3x2 + 6x + 3 = 0
D = 62 - 4 ×3 ×3 = 36–36 = 0
3x2 + 5x - 2 = 0
D = 52 + 4 ×3 ×2 = 49 > 0
D = -2( )
2
- 4 ×1 ×5 = 4 - 20 = -16 < 0
x2 = 2 × x -10
x2 - 2x +10 = 0
D = -2( )
2
- 4 ×1 ×10 = 4 - 40 = -36 < 0
Þ (C)
SOLUCIONARIO ENSAYO FORMA UST– 115 12
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f x( ) = x2
tres unidades en dirección positiva del eje X y 2 unidades en dirección positiva del eje Y. Por lo tanto el vértice se encontrará en el punto
(3,2). Por lo tanto la afirmación I es FALSA. II) Es VERDADERA ya que el coeficiente que acompaña a
x2
es positivo.
III) Dado que el vértice está en el punto (3,2) y es su concavidad es hacia arriba no corta el eje X, por lo tanto los ceros de la función no
son reales. Entonces la afirmación es VERDADERA.
Entonces la opción FALSA es solo I.
25. Eje Temático: Álgebra y Funciones
La función corresponde a una cuadrática con concavidad positiva, por lo que el mínimo está en el vértice, donde lo que se requiere es la
primera componente de éste. Calculando:
-b
2a=
150
2= 75
26. Eje Temático: Álgebra y Funciones
Tomamos la primera inecuación:
Þ (A)
Þ (E)
SOLUCIONARIO ENSAYO FORMA UST– 115 13
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x 52
x 1
x 52 0
x 1
x 5 2x 20
x 1
x 70 / 1
x 1
x 70
x 1
Esto se cumple si i) x 7 0 x 1 0 x 7 x 1 ,
cuya solución es 1 x 7 .
ii) x 7 0 x 1 0 x 7 x 1 , que no tiene
solución.
Y por otra parte se tiene la inecuación:
x 23
x 2
x 23 0
x 2
x 2 3x 60
x 2
2x 80 / : 2
x 2
x 40
x 2
Lo que se cumple si:
iii) x 4 0 x 2 0 x 4 x 2 ,
cuya solución es x 2
. iv) x 4 0 x 2 0 x 4 x 2 ,
con solución es x 4 .
Entonces los valores de x que satisfacen i, ii, iii y iv, son 1 x 7 .
(D)
SOLUCIONARIO ENSAYO FORMA UST– 115 14
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27. PILOTAJE
28. Eje Temático: Álgebra y Funciones
En la función dada se reemplaza x por –5.
f -5( ) = -5( )
2
- 3 × -5( ) - 4 - -5 +1( )2
=
25 +15 - 4 - -4( )
2
36 - 4 = 6 - 4 = 2
29. Eje Temático: Álgebra y Funciones
I) CORRECTO. El dominio de f(x) corresponde a los valores no-negativo de la cantidad subradical, es decir, se debe cumplir que 1 x 0
Despejando se obtiene x 1
Multiplicando por (–1), lo cual también cambia el sentido de la desigualdad, se obtiene x 1 que corresponde al conjunto
solución dado por el intervalo ]–∞, 1] II) INCORRECTO. Evaluando en la función dada su preimagen 3 (para
el dominio), se obtiene f 3 1 3 2 , diferente al resultado 2
propuesto. Incluso llama la atención que en este caso la imagen sea un número imaginario. Esto se debe a la condición que debe
cumplir el dominio descrito en I y, por tanto, 3 no es realmente un elemento del dominio.
III) INCORRECTO. Dado que el dominio cumple x 1, se puede
considerar f 1 0 , f 0 1 y f 3 2 , lo cual bosqueja una
curva estrictamente decreciente, al ubicar estos tres puntos en el
plano cartesiano. (A)
Þ (B)
SOLUCIONARIO ENSAYO FORMA UST– 115 15
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30. Pilotaje
31. Pilotaje
32. Eje Temático: Álgebra y Funciones
De acuerdo a la gráfica de la función logarítmica para sus dos casos con respecto a la base b, se tienen las figuras adjuntas, por lo cual
esta función NO tiene dominio (preimagenes) en
los números reales
negativos y más aún no se puede obtener su
recorrido (imágenes) en este caso.
(C)
33. Eje Temático: Álgebra y Funciones
Siendo x la cantidad de manzanas, las cuales son menos de 1.000
unidades, se tiene la desigualdad x < 1.000 Sacando las 9 que están podridas y las 31 que no cumplen el peso
mínimo, se obtiene x < 1.000 – 9 – 31 x < 960
Como en el traslado se caen 4 de ellas, resulta x < 960 – 4 x <
956
Y siendo una desigualdad estricta, el máximo número de manzanas podrá ser 955. (A)
SOLUCIONARIO ENSAYO FORMA UST– 115 16
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34. Eje Temático: Álgebra y Funciones
I) INCORRECTO. El intervalo para los números reales entre corresponde a ]–3, 11[
II) CORRECTO. Resolviendo x
2 3 82
. Se resta 3 a cada parte de
las desigualdades, es decir, x
2 3 3 3 8 32
y se obtiene
x
1 52
. Ahora amplificando por 2 resulta x
1 2 2 5 22
, o sea
2 x 10.
III) CORRECTO. Este enunciado corresponde a la inecuación x 4 6
que involucra valor absoluto por tratarse de distancias en la recta
numérica. Al resolver se tiene que 6 x 4 6 , lo que resulta
6 4 x 4 4 6 4 , obteniéndose 2 x 10.
(D)
35. Eje Temático: Álgebra y Funciones
Dado que los valores de p y q están acotados en el intervalo ]0, 1[ se pueden considerar valores concretos para p y q en cada caso, así
entonces
I) FALSO. Para 1
p4
y 1
q2
, se obtiene que 1 1p q es
1 11 1
4 2, es decir, 4 2 .
II) VERDADERO. Ahora para 1
p2
y 1
q4
, se tiene que
11p p q es
1 11 1 1
2 2 4, con lo cual se obtiene
1 11 1
2 8,
o sea 2 8.
SOLUCIONARIO ENSAYO FORMA UST– 115 17
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III) VERDADERO. Finalmente, para 1
p4
y 1
q2
, entonces se tiene
que
1 1
p q q p es igual a
1 11 1 1 1
4 2 2 4, así
1 13 1
4 4, por lo tanto
44
3
(E)
36. Eje Temático: Geometría
Este ítem apunta a la resolución de problemas que involucren el
conocimiento de los conceptos básicos de la semejanza y de las consecuencias derivadas del hecho de tener un triángulo isósceles, es
decir, el alumno deberá ser capaz de entender, en este contexto, el concepto de triángulo isósceles, como dos ángulos congruentes y uno
distinto a los anteriores. Es por ello que dada la construcción del enunciado, marcando los correspondientes ángulos iguales, se concluye
que CBA BDC , y por esta razón es posible afirmar que
ABC ACB BDC DEB,
de esta manera, la afirmación en I) es verdadera, en tanto corresponden a los ángulos distintos de cada uno de los triángulos
isósceles de la construcción del enunciado.
De acuerdo a lo anterior, la afirmación en II) es también verdadera, ya
que se verifica el criterio ángulo-ángulo de semejanza según lo determinado anteriormente.
Finalmente, para determinar la falsedad de la afirmación en III) basta
con ver que el punto E no tiene una posición relativa fija para el contexto del problema, que lleve a pensar en una igualdad interior de
los ángulos del triángulo mencionado. (C)
37. Eje Temático: Geometría
SOLUCIONARIO ENSAYO FORMA UST– 115 18
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El problema se relaciona con la traslación paralela de puntos en el plano cartesiano. Para abordar correctamente este problema, el
alumno deberá saber que para contestar esta pregunta se debe tener en cuenta el punto origen y el punto extremo de un vector de
traslación y con ello entender que el punto posición en el plano cartesiano puede ser visto como un vector que une el origen de
coordenadas con tal punto posición.
Por esta razón, si la traslación de la circunferencia de centro A, queda en la circunferencia (congruente por cierto) de centro B, entonces, la
traslación es de orientación paralela al vector AB , y luego, siendo O el
origen de coordenadas, se tiene que:
AB OB OA 4,2 1,1 4 1,2 1 3,1 .
(C)
38. Eje Temático: Geometría
Este ítem se enfoca al tratamiento de las consecuencias y propiedades que son derivadas desde el estudio de los elementos secundarios del
triángulo.
Para abordar correctamente el problema, el alumno deberá entender que la simetral de un triángulo corresponde a aquella recta que dimidia
a un lado de un triángulo y que además es perpendicular a tal
segmento. De acuerdo a esto, si la simetral del lado AB contiene al
vértice C del mismo, entonces tal segmento DC, siendo D el punto
medio del segmento AB, corresponderá a la transversal de gravedad y a la altura simultáneamente.
De esta manera, AD DB , ADC BDC 90 y DC DC (lado
compartido) lleva a poder afirmar que ADC BDC mediante criterio
LAL de congruencias, así
A) es verdadera dada la congruencia anteriormente demostrada.
B) es verdadera por el mismo argumento anterior. C) es verdadera, ya que el segmento CD, como se dijo anteriormente,
es altura.
D) es verdadera por lo anteriormente demostrado. E) es falsa ya que el ángulo ABC es congruente al ángulo BAC.
SOLUCIONARIO ENSAYO FORMA UST– 115 19
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Por el anterior análisis, la alternativa correcta se encuentra en E, ya que la congruencia del inicio del análisis se reduce en afirmar que el
triángulo ABC es isósceles de base AB . (E)
39. Eje Temático: Geometría
Este ítem está enfocado al tema de polígonos regulares. Para ello, el alumno deberá tener en cuenta que esta pregunta hace implícita
referencia a los triángulos fundamentales que se forman en todo polígono regular, y en particular en un hexágono que se puede formar
mediante seis triángulos equiláteros congruentes. A ello sumando a que el alumno deberá manejar algunos conceptos básicos de
transformaciones isométricas, en particular de simetrías y reflexiones.
Así, la afirmación en I) es verdadera ya que los segmentos, AB, BO, OF y FA son congruentes en tanto los triángulos AOB y FOA son
equiláteros congruentes.
Por su parte, la afirmación en II) es verdadera ya que son simétricos
con respecto a DA , o bien, son dos triángulos equiláteros congruentes, que corresponden a dos de los seis triángulos fundamentales que lo
conforman.
Finalmente, la afirmación en III) es verdadera ya que corresponden a dos trapecios isósceles, en donde uno es la imagen del otro mediante
una reflexión con respecto a FC .
Así, las afirmaciones dadas en I), en II) y en III) son verdaderas (E)
40. Eje Temático: Geometría
Para resolver este ítem, enfocado al álgebra vectorial de elementos del
plano, el alumno deberá conocer las propiedades básicas de los vectores, es decir, suma y resta de vectores; y finalmente, deberá
calcular la longitud o módulo de un vector.
De esta manera, en la ecuación vectorial u x v es necesario sumar
a ambos lados de la igualdad el vector en sentido opuesto a u , que es
SOLUCIONARIO ENSAYO FORMA UST– 115 20
Este material es propiedad de la Pontificia Universidad Católica de Chile. Prohibida su reproducción total o parcial.
u , dando que x v u 1, 5 4,2 1 4, 5 2 3, 7 , por lo
cual:
2 2
x 3 7 9 49 58 ,
(A)
41. Eje Temático: Geometría
Este ítem viene referido a transformaciones isométricas en el plano, es por ello que el alumno deberá reconocer que la simetría axial es una
simetría mediante un eje, y por tanto las imágenes son simétricas con respecto a tal eje.
Es por esta razón, que si al punto A 3,2 se le realiza una simetría
axial y se obtiene el punto B 7,4 como imagen, entonces, el eje de
simetría corresponderá a la simetral del segmento AB . Así, la
pendiente del segmento AB es 2 4 2 1
m3 7 4 2
, por lo que la
simetral del segmento deberá ser igual a 2 ya que el producto de las pendientes de dos segmentos perpendiculares debe ser igual al
opuesto de 1. Por otro lado, el punto medio del segmento AB es el
punto M de coordenadas 3 7 2 4
, 5,32 2
.
Finalmente, usando ecuación punto-pendiente, se formará una recta
que pasa por M y que tiene pendiente 2 , esto es:
y 3 2 x 5
y 3 2x 10
2x y 13 0,
(D)
42. Eje Temático: Geometría
Este ítem hace explícita referencia al teorema de Thales, pero esta vez, para abordar correctamente el problema, el alumno deberá recordar
SOLUCIONARIO ENSAYO FORMA UST– 115 21
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que el teorema de Thales tiene su recíproco, es decir, que si sus igualdades son válidas, entonces se induce un paralelismo que es el
mencionado en el enunciado de la pregunta.
Así, en I, vemos que la relación 12 18
4 6 es verdadera, ya que son
proporcionales en tanto 12 6 18 4 72 . La afirmación en II) es
falsa, ya que la proporcionalidad no se verifica de manera correcta. En
esta afirmación se podría plantear la supuesta igualdad
12 9
12 15 9 12
que es equivalente con
12 9
27 21 , que es una
contradicción en la proporción.
Finalmente, la afirmación dada en III) es verdadera, en tanto la
proporción 15 18
10 12 es constante e igual a
2
3, y de acuerdo a este
análisis, solo las afirmaciones en I) y en III) son verdaderas (E)
43. Eje Temático: Geometría
Este ítem viene referido a ángulos en triángulos y su relación entre paralelas. Por otro lado, el alumno también deberá leer correctamente
las congruencias del enunciado con el fin de determinar el o los datos que servirán para llegar a la respuesta correcta.
Para comenzar analizando esta pregunta, y dado que los triángulos ABC y DEF son congruentes se sigue que los ángulos ABC y TBF son
congruentes e iguales a 81°. Luego, mirando el triángulo ABC se tiene que BAC ABC BCA 180 , de donde 57 81 BCA 180 y
por lo tanto BCA 42 . Por otro lado, los ángulos BCA y BPF son
congruentes ya que son alternos internos sobre las paralelas dadas. Así, ambos miden 42°.
Finalmente, TPF 180 BPF 180 42 138 en tanto son
ángulos suplementarios.. (A)
44. Eje Temático: Geometría
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Este ítem se enfoca al tema relativo a los teoremas derivados de las posiciones relativas de las rectas con respecto a la circunferencia, en
particular, para comenzar a abordar este problema, el alumno deberá conocer el teorema de la secante-tangente con el fin de poder
determinar la longitud del diámetro AB de la circunferencia, para luego
calcular su perímetro con el fin de determinar su mitad (semi-perímetro).
De esta manera, el teorema de la secante-tangente establece que
2PT PA PB , así usando las medidas dadas en el enunciado se tiene
que 212 8 8 AB , de donde 212 144
AB 8 8 18 8 10 cm8 8
,
que corresponde a la longitud del diámetro de la circunferencia. Con lo
cual el perímetro de la circunferencia es 10
2 102
y finalmente,
la mitad del valor anterior, es decir, 5 corresponde al valor del semi-
perímetro de la circunferencia (D)
45. Eje Temático: Geometría
Para poder abordar este problema referido al teorema de Euclides, el
alumno, primero que todo deberá realizar una asociación necesaria, que es el entender que la distancia en geometría se mide de manera
perpendicular desde el punto a calcular hasta su fin.
Por esta razón, la recta L forma un triángulo rectángulo en el origen de
coordenadas, y la distancia mínima de la recta hasta el origen de coordenadas será igual a la longitud de la altura de tal triángulo,
cálculo que se realizará mediante teorema de Euclides.
De acuerdo a lo antes analizado el triángulo tiene catetos igual a los segmentos determinados por la recta con los ejes coordenados, es
decir, 7 y 9. Entonces, aplicando teorema de Pitágoras sobre tal triángulo se obtiene que la longitud de la hipotenusa es
2 29 7 81 49 130 , así, usando teorema de Euclides relativo a
la altura se obtiene que si llamamos h a la distancia mínima o altura,
se sigue que: 9 7 130 h de donde
SOLUCIONARIO ENSAYO FORMA UST– 115 23
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9 7 63 130 63h 130
130130 130 130
, de donde el último cálculo se
obtiene mediante la racionalización del denominador de la fracción. (C)
46. Eje Temático: Geometría
Este ítem hace referencia a ángulos en la circunferencia. Para abordar correctamente este problema, el alumno deberá entender lo que
significa un ángulo inscrito y un ángulo del centro de la circunferencia.
Así, la medida del arco AB es 60° en tanto el ángulo del centro AOB lo subtiende. Por otro lado, extendiendo el segmento de cuerda EA se
prolonga colinealmente hasta el perímetro de la circunferencia hasta un punto F, se tiene que el arco FC mide 100° ya que es subtendido por el
ángulo inscrito CAE que mide 50°. Finalmente, usando el teorema del ángulo interior de la circunferencia se tiene que
FC AB 100 60 160ADB 80 .
2 2 2
(C)
47. Eje Temático: Geometría
Este ítem hace explícita referencia al teorema de Euclides. Para
resolverlo, el alumno deberá entender que la misma desigualdad entregada por los catetos del triángulo, se mantendrá para sus
proyecciones, por lo que la proyección del cateto b sobre la hipotenusa, será la mayor.
Mirando la siguiente figura:
ab
SOLUCIONARIO ENSAYO FORMA UST– 115 24
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Acá podemos ver que el cateto mayor es el corresponde al de la proyección b, por lo que, llamando B a tal cateto, el teorema de
Euclides plantea que: 2B b b a , de donde, sacando raíz cuadrada se
tiene que 2B b b a b ab .
(E)
48. Eje Temático: Geometría
Este ítem apunta al cálculo de un área achurada derivada por una construcción auxiliar que permitirá encontrar áreas contiguas que
sumen el área seleccionada. Para abordar este problema de manera correcta se deberán tener en cuenta los cálculos inducidos por el
teorema de Thales, áreas de triángulos equiláteros y áreas de
triángulos rectángulos. Para comenzar el cálculo de este problema, veamos la construcción
auxiliar realizada en la siguiente figura, donde el segmento de recta FH corresponde a la altura del triángulo BEF.
Los segmentos BG y FH son claramente paralelos, y por lo tanto se
verifica la relación AB AH
BG HF . H, es punto medio del segmento BE y por
lo tanto 1
BH cm2
, así en la anterior relación se tiene que
11
1 2BG HF
,
pero el segmento HF es la altura del triángulo equilátero, por lo que
3HF cm
2 , así,
31 2
BG 3
2
de donde 3
BG cm3
, luego podemos
realizar el siguiente cálculo
AH HF AB BG
Área BHFG Área AHF Área ABG2 2
, de donde
AB
E
F
CD
G
H
SOLUCIONARIO ENSAYO FORMA UST– 115 25
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reemplazando los valores obtenidos se llega a que
33 31
532 2Área BHFG 32 2 24
.
Por otro lado, el área achurada, correspondiente al triángulo BFG
corresponde a Área BHFG Área BHF , pero el área del triángulo
BHF, es simplemente la mitad del área del triángulo equilátero BEF,
esto es,
3Área BEF 34Área BHF
2 2 8
.
Finalmente, se tendrá que 5 3 3
Área BFG 324 8 12
(D)
49. Eje Temático: Geometría
Este ítem hace referencia al entendimiento geométrico de un sistema
de ecuaciones de dos ecuaciones con dos incógnitas por el simple hecho de tratarse de la intersección de dos rectas en el plano. Para
abordar correctamente este problema, el alumno deberá tener la
capacidad de formar las ecuaciones de la recta dada su posición relativa en el plano, y luego aplicar alguna técnica apropiada para la
resolución de un sistema de ecuaciones, solución que corresponderá al punto en el plano donde las rectas se intersectan.
Aplicando ecuación del segmento, se tiene que la recta 1L tiene
ecuación x y
12 4 , de donde 1
L :2x y 4 . Por otro lado, la recta 2L
tiene ecuación x y
13 2
, esto es, 2
L :2x 3y 6 . Ahora, formando
el sistema de ecuaciones, se induce el elemento 2x y 4
2x 3y 6
, luego,
restando ambas ecuaciones se tiene que y 3y 4 6 , es decir,
10 5y
4 2 . Entonces, usando la primera ecuación:
52x 4
2 de
SOLUCIONARIO ENSAYO FORMA UST– 115 26
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donde 3
x4
, así que las coordenadas del punto P son 3 5
,4 2
, par
ordenado que se encuentra en la alternativa E. (E)
50. Eje Temático: Geometría
Para resolver correctamente este ítem referido a ecuación de la recta en el plano, el alumno deberá tener en claro que dos rectas en el plano
son perpendiculares cuando el producto de las pendientes de tales rectas es igual a 1 , de esta manera, la primera labor para esto será
escribir las rectas en su forma principal logrando que la pendiente de cada una de las rectas sea un valor explícito.
En efecto, la recta 1L escrita en forma principal es y 2kx 2 ,
mientras que la recta 2L , escrita en forma principal es
1 6y x
r 1 r 1
. En esas estructuras, el coeficiente numérico que
acompaña a x corresponde al valor de la pendiente de cada una de las
rectas.
De acuerdo a ello, forzando a que las rectas sean perpendiculares se
tiene que 1
2k 1r 1
, de donde
2k1
r 1
y por lo tanto
2k r 1 2k r 1 .
(A)
51. Eje Temático: Geometría
Este ítem viene referido a dos temas fundamentales, el primero corresponde a cálculos básicos dados de la geometría analítica y el
segundo, es el entender que significa ser simétrico con respecto a un punto en particular.
Primero que todo, el alumno deberá ser capaz de calcular el punto
medio M del segmento AB que es el punto de coordenadas 3
,22
, así
la distancia del punto M será la mitad de la distancia con su simétrico con respecto al origen de coordenadas, por lo que la distancia pedida
SOLUCIONARIO ENSAYO FORMA UST– 115 27
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es simplemente igual a
2
23 9 9 16 25 52 0 2 0 2 4 2 2 2 5
2 4 4 4 2
.
(C)
52. Eje Temático: Geometría
Este ítem viene relacionado al tema de transformaciones isométricas en el plano y para poder abordarlo de manera correcta es necesario
tener en cuenta las simetrías de un punto con respecto a una recta vertical y las rotaciones en 90° en el plano con respecto a puntos que
no corresponden al origen. Aunque de igual manera, se deberá tener
en cuenta que un punto de coordenadas x,y rotado en 90° con
respecto al origen se ubica en el punto y,x .
De esta manera, como el punto Q y el punto P deben ser equidistantes
de las recta que hace las veces de eje de simetría que es x 2 , se
tiene que ella además es simetral del segmento PQ, entonces las
coordenadas del puntos Q son 1,7 .
Por otro lado, para rotar en 90° con respecto al punto A, al punto P, se
deberá ubicar el origen de coordenadas en el punto A, logrando que el
punto 3,7 1,2 2,5 esté centrado en este nuevo origen, por lo
que ahora la rotación se reduce al origen, entonces, tal punto rotado
en 90° queda en este nuevo sistema de coordenadas, en el punto
5,2 , que en términos del original sistema de coordenadas, entrega
que el punto R tiene coordenadas 5,2 1,2 4,4 .
Finalmente, la pendiente del segmento RQ es 7 4 3
1 4 5
(B)
53. Eje Temático: Geometría
Este ítem apunta al contenido de homotecia de figuras planas y para
responderlo el alumno debe, en base a la información entregada en el enunciado, determinar la veracidad de cada una de las afirmaciones.
SOLUCIONARIO ENSAYO FORMA UST– 115 28
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Así, del enunciado se tiene que la homotecia de centro O y razón de
homotecia 3 transforma al triángulo ABC en el triángulo A’B’C’, esto quiere decir que los triángulo ABC y A’B’C’ son semejantes a razón
3 : 1, por lo que
2Área ABC 3 9
1 1Área A 'B'C'
, y la afirmación dada en I)
es verdadera.
Por otro lado, la homotecia de centro O y razón de homotecia 1
3
transforma al triángulo ABC en el triángulo A’’B’’C’’ logra que
1OB'' OB
3 . Luego, dada la primera homotecia, se tiene que
OB' 3OB . De esta manera se tendrá que
1OB'' : B ''B : BB' OB : OB OB'' : OB' OB
3
1 1OB : OB OB : 3OB OB
3 3
1 2OB : OB : 2OB
3 3
1 2: : 2
3 3
1 : 2 : 6
dando que la afirmación en II) es verdadera. Finalmente, un cálculo
muy similar al anterior muestra la veracidad de la afirmación dada en
III) en tanto los tres triángulos son semejantes. (E)
SOLUCIONARIO ENSAYO FORMA UST– 115 29
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54. Eje Temático: Geometría
Este ítem también hace referencia al contenido de homotecias de figuras planas. Por esta razón, un esquema que ayudará a responder
correctamente la pregunta es el siguiente:
Así, la afirmación de la opción A es falsa ya que el punto F se
encuentra sobre la diagonal AC del cuadrado. Para que esta afirmación
sea correcta, es necesario que la razón de homotecia sea 0,5; situación que no es posible verificar con la información aportada en el
enunciado.
La afirmación de la opción B es verdadera dada la construcción de la figura anterior. La afirmación de la opción C es falsa ya que existe
algún valor de la constante k de homotecia que hace que el punto F esté sobre el segmento GE.
La afirmación en D es falsa ya que si la constante k de homotecia es exactamente igual a 0,5; entonces E es equidistante del punto A y del
punto B.
Finalmente, la afirmación en E es falsa en tanto el punto A es el punto más alejado del punto C.
(B)
55. Eje Temático: Geometría
Este ítem aborda el tema relativo al volumen de cuerpos geométricos. Para resolverlo, el alumno deberá ser capaz de inferir que lo
A B
CD
E
FG
SOLUCIONARIO ENSAYO FORMA UST– 115 30
Este material es propiedad de la Pontificia Universidad Católica de Chile. Prohibida su reproducción total o parcial.
preguntado es simplemente cuántas unidades cúbicas puede contener, de manera exacta, un depósito de forma cúbica.
Así, el volumen de un hexaedro regular de arista 4 cm es 4 34 64 cm ,
el cual contiene 64 unidades cúbicas (C)
56. Eje Temático: Geometría
Para abordar de manera correcta este ítem, enfocado nuevamente al volumen de cuerpos geométricos, el alumno deberá entender que de
acuerdo a la figura dada en el enunciado, el hexaedro regular forma, mediante los puntos medio un octaedro que puede ser visto como la
unión de dos pirámides rectangulares de base cuadrada unidas por su base.
Con lo anteriormente dicho, si el cubo tiene arista p, entonces la base
cuadrada de cada una de las pirámides antes mencionadas corresponderá a la diagonal de un triángulo rectángulo isósceles de
lado p
2, esto es
p2
2. Por su parte, la altura de cada pirámide es
p
2,
así, el octaedro de la figura tendrá volumen
2 31 p p p2 2
3 2 2 6
.
Mientras que el volumen del hexaedro regular o cubo es 3p .
Finalmente, la razón pedida entre el octaedro y el hexaedro de la figura
es
3
3
p16 1 : 66p
(B)
57. Eje Temático: Geometría
Este ítem hace referencia al contenido de los sólidos de revolución y cuáles son las generatrices que se debe girar indefinidamente en torno
a algún eje para formar, en este caso al menos un cono. Para abordar correctamente el problema el alumno deberá tener la capacidad de
modelar las situaciones presentadas en cada una de las afirmaciones
dadas en I), en II) y en III).
SOLUCIONARIO ENSAYO FORMA UST– 115 31
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En la afirmación I), no se genera ningún sólido ya que el eje de revolución es paralelo a la superficie que se gira.
En la afirmación dada en II), se generan dos conos congruentes unidos
por sus bases.
En la afirmación dada en III), se generan igualmente dos conos unidos por sus bases.
De acuerdo al análisis anterior, en las afirmaciones dadas en II) y en
III) se generan al menos un cono.
(E)
58. Eje Temático: Datos y Azar
Este ítem hace referencia a la geometría analítica en el espacio. En
particular al tema relativo a planos y rectas en el espacio y la formación de la ecuación del plano dado un vector perpendicular a él
(vector normal) y un punto posición del plano.
Para esto, podemos ver el siguiente esquema en blanco de la situación a modelar. Sea, pues, la ecuación del plano buscado, y P el punto
por el cual pasa el plano.
De esta manera, el vector director de la recta es el vector d 2,1,7 ,
por lo tanto corresponderá al vector normal al plano ya que x t .
Además, por enunciado se sabe que P , por lo que la ecuación del plano será
P 8, 5,4
x t
SOLUCIONARIO ENSAYO FORMA UST– 115 32
Este material es propiedad de la Pontificia Universidad Católica de Chile. Prohibida su reproducción total o parcial.
2 x 8 1 y 5 7 z 4 0
2x 16 y 5 7z 28 0
2x y 7z 7 / 1
2x y 7z 7,
(A)
59. Eje Temático: Datos y Azar
Esta pregunta hace referencia al eje temático de datos y el
reconocimiento del tipo de datos en distintas muestras. Para abordar el problema el alumno deberá determinar cuál de las afirmaciones
planteadas en el problema es falsa.
A) Es verdadera en tanto los datos cuantitativos son numéricos, y por lo tanto, las tres medidas de tendencia central mencionadas son
calculables mediante alguna técnica pertinente.
B) Es falsa en tanto una muestra de datos cualitativos corresponde a datos que son verbales, es decir, la moda, corresponde a un dato
cualitativo igualmente. C) Es verdadera, ya que si la muestra tiene N datos que es un
número impar, entonces, la mediana corresponde al dato de orden
N 11
2
que pertenece a la muestra ya que si N es impar
entonces N 1
2
es un número entero.
D) Es verdadera ya que es justamente la definición de la media aritmética de una muestra cuantitativa, es decir, datos numéricos.
E) Es verdadera ya que simplemente se debe analizar el dato o los datos que tenga o tengan mayor frecuencia absoluta.
(B)
60. Eje Temático: Datos y Azar
Este ítem hace referencia al cálculo y el estudio de las medidas de
tendencia central de dos muestras de datos cualitativos, en donde el alumno deberá notar que los datos x e y no son fijos y que existen
infinitas posibilidades que podrán o no hacer que cada afirmación de las alternativas sea falsa o verdadera.
SOLUCIONARIO ENSAYO FORMA UST– 115 33
Este material es propiedad de la Pontificia Universidad Católica de Chile. Prohibida su reproducción total o parcial.
A) Es falsa ya que independiente de los valores de x y de y, la moda de ambas muestras es 5.
B) Es falsa, ya que si x y 0 , al media aritmética de ambas
muestras es 5. C) Es verdadera ya que asumiendo el dato x 0 se tiene que la media
aritmética de M es 25
4,166
. Ahora, asumiendo el dato y 1 se
tiene que el promedio aritmético de N es 21
4,25
, de donde se
puede ver que 4,16 4,2 .
D) Es falsa ya que independiente del valor que tomen las variables x e
y, las medianas de ambas muestras son iguales a 5. E) Es falsa, ya que basta considerar el caso particular de la alternativa
C. (C)
61. Eje Temático: Datos y Azar
Este ítem viene a hacer referencia al contenido de las medidas de dispersión de una muestra de datos cualitativos, de ahí el cálculo de la
dispersión. Para abordarlo correctamente, deberá, el alumno, ser capaz de interpretar el hecho de que la varianza y la desviación estándar
sean iguales. Como la relación entre ellas es que la raíz cuadrada de la varianza es igual a la desviación estándar, entonces, el único caso
posible es que sean iguales a 0 o iguales a 1.
De esta manera la información planteada en I) corresponde al caso en
que la varianza es igual a cero, es decir, no hay dispersión, por lo que la afirmación es verdadera.
Por su parte, la afirmación planteada en II) es verdadera ya que si la muestra contiene un solo dato, entonces, él no tiene dispersión y por
tanto, su varianza es igual a cero.
Finalmente, la afirmación planteada en III) es falsa ya que una muestra de 3 datos, todos iguales a 10, por ejemplo, tiene media
aritmética 10, y su desviación estándar en 0.
(B)
SOLUCIONARIO ENSAYO FORMA UST– 115 34
Este material es propiedad de la Pontificia Universidad Católica de Chile. Prohibida su reproducción total o parcial.
62. Eje Temático: Datos y Azar
Este ítem viene referido a la inferencia de información extraída de un histograma de datos cualitativos, es por ello, que el alumno debe
entender que el punto medio de cada una de las barras del histograma corresponde a la marca de clase del intervalo. Así, viendo la gráfica
adjunta se tiene que cada marca de clase se distancia en 20%, valor que corresponde a la amplitud del intervalo.
De esta manera, los intervalos a considerar para la formación de la
tabla de frecuencias son 0,20 , 20,40 , 40,60 y 60,80 . Mientras
que respectivamente las frecuencias absolutas, corresponden a 20, 40, 30 y 10, así la tabla mostrada en la alternativa D resume de otra forma
la información entregada en el histograma adjunto al problema. (D)
63. Eje Temático: Datos y Azar
Este ítem hace referencia algebraica al trabajo de las medidas de dispersión, en particular de la varianza con respecto a la media
aritmética, es decir, el promedio del cuadrado de las desviaciones de cada dato con respecto a la media aritmética de la muestra.
Con ello, el alumno deberá verificar la veracidad o falsedad de cada
una de las afirmaciones mostradas en I), en II) y en III).
La afirmación dada en I) es rotundamente falsa ya que por ejemplo, si
se considera la muestra P 1,1,1 su varianza es 0 en tanto no hay
dispersión con respecto al promedio aritmético que es 1.
La afirmación dada en II) también es falsa, ya que la muestra
P 1,0,1 tiene media aritmética igual a 0, pero su varianza es igual
a 2
3.
La afirmación dada en III) en falsa, ya que la muestra podría tener
promedio 1 y varianza igual a 1 pero no ser todos los datos iguales a cero, por ejemplo, datos provenientes de una distribución normal de
media aritmética y varianza iguales a 1.
SOLUCIONARIO ENSAYO FORMA UST– 115 35
Este material es propiedad de la Pontificia Universidad Católica de Chile. Prohibida su reproducción total o parcial.
Con el análisis anterior, la alternativa correcta es E ya que ninguna afirmación planteada es verdadera.
(E)
64. Eje Temático: Datos y Azar
Para abordar correctamente este ítem, el alumno debe recordar que el recorrido intercuartil de una muestra corresponde a la diferencia entre
el tercer 3
Q y primer cuartil 1
Q . Así, la muestra considerada es
1 3Q Q
2 1, 2 2, 2 3, 2 4, 2 5, 2 6, 2 7, 2 8, 2 9, 2 10 ,
por lo tanto 3 1 5Q Q 2 8 2 3 16 6 10 2 5 a .
(C)
65. Eje Temático: Datos y Azar
Este ítem viene a hacer referencia a las técnicas de conteo con
combinaciones entre las categorías, dada una combinación intra las categorías.
Así, los autos de la marca uno se puede ordenar de 5! formas, los
autos de la marca dos se pueden ordenar de 3! formas y los autos de la marca tres se pueden ordenar de 8! formas distintas.
Ahora, usando principio multiplicativo, los autos se pueden ordenar de
5! 3! 8! ; pero ahora se deben mezclar las categorías, por lo que el
anterior resultado va multiplicado por 3!. (D)
66. Eje Temático: Datos y Azar
Este ítem hace referencia al concepto de probabilidad en eventos no
equiprobables, y para abordarla correctamente, es necesario equiprobabilizar el espacio muestral asociado al experimento, para
luego aplicar los conceptos asociados a la independencia de dos sucesos, es decir, que la ocurrencia de uno no influye en la ocurrencia
del otro.
SOLUCIONARIO ENSAYO FORMA UST– 115 36
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De esta manera, la razón entre las probabilidades de obtener cara y
sello es
cara 3
sello 1 y con ello;
3cara
4 y
1sello
4 .
Finalmente, la probabilidad pedida, usando ley de independencia, es calculada mediante la relación
3 1 3
cara sello cara sello4 4 16
.
(A)
67. Eje Temático: Datos y Azar
Este ítem viene referido a la inferencia probabilística de sucesos desde una tabla de doble entrada como la mostrada en el enunciado.
De esta manera, el alumno deberá calcular las probabilidades referidas
en cada una de las afirmaciones y verificar si ella es verdadera o falsa.
La afirmación planteada en I) es dados los 16 hombres de la muestra,
de ellos 7 gustan de Mozart, por lo que la probabilidad pedida es 7
16,
por lo que la afirmación es falsa.
La afirmación planteada en II) se calcula como 9 4 13
7 9 10 4 30
, por
lo que la afirmación es verdadera.
Finalmente, la afirmación planteada en III) se calcula notando que los
alumnos que gustan de Mozart son 17, y de ellos 10 son mujeres, por
lo que la probabilidad es 10
17 y la afirmación es verdadera.
De acuerdo al análisis anteriores se tiene que la alternativa correcta es E, ya que solo las afirmaciones en II) y en III) entregan afirmaciones
verdaderas. (E)
SOLUCIONARIO ENSAYO FORMA UST– 115 37
Este material es propiedad de la Pontificia Universidad Católica de Chile. Prohibida su reproducción total o parcial.
68. Eje Temático: Datos y Azar
Este ítem hace referencia a la Ley de los Grandes Números, que simplemente establece que en un número muy grande de repeticiones
de un mismo evento y bajo las mismas condiciones, las probabilidades muestrales inducidas por las frecuencias relativas del experimento
tienen a ser similares a las probabilidades teóricas dadas por la regla de Laplace.
De esta manera, asumiendo la Ley de los Grandes Números, la extracción de las bolitas corresponde a un experimento sin reposición
en tanto corresponde a una extracción simultánea. Esto es:
5 4 20 10 5
verde y verde verde verde 0,3571...8 7 56 28 14
,
que aproximadamente corresponde al 36% de las veces en que se
realiza el experimento. (A)
69. Eje Temático: Datos y Azar
Este ítem apunta al reconocimiento de una función de probabilidad, es
decir, aquella función que toma valores en un subconjunto de los números reales llamado soporte , y que asigna valores probabilísticos
de ocurrencia a cada uno de los elementos del soporte, esto es
: 0,1 , mostrando de manera formal que la probabilidad de
cualquier evento es siempre mayor o igual que cero y siempre menor o
igual que uno. (B)
70. Eje Temático: Datos y Azar
Para abordar correctamente este ítem, el alumno deberá saber que la
asignación de probabilidades al soporte inducido por una variable aleatoria depende del espacio muestral que sea generado por la acción
del experimento.
SOLUCIONARIO ENSAYO FORMA UST– 115 38
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Así, al lanzar dos dados al aire, la cardinalidad del espacio muestral E formado contiene 36 elementos formando parejas de opciones de la
forma n,m donde n varía entre 1 y 6 al igual que m, es decir,
n,m 1,2,3,4,5,6 1,2,3,4,5,6 ,
es por esta razón entonces que el soporte 1,2,3,4 de la variable
aleatoria X asigna probabilidades:
1
X 1 X 2 X 3 X 44
,
ya que se tendrá el mismo número asignado a cada uno de los eventos, esto es, misma cantidad de pares y de impares en el espacio
muestral. (D)
71. Eje Temático: Datos y Azar
Este ítem hace referencia explícita al teorema de Bayes y de su
relación entre probabilidades a priori y probabilidades a posteriori
dados por un factor de verosimilitud asociado a evento de las
probabilidades marginales, es decir, A|B B B| A A , de
donde
AA |B B| A
B .
(A)
72. Eje Temático: Datos y Azar
Para abordar correctamente este ítem, el alumno deberá reconocer la
generación de un evento Binomial, es decir, dado un experimento que se rija por ley Bernoulli, un evento Binomial se genera al estudiar la
cantidad de éxitos en un evento Bernoulli en una cierta cantidad de repeticiones.
SOLUCIONARIO ENSAYO FORMA UST– 115 39
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Por esta razón, la situación planteada en la afirmación I) se puede modelar mediante ley Binomial, en tanto, la moneda se rige por ley
Bernoulli (cara o sello) y se quiere estudiar la cantidad de éxitos en 10 lanzamientos.
La situación planteada en II) no se rige por ley Binomial ya que los
éxitos en un intervalo continuo se modelan mediante ley Poisson.
Finalmente, la situación planteada en III) se puede modelar por ley Binomial por el mismo razonamiento mostrado en la afirmación I) ya
que para el evento Bernoulli en cuestión basta con considerar como
éxito, la aparición del número 6 en la cara del dado. (C)
73. Eje Temático: Datos y Azar
Este ítem hace referencia a la distribución normal, es decir, para
abordar la pregunta de manera correcta, el alumno deberá recordar la estandarización de una variable de distribución normal, para que ella
tenga distribución normal estándar, es decir, de varianza 1 y de media nula.
De esta manera, si 2X ~ Normal , , entonces, la variable aleatoria
XZ
, donde 2 es la desviación estándar de la distribución,
se rige por ley normal estándar de media nula y varianza unitaria como
se pide en el problema.
(B)
SECCIÓN EVALUACIÓN DE SUFICIENCIA DE DATOS
74. Eje Temático: Números
Con la afirmación (1) es suficiente ya que la única forma de que un
racional multiplicado con otro número sea irracional es que el número sea irracional. Con la información (2) no se puede determinar que sea
SOLUCIONARIO ENSAYO FORMA UST– 115 40
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racional o irracional, ya que en ambos casos el cuadrado puede resultar racional.
(A)
75. Eje Temático: Números
Sea a el largo del rectángulo y b el ancho.
El área es el producto de a y b El semiperímetro es a+b
Una ecuación de segundo grado es posible de plantear si se sabe el
producto y la suma de las soluciones.
Por lo tanto uniendo la información de (1) y (2) es posible plantear la
ecuación y obtener la longitud de los lados del rectángulo.
76. Eje Temático: Álgebra y Funciones
Primero es necesario comprender desde el enunciado que una función
lineal es de la forma f x ax , cuya pendiente es a y su gráfica es
una recta que pasa por el origen O 0,0 del plano cartesiano.
(1) NO ES SUFICIENTE, pues las variables directamente proporcionales
también tienen una recta que pasa por el origen en su gráfica, lo que
se puede plantear como x
4y
, con lo que 1
y x4
, o bien como
y4
x con lo que y 4x y la pendiente tiene dos posibles valores.
(2) ES SUFICIENTE, ya que la función lineal pasa por el origen O 0,0
y aquí se tiene además un segundo punto 2, 8 que permite
calcular la pendiente de la recta que pasa por estos dos puntos, es
decir,
2 1
2 1
y y 8 0 8m 4
x x 2 0 2
(B)
Þ (C)
SOLUCIONARIO ENSAYO FORMA UST– 115 41
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77. Eje Temático: Geometría
Analizando cada una de las informaciones dadas se tiene que:
(1) Con esta información simplemente es posible determinar que los ángulos COB y AOC son congruentes, pero aun así no es posible
responder la pregunta. (2) Con esta información simplemente es posible afirmar que los
ángulos AOD y DOC son congruentes, pero no es posible
responder la pregunta.
Finalmente, juntando ambas informaciones, tampoco es posible responder la pregunta con los datos aportados en el enunciado.
(E)
78. Eje Temático: Geometría
Para responder correctamente esta pregunta es de imperiosa
necesidad que el alumno conozca que la ecuación del plano necesita una de las siguientes dos informaciones: 1) conocer tres puntos no
colineales que estén en el plano, o 2) conocer un vector perpendicular
al plano y un punto que pertenezca al plano.
(1) Con la información aportada en el enunciado más este punto de esta información se conocen simplemente dos puntos
pertenecientes a él, pero no es posible conocer que plano los contiene.
(2) Con esta información se tiene exactamente lo aportado en el segundo inciso de la introducción a este problema, es decir, un
vector perpendicular y un punto del plano aportado por el enunciado.
De esta manera, basta la información aportada en (2) para poder responder la pregunta de manera correcta.
(B)
SOLUCIONARIO ENSAYO FORMA UST– 115 42
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79. Eje Temático: Datos y Azar
El promedio, de manera genérica de esta muestra es
0 1 2 a 4 5 12 a
6 6
, entonces:
(1) con esta información, si la moda de la muestra es 4, entonces quiere decir que 4 es el dato de mayor frecuencia absoluta de la
muestra, y como todos ellos son distintos, la única opción que queda es que a 4 y con ello es posible responder la pregunta.
(2) con esta información, no es posible responder la pregunta, ya que a podría tomar cualquier valor que haga que la muestra tenga
mediana 3, y existen infinitas opciones.
(A)
80. Eje Temático: Datos y Azar
Una variable aleatoria Bernoulli corresponde al modelo generado por
un experimento que solo tiene dos posibles opciones, donde una de ellas es llamada éxito y la otra fracaso.
(1) Con esta información se tiene justamente la definición y el proceso
se modela mediante una variable aleatoria Bernoulli. (2) Esta información simplemente dice lo mismo que la información
anterior, pero de manera genérica.
Así, con las informaciones (1) o (2) de manera independiente se puede afirmar que se genera una variable aleatoria Bernoulli.
(D)
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