psico. 14 ava. regresión y correlación
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Regresión y correlación
FACULTAD DE CIENCIAS DE LA SALUD – ESCUELA ACADÉMICO PROFESIONAL DE PSICOLOGÍA
ESTADÍSTICA
Facultad de Ciencias de la Salud
Dr. Mayhuasca Salgado RonaldDocente
Al término de la clase el estudiante será capaz de determinar el grado
de relación entre dos variables usando coeficientes y gráficos de
dispersion, contrastar si esa relación es significativa y predecir el
comportamiento de las mismas cuando varía una variable en función
de otra.
Propósito
Problema tipo
Un equipo de profesionales de salud mental de un hospital psiquiátricodesea investigar el nivel de respuesta de pacientes distraídos mediante unprograma de terapia de remotivación: nueva prueba (X), contra la pruebaestándar (Y) que están aplicando actualmente, Los resultados fueron:
n = 11
𝑌 = 916
𝑋𝑌 = 71790
𝑋 = 825
𝑥2 = 64625
𝑦2 = 80076
1. Estime la recta deregresión lineal simple.
2. Determine e interprete elcoeficiente de correlacióny de determinación
Es una técnica que permite medir la fuerza o intensidad de larelación entre dos variables linealmente relacionadas, su gradode relación y su sentido
Correlación lineal simple
Se logra a través del Coeficiente de Correlación de Pearson: r
Para estimar el parámetro ρ (rho) se recurre a una
muestra aleatoria de “n” unidades
Las variables de preferencia deben ser cuantitativas y aleatorias.
Correlación lineal simple
r2: es el coeficiente de determinación y se suele expresar en porcentaje, indica en
qué porcentaje es explicada la variabilidad total de Y por la relación lineal entreambas variables.
El estimador del parámetro Rho está dado por
el coeficiente de correlación muestral “r”
Correlación lineal simple
r: Coeficiente de Correlación de Pearson
r =𝑛 ( 𝑥𝑦) −( 𝑥) ( 𝑦)
𝑛 ( 𝑥2) −( 𝑥)2 𝑛( 𝑦2)−( 𝑦)2
Coeficiente de correlación lineal simple
Guía para la interpretación de r
Valor de r Interpretación
0,00 Ausencia de correlación lineal
± 0,10 a ±0,19 Correlación lineal insignificante
± 0,20 a ±0,39 Correlación lineal baja-leve
± 0,40 a ±0,69 Correlación lineal moderada
± 0,70 a ±0,99 Correlación lineal alta a muy alta
± 1,00 Función lineal perfecta
El recorrido delcoeficiente decorrelación muestral
r está en el intervalo:
-1 ≤ r ≤ 1
Es la representación gráfica de larelación entre variablescuantitativas. Es el primer indicio dela forma o naturaleza de la relaciónentre variables .
Diagrama de dispersión de puntos
r=+0,96
r=-0,96
r=+0,34
r=0Correlación alta (aceptable) e inversa
Se representan los datos en unagráfica para verificar la linealidad ydirección
Prueba de hipótesis sobre el parámetro ρ (rho)
Supuesto¿X e Y están correlacionadas lineal y significativamente?
Para determinar la significación estadística de r
Ho : ρ = 0 (X e Y no están ni lineal, ni significativamente correlacionadas)
H1 : ρ ≠ 0 (X e Y están lineal y significativamente correlacionadas)
Planteamiento de hipótesis
Prueba de hipótesis sobre el parámetro ρ (rho)
Prueba estadística
Para determinar la significación estadística de r
t n-2 = 𝑟.𝑛−2
1 −𝑟2
Grado de libertad (gl) de la distribución t = n-2
“t” sigue una distribución t deStudent con (n-2) grados delibertad si Ho es verdadera
Decisión estadística
Considerando el valor de “t” se calcula en la tabla la probabilidad decometer el error tipo I (denotado por p), estableciendo la regla de decisión:
Si, p < 0,05 se rechaza HoSi, p ≥ 0,05 NO se rechaza Ho
Correlación lineal simple
Se realizaron mediciones de la presión sanguínea sistólica (mmHg) mediante dosmétodos en 25 pacientes con hipertensión arterial. Se desea saber si existerelación directa entre las medidas de presión obtenidas y los dos métodos deobtención. N.C: 99,95%
Paciente Método I Método II X2 Y2 XY
1234.
25
132138144146
220
130134132140
202
17424190442073621316
48400
16900179561742419600
40804
17160184921900820440
44440
Total 4440 4172 808408 710952 757276
Ejemplo
Primero calculemos el valor de r:
r =𝑛 ( 𝑥𝑦) −( 𝑥) ( 𝑦)
𝑛 ( 𝑥2) −( 𝑥)2 𝑛( 𝑦2)−( 𝑦)2
r =25 757276 −(4440)(4172)
25 808408 − 4440 2 25 710952 − 4172 2
r = 0,95
Correlación lineal alta a muy alta
Coeficiente de correlación lineal simple
Guía para la interpretación de r
Valor de r Interpretación
0,00 Ausencia de correlación lineal
± 0,10 a ±0,19 Correlación lineal insignificante
± 0,20 a ±0,39 Correlación lineal baja-leve
± 0,40 a ±0,69 Correlación lineal moderada
± 0,70 a ±0,99 Correlación lineal alta a muy alta
± 1,00 Función lineal perfecta
Prueba de hipótesis sobre el parámetro ρ (rho)
Prueba estadística
Para determinar la significación estadística de r
t n-2 = 𝑟.𝑛−2
1 −𝑟2
Nivel de significación: 0,05
Planteamiento de hipótesis Ho : ρ = 0
H1 : ρ ≠ 0
t 25-2 = 𝑟.25−2
1 −(0,95)2
t 23= 14,41
Existe correlación lineal significativa entre lasmedidas de presión arterial obtenidas por los dosmétodos
No existe correlación significativa o es igual a 0
Prueba de hipótesis sobre el parámetro ρ (rho)
Para determinar la significación estadística de r
t 23= 14,41
Ubicamos el valor 14,41 dentro de la distribución T para determinar el valor de p
El valor p, se halla hacia la derechapor debajo de un nivel designificancia de 0,001.
O sea por encima de un N.C. deconfianza de 99,95%
Se rechaza
Ho
No se rechaza
Ho
Rechazar la Ho
Conclusión:
Decisión Valor de p: para una t de 14,41 con 23 g.l.:
p˂ 0,001
Existe alta correlación lineal significativa entre las medidas depresión arterial obtenidas por los dos métodos (p˂ 0,001)
Correlación lineal simple
Pregunta tipo
Una empresa farmacéutica conduceun estudio para evaluar la relaciónentre tres dosis de un nuevo agentehipnótico y el tiempo de sueño.
Cuando la dosis del agentehipnótico se incrementa en 1mg/kg¿cuánto se incrementará la hora desueño inducido?
Análisis de regresión
Análisis de regresión
Es una técnica que trata de predecir, estimar y/oexplicar el valor de una variable (v. dependiente), dadoel valor de otras variables relacionadas (v.independientes)
Las variables X e Y deben ser de naturaleza cuantitativa y depreferencia continua.
Son estudios de la relación funcional entre dos variables relacionadas
Análisis de regresión
En otras palabras consiste en medir el grado de dependencia de unavariable dependiente denotada por (y) respecto a una variableindependiente (x) a través de una función matemática
En regresión lineal tenemos que ajustar una recta a los puntosobservados, a fin de usarla para predecir el valor de Y (variabledependiente) para un valor dado de X (variable independiente).
No todos los puntos se hallarán sobre la recta, pero la recta ajustada se suponeque pasa lo más cerca posible de todos los puntos
Regresión lineal simple
A la recta obtenida se le llamarecta de regresión cuya ecuaciónes la de la regresión lineal simple
Para cada valor de X prefijado, hay unasubpoblación de valores Y
Regresión lineal simple
Y = a + b . X
a: ordenada en el origen o intercepto, distancia entre el origen y el punto en que la recta
corta al eje Y, puede ser (+, -, 0)
b: Coeficiente de regresión, expresa la cantidad en la que varía Y cuando X aumenta en
una unidad, puede ser (+, -, 0)
Recta de regresión
Y = a + b.XVariable dependiente
Intersección en Y
Pendiente de la línea
Variable independiente
Regresión lineal simple
Estimadores mínimo-cuadráticos para hallar b
b= ( 𝑋.𝑌) − ( 𝑋)( 𝑌)
𝑛
( 𝑥2) − ( 𝑥)2𝑛
a = 𝒀
𝒏− 𝒃 𝑿
𝒏
a = 𝒚 − 𝐛 𝒙
𝒚 =a+ 𝐛 𝒙
Relación para hallar a en base a b
De esta relación lineal despejamos
la variable dependiente y
Supuestos para usar el modelo de regresión lineal simple
1. Intervienen dos variables cuantitativas continuas, una de ellas es la variableindependiente (x), a las que el investigador puede asignarle valores:investigaciones de tipo experimental). La otra variable es dependiente (y) porque puede ser influida por diversos determinantes o factores
2. Para cada valor de X hay una subpoblación de Y. Cada una de ellas debe estarnormalmente distribuida
3. Las medias de las subpoblaciones de Y se hallan sobre una línea recta(suposición de linealidad)
Regresión lineal simple
Una empresa farmacéutica conduce un estudio para evaluar la relación entretres dosis de un nuevo agente hipnótico y tiempo de sueño. Cuando la dosis delagente hipnótico se incrementa en 1mg/kg ¿cuánto se incrementará la hora desueño inducido?
Los resultados son presentados en la siguiente tabla:
Ejemplo
En el diagrama de puntos seaprecia una relación linealpositiva o directa entre ambasvariables
Diagrama de dispersión de puntos
Y = a + b.X
Dosis
Tiem
po
de
sueñ
o
Modelo de regresión linealsimple:
Primero verificamos si los datos se ajustan aun modelo de regresión lineal y evaluar sudirección
Regresión lineal simple
Cálculos previos
Prueba X Y X2 Y2 XY
123456789
333
101010151515
465987
13119
999
100100100225225225
163625816449
16912181
121815908070
195165135
Total 84 72 1002 642 780
Tiempo de sueñoen horas:
4 6 5 9 8 7 13 11 9
Dosis (mg/kg) 3 3 3 10 10 10 15 15 15
Obtención de la recta de regresión
Estimadores mínimo-cuadráticos
b= ( 𝑋.𝑌) − ( 𝑋)( 𝑌)
𝑛
( 𝑥2) − ( 𝑥)2𝑛
a = 𝒀
𝒏− 𝒃 𝑿
𝒏
a = 𝒚 − 𝐛 𝒙
b= 780 − (84)(72)
9
1002 − 842
9
= 0,5
a = 𝟕𝟐
𝟗− 𝟎, 𝟓
𝟖𝟒
𝟗= 𝟑, 𝟑𝟖
Obtención de la recta de regresión
Luego, el modelo de regresión lineal estimado es:
a = 𝒚 − 𝐛 𝒙
𝒚 =a+ 𝐛 𝒙
3,38 = 𝒚 − 𝟎, 𝟓 𝒙
𝒚 =3,38+ 𝟎, 𝟓 𝒙
Ecuación de la recta de regresión
Regresión lineal simple
Modelo de regresión lineal
𝒚 =3,38+ 𝟎, 𝟓 𝒙
Cuando la dosis del agente hipnótico se incrementa en 1mg/kg, el tiempo de sueño se incrementa en 0,5 horas
X= 1 mg
Pero cuando:X=0 entonces y=3,38X=1 entonces y= 3,38 + (0,5 x 1)X=2 entonces y= 3,38 + (0,5 x 2)X=3 entonces y= 3,38 + (0,5 x 3)
Respuesta
Representa cuando:
Operacionalicemos
Coeficiente de regresión
Coeficiente de determinación (r2)
Este coeficiente nos indica el porcentaje de la variabilidad total de los valores de Y que están siendo explicadas por la regresión lineal simple
Toma valores entre 0 y 100%
Si por ejemplo el valor de r2= 78,39%
Se interpretará:
El 78,39% de la variabilidad existente …está siendo explicadapor la regresión
Conclusiones
- Los métodos de correlación permiten asignar un valor numérico alnivel de relación existente entre dos variables y además verificarsu significancia
- Los gráficos de dispersión nos orientan a decidir el uso de losmétodos de regresión y correlación lineal
Pregunta 01
Un equipo de profesionales de salud mental de un hospital psiquiátricodesea investigar el nivel de respuesta de pacientes distraídos mediante unprograma de terapia de remotivación: nueva prueba (X), contra la pruebaestándar (Y) que están aplicando actualmente. Los resultados fueron:
n = 11
𝑌 = 916
𝑋𝑌 = 71790
𝑋 = 825
𝑥2 = 64625
𝑦2 = 80076
1. Estime la recta deregresión lineal simple.
2. Determine e interprete elcoeficiente de correlacióny de determinación
Se llevó a cabo unexperimento para estudiar elefecto de cierta droga en ladisminución del ritmocardiaco en adultos. Losresultados fueron:
Pregunta 02
Dosis (mg) X Reducción del ritmo cardiaco (lat/min) Y
0,50 10
0,75 8
1,00 12
1,25 12
1,50 14
1,75 12
2,00 16
2,25 18
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