propriedades - fenixedu · 2017-12-30 · matemática computacional, memec, lean, meaer método de...

Matemática Computacional, MEMec, LEAN, MEAer

Propriedades

11 12 13 14 11 12 13 14

31 32 33 34 31 32 33 34

21 22 23 24 21 22 23 24

21 22 23

2 43 44 41 42

0 0 00 0 00 00 0 0

a a a a a a a a

a a a a a a a aa a a a a a a

a a a a a a a aa a a am m m m

+ + + +

( ) 1 1 1AB B A− − −=

Exemplo: Adicionar à linha 3, a linha 2 multiplicada por um factor multiplicativo m

2) Inversa do produto

1) Combinação linear de linhas duma matriz – soma de uma linha com outra linhamultiplicada por um factor multiplicativo

Método de Gauss(1) 1 1 1

1 1 22 1 1

A A= = −

(1) (1) (2)M A A=

1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 11 1 1 2 1 1 1 2 2 10 1 2 1 1 0 1 2 1 1 1

0 0 0 00 00

⇔ = = − − −

− −

−−

(2) (2) (3)M A A=

1 1 1 11 1 1 1 1 1 10 1 2 10 1 2 1 2 1

30 1 1 1 1 10 1

0 00 00 0

0 0 00

⇔ = = − − − − − − − − − −

ou seja (1)

(1) (1) (2) (2) (1) (3)

(2) (2) (3) M

A AM A A M M A AM A A

(3)M A A =

Método de Gauss

M A U=

1(2) 110 10 1

M− =

A(3) é triangular superior, i.e., (3)

1 1 12 1

A U = = −

Então 1A M U− =

( ) 11 (2) (1)M M M−− = ( ) ( )1 1(1) (2)M M

− −=

1 10 1

0 00 0

0 12mm

( ) ( )1 11 (1) (2)M M M− −− =

31 32 31 32

0 00 0 0 0 0 11 1 11

11 0 1 10 1 0 1 1 1

000 0 0m m

m m m m

Método de Gauss

Então 1A M U A L U−= ⇔ =

1 1111

0 00 0

M− = = =

Ou seja, através do método de Gauss podemos obter uma factorização A=LU.

Depois de se obter uma factorização A=LU (que requer um número de operações da ordemde n3) o sistema de equações é resolvido mediante uma substituição descendente seguidaduma substituição ascendente (que requerem um número de operações da ordem de n2)

M –1 é triangular inferior i.e.,

↑ ↑

⇔ = − − −

Matriz dos factores Matriz do final damultiplicativos factorização de Gauss

1 1 1 11 1 11 1 2 11 1 2

1 32 1 1 2 12

0 00 0

Factorização A=LU – Resolução do sistema

i) L y = b – substituição descendente

( ) ( )y

Ax b LU x b L Ux b= ⇔ = ⇔ =

1 1 1 41 1 2 42 1 1 5

xAx b x

= ⇔ − =

1 1 1 11 1 11 1 2 11 1 2

1 32 1 1 2 12

0 0A LU

− = ⇔ − = −

L y bU x y

1 41 1 4

1 52 12

yL y b y

= ⇔ =

1 2 2 1

1 2 3 3 1 2

44 4 0

1 12 5 5 2 3

yy y y y

y y y y y y

=+ = = − =

+ + = = − − = −

{ }4 0 3 Ty = −

Factorização A=LU – Resolução do sistema

ii) U x = y – substituição ascendente

1 1 1 420

xU x y x

− = ⇔ = −−

32 3 2

1 2 3 1 2 3

2 0 12

xx x x

x x x x x x

− = − =

−− + = = =−

+ + = = − − =

1Solução final, 1

i) Factorização A = LDU, com L e U de diagonal unitária

iii) Por definição, uma matriz [A] diz-se definida positiva se { } { } { } [ ]{ }0 , 0Tx x A x∀ ≠ >

iv) Na factorização A = LDU, se a matriz A for simétrica definida positiva, prova-se que as entradas da diagonal de D são positivas, ou seja dii > 0

v) Neste caso, duma matriz simétrica definida positiva,

( ) ( )( ) ( )1/2 1/2 1/2 1/2 * * TT T TA L D L L D D L L D D L L L= = = =

onde L* é uma matriz de diagonal NÃO unitária

Nota: Para o caso duma matriz diagonal (mas apenas para este caso)

1/2 22

Factorização de Choleski – matrizes simétricas definidas positivas

ii) Se a matriz A for simétrica, então U=LT (ou L=UT), pelo que A = LDLT (ou A=UT DU)

vi) As entradas da matriz L* podem ser obtidas através das condições

( )11/2

j ij ij im jm jjjj jm

l a l l ll a l i j−

= − >

( )11 11 11 21 31 41

21 22 21 22 22 32 42* *

31 32 33 31 32 33 33 43

14 42 43 44 41 42 43 44 44

0 0 00 0 0

a l l l l la a l l l l l

A L La a a l l l l la a a a l l l l l

= ⇔ =

( )( ) ( )

( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( )

= = + = + +

= = + = + + = + + +

211 11

2 221 21 11 22 21 22

2 2 231 31 11 32 31 21 32 22 33 31 32 33

22 2 241 41 11 42 41 21 42 22 43 41 31 42 32 43 33 44 41 42 43 44

a l l a l l

a l l a l l l l a l l l

a l l a l l l l a l l l l l l a l l l l

ou seja

( )( )

[ ] ( ) ( )( )[ ] ( ) ( ) ( ) ( )( )

1/211 11

1/2221 21 11 22 22 21

1/22 231 31 11 32 32 31 21 22 33 33 31 32

1/222 241 41 11 42 42 41 21 22 43 43 41 31 42 32 33 44 44 41 42 43

l a l l a l

l a l l a l l l l a l l

l a l l a l l l l a l l l l l l a l l l

= = −

= = − = − +

= = − = − + = − + +

Factorização de Choleski – matrizes simétricas definidas positivas

Método de Gauss – escolha de Pivot

− − =

4 1 3 0 20 0 1 1 00 2 2 4 40 1 0 1 0

Resolva pelo método de Gauss o sistema de equações

⏐ = ⏐ = −

(1) (1) (2) (2)

40 1 1 02 2 4 41 0

2 01 0

1 3 0 20001 0

i) Condensação

Troca de linhas (ou seja de equações)

para que o pivot não seja nulo

⏐ = −

(2) (2)

2 2 4 40 1

4 1 3 0 2000

1 01 0 1 0

(2) (2)

2 2 4 40 1 1 01 0 1 0

4 1 3 0 2

b ⏐ = − − − −

(3) (3)

2 2 4 40 1

4 1 3 0 2000

1 00 1 1 2

Método de Gauss – escolha de Pivot

− ⏐ = − − − − = −43

(3) (3) 4 1 3 0 20 2 2 4 4

10 0 1 01 1 20 01 1

b − ⏐ = − − −

(4) (4) 4 1 3 0 20 2 2 4 40 0 1 1 00 0 0 2 2

− ⋅ = − =4 42 2 1x x

ii) Substituição ascendente

= − − −

00 00 0

4 1 3 0 22 2 4 4

1 02 2

− = = =3 4 3 40 1x x x x− ⋅ + ⋅⋅ + ⋅ + ⋅ = = = −3 4

2 3 4 24 (2 4 )

2 2 4 4 12

x xx x x x

− − ⋅⋅ + − ⋅ = = =2 31 2 3 1

2 ( 3 ) 34 3 2

4 2x xx x x x

Em aritmética em ponto flutuante, devido aos arredondamentos, em geral a escolha de pivot é vantajosa mesmo quando o pivot não é nulo

Método de Gauss – importância da escolha de Pivot

b) Resolva agora efectuando escolha de pivot (na mesma com uma mantissa com 4 dígitos)

a) Resolva o sistema pelo método de Gauss utilizando uma mantissa com 4 dígitos, ou seja, simulando os cálculos em FP(10,4,2,A)

0.0003 1.246 1.2490.4370 2.402 1.968

⏐ = − 2

(1 1) 0.0003 1.246 1.2490.4370 2.402 1.968

Considere o sistema de equações

(2) (2)

0.0003 1.246 1.2490 a b

= − × = − − ×(2) (1) (1)22 22 21 12 2.402 1457 1.246a a m a = − −2.402 1815. 422 = −1817. 402

= − × = − ×(2) (1) (1)2 2 21 1 1.968 1457 1.249b b m b = −1.968 1819.793 = −1818. 032= −1.968 1820

= − −2.402 1815

Nota:solução exacta,x1=10, x2=1

i) Condensaçãoa)

= = → =21 210.4370

1456.6(6) 14570.0003

⏐ = − −

(2) (2) 0.0003 1.246 1.2490 1817 1818

−= = → =−2 2

18171.00065 1.001

1818x x

= − −

0.0003 1.246 1.2490 1817 1818

− ⋅⋅ + ⋅ = = 21 2 1

1.249 1.2460.0003 1.246 1.249

0.0003xx x x − ×= 1.249 1.246 1.001

0.0003

−=11.249 1.247 246x

0.0003 = 0.020.0003

= 6.666(6)

A solução obtida é x1=6.667, x2=1.001, enquanto a solução exacta é x1=10, x2=1.

Comparando com a solução exacta verifica-se que o valor obtido para x1 possui 33% de erro.

= 6.667

− ⏐ = 2

(1 (1 0.4370 2.402 1.9680.0003 1.246 1.249

b − ⏐ =

(2) (2)2

(2) (2)

0.4370 2.402 1.9680 a b

− −= = × → = ×4 421 21

0.00036.8649886 10 6.865 10

0.4370m m

−= − × = − × × −(2) (1) (1) 422 22 21 12 1.246 6.865 10 2.402a a m a = +1.246 0.001648973

= 1.248

−= − × = − × ×(2) (1) (1) 42 2 21 1 1.249 6.865 10 1.968b b m b = −1.249 0.001351 032

= +1.246 0.001649

b) Uma forma de minimizar os problemas numéricos é efectuar escolha de pivot

⏐ = −

(1) (1) 0.0003 1.246 1.2490.4370 2.402 1.968

i) Condensação

− ⏐ =

(1) (1) 0.4370 2.402 1.9680.0003 1.246 1.249

Troca de linhas (ou seja de equações)

= 1.247649

= −1.249 0.001351

= 1.247649 = 1.248

para que o pivot tenha maior

valor absoluto

− ⏐ =

(2) (2) 0.4370 2.402 1.9680 1.248 1.248

= = → =2 21.248

1 1.0001.248

0.4370 2.402 1.9680 1.248 1.248

+ ⋅⋅ − ⋅ = = 21 2 1

1.968 2.4020.4370 2.402 1.968

0.4370xx x x + ×= 1.968 2.402 1.000

0.4370

+=11.968 2.402

0.4370x = 4.370

0.4370= 10

A solução obtida é x1=10, x2=1, igual à solução exacta

Tipos de Pivot

− − − − − −

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) 1, 1 1, 1 1, 1, 1, 1,

( ) ( ) ( ) ( ) ( )1, 1 1, 1, 1, 1,

( ) ( ) ( ) ( ), , , ,

k k k k k kk k k p q n

k k k k kk k k k k p k q k n

k k k kk k k p k q k n

k k k kp k p p p q p n

a a a a a aA

a a a a a

a a a a

( ) ( ) ( ) ( ), , ,

( ) ( ) ( ) ( ), , , ,0 0

k k k kq p q q q n

k k k kn k n p n q n n

a a a a

Tipos de pivot: - pivot parcial- pivot total- pivot diagonal

- pivot parcial com patamar

submatrizactiva

Os candidatos a pivot encontram-se na submatriz activa

Pivot parcial( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) 1,1 1, 1 1, 1, 1, 1,

( ) ( ) ( ) ( ) ( )1, 1 1, 1, 1, 1,

( ) ( ) ( ) ( ), , , ,

a a a a a aA

a a a a a

a a a a

− − − − − −

( ) ( ) ( ) ( ), , ,

( ) ( ) ( ) ( ), , , ,0 0

k k k kq p q q q n

a a a a

pivot parcial – os candidatos a pivot são os elementos da coluna k da submatriz activa

( ) ( )Escolher: max k kik pki k

a a≥

Trocar linha com linha p k→

linha p

linha k

coluna k

Algoritmo pivot parcial

# inicialização# linha pi

para # para to

# escolha do elemento pivot# para todos as entradas aba

1 até

ixo de

das as colunas a conde 1

para 1 até s

p kpivot a

k n ai

# 1. escolher pivot

# linha pivot

# troca de linhas# se , então trocar linha com a

e então

se entãopara até

linha # para todas as entradas não nulas das linhas a trocar

a pivotp ipivot a

p k p kkj k n

# para todas as linhas abaixo da linha # factor multiplicativo

para 1 até /

para 1 a ra todos as entradas nté ão nulas dessa

ik ik kk

aux aa aa aux

i k nm a a

# 2. condensação

ij ij ik kja a m a

Pivot total( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) 1,1 1, 1 1, 1, 1, 1,

( ) ( ) ( ) ( ) ( )1, 1 1, 1, 1, 1,

( ) ( ) ( ) ( ), , , ,

a a a a a aA

a a a a a

a a a a

− − − − − −

( ) ( ) ( ) ( ), , ,

( ) ( ) ( ) ( ), , , ,0 0

k k k kq p q q q n

a a a a

pivot total – os candidatos a pivot são todos os elementos da submatriz activa

( ) ( )

,Escolher: max k k

ik pqi j ka a

≥→ =

Trocar linha com linha e trocar coluna com coluna p k q k→

linha p

linha k

coluna qcoluna k

Pivot diagonal( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) 1,1 1, 1 1, 1, 1, 1,

( ) ( ) ( ) ( ) ( )1, 1 1, 1, 1, 1,

( ) ( ) ( ) ( ), , , ,

a a a a a aA

a a a a a

a a a a

− − − − − −

( ) ( ) ( ) ( ), , ,

( ) ( ) ( ) ( ), , , ,0 0

k k k kq p q q q n

a a a a

pivot diagonal – os candidatos a pivot são os elementos da diagonal da submatriz activa

( ) ( )Escolher: max k kii qqi k

a a≥

Trocar linha com linha e trocar coluna com coluna q k q k→

linha q

linha k

coluna qcoluna k

Com pivot diagonal, a simetria duma matriz

simétrica é mantida

Pivot parcial com patamar( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) 1,1 1, 1 1, 1, 1, 1,

( ) ( ) ( ) ( ) ( )1, 1 1, 1, 1, 1,

( ) ( ) ( ) ( ), , , ,

a a a a a aA

a a a a a

a a a a

− − − − − −

( ) ( ) ( ) ( ), , ,

( ) ( ) ( ) ( ), , , ,0 0

k k k kq p q q q n

a a a a

pivot parcial – os candidatos a pivot são os elementos da coluna k da submatriz activa

( ) ( )Escolher: max k kik pki k

a a≥

→ =( ) ( )Trocar linha com linha se: , 0 1k kpk kkp k a aτ τ→ > ≤ ≤

linha p

linha k

coluna k

Com patamar, a troca só é efectuada

se “valer a pena”, i.e., se apk for francamente superior a akk

τ é o valor do patamar

Propriedades

1 0 0 00 1 0 00 0 1 00 0 0 1

(1) A troca de 2 linhas duma matriz A pode ser traduzida pela pré-multiplicação duma matriz de permutação elementar P(e)

(2) A matriz de permutação elementar P(e) pode ser obtida a partir da matriz identidade à qual é efectuada as correspondentes trocas de linhas

Ex: matriz 4x4, matriz elementar de troca das linhas 1 e 3

0 0 00 1 0 0

0 0 01

Linhas1234

Ex: troca das linhas 1 e 3 duma matriz A (4x4)

11 12 13 14 31 32

21 22 23 24 21 22 23 24( )

31 32 33 34

41 42 43 44 41 42 43 44

11 12 1

0 0 00 1 0 0

0 0 00 0 0 11

a a a aa a a a a a a a

A P Aa a a aa a a

a a aa

a a a a

Propriedades

(4) As matrizes de permutação elementar P(e) possuem as seguintes propriedades:

( ) ( )) e ei P P I⋅ = ( )( ) ( ))Te eii P P=

(3) A troca de 2 colunas duma matriz A pode ser traduzida pela pós-multiplicação duma matriz de permutação elementar P(e)

Ex: troca das colunas 2 e 3 duma matriz A (4x4)

11 12 13 14 11 14

21 22 23 24 21 24( )

2 33 34 31 34

41 42 43

44 41 44

1 0 0 00 0 00 0 0

a a a a a aa a a a a a

A A Pa a a a a

aa a a a

aaaa aa

1 0 0 00 1 0 00 0 1 00 0 0 1

Ex: matriz 4x4, matriz elementar de troca das colunas 2 e 3

1 0 0 00 0 00 0 0

Colunas1 2 3 4

1 3 2 4

Propriedades

− = = − − −

3121( ) (1)

1 0 0 0 1 0 0 0 1 0 0 00 0 0 1 0 0 0

)0 0 0 0 1 0 0

0 0 0 1 0 0 1 0 0 1

(5) Troca de 2 linhas duma matriz de factores multiplicativos

1 0 0 01 0 00 1 00 0 1

− = − −

Ex: Seja

e considere-se a troca das linhas 2 e 3

Linhas1234

1 0 0 00 0 00 0 00 0 0 1

Propriedades

− = −

−( ) (1) ( )

1 0 0 01 0 00 1 00 0 1

mM Pou seja

pelo que P(e)M(1)P(e) corresponde a trocar os factores multiplicativos das linhas 2 e 3

− = − −

21( ) (1) ( )

1 0 0 0 1 0 0 0 1 0 0 00 0 0 1 0 0

10 0 0

)0 0 0 0 1 0 0 0 00 0 0 1 0 0 1

e e mii P M P

1 0 0 0 1 0 0 0 1 0 0 00 0 0 0 0 0 0

0 0 0 0 0 0 00 0 1 0 0 0

1 0 01

− −=

− −

Condensação de Gauss com pivot parcial

(1 ) (1) (1)

(2) (1) (1 ) (1) (1) (1)

A M A M P A

0 0 1 00 1 0 01 0 0 00 0 0 1

Ex: Seja A uma matriz (4x4) e considere-se o processo decondensação de Gauss com troca das linhas 1 e 3 na primeirafase da condensação, troca das linhas 2 e 3 na segunda fase etroca das linhas 3 e 4 na terceira fase da condensação

Fase 1 – troca das linhas 1 e 3 seguida de condensação

(2) (1) (1) (1)

(2 ) (2) (2) (2) (1) (1) (1)

(3) (2) (2 ) (2) (2) (1) (1) (1)

A M P A

A P A P M P A

A M A M P M P A

(1) 21

1 0 0 01 0 00 1 00 0 1

− = − −

1 0 0 00 0 1 00 1 0 00 0 0 1

1 0 0 00 1 0 00 1 00 0 1

= − −

11 12 13 14

21 22 23 24

31 32 33 34

41 42 43 44

a a a aa a a aA a a a aa a a a

Condensação de Gauss com pivot parcialAtendendo a que P(2)P(2) = I, podemos reescrever A(3) na forma

(1) (2)

(21)Corresponde atrocar os factoresmultiplicativos de

devido a ,ou seja, a trocar os

coeficientes

(3) (2) (2) (1) (1) (1)

das linhas 2 e 3

3) (2) (2) (1) (1(2) (2) ) (1)

A M P M P A

A M P M P PP A

Linhas1234

(21) (2) (1)

0 0 1 01 0 0 00 1 0 00 0 0 1

P P P = =

(3) (2) (2) (1) (2) (2) (1) (1)

(3 ) (3) (3) (3) (2) (2) (1) (2) (2) (1) (1)

(4) (3) (3 ) (3) (3) (2) (2) (1) (2) (2) (1) (1)

A M P M P P P A

A P A P M P M P P P A

A M A M P M P M P P P A

1 0 0 00 1 0 00 0 0 10 0 1 0

1 0 0 00 1 0 00 0 1 00 0 1

Condensação de Gauss com pivot parcialAtendendo a que P(3)P(3) = I, podemos reescrever A(4) na forma

Linhas1234

(321) (3) (2) (1)

0 0 1 01 0 0 00 0 0 10 1 0 0

P P P P = =

Ou seja, a partir do método de Gauss com pivot parcial, podemos obter uma factorizaçãoPA = LU, onde P é a matriz que considera todas as permutações efectuadas e L é a matrizdos factores multiplicativos tendo em consideração as trocas de linhas efectuadas àposteriori

(2) (3)

Corresponde atrocar os factoresmultiplicativos de

devido a ,ou sej

(4) (3) (3) (2) (2) (1) (2) (2) (

a, a trocar oscoeficientes das

linhas 3 e

1) (1)

(4) (3 (3)) (3) (2) (2) (1) (2)

A M P M P M P P P A

A M P P P M PPM

(1) (3)

(321)Corresponde atrocar os factoresmultiplicativos de

devido a ,ou seja, a trocar os

coeficientes das linhas

) (2(3) ) (1( ) (3

P PP AP

( )( ) ( )(321)

(4) (3) (3) (2) (3) (3) (2) (1) (2) (3) (3) (2) (1) (1)

A M P M P P P M P P P P P A

(4)A M P A =

1 (4)M A P A− = L U P A =

Normas de matrizesNormas de vectores

= + + +1 21 nx x x x

( )= + + +1

2 2 2 21 22 nx x x x norma Euclideana

∞ ==

1, ,max ii n

norma 1

norma do máximo (ou do infinito)

Normas de matrizes (mxn)

≤ ≤=

= 1 11

i jj ni

∞ ≤ ≤=

i ji mj

( )= =

A a norma de Frobenius

Número de condição (de matrizes)Admitindo que existem perturbações nos valores da matriz A e do vector b, então resultam perturbações na solução do sistema x

[ ] { } { }⋅ = → ⋅ =A x b A x b ( ) ( )δ δ δ⋅ = ⇔ + ⋅ + = + A x b A A x x b b

(i) Admitir que apenas existem perturbações no 2º membro (e consequentemente na solução)

( )δ δ⋅ + = +A x x b b δ δ ⋅ + ⋅ = +A x A x b bδ δ⋅ =

A x bA x b

⋅ =A x b = ⋅ ≤ ⋅b A x A x ≤b

δ δ δ δ−⋅ = = ⋅1A x b x A b δ δ δ− − = ⋅ ≤ ⋅1 1x A b A bδ δ− ≤ ⋅1x b

Número de condição (de matrizes)

Tendo em atenção (*),

(ii) Perturbações na matriz A (e consequentemente na solução)

δ δ δ− −≤ ⋅ ≤ ⋅1 1x b bA A

δ δ− ≤ ⋅ ⋅

x bA A

x bδ δ

≤ ⋅cond x b

−= ⋅ 1cond A A AO número de condição duma matriz traduz, em termos relativos,a relação entre as perturbações na solução x e as perturbaçõesno segundo membro b.

Analogamente se demonstra que a relação entre as perturbações na solução x e asperturbações da matriz A também dependem do número de condição da matriz

Um número de condição elevado indica que as perturbações do segundo membro sãoampliadas sobre a solução do sistema

Efeito dos erros de arredondamento

(i) Pivot parcial – em certos casos patológicos γ pode ser muito elevado podendo atingir ovalor máximo de 2n – 1. Contudo, estes casos patológicos são raros e na prática a factorizaçãocom pivot parcial é em geral numericamente estável

Na resolução dum sistema (de dimensão n) em ponto flutuante, devido aosarredondamentos, a factorização obtida não é exactamente igual à matriz original

Pode demonstrar-se que os elementos da matriz erro são majorados por:

matrizdos

L U A E↑

⋅ = +

1ije n u γ α≤ ⋅ ⋅ ⋅1

- constante da ordem da unidade de arredondamento - maior elemento (em módulo) de

- factor de crescimento dos coef. de durante factorizaçãoij

(ii) Pivot total – o majorante de γ cresce lentamente (com o aumento da dimensão dosistema) não se conhecendo casos para os quais seja superior a n. Logo a utilização de pivottotal é numericamente estável.

Efeito dos erros de arredondamentoIntroduzindo o conceito de resíduo,

Atendendo a que

r b A x= − ⋅

onde o número de condição surge novamentecomo factor de ampliação

( )r b A x A x A x A x x A xδ= − ⋅ = ⋅ − ⋅ = ⋅ − = ⋅

1r A x x A rδ δ −= ⋅ = ⋅ δ − = ⋅1x A r 1x A rδ − ≤ ⋅

(de fácil cálculo após se obter )x

x xδ − ≤ ⋅

bA x b A x b x

A⋅ = ⋅ ≥ ≥

Então 1 1x r x rA A

bx x xA

δ δ− −≤ ⋅ ≤ ⋅δ − ≤ ⋅ ⋅

x rA A

δ≤ ⋅cond

x bOu seja

Resumindo, o número de condição da matriz desempenha um papel fundamental nos errosexistente na solução do sistema de equações

Matriz em banda0 0 0 0 0 0 0

0 0 0 0 0 0 0 0 00 0 0 0 0

0 0 0 0 0 0 00 0 0 00 0 0 0 0

0 00 0 0 0 0 0 00 0 0 00 0 0 0 0 0 00 0 0 0 0 00 0 0 0 0 0 0

X XX X XX X X

X X X X XX X

X X X XXX X X X

X XX X X X

X X XX X X X

XX X X X X

X X XX

XXXX X X

largura de banda superior: número de diagonais não nulas, acima da diagonal principal

largura de banda inferior: número de diagonais não nulas, abaixo da diagonal principal

largura de banda = largura de banda superior + largura de banda inferior + 1ou seja, largura de banda é o numero total de diagonais não nulas

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