productos notables

PRODUCTOS NOTABLES MaTheMaTics My Space

Profr. David Mares Hernández http://mathematicsmyspace.blogspot.com

¿Qué es un Producto Notable?

Un producto notable es una serie de operaciones, en álgebra, que siempre dan un resultado parecido y que conociendo su esquema general es posible realizarlas sin la necesidad de estar verificándolas constantemente.

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Algo parecido es…

Un ejemplo similar muy sencillo, en aritmética, seria la tabla de multiplicar del uno, es bien sabido, que cualquier cantidad multiplicada por 1 siempre da el mismo número, así que ya no es necesario que te aprendas todas esas multiplicaciones con esta regla.

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Suma de Binomios al cuadrado

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Ejemplos resueltos: (x + 3)2 = x 2 + 2 (x ·3) + 3 2 = x 2 + 6 x + 9

(x 3 + 6)2 = (x 3) 2 + 2 (x 3 ·6) + 6 2 = x 6 + 12 x 3 + 36

(4x 5 + 6y3)2 = (4x 5)2+ 2(4x 5 ·6y3)+(6y3)2 = 16x10 + 48 x5 y3+ 36y6

Las sumas de binomios al cuadrado también representan áreas de rectángulos:

(a + b)2 = a2 + 2 ab + b2

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Resta de binomios al cuadrado La resta de binomios al cuadrado sigue la misma lógica que la suma, y podemos también generalizarla en una sola regla, es decir:

El resultado nos da:

▫ El cuadrado del primer término , a2 =(a x a)

▫ Dos veces el negativo del primero por el segundo , -2ab = -ab –ab

▫ El cuadrado del segundo término, +b2 = (-b)(-b)

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Ejemplos resueltos: (x - 3)2 = x 2 + 2 (x)(- 3) + (-3)2 = x 2 - 6 x + 9

(x 3 - 6)2 = (x 3) 2 + 2 (x 3)(-6) + (-6) 2 = x 6 - 12 x3 + 36

(4x 5 - 6y3)2 = (4x 5)2+ 2(4x 5)(-6y3)+(-6y3)2 = 16x10 -48 x5 y3+ 36y6

La resta de binomios al cuadrado también se puede representar por áreas de rectángulos:

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Binomios con término en común

Como el nombre nos los dice este producto notable tiene un término idéntico cuando se multiplican los dos binomios, veamos,

El resultado nos da:

▫ El primer término al cuadrado a2=(a x a)

▫ La multiplicación del primer término por la suma de los otros dos ac + ab = (b+c)a

▫ La multiplicación del segundo por el tercer término bc= b x c

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Ejemplos resueltos: (x +3) (x+4) = x 2 +(4)(x)+(3)(x)+ (3)(4)= x2 +(3+4)x +12 = x2+7x + 12

(x +3) (x-4) = x 2 +(-4)(x)+(3)(x)+ (3)(-4)= x2 +(3-4)x -12 = x2- x – 12

(x -3) (x-4) = x 2 +(-4)(x)+(-3)(x)+ (-3)(-4)= x2 +(-3-4)x +12 = x2-7 x + 12

(2x +3)(2x+4)= (2x)2 +(4)(2x)+(3)(2x)+(3)(4)= x2 +(3+4)(2x) +12 = 4x2+14x + 12

(2x +3)(2x-4)= (2x)2 +(-4)(2x)+(3)(2x)+(3)(-4)= x2 +(3-4)(2x) -12 = 4x2-2x + 12

La representación por medio de rectángulos es:

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Binomios Conjugados

Los Binomios Conjugados son aquellos que solo se diferencian por un cambio de signo y solo dan como resultado la resta de los cuadrados de los dos términos, es decir,

Este resultado se da por el siguiente mecanismo:

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Ejemplos resueltos: (x +3) (x-3) = x 2 +(-3)(x)+(3)(x)+ (3)(-3)= x2 +(3-3)x -9 = x2- 9

(2x +3) (2x-3) = (2x) 2 +(-3)(2x)+(3)(2x)+ (3)(-3)= 4x2 +(3-3)(2x) -9 = 4x2- 9

(x 3 +3) (x 3 -3) = (x 3) 2 +(-3)(x 3 )+(3)(x3 )+ (3)(-3)= x6 +(3-3)x 3 -9 = x6- 9

La representación por medio de rectángulos es:

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ACTIVIDAD 1. Realiza las siguientes operaciones de productos notables

y represéntalas por medio de áreas rectangulares. Anota después de cada respuesta a qué producto notable pertenecen

▫ (5x 3 +10) (5x 3 -10) =

▫ (7x5 +3)2 =

▫ (2x 4 +10) (2x 4 - 6) =

▫ (x 7 + 12) (x 7 -12) =

▫ (8x + 5) (8x + 9) =

▫ (x9 - 11)2 =

2. Realiza una conclusión de 20 renglones sobre el vídeo que a continuación se muestra.

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