procesos de renovación

PROCESOS DE RENOVACIÓN

Vivianette Pagán Xaymara Pérez

Definición General

Un Proceso de Renovación es el

proceso de conteo para el cual los

tiempos entre los eventos exitosos

son independientes e

idénticamente distribuidos, con

distribución arbitraria.

Notación

Sea {N(t), t ≥ 0} el proceso de conteo.

Xn denota el tiempo entre (n-1) y el enésimo evento de un proceso, donde n ≥ 1.

Definición Formal

Si una sucesión de variables aleatorias no

negativas {X1, X2,…} es independiente y

está idénticamente distribuida entonces

{N(t), t ≥ 0} es un proceso de

renovación.

Ejemplo

Suponer que tenemos una cantidad infinita de bombillas con tiempo de vida independiente e idénticamente distribuido.

Se utilizará una sola bombilla a la vez y cuando esta falle se sustituirá por una nueva.

Bajo estas condiciones {N(t), t ≥ 0}, es un proceso de renovación donde N(T) representa el número de bombillas que han fallado para el tiempo t.

Para un Proceso de Renovación teniendo tiempos entre llegadas X1, X2,…, sea

S0 = 0

Sn =

será la suma de n variables aleatorias independientes

1

n 1n

ii

X

Ejemplo

Suponer que tenemos una cantidad de 3 bombillas con tiempo de vida independiente e idénticamente distribuido.

Se utilizará una sola bombilla a la vez y cuando esta falle se sustituirá por una nueva.

Bombillas Duración (t)

#1 5 horas

#2 2 horas

#3 7 horas

0 S1 S2 S3

x x xX1 X3X2

Ley Fuerte de los Números Grandes

Sea X1, X2,… una secuencia de variables aleatorias independientes con una distribución en común y sea E[Xi]=μ.

Entonces con probabilidad 1,

nn

XXX n donde ...21

Para un proceso de renovación con media entre renovaciones e intervalos μ con probabilidad 1.

Ley Fuerte de los Números Grandes para la Renovación de los Procesos

tt

tN donde

1)(

Teorema del Límite Central

Provee un método simple para computar

probabilidades aproximadas para la

suma de variables aleatorias

independientes.

Teorema del Límite Central

Teorema:

Sea X1, X2,… una secuencia de variables

aleatoria independientes e idénticamente

distribuidas con promedio μ y varianza σ2.

Entonces la distribución de

tiende al estándar normal según n→∞.Esto es

n

nXXX n

...21

ndxean

nXXXP

a xn donde

2

1

... 221

2

Se normalizará utilizando la siguiente expresión:

)(

][

XVar

XEX

Ejemplo: De Binomial a Aproximación Normal Se tira una moneda justa 40 veces. Si la

Var(X)=10 encuentre la probabilidad de que X=20 usando la aproximación normal.

1272.0}20{

4364.05636.0

16.010

2016.0

10

205.20

10

20

10

205.19

}5.205.19{}20{

XP

XP

XP

XPXP

Teorema del Límite Central para Procesos de Renovación

Para un t grande, N(t) es aproximádamente normal con media t/μ y varianza (t σ2/μ3), donde μ y σ2 son la media y la varianza respectivamente de una distribución entre llegadas.

dxext

ttNP

x x

t

2

32

2

2

1

/

/)(lim

SN(t) -> tiempo de la última renovación antes de o en el tiempo t.

SN(t)+1 -> tiempo de la primera renovación después del tiempo t.

Se lanza una moneda al aire 100 veces, si sale cara le damos el valor 1 y si sale cruz el valor 0.

Cada lanzamiento es una variable independiente que se distribuye según el modelo de Bernouilli, con media 0,5 y varianza 0,25.

Calcular la probabilidad de que en estos 100 lanzamientos salgan más de 60 caras.

Media = 100 * 0,5 = 50 Varianza = 100 * 0,25 = 25

Proceso de Renovación-Recompensa

Cada vez q ocurre un proceso de renovación se recibe una recompensa.

Se denota R(t) como la recompensa que se gana en el tiempo t.

R(t) en un tiempo t solo depende del intervalo particular entre renovaciones q contiene t.

Proceso de Renovación-Recompensa

)(

1

)(tN

nnRtR

• La variable aleatoria R(t) representa el total de recompensa obtenido en el tiempo t.

Ejemplo

Tenemos una gallina mágica que pone huevos en

intervalos de tiempo. A veces pone huevos de

oro, y a veces pone huevos tóxicos que requieren

un proceso de eliminación responsable y

costosos. Las “recompensas“ Rn son las pérdidas

y ganancias financieras resultantes de los huevos

sucesivos (n = 1,2,3,...) y R(t) registra la

recompensa total financiera en el tiempo t.

Vida Residual

Es el intervalo desde n hasta la próxima

época de renovación.

Ejemplo

Sea Y(t) la vida residual en el tiempo t.

Si llegamos a una parada de guagua en el

tiempo t y las guaguas llegan siguiendo un

proceso de renovación entonces Y(t) es el

tiempo que tenemos que esperar para que

llegue la guagua. Se interpreta {Y(t); t ≥ 0}

como un proceso de recompensa.

Proposición

Si E[R] < ∞ y E[X] < ∞, entonces

Con probabilidad 1,

de otro modo

Donde R(t) es una función de renovación-recompensa para un proceso de renovación.

][

][)(lim

XE

RE

t

tRt

][

][)]([lim

XE

RE

t

tREt

Tiempo de Parada

Un tiempo de parada N para una

sucesión de variables aleatorias

independientes X1, X2, …, es un valor

entero positivo aleatorio si el evento

{N=n} es independiente a Xn+1, Xn+2, …

Ejemplo

Considere un proceso Bernoulli. Un árbol representa un conjunto de sucesiones binarias. La regla particular de tiempo de parada para este ejemplo es parar cada vez que ocurra aparición de la cadena (1,0)

Igualdad de Wald

Si X1, X2, … son independientes e

idénticamente distribuidas y tienen una

media finita E(X), y si N es un tiempo de

parada para esta sucesión, entonces

][][1

XENEXEN

ii

Aplicación de la Igualdad de Wald

Simplifica el cálculo del valor esperado

de la suma de una cantidad de números

aleatorios.

Una aplicación es la ciencia actuarial con

la que, al recuperar ciertos datos, se

puede calcular el total esperado de

reclamaciones de seguros individuales.