principio del palomar
Post on 20-Oct-2015
45 Views
Preview:
TRANSCRIPT
-
EL PRINCIPIO DEL PALOMAR
David Palomino Alva Consultor en Educacin Matemtica
dapalomin@yahoo.es
Es posible demostrar que hay al
menos cuarenta ciudadanos limeos
que tienen exactamente el mismo
nmero de cabellos?
Pues s, y es muy sencillo
demostrarlo, primero recolectemos
ciertos datos de importancia, por
ejemplo se sabe que en Lima viven
aproximadamente siete millones de
personas, adems se sabe que el
nmero de cabellos en la cabellera
humana no supera los 150 000.
Supongamos que Defensa Civil ha
ordenado la construccin de refugios
numerados desde el 0 hasta el 150
000, si hay peligro, los limeos deben guarecerse en el refugio cuyo nmero coincida con el
nmero de cabellos que tiene en la cabeza. En un simulacro se pide a los ciudadanos que a la cuenta
de tres, ingresen a los refugios. Fieles a su deber cvico, la totalidad de limeos se ha refugiado en el
lugar correspondiente. La situacin ahora se torna evidente, como el nmero de personas es mayor
que el nmero de refugios, de hecho existirn al menos dos personas dentro de un mismo refugio.
En realidad como el cociente de dividir siete millones entre ciento cincuenta mil, es 46,66, podemos
decir que existen al menos cuarenta limeos que tienen el mismo nmero de cabellos.
Este principio en apariencia tan sencilla fue utilizado inicialmente por el matemtico alemn Peter
Gustav Lejeune Dirichlet, para resolver un tipo de problemas que aparecan con frecuencia en la
teora de nmeros. Desde entonces se utiliza para resolver una variada coleccin de acertijos y
problemas en diversos campos de la matemtica.
Conocido como el principio del palomar, adopta este
nombre debido a un viejo acertijo que reza
aproximadamente este modo:
Hay 40 palomas jugando en una plaza, asimismo
observas que hay exactamente 39 palomares
alrededor. Suena un disparo, y las aves se esconden
rpidamente en los palomares, ninguna queda en la
plaza. Demuestra que hay al menos un palomar
donde se encuentran escondidas 2 palomas.
-
Para comprender mejor este principio y apreciar su versatilidad en la solucin de problemas, vamos
a explorar algunos ejemplos extrados de diversa ramas de la matemtica, te recomendamos que
intentes resolverlos antes de leer la solucin.
LA REUNIN
En una reunin hay 50 personas. Demuestra que existen dos personas que conocen exactamente al
mismo nmero de otros participantes (asumir que si x conoce a y, entonces y conoce a x).
Solucin
Coloquemos unas casillas en las cuales colocamos letreros desde cero hasta 49, en el letrero cero
estarn las personas que no conocen a nadie en la reunin, en el letrero 1 las que conocen
exactamente a una persona, y as sucesivamente hasta que en el letrero 49 estar aquel que conozca
a las 49 personas de la reunin. Reflexionemos algo ms, observamos que no puede haber
simultneamente personas que no conozcan a nadie y que conozcan a las 49 personas, pues si existe
una persona que no conoce a nadie, entonces no puede existir una persona que conozca a los 49
participantes. Entonces la casilla 0 o la 49 debe estar desocupada. Por tanto quedan solo 49 casillas
para colocar a las cincuenta personas de la reunin, y entonces habr una casilla con al menos dos
participantes.
EL CUADRADO
Dibuja un cuadrado de 10 cm de lado, dibuja cinco puntos en su
interior. Demuestra que hay al menos dos puntos de los
dibujados que distan entre s, menos de ocho centmetros.
Solucin:
Es muy sencillo, solo hay que dividir el cuadrado en cuatro partes, mediante
dos verticales como se muestra. Ahora por el principio del palomar, si
tenemos cinco puntos y cuatro regiones, de hecho habr al menos una
regin con dos puntos en su interior o su borde, la distancia mayor entre dos
puntos de la regin es la longitud de la diagonal. En este caso d= 5 2 cm,
esto es aproximadamente 7,07 cm que es menos de 8 cm
NUMERITOS
Escribe en un papel diez nmeros positivos menores que 100. No debes repetir los nmeros.
Demuestra que no importa cual haya sido el conjunto de nmeros escrito, siempre habrn dos
subconjuntos de nmeros que tengan la misma suma. Por ejemplo si escribes:
{56; 25; 3; 27; 2; 34; 54; 7; 89; 12}
Podemos encontrar los subconjuntos: {56; 3; 2} y {54; 7}, de modo que en ambos la suma de sus
elementos es 61.
I II
III IV
-
Solucin
Una vez elegido el conjunto de diez nmeros sabemos que se puede formar 210
- 1 = 1023
subconjuntos no vacos distintos. Cada uno de estos subconjuntos tiene por suma de sus elementos a
una cantidad menor que 1000, ya que lo peor que puede pasar es que escogiramos al conjunto
cuyos elementos son 90, 91,..., 99 y se tiene que 90 + 91 + ...
+ 99 < 1000.
Por lo tanto, por el principio del palomar (aqu hay que distribuir 1023 subconjuntos en cajas
etiquetadas con las sumas de estos subconjuntos, que son como hemos vito menos de 100000, por
tanto por el principio del palomar existen dos subconjuntos cuyas sumas de elementos son iguales,
de hecho pueden haber muchos ms. Ahora bien, estos dos conjuntos podran tener elementos
comunes. Para conseguir que los conjuntos sean disjuntos lo que se hace es eliminar a los elementos
comunes y considerar los nuevos conjuntos que no poseen esos elementos; adems resulta claro que
si al inicio posean igual suma de elementos, luego, al quitar los elementos comunes, siguen
teniendo la misma suma.
CURISOSOS POLIEDROS
Cuenta las aristas alrededor de las caras de un poliedro.
Encontrars que hay dos caras acotadas por el mismo nmero
de aristas. Para probar que esto siempre se cumple basta
investigar qu ocurre cuando las caras se distribuyen en
casillas numeradas 3,4,5,,,n, de modo que una cara con n
aristas se coloque en la casilla correspondiente. Ya que las
aristas separan a las caras de un poliedro, una cara con el
mximo nmero de bordes n es as mismo rodeada por n
caras, esto implica que el poliedro debe tener n +1 caras.
Entonces por el principio del palomar alguna caja debe
contener al menos dos caras con el mismo nmero de aristas rodeadas
TEOREMA DE RAMSEY
En una circunferencia se dan 6 puntos. Se unen dos a dos
obtenindose varios segmentos. Si vas pintando los segmentos de
rojo o de verde, a tu antojo, los hagas como lo hagas, siempre al
final encontrars tres segmentos que forman un tringulo cuyos tres
lados son del mismo color. Es muy divertido experimentar con este
teorema, prubalo a ver si se te ocurre un modo de demostrarlo.
Solucin:
Llama a los puntos 1,2,3,4,5,6 y pntalos as:
Los segmentos que parten de 1 son 12, 13,14, 15, 1,6. Al pintarlos
unos quedarn rojos otros verdes, pero como son cinco en total al menos habr tres del mismo
color. Supn que hay tres rojos y que son 13,14,15, ahora observa, si 34 es rojo entonces el
tringulo 134 es todo rojo y tienes lo que deseabas. Si 45 es rojo entonces el tringulo 145 es rojo lo
que finaliza la prueba. Pero si 45 es verde y 35 rojo, el tringulo 135 es rojo, pero si ninguno (45 y
35) es rojo, el tringulo 345 es verde, y tambin finaliza la prueba. Entonces de cualquier forma
siempre existe un tringulo con los tres lados de un mismo color.
-
Tomando como punto de partida este teorema el matemtico Gustave Simmons invent el juego de
Sim. Es un juego de estrategia pura, en el que participan dos jugadores. Se traza en una hoja de
papel una circunferencia y se seleccionan sobre ella seis puntos. Cada jugador tiene un lpiz de un
color determinado. Por turnos los jugadores unen un par de puntos con segmentos rectos de su
color. Pierde la partida, el que se ve obligado a formar un triangulo de su mismo color. La figura
muestra una partida que usa los colores rojo y azul. El teorema de Ramsey nos garantiza que este
juego no puede nunca terminar en empate.
Pese a la aparente sencillez del juego, hasta el da de hoy se desconoce una estrategia que garantice
la victoria del primer o segundo jugador. Experimenten con este juego tal vez sean los primeros en
descubrir alguna estrategia.
Una partida de Sim en la que gan el color verde
top related