EL PRINCIPIO DEL PALOMAR

David Palomino Alva Consultor en Educacin Matemtica

dapalomin@yahoo.es

Es posible demostrar que hay al

menos cuarenta ciudadanos limeos

que tienen exactamente el mismo

nmero de cabellos?

Pues s, y es muy sencillo

demostrarlo, primero recolectemos

ciertos datos de importancia, por

ejemplo se sabe que en Lima viven

aproximadamente siete millones de

personas, adems se sabe que el

nmero de cabellos en la cabellera

humana no supera los 150 000.

Supongamos que Defensa Civil ha

ordenado la construccin de refugios

numerados desde el 0 hasta el 150

000, si hay peligro, los limeos deben guarecerse en el refugio cuyo nmero coincida con el

nmero de cabellos que tiene en la cabeza. En un simulacro se pide a los ciudadanos que a la cuenta

de tres, ingresen a los refugios. Fieles a su deber cvico, la totalidad de limeos se ha refugiado en el

lugar correspondiente. La situacin ahora se torna evidente, como el nmero de personas es mayor

que el nmero de refugios, de hecho existirn al menos dos personas dentro de un mismo refugio.

En realidad como el cociente de dividir siete millones entre ciento cincuenta mil, es 46,66, podemos

decir que existen al menos cuarenta limeos que tienen el mismo nmero de cabellos.

Este principio en apariencia tan sencilla fue utilizado inicialmente por el matemtico alemn Peter

Gustav Lejeune Dirichlet, para resolver un tipo de problemas que aparecan con frecuencia en la

teora de nmeros. Desde entonces se utiliza para resolver una variada coleccin de acertijos y

problemas en diversos campos de la matemtica.

Conocido como el principio del palomar, adopta este

nombre debido a un viejo acertijo que reza

aproximadamente este modo:

Hay 40 palomas jugando en una plaza, asimismo

observas que hay exactamente 39 palomares

alrededor. Suena un disparo, y las aves se esconden

rpidamente en los palomares, ninguna queda en la

plaza. Demuestra que hay al menos un palomar

donde se encuentran escondidas 2 palomas.

Para comprender mejor este principio y apreciar su versatilidad en la solucin de problemas, vamos

a explorar algunos ejemplos extrados de diversa ramas de la matemtica, te recomendamos que

intentes resolverlos antes de leer la solucin.

LA REUNIN

En una reunin hay 50 personas. Demuestra que existen dos personas que conocen exactamente al

mismo nmero de otros participantes (asumir que si x conoce a y, entonces y conoce a x).

Solucin

Coloquemos unas casillas en las cuales colocamos letreros desde cero hasta 49, en el letrero cero

estarn las personas que no conocen a nadie en la reunin, en el letrero 1 las que conocen

exactamente a una persona, y as sucesivamente hasta que en el letrero 49 estar aquel que conozca

a las 49 personas de la reunin. Reflexionemos algo ms, observamos que no puede haber

simultneamente personas que no conozcan a nadie y que conozcan a las 49 personas, pues si existe

una persona que no conoce a nadie, entonces no puede existir una persona que conozca a los 49

participantes. Entonces la casilla 0 o la 49 debe estar desocupada. Por tanto quedan solo 49 casillas

para colocar a las cincuenta personas de la reunin, y entonces habr una casilla con al menos dos

participantes.

EL CUADRADO

Dibuja un cuadrado de 10 cm de lado, dibuja cinco puntos en su

interior. Demuestra que hay al menos dos puntos de los

dibujados que distan entre s, menos de ocho centmetros.

Solucin:

Es muy sencillo, solo hay que dividir el cuadrado en cuatro partes, mediante

dos verticales como se muestra. Ahora por el principio del palomar, si

tenemos cinco puntos y cuatro regiones, de hecho habr al menos una

regin con dos puntos en su interior o su borde, la distancia mayor entre dos

puntos de la regin es la longitud de la diagonal. En este caso d= 5 2 cm,

esto es aproximadamente 7,07 cm que es menos de 8 cm

NUMERITOS

Escribe en un papel diez nmeros positivos menores que 100. No debes repetir los nmeros.

Demuestra que no importa cual haya sido el conjunto de nmeros escrito, siempre habrn dos

subconjuntos de nmeros que tengan la misma suma. Por ejemplo si escribes:

{56; 25; 3; 27; 2; 34; 54; 7; 89; 12}

Podemos encontrar los subconjuntos: {56; 3; 2} y {54; 7}, de modo que en ambos la suma de sus

elementos es 61.

I II

III IV

Solucin

Una vez elegido el conjunto de diez nmeros sabemos que se puede formar 210

- 1 = 1023

subconjuntos no vacos distintos. Cada uno de estos subconjuntos tiene por suma de sus elementos a

una cantidad menor que 1000, ya que lo peor que puede pasar es que escogiramos al conjunto

cuyos elementos son 90, 91,..., 99 y se tiene que 90 + 91 + ...

+ 99 < 1000.

Por lo tanto, por el principio del palomar (aqu hay que distribuir 1023 subconjuntos en cajas

etiquetadas con las sumas de estos subconjuntos, que son como hemos vito menos de 100000, por

tanto por el principio del palomar existen dos subconjuntos cuyas sumas de elementos son iguales,

de hecho pueden haber muchos ms. Ahora bien, estos dos conjuntos podran tener elementos

comunes. Para conseguir que los conjuntos sean disjuntos lo que se hace es eliminar a los elementos

comunes y considerar los nuevos conjuntos que no poseen esos elementos; adems resulta claro que

si al inicio posean igual suma de elementos, luego, al quitar los elementos comunes, siguen

teniendo la misma suma.

CURISOSOS POLIEDROS

Cuenta las aristas alrededor de las caras de un poliedro.

Encontrars que hay dos caras acotadas por el mismo nmero

de aristas. Para probar que esto siempre se cumple basta

investigar qu ocurre cuando las caras se distribuyen en

casillas numeradas 3,4,5,,,n, de modo que una cara con n

aristas se coloque en la casilla correspondiente. Ya que las

aristas separan a las caras de un poliedro, una cara con el

mximo nmero de bordes n es as mismo rodeada por n

caras, esto implica que el poliedro debe tener n +1 caras.

Entonces por el principio del palomar alguna caja debe

contener al menos dos caras con el mismo nmero de aristas rodeadas

TEOREMA DE RAMSEY

En una circunferencia se dan 6 puntos. Se unen dos a dos

obtenindose varios segmentos. Si vas pintando los segmentos de

rojo o de verde, a tu antojo, los hagas como lo hagas, siempre al

final encontrars tres segmentos que forman un tringulo cuyos tres

lados son del mismo color. Es muy divertido experimentar con este

teorema, prubalo a ver si se te ocurre un modo de demostrarlo.

Solucin:

Llama a los puntos 1,2,3,4,5,6 y pntalos as:

Los segmentos que parten de 1 son 12, 13,14, 15, 1,6. Al pintarlos

unos quedarn rojos otros verdes, pero como son cinco en total al menos habr tres del mismo

color. Supn que hay tres rojos y que son 13,14,15, ahora observa, si 34 es rojo entonces el

tringulo 134 es todo rojo y tienes lo que deseabas. Si 45 es rojo entonces el tringulo 145 es rojo lo

que finaliza la prueba. Pero si 45 es verde y 35 rojo, el tringulo 135 es rojo, pero si ninguno (45 y

35) es rojo, el tringulo 345 es verde, y tambin finaliza la prueba. Entonces de cualquier forma

siempre existe un tringulo con los tres lados de un mismo color.

Tomando como punto de partida este teorema el matemtico Gustave Simmons invent el juego de

Sim. Es un juego de estrategia pura, en el que participan dos jugadores. Se traza en una hoja de

papel una circunferencia y se seleccionan sobre ella seis puntos. Cada jugador tiene un lpiz de un

color determinado. Por turnos los jugadores unen un par de puntos con segmentos rectos de su

color. Pierde la partida, el que se ve obligado a formar un triangulo de su mismo color. La figura

muestra una partida que usa los colores rojo y azul. El teorema de Ramsey nos garantiza que este

juego no puede nunca terminar en empate.

Pese a la aparente sencillez del juego, hasta el da de hoy se desconoce una estrategia que garantice

la victoria del primer o segundo jugador. Experimenten con este juego tal vez sean los primeros en

descubrir alguna estrategia.

Una partida de Sim en la que gan el color verde