principales productos notables

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PRINCIPALES PRODUCTOS NOTABLES 1.- BINOMIO SUMA O DIFERENCIA AL CUADRADO

(a b)2 = a

2 2ab + b

2

Trinomio Cuadrado Perfecto

EJERCICIOS

a) (3x+1)

2 = h) (5x+3)

2 =

b) (x2+3y)

2 = i) ( 3 x+5)

2 =

c) (5x2 + 1/8 ) = j) (0,2+x)

2 =

d) (x–13)2 = k) (x

3–2y)

2 =

e) (x6– 3 )

2 = l) (–x–13)

2 =

f) (–3 – x)2 = m) (x

4 – 3y

2)2 =

g) (x11

+ 8)2 =

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EJERCICIOS

a) ( )2 = x

2 – 4x + 4

b) ( )2 = x

2 + 22x + 121

c) ( )2 = 4x

2 – 12x + 9

d) x2 – 18x + 81 = ( )

2

e) x2 + 0,6x + 0,09 = ( )

2

f) x2 – 4 3 x + 12 = ( )

2

g) ( )2 = x

2 + 12x + 36

h) ( )2 = x

2 + 6x + 9

i) ( )2 = 9x

2 + 6x + 1

j) ( )2 = 25x

2 + 20x + 4

k) ( )2 = x

2 – 2 7 x + 7

l) ( )2 = x

2 – 16x + 64

m) ( )2 = x

2 – 26x + 169

n) ( )2 = x

2 + 24x + 144

o) ( )2 = 9x

2 – 24x + 16

p) ( )2 =

29x

4 + 3x + 1

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2.- DIFERENCIA DE CUADRADOS

“El producto de la suma por la diferencia de dos binomios es igual al cuadrado del primero menos el cuadrado del segundo”. Al segundo miembro de esta igualdad se denomina Diferencia de Cuadrados.

EJERCICIOS

a) (5x2 + 2)(5x

2 – 2)

b) (7y + 4)(7y – 4)

c) (6+x)(x–6)

d) (3x+4)(3x–4)

e) (1–x2)(1+x

2)

f) (x+8)(x–8)

g) ( 5 +x)(x– 5 )

h) 2 2

x 4 x 43 3

i) 1 1

x x2 2

j) (x3 + z

2)(x

3 – z

2)

k) (5x3y

– 3)(5x

3y+3)

l) ( 11x – 7 )( 11x + 7 )

m) (2–3x4)(2+3x

4)

n) ( 2 3 )( 2 3 )

o) 2 2 2 25 5

x 2y x 2y3 3

p) ( 7 6 )( 7 6 )

(a+b)(a–b) = a2 – b2

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3.- Producto de dos Binomios con un término común

EJERCICIOS

a) (x+2)(x+5) =

b) (x+9)(x–8) =

c) (x+1)(x+3) =

d) (x–9)(x+4) =

e) (2x+1)(2x+4) =

f) (5x+7)(5x–3) =

g) (6x+1)(6x–6) =

h) (4x–1)(4x–7) =

i) (x+7)(x+5) =

j) (2x2–3)(2x

2+4) =

k) (3x2–4)(3x

2–5) =

l) (x+4)(x+2) =

m) (x+7)(x–5) =

n) ( 3 x+2)( 3 x–3) =

o) (2xy3–8)(2xy

3+6) =

p) (x–6)(x+4) =

q) (x3+4)(x

3–10) =

(x+a)(x+b) = x2 + (a+b)x +a.b

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4.- CUADRADO DE UN TRINOMIO

EJERCICIOS

a) (x+y+2)2 =

b) (x-y-3)2 =

c) (x2+x–2)

2 =

d) (4x–y–1)2 =

e) (x+2y+5)2 =

f) (x3+2x+4)

2 =

g) (1+2x+x)2 =

h) (x2+2x–1)

2 =

i) (4+x–x2)2 =

j) (2x3–3x

2–4)

2 =

k) (x+y+2)2 =

l) (x6–x

3–1)

2 =

m) (4–x–x4)2 =

n) (2x2–3–x)

2 =

o) (2x–x3+3)

2 =

p) (3x+y+5)2 =

(a + b + c)2 = a2 + b2 + c2 + 2ab + 2ac + 2bc

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5.- SUMA DE CUBOS

EJERCICIOS

a) (x+4)(x²-4x+16)

b) (x+7)(x²-7x+49)

c) (x4+2)(x

8+2x

4+4)

d) (x²+8)(x4-8x

2+64)

e) (2x6+9)(4x

12-18x

6+81)

f) (0,3x+7)(0,09x²-4,2x+49)

g) (x²+3)(x4-3x²+9)

h) (x5+6)(x

10-6x

5+36)

i) (5x3+1)(25x

6-5x

3+1)

(a+b)(a2–ab+b2) = a3 + b3

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6.- DIFERENCIA DE CUBOS

EJERCICIOS

a) (x²-8)(x4+8x

2+64)

b) (x-4)(x²+4x+16)

c) (x-7)(x²+7x+49)

d) (x4-2)(x

8+2x

4+4)

e) (x4–2)((x

8+2x

4+4)

f) (0,5x–3)(0,25x2+1,5x+9)

g) (2x6 –9)(4x

12+18x

6+81)

h) (x2–8)(x

4+

8x

2+64)

i) (2x6-9)(4x

12+18x

6+81)

j) (7x-3)(49x2+21x+9)

k) (0,5x-3)(0,25x2+1,5x+9)

l) (x–6)(x2+6x+36)

(a–b)(a2+ab+b2) = a3 – b3

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7.- IDENTIDADES DE LEGENDRE

EJERCICIOS

EJERCICIOS

a) (x + 2)2 – (x – 2)

2

b) (3x – 1)2 + (3x + 1)

2

c) (x + 7)2 – (x – 7)

2

d) (x + 8)2 + (x – 8)

2

e) (5x + 4)2 + (5x – 4)

2

f) (2x – 11)2 + (2x + 11)

2

g) (9x + 3)2 + (9x – 3)

9

h) (4x + 1)2 – (4x – 1)

2

i) (2x3 + 6)

2 – (2x

3 – 6)

2

j) (2 – x4)2 – (2 + x

4)2

k) (ax2 + b

2)2 – (ax

2 – b

2)2

(a+b)2 + (a-b)2 = 2(a2+b2) (a+b)2 – (a-b)2 = 4ab

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PROBLEMAS NIVEL I

01.- Desarrollar: E = (x + 2)2 - (x - 2)

2

a) 6x b) 7x c) 8x d) 5x e) N. A.

02.- Desarrollar: E = (x + 3)2 - (x - 3)

2

a) 13x b) 12x c) 14x d) 15x e) N.A.

03.- Desarrollar: E = (2x+1)2 - (2x-1)

2

a) 8x b) 7x c) 6x d) 9x e) N.A.

04.- Desarrollar: P = (2x+3)2 - (2x-3)

2

a) 23x b) 24x c) 25x d) 27x e) N.A.

05.- Calcular: E = (9 x)(9 x) (x 9)(x 9)

a) 1 b) 0 c) 3 d() 5 e) 7

06.- Efectuar: R = (x+4)(x-4) - (x+3)(x-3)

a) -7 b) +7 c) -6 d) +6 e) N.A.

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07.- Efectuar:

2 2 2 2(a b) (a 2b) (a 3b) 14b

a) 5a b) 2 a c) 7a d) 3 a e) NA

08.- Desarrollar: E = (x+5)(x-5) - (x+4)(x-4)

a) +9 b) -9 c) -5 d) +5 e) N.A.

09.- Desarrollar: E = (x+3)2 + (x-3)

2 - 2x

2

a) 13 b) 18 c) 12 d) 11 e) 7

10.- Desarrollar: E = (x+5)2 + (x-5)

2 - 50

a) 3x2 b) 2x

2 c) 4x

2 d) 5x

2 e) N.A.

11.- Desarrollar:

E = (x+4)(x-4) - (4-x)(4+x) + 32

a) 3x2 b) 5x

2 c) 6x

2 d) 2x

2 e) N.A.

12.- Efectuar:

R = (x+y)(x-y) + (y-z)(y+z)

a) x2+z

2 b) x

2-z

2 c) z

2-x

2 d) y

2+z

2 e) N.A.

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13.- Calcular: E = 2 2 2 2(a b) (a 2b) 2a 6ab 5b

a) a2 b) b

2 c) 0 d) ab e) a

2+b

2

14.- Efectuar: E = (x+1)3 - (x-1)

3 - 2

a) 6x2 b) 5x

2 c) 4x

2 d) 3x

2 e) N.A.

15.- Efectuar: E = 2 2[ (x 3y) (x 3y) ].3xy

a) 3xy b) x2+y c) x+y

2 d) 6xy e) NA

16.- Calcular: E = (x+2)3 + (x-2)

3 - 24x

a) 2x2 b) 2x

3 c) 2x d) 3 e) N.A.

17.- Efectuar: E = (x+2a)2 - (x-2a)

2

a) 4xa b) 8xa c) 6xa d) xa e) N.A.

18.- Efectuar:

E = (x+1)3 + (x+1)

2 - 4x

2 - 5x – 2

a) x2 b) x

3 c) x d) 2x e) x

4

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19.- Efectuar:

E = (x-1)3 + (x+1)

3 - 2x

3

a) 4x b) 3x c) 6x d) 7x e) N.A.

20.- Calcular: E = (a+b)2 - (a-b)

2

a) 4ab b) 3ab c) 2ab d) ab e) N.A.

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Formulas - Repaso

01.- (x+y)2 = x2 + 2xy + y2

02.- (x+y)(x–y) = x2 – y2

03.- (x+a)(x+b) = x2 + (a+b)x + a.b

04.- (x+y)(x2–xy+y2) = x3 + y3

05.- (x-y)(x2+xy+y2) = x3 – y3

06.- (x+y)2+(x-y)2 = 2(x2+y2)

07.- (x+y+z)2 = x2 + y2 + z2 + 2(x+y)(x+z)(y+z)

08.- (a ± b)3 = a3 ± 3a2b + 3ab3 ± b3

(a ± b)3 = a3 ± b3 ± 3ab(a ± b)

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Ejemplo 1:

Reducir:

2 2E (x x 7) (x 1)(x 2)(x 3)(x 4)

Solución: Hacemos: x

2 + x = a

Entonces:

2 2 2 2

2

2 2

E (x x 7) (x x 2)(x x 12)

E (a 7) (a 2)(a 12)

E a 14a 49 a 14a 24

E 49 24

E 25

E 5

Ejemplo 2:

Reducir: E= 2( 2 a)(a 2)(2 a ) 4

Solución:

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2

22 2

2 2

4

4

E (a 2)(a 2)(2 a ) 4

E (a 2 )(a 2) 4

E (a 2)(a 2) 4

E a 4 4

E a

Ejemplo 3: Efectuar: (x+4)

2 – (x+1)

2 – 6x

Solución: Utilizando las fórmulas: E = x

2 + 2(x)(4) + 4

2 – [ x

2 + 2(x)(1) +1

2 ] – 6x

E = x

2 + 8x + 16 – [ x

2 + 2x + 1] – 6x

E = x2 + 8x + 16 – x

2 – 2x – 1 – 6x

E = 15 Ejemplo 5: Reducir:

2 4 88E 1 3(2 1)(2 1)(2 1)

Solución:

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2 4 88

2 2 4 88

4 4 88

8 88

8 16

8 16

2

E 1 3(2 1)(2 1)(2 1)

E 1 (2 1)(2 1)(2 1)(2 1)

E 1 (2 1)(2 1)(2 1)

E 1 (2 1)(2 1)

E 1 2 1

E 2

E 2

E 4

PROBLEMAS

NIVEL I

01.- Hallar el equivalente:

E = (x-2)2 + (x-3)

2 + (x-4)

2 + 18x – 29

a) x2 b) 2x

2 c) 3x

2 d) 4x

2 e) N.A.

02.- Calcular:

E = (a+1)2 + (a+2)

2 + (a+3)

2 – 3a

2 -12a

a) 14 b) 13 c) 12 d) 11 e) N. A.

03.- Efectuar:

R = (b-1)2 + (b-2)

2 + (b-3)

2 + 12b – 14

a) 2b2 b) b

2 c) 3b

2 d) 7b

2 e) N. A.

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04.- Efectuar: E = (x + 9)(x + 3) - (x + 6)2

a) 27 b) 9 c) 18 d) -9 e) 63

05.- Reducir: A = (x+1)(x+5) + (x+3)(x+7) - 2(x+4)2

a) -4 b) 5 c) -5 d) -6 e) 64

06.- Reducir: Si: m-n = 8

E = 2(m 3n) 4n(2n m) 8

a) 36 b) 32 c) 72 d) 64 e) 90

07.- Reducir:

E = (3x+2)2 + (2x+3)

2 - (2x-3)

2 - (3x-2)

2

a) 12x b) 24x c) 6x d) 48x e) 0

08.- Reducir:

E = (x+3)(x-3) + (x+5)(x-5) + (2-x)(x+2) + (6-x)(x+6)

a) 1 b) 3 c) 6 d) 9 e) 12

09.- Reducir:

E = (x+a)(x2+a

2)(x

4+a

4)(x-a) + a

8

a) x4 b) x

8 c) x

8 – a

8 d) a

8 e) –a

8

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10.- Efectuar:

E = 2

a 2 a 8 a 5 10

a) 1 b) 2 c) 3 d) 4 e) N.A.

11.- Calcular:

E = 2 22x x 1 x 1 x 1

a) 2 x b) 3x c) 3 x d) 5x e) N.A.

12.- Efectuar:

R = 2 23x x 1 x 1 5x 1 2x

a) 5x b) 3x c) 4x d) 2x e) N.A.

13.- Calcular:

E = 2 2x 2x 1 x 2 x 3x 4

a) -2x b) 2x c) 3x d) -3x e) N.A.

14.- Efectuar, sabiendo que: x > 0

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CICLO PROPEDEUTICO ADMINISTRACIÓN 19

P = 2x x 2 x x 1 x 3x

a) x b) x c) x2 d) 2x e) N.A.

15.- Calcular:

E = m m 2 m m 2 4m

a) m b) 0 c) m2 d) 1 e) N.A.

16.- Operar:

a.- (x3 + y

5) (x

2 + y

4) =

b.- (5x + 2y) (2x – 4y) =

c.- (4x2 – 3y

2) (5x

2 + 2y

2) =

d.- (2x – 3xy + 5y) (3x – y) =

e.- (x + 5) (x + 3) =

f.- (x – 5) (x + 4) =

g.- (x + 9) (x - 5) =

h.- (x – 3) (x – 2) (x2 + 2x – 3) =

17.- Si se cumple:

m n 17 ; mn = 2

Calcular:

“m2 + n

2 + m – n”

a) 15 b) 17 c) 16 d) 18 e) 14

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18.- Señalar cuántos enunciados son verdaderos:

I. (x + 5)2 = x

2 + 25

II. (x + 3) (x - 2) = x2 – 9

III. (x + 5) (x – 2) = x2 – 10

IV. (a – x)2 = (x - a)

2

V. 3 2 3 2 1

a) 1 b) 2 c) 3 d) 4 e) 5

19.- Señalar verdadero (v) o falso (f).

I. (x + y) (x – y) = x2 – y

2

II. (m + 3) (m + 2) = m2 + 6

III. (p – 2) (p – 3) = p2 – 5p + 6

a) VVV b) VFF c) VVF d) VFV e) FVV

20.- Si: m + n = 5 ; mn = 2

Hallar: “m2 + n

2”

a) 25 b) 27 c) 31 d) 21 e) 19

21.- El área del cuadrado de lado “(x+y)” es 8 veces el área de un

triángulo de base “x” y altura “y” , calcular el valor de:

4 4

2 2 2 2 2 2

(x y) (x y)E

(2x y ) (2x y )

a) 1 b) 2 c) 3 d) 4 e) 8

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22.- Si se cumple: a/b + b/a = 4

Hallar el valor de:

4 2 2

2 2

(a b) 4a bE

16a b

a) 1 b) 2 c) 1/2 d) 1/3 e) NA

23.- Calcular:

E = 2 4 8 16321 3 2 1 2 1 2 1 2 1

a) 32 b) 16 c) 8 d) 4 e) 2