presión lateral de suelo
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PRESIÓN LATERAL DE TIERRA
PRESIÓN DE TIERRA EN REPOSOPRESIÓN DE TIERRA EN REPOSO
o
hoK
''
Peso especifico del suelo = f = c + tan
´h = Ko´o
z
A
B
yoo
hh
Como ´o = z, tenemos
´h = Ko (z)
Para suelos de grano grueso, el coeficiente de presión de tierra en reposo se estima por la relación empírica (Jaki,1944)
Ko = 1 – sen
Donde = ángulo de fricción efectiva. Para suelo de grano fino, normalmente consolidados,Massarsch (1979) sugirió la siguiente ecuación para Ko :
100(%)42.044.0 IPKo
Donde OCR = tasa de preconsolidación. La tasa de preconsolidación se define como
OCR = presión de preconsolidaciónpresión de sobrecarga efectiva presente
La magnitud de Ko en la mayoría de los suelos varia entre 0.5 y 1.0, con valoresmayores para arcillas fuertemente preconsolidadas.
Para arcillas preconsolidadas, el coeficiente de presión de tierra en reposo se aproxima por
OCRKK daeconsolidanormalmentodadapreconsolio
PRESIÓN DE TIERRA EN REPOSO PARA UN SUELO SECOPRESIÓN DE TIERRA EN REPOSO PARA UN SUELO SECO
H
Peso específico del suelo =
Ko H
2
21 HKP oo
3H
H
H1
H2
Ko(H1 + ’H2)
Peso específico saturadodel suelo = sat
Peso específico del suelo =
wH2
KoH1
Nivel de Agua freática
-(a) (b)
F
E
J K
A
B
I
G
z
+
C
PRESIÓN DE TIERRA EN REPOSO PARA UN SUELO PARCIALMENTE PRESIÓN DE TIERRA EN REPOSO PARA UN SUELO PARCIALMENTE SUMERGIDOSUMERGIDO
=
H1
H2
KoH1
Distribución de la presión de tierra en reposo para un suelo parcialmente sumergidoDistribución de la presión de tierra en reposo para un suelo parcialmente sumergido
Ko(H1 + ’H2) + wH2
(c)
Presión efectiva vertical = )( 11 HzHo
)( 11 HzHKK oooh
)( 1Hzu w
uhh
)()( 111 HzHzHK wo
2221
21 )(
21
21 HKHHKHKP woooo
22
2221
21 2
21 HHHHHKP woo
o
Presión efectiva horizontal =
Presión total horizontal =
TEORIA DE RANKINE DE LAS PRESIONES DE TIERRA , ACTIVA Y PASIVATEORIA DE RANKINE DE LAS PRESIONES DE TIERRA , ACTIVA Y PASIVA
Peso especifico del suelo = f = c + tan
´h
z
A
B
A´
B´(a)
L
´O
Presión activa de tierra de RankinePresión activa de tierra de Rankine
Esfuerzo normal
(b)
Presión activa de tierra de RankinePresión activa de tierra de Rankine
c
A
Esf
uerz
o no
rmal
D´
D
OC
f = c + tan
OKoOa
a
b
TEORIA DE RANKINE DE LAS PRESIONES DE TIERRA , ACTIVA Y PASIVATEORIA DE RANKINE DE LAS PRESIONES DE TIERRA , ACTIVA Y PASIVA
OCAOCD
ACCDsen
Pero
CD = radio del círculo de falla =2
ao
AO = c cot
y
2aoOC
Por lo que
2cot
2ao
ao
csen
22cos aoao senc
o
o
senc
sensen
oa
1cos2
11
TEORIA DE RANKINE DE LAS PRESIONES DE TIERRA , ACTIVA Y PASIVATEORIA DE RANKINE DE LAS PRESIONES DE TIERRA , ACTIVA Y PASIVA
Pero
o presión de sobrecarga efectiva vertical = z
245tan
11 2
sensen
y
245tan
1cos
sen
Sustituyendo la expresión anterior en la ecuación obtenemos
245tan2
245tan2 cza
La Variación de a con la profundidad. Para suelos sin cohesión, c = 0 y
245tan 2 oa
2
45tan2
o
aaK
La razón de a respecto a o se llama coeficiente de presión de tierra activa de Rankine,Ka,o
aKc2
c2 tan )
245(
z
(c)
aa KczK 2
(d)
245
245
TEORIA DE RANKINE DE LAS PRESIONES DE TIERRA ACTIVATEORIA DE RANKINE DE LAS PRESIONES DE TIERRA ACTIVA
ESTADO PASIVO DE RANKINEESTADO PASIVO DE RANKINE
Peso especifico del suelo = f = c + tan
´h
z
A
B
A´
B´(a)
L
´O
Presión pasiva de tierra de RankinePresión pasiva de tierra de Rankine
Esfuerzo Normal
f = c + tan
Esf
uerz
o N
orm
al
o
O
Presión pasiva de tierra de RankinePresión pasiva de tierra de Rankine
C
D
D
A
(b)
p
b
Koo
a
245tan2
245tan 2 cop
245tan2
245tan2 cz
La derivación es similar a la del estado activo de Rankinee
245tan2 op
o
245tan2
po
p K
TEORIA DE RANKINE DE LAS PRESIONES DE TIERRA PASIVATEORIA DE RANKINE DE LAS PRESIONES DE TIERRA PASIVA
z
pKc2 pzK
(c)
(d)
245
245
TEORIA DE RANKINE DE LAS PRESIONES DE TIERRA , ACTIVA Y PASIVATEORIA DE RANKINE DE LAS PRESIONES DE TIERRA , ACTIVA Y PASIVA
EFECTO DE LA CEDENCIA DEL MUROEFECTO DE LA CEDENCIA DEL MURO
Muro de retención en voladizoMuro de retención en voladizo
245 245
z
C´A
H
A´
B
(a)
LaLa
245
H
A
Lp
A
Lp
C245
245
Rotación de un muro sin fricción respecto al fondoRotación de un muro sin fricción respecto al fondo
(b)
Presión activa a
Presión en reposo
Variación de la magnitud de la presión lateral de tierra con la inclinación del muroVariación de la magnitud de la presión lateral de tierra con la inclinación del muro
Presión pasivap
Pre
sión
de
tierr
a
Inclinacióndel muro
La
HInclinacióndel muro
LP
H
DIAGRAMAS PARA LA DISTRIBUCIÓN DE LA PRESIÓN LATERAL DE TIERRA CONTRA DIAGRAMAS PARA LA DISTRIBUCIÓN DE LA PRESIÓN LATERAL DE TIERRA CONTRA MUROS DE RETENCIÓNMUROS DE RETENCIÓN
RELLENO. SUELO SIN COHESIÓN CON SUPERFICIE HORIZONTAL DEL TERRENORELLENO. SUELO SIN COHESIÓN CON SUPERFICIE HORIZONTAL DEL TERRENO
zKaaa (Nota: c = 0)
HKaa
2
21 HKP aa
Caso Activo
Cuña defalla
H
245
c = 0
3H
(a)
H
KaH
Pa
a=a
Cuña de falla
H
245
c = 0
(b)
KpH
3H
Pp
Hp=p
Caso Pasivo
HK ppp
2
21 HKP pp
RELLENO. SUELO SIN COHESIÓN PARCIALMENTE SUMERGIDO SOPORTANDORELLENO. SUELO SIN COHESIÓN PARCIALMENTE SUMERGIDO SOPORTANDOSOBRECARGASOBRECARGA
Caso Activo
oaa K
qKaaa y
1Hqoo
1HqKaaa
y
Donde o y a son las presiones efectivas vertical y latera, respectivamente. En z = 0
qoo
A la profundidad z = H1,
Donde =sat - w. La Variación de a con la profundidad se muestra .
La presión lateral sobre le muro de la presión de poro entre z = 0 y H1 es 0, y para z > H1, esta aumenta linealmente con la profundidad. En z = H,
2Hu w
El diagrama de la presión lateral total a´, es la suma de los diagramas de presión mostrados. La FuerzaActiva total por longitud unitaria del muro es el área del diagrama de la presión total. Entonces,
2221
21 2
121 HKHHKHkqHKP waaaaa
21 HHqo y
21 HHqKaa
A la profundidad z = H,
H1
H2
H
45+ 2
Z
Nivel del Agua Freática
Cuña de falla
Sobrecarga = q
sat
(a)
+
H1
H2
21 HHqKa
qKHK aa 1
a =
2Hw
u a
1HqKa 22 HHK wa
(b) (c) (d)
Distribución de la presión activa de tierra de Rankine contra un muro de retención con rellenoDistribución de la presión activa de tierra de Rankine contra un muro de retención con rellenoDe un suelo sin cohesión parcialmente sumergido y soportando una sobrecargaDe un suelo sin cohesión parcialmente sumergido y soportando una sobrecarga
qKa
Caso Pasivo
opp pK
2221
21 2
121 HKHHKHKqHKP wppppp
RELLENO, SUELO COHESIVO CON RELLENO HORIZONTALRELLENO, SUELO COHESIVO CON RELLENO HORIZONTAL
Caso Activo
azaa KcK 2
02 aoa KczK
ao K
cz
2o
Para la condición no drenada, esto es, = 0, Ka = tan245° = 1, y c = cu (cohesión no drenada)tenemos
u
ocz 2
Entonces con el tiempo, se desarrollaran grietas de tensión en la interfaz suelo-muro hasta unaProfundidad zo
H1
H2
H
45 - 2
Z
Nivel del Agua Freática
Cuña de falla
Sobrecarga = q
sat
(a)
+
H1
H2
21 HHK p
qKHK aa 1
p =
2Hw
u p
1HqK p 22 HHK wp
(b) (c) (d)
qKa
pqK
Distribución de la presión pasiva de tierra de Rankine contra un muro de retención con rellenoDistribución de la presión pasiva de tierra de Rankine contra un muro de retención con rellenoDe un suelo sin cohesión parcialmente sumergido y soportando una sobrecargaDe un suelo sin cohesión parcialmente sumergido y soportando una sobrecarga
H
45+ 2
Cuña de falla
(a)
Z
HKa
Distribución de la presión activa de tierra de Rankine contra un muro de retención con Distribución de la presión activa de tierra de Rankine contra un muro de retención con relleno de un suelo cohesivo relleno de un suelo cohesivo
aKc2
(d)
aa KcHK 2
H - =
aKc2
zo
H - zo
a
(c)(b)
La Fuerza activa total por longitud unitaria de muro se encuentra del área del diagrama depresión total
cHKHKP aaa 221 2
Para la condición = 0
HcHP ua 221 2
aaaa K
cHcKHKP
2221
22 22
21 ccHKHK aa
Para el cálculo de la fuerza activa total, es común tomar en cuenta las grietas de tensión. Comono existe contacto entre suelo y el muro hasta una profundidad de zo después del desarrollo de grietas de tensión, la distribución de la presión activa contra el muro entre z = 2cl(Ka) y , H es la única considerada. En este caso
Para la condición = 0,
22 22
21 u
uaCHcHP
Caso Pasivo
Muestra el mismo muro de retención con relleno similar al considerado. La presión pasiva deRankine contra el muro a la profundidad z se da por [ecuación]
cKzK ppp 2
En z = 0,
cK pp 2
Y en z = H,
cKHK ppp 2
H
45 - 2
Cuña de falla
(a)
Z
Distribución de la presión activa de tierra de Rankine contra un muro de retención conDistribución de la presión activa de tierra de Rankine contra un muro de retención conRelleno de un suelo cohesivoRelleno de un suelo cohesivo
(b)
p
pKc2 HK p
La fuerza pasiva por longitud unitaria del muro se encuentra con el área de los diagramas de presión como
cHKHKpP pp 221 2
Para la condición = 0, Kp = 1 y
HcHP up 221 2
EJEMPLO
Calcule las fuerzas activa y pasiva de Rankine por unidad de longitud del muro mostrado en la figura 9.14a, y determine también la posición de la resultante
Solución Para determinar la fuerza neta, ya que c = 0, tenemos
zKK aoaa
31
301301
11
sensen
sensenKa
5 m = 15.7 KN/m3
= 30°c = 0
(a)
5 m
26.2kN/m2
(b)
65.5 KN/m2
1.67 m
1.67 m
5 m
235.5 kN/m2
(c)
588.8 kN/m
El diagrama de la distribución de presión se muestra
Fuerza activa
2.26521aP
mkN /5.65
La distribución de la presión total triangula, y entonces Pa actuara a una distancia de 5/3 = 1.67 arriba del fondo delmuro.Para determinar la fuerza pasiva, c = 0, por lo que
zKK poppp
35.015.01
11
sensenK p
En z = 0, p = 0; en z = 5m, p = 3(15.7)(5) = 235.5 kN/m2.
La distribución de la presión pasiva total el muro se muestra. ahora
mkNPp /8.5885.235521
La resultante actuara a una distancia de 5/3 = 1.67 m arriba del fondo del muro.
EJEMPLO 2
Si el muro de retención mostrado no puede moverse, ¿Cuál será la fuerza lateral por longitud unitaria del muro?
Solución si el muro no puede moverse, el relleno ejercerá una presión de tierra en reposo. Entonces
zKKhh ooo
senKo 1
o
5.0301 senKo
Y en z = 0, h = 0; en 5m, h = (0.5)(5)(15.7) = 39.3 kN/m2
El diagrama de distribución de presión total se muestra
mkNPo /3.983.39521
EJEMPLO 3
Un muro de retención que tiene un relleno de arcilla blanda y saturada, se muestra. Para la condición no drenada ( = 0) del relleno, determine los siguientes valores:
a. La profundidad máxima de la grieta de tensiónb. Pa antes de que ocurra la grieta de tensiónc. Pa después de que ocurra la grieta de tensión
5 m
39.3 kN/m2
98.3 KN/m
1.67 m
Arcilla blanda saturada
= 15.7 kN/m3 = 0Cu = 17 kN/m2
6 m
(a)
2.17m
3.83m
60.2 kN/m2
(b)
34 kN/m2
Solución Para = 0, Ka = tan245° = 1c y c = cu. De la ecuación, para la condición no drenada, tenemos
ua cz 2
En z = 0,
2/341722 mkNcua
En z = 6m,
2/2.6017267.15 mkNa
La variación de a con la profundidad se muestra
a. De la ecuación, la profundidad de la grieta de tensión es igual a
mcz uo 17.2
7.151722
b. Antes de que ocurra la grieta de tensión
HcHP ua 221 2
o
mkNPa /6.78617267.1521 2
c. Después de que ocurre la grieta de tensión,
mkNPa /3.1152.6017.2621
Nota: La Pa precedente también se obtiene sustituyendo los valores apropiados en la ecuación
EJEMPLO 4
Se muestra un muro de retención sin fricción.
a. Determine la fuerza activa Pa, después de que ocurre la grieta de tensión.b. ¿Cuál es la fuerza pasiva, Pp?
Solución
a. Dado = 26°, tenemos
39.0261261
11
sensen
sensenKa
De la ecuación
aoaaa KcK 2
153.6 kN/m2
51.2kN/m2
(c)
4 – z = 2.96m
17.31kN/m2
(b)
z=1.04m
-6.09kN/m2
4m
= 15kN/m3
= 26°
c = 8kN/m2
(a)
q = 10 kN/m2
En z = 0
2/09.699.99.339.0821039.0 mkNaa
En z = 4 m
99.93.2739.0821541039.0 aa
2/31.17 mkN
De este diagrama vemos que
zz
431.1709.6
o
mz 04.1
Después de que ocurre la grieta de tensión
mkNzPa /62.2531.1796.22131.174
21
Dado = 26°, tenemos
56.25616.04384.1
261261
11
sensen
sensenK p
De la ecuación
2/2.516.256.25856.221056.2 mkNpp
De nuevo, en z = 4m, o = (10 + 4 x 15) = 70 Kn/m2 y
2/8.204856.227056.2 mkNpp
En z = 0, o = 10 Kn/m2 y
cKK poppp 2
La distribución de p (=p). La fuerza lateral por longitud unitaria de muro es
mkNPp /5122.3078.2046.15342142.51
EJEMPLO
Se muestra un muro de retención. Determine la fuerza activa de Rankine, Pa, por longitud unitaria De muro. Determine también la posición de la resultante
Solución dado c = 0, sabemos que a = Kao. Para el estrato superior del suelo, el coeficiente de presión activa de tierra de Rankine es
31
301301
1
sensenKK aa
1.2mArena
1 = 16.5kN/m3, 1 = 30°, c1= 0
Nivel agua freática6m
(a)
Arena 2 (peso especifico saturado) = 19.2 Kn/m3
2 = 35°C2 = 0
Mur
o si
n fri
cció
n
Para el estrato inferior,
271.05736.14264.0
351351
2
sensenKK aa
En z = 0, o = o = 0. En z = 1.2m ( justo dentro del fondo del estrato superior), o = o = (1.2)(16.5) = 19.8 Kn/m2
21 /6.68.19
31 mkNK oaaa
De nuevo, en z = 1.2 m (en el estrato inferior) o = o = (1.2)(16.5) = 19.8kN/m2, y
22 /37.58.19271.0 mkNK oaaa
En z = 6 m,
2/87.6481.92.198.45.162.1 mkNo
y
22 /58.1787.64271.0 mkNK oaa
La variación de a con la profundidad se muestra. Las presiones laterales de agua de poro son como sigue
En z = 0, u = 0
En z = 1.2m, u = 0
En z = 6m, u = (4.8)(w) = (4.8)(9.81) = 47.1 kN/m2
(b) (c)
+
5.371.2
0
617.58 47.1
6
1.2
0a (kN/m2) u (kN/m2)
z (m
)
z (m
)
6.6
1.2
6
1.8m
64.685.37
6.6
a (kN/m2)0
z (m
)=
(d)
Pa
1
2
3
La variación de u con la profundidad se muestra, y la variación de ( presión activa total) entonces
37.568.648.42137.58.42.16.6
21
aP
mkN /08.17234.14278.2596.3
La posición de la resultante se puede encontrar tomando momentos respecto al fondo del muro. Asíentonces
mz 8.1
08.17238.434.1424.278.25
32.18.496.3
MURO DE RETENCIÓN CON FRICCIÓNMURO DE RETENCIÓN CON FRICCIÓN
3H
(a) Caso activo (+)
C
B
H
A
DA
(b)
245
245
+
Pa
3H
(c) Caso activo (-)
C
B
H
A
DA245
2
45
-
Efecto de la friccion del muro sobre la superficie de falla.Efecto de la friccion del muro sobre la superficie de falla.
(e)
3H
(d) Caso pasivo (+)
C
B
H
ADA2
45 2
45
+
Pp
3H
(f) Caso pasivo (-)
C
B
H
A245
-
245
A
A
TEORIA DE LA PRESION DE TIERRA DE COULOMBTEORIA DE LA PRESION DE TIERRA DE COULOMB
Caso Activo
H
W
90+-
90 - +
Pa
-
D
A
C
F
B
(a)
Presión activa de Coulomb: (a) cuña de falla de prueba; (b) polígono de fuerzasPresión activa de Coulomb: (a) cuña de falla de prueba; (b) polígono de fuerzas
90 + + - +
F
-
W
90 - -
Pa
(b)
La ley de los senos, tenemos
senP
senW a
90
o
Wsen
senPa
90
La ecuación precedente se puede escribir en la forma
90cos
coscos21
22
sensensenHPa
Donde = peso especifico del relleno. Los valores de , H, , , , y son constantes, y es la unicaVariable. Para determinar el valor crítico de para Pa, máxima, tenemos
0d
dPa
Después de resolver la Ec., cuando la relación de se sustituye en la Ec., obtenemos la presiónactiva de tierra de Coulomb como
2
21 HKP aa
Donde Ka es el coeficiente de la presión activa de tierra Coulomb, dado por
2
2
2
coscos1coscos
cos
sensenKa
Caso Pasivo
2
21 HKP pp
Donde Kp = coeficiente de presión de tierra pasiva para caso de Coulomb, o
2
2
2
coscos1coscos
cos
sensenK p
H
W
90 + +
90 - +
A
C
B
(a)
Pp
F
F
[180 - (90 - + ) – ( + )]
Pp
90 - +
+
W
(b)
Presión pasiva de coulomb:
(a) Cuña de falla de prueba
(b) Polígono de fuerzas
ANALISIS APROXIMADO DE LA FUERZA ACTIVA SOBRE MUROS DE RETENCIÓNANALISIS APROXIMADO DE LA FUERZA ACTIVA SOBRE MUROS DE RETENCIÓN
2
21 HKP aa
Donde
245tan
11 2
sensenKa
H
Wc
B
3H
Pa (coulomb)
A
(a)
H
Wc
B
A
(o)Wc
3H
Ws
Pa (Rankine)
C1
KaH
H
Wc
3H
Pa (coulomb)
A
(o)
(b)
H
Wc
B
A
Wc
3H
Ws
Pa (Rankine)
C2
H
Análisis aproximado de la fuerza activa sobre muros de retención de gravedad con relleno granularAnálisis aproximado de la fuerza activa sobre muros de retención de gravedad con relleno granular
B
El valor de Pa(Rankine) se da por la relación
221 HKP aa
Donde 2BCH y
22
22
coscoscoscoscoscoscos
245(tan
11 2
sensenKa
Donde = talud de superficie del terreno
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