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Jenny Alexandra Cifuentes Quintero, 22 de noviembre de 2009 Señales y sistemas I - p. 1/23
SEÑALES Y SISTEMAS I
Jenny Alexandra Cifuentes Quintero
UNIVERSIDAD NACIONAL DE COLOMBIA22 de noviembre de 2009
TransformadaZDefinición
Propiedades
TransformadaZ de funcionescomunes
Aplicaciones
Jenny Alexandra Cifuentes Quintero, 22 de noviembre de 2009 Señales y sistemas I - p. 2/23
Definición
La transformada Z da una descripción en el dominio de lafrecuencia para sistemas discretos. Así
f [n]!"F (z)
La transformada Z se define como
Z{f [n]} = F (z) =!X
n=0
f [n]z"n
Z"1{F (z)} = f [n] =1
2!j
IF (z)zk"1dz
Donde Z{f [n]} es la transformada de Laplace y Z"1{F (z)} es latransformada inversa.
TransformadaZ
PropiedadesLinealidadCorrimiento en tiempoDiferencias negativasDiferencias positivasMultiplicación por an entiempo discreto
Multiplicación por e!naT
en tiempo discretoTeorema del valor inicialTeorema del valor final
TransformadaZ de funcionescomunes
Aplicaciones
Jenny Alexandra Cifuentes Quintero, 22 de noviembre de 2009 Señales y sistemas I - p. 3/23
Linealidad
La propiedad de linealidad se satisface si contando con
f1[n], f2[n], ..., fn[n]
Con transformada Z
F1(z), F2(z), ..., Fn(z) yc1, c2, ..., cn
son constantes arbitrarias, se satisface
c1f1[n] + c2f2[n] + ... + cnfn[n] !" c1F1(z) + c2F2(z) + ... + cnFn(z)
Proof 1 Aplicamos la definición para la transformada Z
Z{c1f1[n] + c2f2[n] + ... + cnfn[n]} ="X
n=0
(c1f1[n] + c2f2[n] + ... + cnfn[n])z!n
= c1
"X
n=0
f1[n]z!n + c2
"X
n=0
f2[n]z!n + ... + cn
"X
n=0
fn[n]z!n
= c1F1(z) + c2F2(z) + ... + cnFn(z)
TransformadaZ
PropiedadesLinealidadCorrimiento en tiempoDiferencias negativasDiferencias positivasMultiplicación por an entiempo discreto
Multiplicación por e!naT
en tiempo discretoTeorema del valor inicialTeorema del valor final
TransformadaZ de funcionescomunes
Aplicaciones
Jenny Alexandra Cifuentes Quintero, 22 de noviembre de 2009 Señales y sistemas I - p. 4/23
Corrimiento en tiempo
Si hay un corrimiento en tiempo esto corresponde a una multiplicación porz"m en el dominio de la frecuencia.
f [n ! m]µ(n ! m) "# z"mF (z)
Proof 2 Aplicamos la definición para la transformada Z
Z{f [n ! m]µ[n ! m]} =!X
n=m
f [n ! m]z"n
Sustituimos k = n ! m
Z{f(t ! a)µ(t ! a)} =!X
k=0
f [k]z"(k+m)
Z{f(t ! a)µ(t ! a)} = z"m!X
k=0
f [k]z"k
Z{f(t ! a)µ(t ! a)} = z"mF [z]
TransformadaZ
PropiedadesLinealidadCorrimiento en tiempoDiferencias negativasDiferencias positivasMultiplicación por an entiempo discreto
Multiplicación por e!naT
en tiempo discretoTeorema del valor inicialTeorema del valor final
TransformadaZ de funcionescomunes
Aplicaciones
Jenny Alexandra Cifuentes Quintero, 22 de noviembre de 2009 Señales y sistemas I - p. 5/23
Diferencias negativas
f [n # m] !" z!mF (z) +m!1X
n=0
f [n # m]z!n
Proof 3 Aplicamos la definición para la transformada Z
Z{f [n # m]} ="X
n=0
f [n # m]z!n
Sustituimos k = n # m
Z{f [n # m]} ="X
k=!m
f [k]z!(k+m)
Z{f [n # m]} ="X
k=!m
f [k]z!kz!m
Z{f [n # m]} =z!m"X
k=!m
f [k]z!k
Z{f [n # m]} =z!m
2
4!1X
k=!m
f [k]z!k +"X
k=0
f [k]z!k
3
5
TransformadaZ
PropiedadesLinealidadCorrimiento en tiempoDiferencias negativasDiferencias positivasMultiplicación por an entiempo discreto
Multiplicación por e!naT
en tiempo discretoTeorema del valor inicialTeorema del valor final
TransformadaZ de funcionescomunes
Aplicaciones
Jenny Alexandra Cifuentes Quintero, 22 de noviembre de 2009 Señales y sistemas I - p. 6/23
Diferencias negativas
Z{f [n # m]} =z!m
2
4!1X
k=!m
f [k]z!k + F (z)
3
5
Como k = n # m =" n = k + m
Z{f [n # m]} =z!m
"m!1X
n=0
f [n # m]zm!n + F (z)
#
Z{f [n # m]} =m!1X
n=0
f [n # m]z!n + z!m[F (z)]
Con m = 1
Z{f [n # 1]}{f [n # 1]} = z!1F (z) + f [#1]
Con m = 2
Z{f [n # 2]} = z!2F (z) + f [#2] + f [#1]z!1
TransformadaZ
PropiedadesLinealidadCorrimiento en tiempoDiferencias negativasDiferencias positivasMultiplicación por an entiempo discreto
Multiplicación por e!naT
en tiempo discretoTeorema del valor inicialTeorema del valor final
TransformadaZ de funcionescomunes
Aplicaciones
Jenny Alexandra Cifuentes Quintero, 22 de noviembre de 2009 Señales y sistemas I - p. 7/23
Diferencias positivas
f [n + m] !" zmF (z) +!1X
n=!m
f [n + m]z!n
Proof 4 Aplicamos la definición para la transformada Z
Z{f [n + m]} ="X
n=0
f [n + m]z!n
Sustituimos k = n # m
Z{f [n + m]} ="X
k=m
f [k]z!(k!m)
Z{f [n + m]} ="X
k=m
f [k]z!kzm
Z{f [n + m]} =zm
" "X
k=0
f [k]z!k #m!1X
k=0
f [k]z!k
#
Z{f [n + m]} =zm
"F (z) #
m!1X
k=0
f [k]z!k
#
TransformadaZ
PropiedadesLinealidadCorrimiento en tiempoDiferencias negativasDiferencias positivasMultiplicación por an entiempo discreto
Multiplicación por e!naT
en tiempo discretoTeorema del valor inicialTeorema del valor final
TransformadaZ de funcionescomunes
Aplicaciones
Jenny Alexandra Cifuentes Quintero, 22 de noviembre de 2009 Señales y sistemas I - p. 8/23
Diferencias positivas
Como k = n + m =# n = k ! m
Z{f [n + m]} =zm
2
4F (z) !"1X
n="m
f [n + m]z"(n+m)
3
5
Z{f [n + m]} =zm[F (z)] !"1X
n="m
f [n + m]z"n
Con m = 1
Z{f [n + 1]} = zF (z) ! zf [0]
Con m = 2
Z{f [n + 2]} = z2F (z) ! z2f [0] ! f [1]z
TransformadaZ
PropiedadesLinealidadCorrimiento en tiempoDiferencias negativasDiferencias positivasMultiplicación por an entiempo discreto
Multiplicación por e!naT
en tiempo discretoTeorema del valor inicialTeorema del valor final
TransformadaZ de funcionescomunes
Aplicaciones
Jenny Alexandra Cifuentes Quintero, 22 de noviembre de 2009 Señales y sistemas I - p. 9/23
Multiplicación por an en tiempo discreto
anf [n] !" F!z
a
"
Proof 5 Aplicamos la definición de transformada Z
Z{anf [n]} =$#
k=0
anf [n]z#n
Z{anf [n]} =$#
k=0
1a#n
f [n]z#n
Z{anf [n]} =$#
k=0
f [n]!z
a
"#n
Z{anf [n]} = F!z
a
"
TransformadaZ
PropiedadesLinealidadCorrimiento en tiempoDiferencias negativasDiferencias positivasMultiplicación por an entiempo discreto
Multiplicación por e!naT
en tiempo discretoTeorema del valor inicialTeorema del valor final
TransformadaZ de funcionescomunes
Aplicaciones
Jenny Alexandra Cifuentes Quintero, 22 de noviembre de 2009 Señales y sistemas I - p. 10/23
Multiplicación por e#naT en tiempo discreto
e#naT f [n] !" F$eaT z
%
Proof 6 Aplicamos la definición de transformada Z
Z{e#naT f [n]} =$#
k=0
e#naT f [n]z#n
Z{e#naT f [n]} =$#
k=0
f [n](eaT z)#n
Z{anf [n]} = F$eaT z
%
TransformadaZ
PropiedadesLinealidadCorrimiento en tiempoDiferencias negativasDiferencias positivasMultiplicación por an entiempo discreto
Multiplicación por e!naT
en tiempo discretoTeorema del valor inicialTeorema del valor final
TransformadaZ de funcionescomunes
Aplicaciones
Jenny Alexandra Cifuentes Quintero, 22 de noviembre de 2009 Señales y sistemas I - p. 11/23
Teorema del valor inicial
f [0] = lımz#!
F (z)
Proof 7 Para todo n $ 1, si z % & entonces
z"n =1
zn!% 0
Bajo estas condiciones f [n]z"n !% 0. tomando el limite cuando z !% &en
F (z) =!X
n=0
f [n]z"n
entonces
lımz"#!
(F (z)) =!X
n=0
lımz"#!
„f [n]
1
zn
«
Solo existe valor cuando n=0
lımz"#!
(F (z)) = f(0)
TransformadaZ
PropiedadesLinealidadCorrimiento en tiempoDiferencias negativasDiferencias positivasMultiplicación por an entiempo discreto
Multiplicación por e!naT
en tiempo discretoTeorema del valor inicialTeorema del valor final
TransformadaZ de funcionescomunes
Aplicaciones
Jenny Alexandra Cifuentes Quintero, 22 de noviembre de 2009 Señales y sistemas I - p. 12/23
Teorema del valor final
f [#] = lımz#1
(a $ 1)F (z)
Proof 8 Considere la transformada Z de la secuenciaf [n + 1] $ f [n]
Z{f [n + 1] $ f [n]} =!X
n=0
(f [n + 1] $ f [n])z"n
Z{f [n + 1] $ f [n]} = lımk"#!
kX
n=0
(f [n + 1] $ f [n])z"n
ComoZ{f [n + 1]} = zF (z) $ zf [0]
Sustituyendo
zF (z) $ zf(0) $ F (z) = lımk"#!
kX
n=0
(f [n + 1] $ f [n])z"n
TransformadaZ
PropiedadesLinealidadCorrimiento en tiempoDiferencias negativasDiferencias positivasMultiplicación por an entiempo discreto
Multiplicación por e!naT
en tiempo discretoTeorema del valor inicialTeorema del valor final
TransformadaZ de funcionescomunes
Aplicaciones
Jenny Alexandra Cifuentes Quintero, 22 de noviembre de 2009 Señales y sistemas I - p. 13/23
Teorema del valor final
Tomando el limite cuando z #% 1 tenemos
lımz!#1
{(z # 1)F (z) # zf(0)} = lımz!#1
{ lımk!#"
kX
n=0
(f [n + 1] # f [n])z!n}
lımz!#1
{(z # 1)F (z) # zf(0)} = lımk!#"
{kX
n=0
lımz!#1
(f [n + 1] # f [n])z!n}
lımz!#1
(z # 1)F (z) # lımz!#1
zf(0) = lımk!#"
"kX
n=0
lımz!#1
{f [n + 1] # f [n]z!n}#
lımz!#1
(z # 1)F (z) # f(0) = lımk!#"
"kX
n=0
{f [n + 1] # f [n]}#
lımz!#1
(z ! 1)F (z) ! f(0) = lımk!#"
[f[1] + f[2] + ... + f[k + 1] ! f[0] ! f[1] ! ... ! f[k]]
lımz!#1
(z # 1)F (z) # f(0) = lımk!#"
[#f [0] + f [k + 1]]
lımz!#1
(z # 1)F (z) # f(0) = #f [0] + f [$]
lımz!#1
(z # 1)F (z) = f [$]
TransformadaZ
Propiedades
TransformadaZ de funcionescomunesSecuencia geométricaPaso unitario µ[n]Secuencia exponencial entiempo discretoCoseno y seno en tiempodiscretoFunción rampa
Aplicaciones
Jenny Alexandra Cifuentes Quintero, 22 de noviembre de 2009 Señales y sistemas I - p. 14/23
Secuencia geométrica
La secuencia geométrica está definida como
f [n] =
&0 n < 0an n $ 0
De la definición de transformada Z
F (z) =$#
n=0
f [n]z#n
F (z) =$#
n=0
anz#n
F (z) =$#
n=0
(az#1)n
Esta sumatoria converge a1
1 # (az)#1=
z
z # a
TransformadaZ
Propiedades
TransformadaZ de funcionescomunesSecuencia geométricaPaso unitario µ[n]Secuencia exponencial entiempo discretoCoseno y seno en tiempodiscretoFunción rampa
Aplicaciones
Jenny Alexandra Cifuentes Quintero, 22 de noviembre de 2009 Señales y sistemas I - p. 15/23
Paso unitario µ[n]
La secuencia geométrica está definida como
µ[n] =
&0 n < 01 n $ 0
De la definición de transformada Z
F (z) =$#
n=0
f [n]z#n
F (z) =$#
n=0
1z#n
F (z) =$#
n=0
(z#1)n
Esta sumatoria converge a1
1 # (z)#1=
z
z # 1
TransformadaZ
Propiedades
TransformadaZ de funcionescomunesSecuencia geométricaPaso unitario µ[n]Secuencia exponencial entiempo discretoCoseno y seno en tiempodiscretoFunción rampa
Aplicaciones
Jenny Alexandra Cifuentes Quintero, 22 de noviembre de 2009 Señales y sistemas I - p. 16/23
Secuencia exponencial en tiempo discreto
f [n] = e#naT µ[n]
De la definición de transformada Z
F (z) =$#
n=0
f [n]z#n
F (z) =$#
n=0
e#naT z#n
F (z) =$#
n=0
(e#aT z#1)n
Esta sumatoria converge a1
1 # e#aT z#1=
z
z # e#aT
TransformadaZ
Propiedades
TransformadaZ de funcionescomunesSecuencia geométricaPaso unitario µ[n]Secuencia exponencial entiempo discretoCoseno y seno en tiempodiscretoFunción rampa
Aplicaciones
Jenny Alexandra Cifuentes Quintero, 22 de noviembre de 2009 Señales y sistemas I - p. 17/23
Coseno y seno en tiempo discreto
Seaf1[n] = cos(naT )
yf2[n] = sin(naT )
Para derivar la transformada Z de f1[n] y de f2[n] se usa
e!naT =z
z # e!aT
Hallemos la transformada de
Z[ejnaT ] = Z[cos(naT ) + j sin(naT )] =z
z # ejaT
Z[cos(naT ) + j sin(naT )] =z
z # ejaT
z # e!jaT
z # e!jaT
Z[cos(naT ) + j sin(naT )] =z2 # ze!jaT
z2 # zejaT # ze!jaT + 1
Z[cos(naT ) + j sin(naT )] =z2 # ze!jaT
z2 # 2z“
ejaT +e!jaT
2
”+ 1
Z[cos(naT ) + j sin(naT )] =z2 # z(cos(aT ) # j sin(aT ))
z2 # 2z cos aT + 1
TransformadaZ
Propiedades
TransformadaZ de funcionescomunesSecuencia geométricaPaso unitario µ[n]Secuencia exponencial entiempo discretoCoseno y seno en tiempodiscretoFunción rampa
Aplicaciones
Jenny Alexandra Cifuentes Quintero, 22 de noviembre de 2009 Señales y sistemas I - p. 18/23
Coseno y seno en tiempo discreto
Finalmente
Z[cos(naT ) + j sin(naT )] =z2 ! z cos(aT ) + j sin(aT ))
z2 ! 2z cos aT + 1
La parte real corresponde a la transformada del coseno y la parteimaginaria a la del seno
cos naT =z2 ! z cos aT
z2 ! 2z cos aT + 1
sin naT =z sin aT
z2 ! 2z cos aT + 1
TransformadaZ
Propiedades
TransformadaZ de funcionescomunesSecuencia geométricaPaso unitario µ[n]Secuencia exponencial entiempo discretoCoseno y seno en tiempodiscretoFunción rampa
Aplicaciones
Jenny Alexandra Cifuentes Quintero, 22 de noviembre de 2009 Señales y sistemas I - p. 19/23
Función rampa
f [n] = nµ[n]
Como ya conocemos el resultado del paso unitario
Zµ(n) =z
z ! 1=
!X
n=0
z"n
Derivamos a ambos lados con respecto a z
d
dz
„z
z ! 1
«=
d
dz
!X
n=0
z"n
!
!1
(z ! 1)2=
!X
n=0
!nz"(n+1)
Finalmente de esta expresión tenemos!X
n=0
nz"n =z
(z ! 1)2
TransformadaZ
Propiedades
TransformadaZ de funcionescomunes
AplicacionesSolución de ecuaciones dediferenciasEjercicios
Jenny Alexandra Cifuentes Quintero, 22 de noviembre de 2009 Señales y sistemas I - p. 20/23
Solución de ecuaciones de diferencias
Resolver la ecuación de diferencias
y[k + 2] + 3y[k + 1] + 2y[k] = 5µ[k]
Con condiciones iniciales y(0) = #1 y y(1) = 2! Aplicamos la transformada Z a cada término de la ecuación
Z{y[k + 2] + 3y[k + 1] + 2y[k]} = Z{5µ[k]}
[z2Y (z) # z2y(0) # zy(1)] + 3[zY (z) # zy(0)] + 2Y (z) = 5z
z # 1
Y (z)(z2 + 3z + 2) =5z
z # 1+ z2y(0) + zy(1) + 3zy(0)
Y (z)(z2 + 3z + 2) =5z
z # 1# z2 + 2z # 3z
Y (z)(z2 + 3z + 2) =5z
z # 1# z2 # z
Y (z)(z2 + 3z + 2) =5z # z3 + z2 # z2 + z
z # 1
Y (z) =#z3 + 6z
(z # 1)(z2 + 3z + 2)
TransformadaZ
Propiedades
TransformadaZ de funcionescomunes
AplicacionesSolución de ecuaciones dediferenciasEjercicios
Jenny Alexandra Cifuentes Quintero, 22 de noviembre de 2009 Señales y sistemas I - p. 21/23
Solución de ecuaciones de diferencias
! Hallamos la expresión Y (z)z
Y (z)
z=
#z2 + 6
(z # 1)(z2 + 3z + 2)
Y (z)
z=
#z2 + 6
(z # 1)(z + 1)(z + 2)
! Aplicamos fracciones parciales
Y (z)
z=
A
z # 1+
B
z + 1+
C
z + 2
A = (z # 1)#z2 + 6
(z # 1)(z + 1)(z + 2)
˛˛z=1
=#z2 + 6
(z + 1)(z + 2)
˛˛z=1
=5
6
B = (z + 1)#z2 + 6
(z # 1)(z + 1)(z + 2)
˛˛z=!1
=#z2 + 6
(z # 1)(z + 2)
˛˛z=!1
= #5
2
C = (z + 2)#z2 + 6
(z # 1)(z + 1)(z + 2)
˛˛z=!2
=#z2 + 6
(z # 1)(z + 1)
˛˛z=!2
=2
3
TransformadaZ
Propiedades
TransformadaZ de funcionescomunes
AplicacionesSolución de ecuaciones dediferenciasEjercicios
Jenny Alexandra Cifuentes Quintero, 22 de noviembre de 2009 Señales y sistemas I - p. 22/23
Solución de ecuaciones de diferencias
! Construimos la expansión
Y (z)
z=
56
z # 1#
52
z + 1+
23
z + 2
Y (z) =56 z
z # 1#
52 z
z + 1+
23 z
z + 2
! Aplicamos transformada Z inversa
y[n] = Z!1Y (z) =5
6µ[n] #
5
2(#1)k +
2
3(#2)k
TransformadaZ
Propiedades
TransformadaZ de funcionescomunes
AplicacionesSolución de ecuaciones dediferenciasEjercicios
Jenny Alexandra Cifuentes Quintero, 22 de noviembre de 2009 Señales y sistemas I - p. 23/23
Ejercicios
Halle la transformada inversa de1.
F (z) =z3
(z # 0,5)(z # 0,75)(z # 1)2.
F (z) =z2
(z # 1)(z # 0,75)3.
F (z) =12z
(z + 1)(z # 1)2
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