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8/17/2019 Presentacion PDS 2
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Señales y Sistemas de TiempoDiscreto
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8/17/2019 Presentacion PDS 2
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Cap. 1
Conceptos básicos de señales y sistemas detiempo discreto
Tipos y representación de señales
Propiedades importantes de los sistemas
Convolución
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Cap. 1
Señales de Tiempo Discreto
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Cap. 1
En ingeniería electrónica: trabajar consistemas y con señales
Las señales: informaciónSistemas: modifican o procesan la
información
Las señales en general pueden ser de dostipos: analógicas y discretas
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Cap. 1
Las señales analógicas serán denotadascomo
Una señal de tiempo discreto serádenotada como
También se denominan: secuencias y se
pueden denotar como:
t xa
n x
,2,1,0,1, x x x xn xn x
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Cap. 1
Secuencias en MATLAB
en MATLAB, hacemos:
>> n=[-3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, 4];
>> x=[2, 1, -1, 0, 1, 4 ,3, 7];
7,3,4,1,0,1,1,2n x
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Cap. 1
Operaciones sobre secuencias
1. Suma: Se refiere a la suma muestrapor muestra entre dos secuencias, serepresenta como:
n xn xn xn x 2121
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Cap. 1
Multiplicación de señales: Se refiere alproducto muestra por muestra entre dos
secuencias, se representa como:
n xn xn xn x 2121
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Cap. 1
Escalamiento: En esta operación cadamuestra es multiplicada por un escalar.
x xn x
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Cap. 1
Corrimiento: En esta operación cadamuestra de es corrida un número k
de muestras para obtener
n x
n y
k n xn y
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Cap. 1
Reflejo por el origen: En esta operacióncada muestra de es reflejada
alrededor de para obtener lasecuencia reflejada
n x
0n n y
n xn y
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Cap. 1
Energía: La energía de una secuenciaestá dada por
2
* n xn xn x x
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Cap. 1
Potencia: La potencia promedio de unasecuencia periódica con periodo
fundamental N está dada por
1
0
21 N
x n x
N
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Sistemas de tiempo discreto
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Cap. 1
Un sistema de tiempo discreto es descritopor un operador que toma una
secuencia y la transforma en otrasecuencia
T
n y n x
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Cap. 1
Clasificación de sistemas de tiempo discreto
Lineales y no linealesInvariantes y variantes en el tiempo
Causales y no causales
Estáticos y dinámicosEstables e inestables
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Cap. 1
Causales y no causales
Un sistema es causal si su salida solo
depende de entradas y salidas pasadas ypresentes. Si la salida depende de algunaseñal futura, es no causal
0,0 nnh
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Cap. 1
Estáticos y dinámicos
Un sistema es dinámico si para suimplementación se requiere de algúnelemento de memoria. De lo contrario, es
estático
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Cap. 1
Estables e inestables
Un sistema es estable en el sentido BIBO
(Bounded Input Bounded Output), si anteuna entrada acotada, la salida también
está acotada
y xn yn x ,,
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Cap. 1
Sistemas lineales. Es lineal si satisface elprincipio de superposición. Supongamos
que un sistema es un operador , estees lineal si y solo si satisface:
L
n x Lan x Lan xan xa L 22112221
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Cap. 1
Sistemas invariantes en el tiempo
Un sistema es invariante en el tiempo siante una entrada dada que ocurra encualquier tiempo, la salida es siempre
igual.
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Cap. 1
A los sistemas que al mismo tiempo son
lineales e invariantes en el tiempo, se lesconoce como Sistemas LTI
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Cap. 1
Si y son la entrada y la salida de unsistema LTI, entonces:
Donde es la respuesta al impulso delsistema
n x n y
k
k nhk xn x LTI n y
nh
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Cap. 1
La operación matemática indicada seconoce como suma de convolución
lineal y es denotada como:
n yn xn y *
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Cap. 1
Un sistema de tiempo discreto es
completamente caracterizado en eldominio del tiempo por su respuesta alimpulso nh
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Cap. 1
Análisis de Sistemas LTI
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Existen dos métodos de analizar un sistemaLTI:
Suma de Convolución
Resolver la(s) ecuacione(s) de diferencias
que lo modelan
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Cap. 1
La suma de convolución
Se obtiene sabiendo que cualquier señal detiempo discreto se puede representarcomo:
k
k nk xn x
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Si la señal anterior entra a un sistema LTI,entonces la salida es:
k
k nhk xn y
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Propiedad Asociativa
)(*)](*)([)](*)([*)( 2121 nhnhn xnhnhn x
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Propiedad Distributiva
)(*)()(*)()]()([*)( 2121 nhn xnhn xnhnhn x
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Cap. 1
En Matlab, se tiene a la función conv
solo considera a los vectores de amplitudno toma en cuenta la información temporal
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Cap. 1
Ejemplo del uso de conv
>> x = [3, 11, 7, 0, -1, 4, 2];>> h = [2, 3, 0, -5, 2, 1];
>> y = conv(x, h)
y =6 31 47 6 -51 -5 41 18 -22 -3 8 2
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Cap. 1
Cuando las secuencias finitas no comienzanen n=0 es fácil obtener el punto de inicioy de culminación del resultado de laconvolución
Así, si
y xf xi nnnn x ; hf hi nnnnh ;
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Cap. 1
los puntos extremos de , serán
y
n y
hi xi yi nnn hf xf yf nnn
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Cap. 1
function [y, ny] = conv_mej(x, nx, h, nh)
%Función mejorada para determinar la convolución
%-------------------------------------------------------------
%[y, ny] = resultado de la convolución%[x, nx] = primera señal
%[h, nh] = segunda señal
nyi = nx(1)+nh(1);
nyf = nx(length(x)) + nh(length(h));ny = [nyi:nyf];
y = conv(x, h);
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Ecuaciones de diferencias
En tiempo continuo:
Ecuaciones diferencialesContienen derivadas
En tiempo discreto:
Ecuaciones de diferenciasContienen diferencias
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Ecuación diferencial
Ecuación de diferencias
dt
t dxbn xb
dt
t yd a
dt
t dyat ya
)()(
)()()( 102
2
210
)1()()2()1()( 10210 n xbn xbn yan yan ya
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Trabajaremos con ecuaciones dediferencias:
Coeficientes constantes
LTI
CausalesEstables
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Es decir, de la forma general:
El orden de la ecuación es N, normalmenteocurre que N>M
)()1()()()1()(
10
10
M n xbn xbn xb N n yan yan ya
M
N
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que se puede escribir como
N
k
k
N
k
k k n xbk n ya00
)()(
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Los métodos de solución de lasecuaciones de diferencias son similares a
los métodos de solución de ecuacionesdiferenciales
En Matlab: filter
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Bloques para representar sistemas
Forma natural de representación
Flujo de las señales
Operaciones sobre las señales paragenerar la señal de salida
Representan los algoritmos que se deben
realizar para procesar ala señal
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Suma de señales
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Producto de señales
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Elemento de retardo
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Multiplicación por una constante
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Análisis de Fourier para
señales de tiempo discreto
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Transformada de Fourier para
señales de tiempo discreto
Si es absolutamente sumable, es decirsi
entonces, su transformada de Fourier detiempo discreto está dada por
n x
n x
n
n j j en xn x F e X
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La transformada inversa de Fourier de
está dada por
je X
d ee X e X F n x n j j j
2
11
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Transformada Discreta de Fourier
La transformada Discreta de Fourier estádada por
10,1
0
N k W n xn x DFT k X N
k
nk
N
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La transformada discreta de Fourier inversaes
donde
10,1 10
N nW k X N
k X IDFT n x N
k
kn
N
N kn jW /2exp
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La DFT aplicada sobre una secuencia de Nelementos, da como resultado una secuenciatambién de N elementos
La secuencia que resulta depende de la variable k
Los puntos que resultan están separados entre sí a igual distancia en frecuencia y repartidos a lolargo de un rango de frecuencias de extensión
2
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En MATLAB, la implementación de la DFT esrelativamente simple
Suponiendo que los vectores y seescriben como vectores columnas y
n x k X x X
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La DFT y la IDFT se pueden escribir como
XWx
xWX
*1
N
N
N
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Donde
Se conoce como matriz DFT
211
11
1
1
111
1,0,
N
N
N
N
N
N N
kn
N N
W W
W W N nk W W
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function [Xk] = dft(xn, N)
% Calcula la Transformada Discreta de Fourier%--------------------------------------------------------
% [Xk] = dft(xn, N)
% Xk = Coeficientes DFT sobre 0
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function [xn] = idft(Xk, N)
% Calcula la Transformada Discreta de Fourier Inversa%----------------------------------------------------------------
% [xn] = idft(Xk, N)
% Xk = Coeficientes DFT sobre 0
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Transformada Rápida de Fourier FFT)
Para calcular DFT´s se requieren una grancantidad de operaciones
El cálculo es poco eficiente
Consume mucho tiempo de máquina o muchoespacio de silicio
En 1965, Cooley y Tukey mostraron unprocedimiento para reducir sustancialmente lacantidad de cálculos involucrados en laobtención de la DFT
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Esto llevó a una explosión en lasaplicaciones de la DFT, incluyendo el áreade procesamiento digital de señales
Desarrollo de algoritmos más eficientes
Todos estos algoritmos son conocidoscolectivamente con el nombre de
Transformada Rápida de Fourier (FFT ensus siglas en inglés)
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MATLAB, fft para calcular la DFT de unvector
La función es llamada como X = fft(x, N)calcula una DFT de N puntos
Si la longitud de x es menor que N,entonces x es rellenada con ceros
Si el argumento de N es omitido, entoncesla longitud de X es la longitud de x
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Convoluciones Rápidas
La función conv se implementa en MATLABusando la función filter
es muy eficiente para pequeños valoresde N (
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Esta aproximación usa la convolucióncircular para implementar la convolución
lineal, y la FFT para implementar laconvolución circular
El algoritmo resultante es llamadoconvolución rápida
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function [y] = convrapida(x, h, N)
% Convolución rápida usando FFT
%--------------------------------------------------------
% [y] = convrapida(x, h, N)
% y = secuencia de salida
% x = secuencia de entrada% h = respuesta al impulso
% N = longitud del bloque (debe ser una potencia de 2)
N = 2^(ceil(log10(N)/log10(2));
Lenx = length(x); M = length(h);M1 = M-1; L= N-M1;
h = fft(h, N);
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x = [zeros(1, M1), x, zeros(1, N-1)];
K = floor((Lens+M1-1)/(L)); % # de bloques
Y = zeros(K+1, N);
for k = 0:K
xk = fft(x(k*L+1:k*L+N));
Y(k+1,:) = real(ifft(xk(.*h));
End
Y = Y(:,M:N)’; y = (Y(:))’;
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Transformada Z
La transformada Z es la equivalente a la
transformada la Laplace para señales detiempo discreto
Z es, al igual que s, una variable compleja
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Usaremos transformada Z para:
obtener funciones de sistema
manipular señales y sistemas en eldominio de la frecuencia
mantener todas las características de lasseñales y sistemas de tiempo discreto
diseñar filtros digitales colocando polos yceros
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La transformada Z se define como:
donde hay que indicar región deconvergencia (ROC), es decir, los puntosdel plano z donde esta es válida
n
n
z n x z X
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La transformada de Fourier para señales detiempo discreto es un caso particular de la
transformada Z Así:
je z
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Capítulo 3
Filtros Digitales
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Dos tipos importantes de sistemas
filtro digital : Dominio del tiempo
analizadores espectrales : Dominio de la
frecuencia
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Métodos para el diseño de filtros digitales
FIR : Respúesta al impulso finita
IIR : Respuesta al impulso infinita
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. Los filtros selectivos en frecuencia:
pasbajas pasaaltas
pasabanda
rechazabanda.
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Pasos en el diseño de un filtro digital
Especificaciones
Aproximación
Implementación
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Diseño de filtros FIR por el método de
ventanas
Idea básica :
elegir un filtro ideal apropiado selectivo enfrecuencia
truncar su respuesta al impulso paraobtener un filtro de fase lineal y causalfiltro FIR
la importancia radica en la elección deuna ventana adecuada
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Para obtener un filtro FIR a partir detenemos que truncar esta respuesta al
impulso en ambos extremos
nhi
1,0,0
10,
M nn
M nnhnh
i
2
1 M
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Así, puede pensarse como resultadodel producto de y una función
ventana como
nh nhi
nw
nwnhnh i
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Con las especificaciones dadas se observa la tabla1, para determinar cual tipo de ventanasatisface As
Así, si As=46 dB, se elige la ventana Hamming
Se iguala su correspondiente ancho de la bandade transición con el ancho de la banda detransición de las especificaciones
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Tendríamos:
M p s
6.6
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function hi = filtroideal(wc, M);
% Cálculo de M muestras de un filtro ideal pasabajas
%--------------------------------------------------------------
% [hi] = filtroideal(wc, M)
% hi = respuesta al impulso ideal entre 0 y M-1% wc = frecuencia de corte en radianes
% M = longitud del filtro ideal
alfa = (M-1)/2;
n = [0:1:(M-1)];
m = n – alfa +eps; % agrega un número pequeñopara evitar /0
hi = sin(wc*m)./(pi*m);
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Diseño de Filtros IIR
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los filtros IIR tienen respuestas al impulsoinfinitas
pueden acoplarse a filtros analógicos
también con respuestas al impulsoinfinitas
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pueden acoplarse a filtros analógicos
también con los filtros IIR tienenrespuestas al impulso infinitas
respuestas al impulso infinitas
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técnica básica de diseño de filtros IIR:
transformación de filtros analógicos en filtrosdigitales
usando transformaciones A/D
Existen dos aproximaciones para atacar elproblema de diseñar un filtro IIR
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Aproximación 1:
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Filtros prototipos analógicos
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Las técnicas de diseño de filtros IIR se
basan en las aproximaciones de los filtrosanalógicos para obtener los filtrosdigitales
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Tres tipos de filtros prototipos son usadosen la práctica:
Butterworth
Chebyshev
Elípticos
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Aproximación Butterworth
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La magnitud de la respuesta en frecuenciaal cuadrado de un filtro pasabajasButterworth de orden N, es
N
c
a j H 22
1
1
-
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De la figura podemos observar las siguientespropiedades:
En , para todo N.
En , para todo N, lo cual implica
3 dB de atenuación en en
0 102
j H a
c 212
ca j H
ccccc
c
-
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s una función monotónicamente
decreciente de
se aproxima a un filtro pasabajas
ideal cuando
2 j H a
2 j H a
N
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La función de transferencia de un filtro deeste tipo de orden n, se puede escribircomo
1
1
2
2
2
2
1
1
0
sa sa sa sa s
H s H
nnn
-
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106/153
Para implementar este tipo de filtros enMATLAB, se cuenta con las funciones
Butter
buttord
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107/153
Aproximación Chebyshev.
-
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108/153
Existen dos tipos de filtros Chebyshev
los filtros Chebishev tipo I tienen rizosuniformes en la banda de paso
los filtros Chebyshev tipo II tienen rizos
uniformes en la banda de rechazo
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Para las mismas especificaciones, los filtrosChebyshev requieren funciones deórdenes menores que las funciones de los
filtros Butterworth
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La magnitud de la respuesta en frecuenciaal cuadrado de un filtro pasabajasChebyshev de orden N, es
c
N
a
T
j H 22
2
1
1
-
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111/153
0 0.5 1 1.5 2 2.5-8
-7
-6
-5
-4
-3
-2
-1
0
1
-
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112/153
donde es el factor de rizo en la bandade paso, el cual está relacionado con
es el polinomio de Chebyshev deorden N, el cual está dado por
donde
p A
xT N
x1 ,coshcosh
1x0 ,coscos
1
1
x
x N xT N
c
x
-
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Algunas de las propiedades que se observanen , son:
En ,
para impar
para par
2 j H a
1 x 0
102 j H a
2
2
1
10
j H a
-
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En ,
para todo N
Para , oscila entre 1 y
Para , decrecemonotónicamente a 0
1 x c
2
2
1
11
j H a
10 x c0 21
1
1 x c 2 jx H a
-
8/17/2019 Presentacion PDS 2
115/153
En ,r x 22 1
A jx H a
-
8/17/2019 Presentacion PDS 2
116/153
La función de transferencia de un filtro deeste tipo de orden n, se puede escribircomo
1
2
1
2
2
1
1
0
sa sa sa sa s
H s H
nn
nnn
-
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Para implementar este tipo de filtros enMATLAB, se cuenta con las funciones
cheb1ord
cheb2ord
cheby1cheby2
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Aproximación Elíptica
-
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Estos filtros presentan rizos tanto en la banda depaso como en la banda de rechazo
Logran el mínimo orden para unas
especificaciones dadasSon difíciles de analizar y de diseñar
No es posible diseñarlos usando herramientas
simples, por lo que siempre se requieren tablaso programas
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La magnitud de la respuesta en frecuenciaal cuadrado de un filtro pasabajas Elípticode orden N, es
c N
a
U
j H 22
2
1
1
-
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donde es el factor de rizo en la banda de
paso, el cual está relacionado con
es una función elíptica Jacobiana de
orden N
p A
xU N
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0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5 5-70
-60
-50
-40
-30
-20
-10
0
-
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Para implementar este tipo de filtros enMATLAB, se cuenta con las funciones
ellip
ellipord
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Transformaciones analógico-digital
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Estas transformaciones son mapeos complejosque han sido estudiados extensamente en laliteratura
Se derivan de la preservación de diferentesaspectos de los filtros analógicos
Así, si deseamos preservar la forma de larespuesta al impulso del filtro analógico en el
filtro digital, se obtiene la técnica de latransformación denominada de invarianza al impulso
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Si deseamos convertir la representación deuna ecuación diferencial en sucorrespondiente representación en unaecuación de diferencias, entonces seobtiene la técnica conocida comoaproximación de diferencias finitas
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otra técnica llamada invariancia al escalón,preserva la forma de la respuesta al escalón delfiltro analógico
otras muchas técnicas son posiblesla más popular en la práctica es la que se conoce
como transformación bilineal , la cual preserva la
representación de la función de sistema del filtroanalógico en el filtro digital.
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Transformación bilineal
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Para obtener una función de sistema detiempo discreto a partir de unafunción de sistema analógica usandola transformación bilineal, tenemos quesustituír en la función el valor de
como
z H s H
s H s
1
1
112
z z s
-
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lo cual implica que
21
21
s
s
z
-
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Sustituyendo en la ecuaciones anterioresy obtenemos: j s je z
22 1tan
22
tan
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la relación entre las variables de frecuenciaen tiempo continuo y tiempo discreto esno lineal
por lo que todas las cracterísticas enfrecuencia deben predistorsionarse
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Proceso de diseño de un filtro IIR
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Dadas las especificaciones de diseño de unfiltro digital pasabajas
P S P A S A
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Los pasos a seguir para obterlo, son:
1. Predistorsionar las frecuenciascaracterísticas:
22 P
P tan
22 S
S tan
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2. Diseñar el filtro prototipo analógico
cuyas especificaciones son ,
Esto involucra utilizar las diferentes
aproximaciones y transformaciones.
s H a
P S
-
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3. Aplicar la transformación bilineal.
1
1
112
z z H z H a
-
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4.2. Transformaciones en la variable defrecuencia compleja
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Hasta ahora solo se hanpresentadofunciones que representanaproximaciones pasabajas
Para obtener filtros de los otros tipos(pasaaltas, pasabanda y rechazabanda),se necesita realizar transformaciones
adecuadas sobre las funciones pasabajas
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Transformación pasabajas-pasabajas
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también se le conoce como desnormalización enfrecuencia
traslada la función de respuesta en frecuencia
de una frecuencia a otrapodemos considerar cualquier frecuencia
característica (frecuencia de corte, frecuenciacentral de un pasabanda, frecuencia wp de un
pasabajas, etc.) para trasladarla a otro valor defecuencia.
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Para hacer esto, primero se halla el factorde desnormalización en frecuencia, que sedefine como
deseasequeticacaracterísfrecuencia
tienesequeticacaracterísfrecuencia
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por ejemplo, si queremos trasladar lafrecuencia wpn=1 rad/seg de un filtropasabajas a la frecuencia wp=1000rad/seg, el factor de desnormalización es
10001
1000
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Si la función de transferencia del filtronormalizado es , la función detransferencia del filtro después detrasladar la frecuencia se obtienehaciendo
s H s H n
s H n
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Transformación pasabajas-pasaaltas
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La frecuencias y del pasaaltasque resulta se obtienen de las frecuencias
y del filtro pasabajas, como
PH SH
PL SL
PL
PH
1
SL
SH
1
-
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Si la función de transferencia del filtropasabajas es , la función detransferencia del filtro pasaaltas
se obtiene haciendo
s H LP
s H HP
s H s H LP HP
1
-
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Transformación pasabajas-pasabanda
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Al aplicar esta transformación a una función
de transferencia pasabajas con una
característica , se obtiene la funciónde transferencia de un filtro pasabanda con
un ancho de banda y una
frecuencia central c
PL
PL BW
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La frecuencia central se mide a lo largo de
las frecuencias donde la curva de la
respuesta en frecuencia se cruza con el
valor de Ap, lo cual ocurre en dos puntos
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Los dos puntos que se cruzan con As
definen otro ancho de banda que
denotaremos como y que es igual al
valor de del filtro pasabajas
S BW
S
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