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Estimación de incertidumbre para

aforo de tanques y carrotanques

basado en ajuste por método de

mínimos cuadrados lineales

M.Sc. Carlos Andrés Macana

Ing. Liz Giraldo

Ing. Stivinson Córdoba

INTRODUCCIÓN

Tablas de aforo: conversión de los

resultados de la medición de nivel en

capacidad.

Fuente: “Transporte de agua potable Jose Miguel Cepeda”

INTRODUCCIÓN

Método de obtención de datos

intermedios: Interpolación.

INTRODUCCIÓN

Los métodos para la medición del

volumen: Geométrico, gravimétrico o

volumétrico.

Fuente: “Transporte de agua potable Jose Miguel Cepeda”

INTRODUCCIÓN

La recomendación

internacional OIML R80

de 2009 establece como

requisito metrológico el

almacenamiento de una

tabla de aforo del tanque

en cada carro cisterna.

Fuente: “Transporte de agua potable Jose Miguel Cepeda”

Fuente: “Transporte de agua potable Jose Miguel Cepeda”

INTRODUCCIÓN

Fuente: DANE - DIAN. Cálculos OEE - MCIT

Exportaciones totales de

Colombia en el año 2013

INTRODUCCIÓN

Actividad metrológica: Obtención

de Tablas de Aforo

Volumen de patrones de medición +

incertidumbre

Factores complementarios

de medición + incertidumbre

Indicación de Volumen del

instrumento + incertidumbre

Medición de Nivel +

incertidumbre

MODELO DE MEDICIÓN

La relación

Volumen/Altura en

configuraciones

horizontales, puede

modelarse por

funciones continuas

de tipo polinomial

𝑽𝒔 ≅ 𝒑 𝒉𝒊 = 𝒂𝟎 + 𝒂𝟏𝒉𝒊 + 𝒂𝟐𝒉𝒊𝟐 +⋯+ 𝒂𝒎𝒉𝒊

𝒎

𝑉𝑠: es el volumen estimado correspondiente a la altura ℎ𝑖.

Tomado de: [3] Xie Wei, et al. "

57

58

59

60

61

62

63

64

65

240 250 260 270 280 290 300 310

Vo

lum

en

x 1

04 (

L )

Altura (mm)

Comportamiento del volumen en tanque cisterna

Volumen experimental

[3] Xie Wei, et al. Optimization Model of Oil-Volume Marking with Tilted Oil

Tank."Open Journal of Optimization 1 (2012): 20.

AJUSTE DE CURVA POR MÉTODO DE MÍNIMOS

CUADRADOS LINEALES

Donde [𝑋]−1 es una

matriz simétrica

cuadrada, denominada

la matriz de varianza -

covarianza.

Calculo de los coeficientes y

análisis de varianza y covarianza

Desarrollo

Planteamiento del desarrollo para encontrar la pendiente

{𝑥𝑖 , 𝑦𝑖} {𝑟𝑒𝑠𝑝𝑢𝑒𝑠𝑡𝑎 𝑖, 𝑒𝑠𝑡𝑖𝑚𝑢𝑙𝑜 𝑖}

{ℎ𝑖, 𝑉𝑆}

𝑋 =

𝑁 𝑥

𝑥 𝑥2

𝑥2 …

𝑥3 ⋯

𝑥𝑚

𝑥𝑚+1

𝑥2 𝑥3

⋯

𝑥𝑚

⋯

𝑥𝑚+1

𝑥4 ⋯

⋯

𝑥𝑚+2⋯⋯

𝑥𝑚+2

⋯

𝑥𝑚+𝑛

ESTIMACIÓN DE INCERTIDUMBRE

Para el caso de tablas de aforo, la

incertidumbre de la indicación (volumen

estimado) obtenida de la curva de ajuste se

obtiene aplicando la siguiente ecuación:

𝒖𝑽𝒔𝒆𝒔𝒕 = 𝒖𝒊𝒏𝒕𝒓𝒖𝒎𝒆𝒏𝒕𝒂𝒍𝟐 + 𝒖𝒄𝒖𝒓𝒗𝒂 𝒅𝒆 𝒂𝒋𝒖𝒔𝒕𝒆

𝟐

Fuente: MetAs, Linealidad, La Guía MetAs, Año 08 # 01, 2008-enero.

Incertidumbre de los Puntos:

Desviación estándar punto por

punto de los valores estimados.

A. Incertidumbre de la curva de

ajuste

Incertidumbre de la Curva: Desviación estándar de los

errores residuales para todo el

intervalo

𝑆𝑒𝑟 = 𝑉𝑠𝑖 − 𝑝(ℎ𝑖)

2𝑁𝑖=1

𝑁 −𝑚 − 1

𝑆𝑒𝑟: Es la desviación estándar de

los residuales, para cuanto puntos

quisiera con un polinomio de grado 𝑚

𝑢𝑝 ℎ𝑖 = 𝑠𝑒𝑟[{ℎ}[𝑋]−1{ℎ}𝑇]1/2

ℎ = Vector de alturas evaluadas

{ℎ}𝑇= Matriz de alturas

[𝑋]−1= Coeficiente de sensibilidad

B. Estimación de la incertidumbre

instrumental COMPONENTE EXPRESIÓN DISTRIBUCIÓN DE

PROBABILIDAD

Trazabilidad del Recipiente

Volumétrico Patrón Normal

Resolución en la lectura de

volumen Rectangular

Trazabilidad de la regla 𝑢𝑅𝑡𝑟𝑎𝑧 =𝑈𝑒𝑥𝑝

2 Normal

Resolución en la lectura de

altura 𝑢𝑅𝑟𝑒𝑠 =

𝑟𝑒𝑠𝑜𝑙𝑢𝑐𝑖ó𝑛

12 Rectangular

𝑢𝑅𝑉𝑃𝑡𝑟𝑎𝑧 =𝑈𝑒𝑥𝑝2

𝑢𝑅𝑉𝑃𝑟𝑒𝑠 =𝑟𝑒𝑠𝑜𝑙𝑢𝑐𝑖ó𝑛

12

𝒖𝒊𝒏𝒔𝒕𝒓𝒖𝒎𝒆𝒏𝒕𝒂𝒍 = 𝜹𝑽𝒔

𝜹𝑽𝒊𝒖𝑹𝑽𝑴𝒓𝒆𝒔

𝟐

+𝜹𝑽𝒔

𝜹𝑽𝒊𝒖𝑹𝑽𝑴𝒕𝒓𝒂𝒛

𝟐

+𝜹𝑽𝒔

𝜹𝒉𝒊𝒖𝑹𝒕𝒓𝒂𝒛

𝟐

+𝜹𝑽𝒔

𝜹𝒉𝒊𝒖𝑹𝒓𝒆𝒔

𝟐

COEFICIENTES DE SENSIBILIDAD

Coeficiente de sensibilidad para

componentes Volumétricas 𝛿𝑉𝑠

𝛿𝑉𝑖= 𝑁

Coeficiente de sensibilidad para

componentes

𝛿𝑉𝑠𝛿ℎ𝑖= 𝑎1+ 𝑎2ℎ𝑖+⋯+𝑚 𝑎𝑚ℎ𝑖

𝑚−1

RESULTADOS INTERPOLACIÓN

Datos experimentales

0

10

20

30

40

50

60

70

0 100 200 300 400

Vo

lum

en

[m

3]

Altura [cm]

Curva de Ajuste

Volumenexperimental

Volumen estimado

Curva ajustada con 8 pares de datos

Fuente: [3] Xie, Wei, et al. "Optimization Model of Oil-Volume

Marking with Tilted Oil Tank."Open Journal of Optimization 1

(2012): 20

Ilustración 1. Curva de ajuste obtenida

Puntos Volumen (L) xi(cm)

1 630,242 10,000

2 6725,86 50,000

3 18488,1 100,000

4 32264,6 150,000

5 46027,5 200,000

6 57745,1 250,000

7 63764 290,000

8 64331,2 300,000

Resultados Estimación de

Incertidumbre

La gráfica permite evidenciar los sectores en donde no es

recomendable el uso de dicha tabla de acuerdo a la

incertidumbre relativa obtenida.

21,25%

11,43%

6,86%

4,58% 1,81%

0,00%

5,00%

10,00%

15,00%

20,00%

25,00%

Porcentaje del volumen estimado respecto a la capacidad máxima

Incertidumbre Relativa al Punto de Medición (%)

0.5% ?

Resultados Estimación de

Incertidumbre

Áreas con comportamiento (80% al 100% de la capacidad

máxima).

57,00

58,00

59,00

60,00

61,00

62,00

63,00

64,00

65,00

66,00

230 240 250 260 270 280 290 300 310

Vo

lum

en

[m

3]

Altura [cm]

V+Uexp

V - Uexp

Volumenexperimental

Volumen estimado

Ilustración 3. Regiones de incertidumbre sobre la curva de ajuste. (80% al 100% de la

capacidad máxima)

Resultados Estimación de

Incertidumbre

Áreas con comportamiento (de 0% al 10% de la capacidad

máxima).

Ilustración 4. Regiones de incertidumbre sobre la curva de ajuste. (0% al 10% de la

capacidad máxima)

0,00

1,00

2,00

3,00

4,00

5,00

6,00

7,00

8,00

9,00

10,00

0 10 20 30 40 50 60 70

Vo

lum

en

[m

3]

Altura [cm]

V+Uexp

V - Uexp

Volumenexperimental

Volumen estimado

El método propuesto presenta ventajas frente a métodos de

interpolación lineal punto a punto ya que obtiene márgenes de

error residual que conllevan a minimizar la incertidumbre por

ajuste de la curva en cada punto.

Como alternativas de reducción de incertidumbre se plantea

el ajuste con un polinomio de menor grado y un aumento del

número de datos de interpolación.

La propuesta presentada se constituye en una herramienta

útil para garantizar el aseguramiento metrológico en procesos

de medición industriales de grandes volúmenes de líquidos.

CONCLUSIONES

REFERENCIAS [1] OIML RI 80-1: Metrological and technical requirements. Road and rail tank cars.

2009.

[2] Jieqiong Wu; Jian Ping Li; Man Huang; Jianming Du, "The intelligent simulation of oil

tank based on genetic algorithm," Wavelet Active Media Technology and Information

Processing (ICCWAMTIP), 2013 10th International Computer Conference on , vol., no.,

pp.320,322, 17-19 Dec. 2013.

[3] Xie, Wei, et al. "Optimization Model of Oil-Volume Marking with Tilted Oil Tank."Open

Journal of Optimization 1 (2012): 20.

[4] Xuan, Haiyan, Youming Guo, and Hongmei Wu. "Analysis of the Identification of Oil

Tank's Position and the Calibration of Tank Capacity Table." Computational Intelligence

and Design (ISCID), 2012 Fifth International Symposium on. Vol. 1. IEEE, 2012.

[5] BIPM, IEC, ILAC IFCC, IUPAP IUPAC, and OIML ISO. JCGM 200: 2012. (2008). The

international vocabulary of metrology—basic and general concepts and associated

terms (VIM). 3ra Ed. París : s.n., JCGM 200: 2012. (2008).

[6] MetAs, Linealidad, La Guía MetAs, Año 08 # 01, 2008-enero.

[7] BIPM, IEC., et al. "Guide to the Expression of Uncertainty in Measurement." ISO,

Geneva (1993).

[8] Kay, Steven M., “Fundamentals of Statistical Signal Processing: Estimation Theory”,

Prentice Hall, 1993. ISBN: 0-13-345711-7. Capítulos 4,6 y 8.

GRACIAS!!

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