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ADMINISTRACIÓN DE OPERACIONES 2

CUARTA CLASE: PROGRAMACIÓN LINEAL

OBJETIVO:

Identificar los problemas que impiden incrementar la productividad respecto a los

recursos

PROGRAMACIÓN LINEAL

PROGRAMACIÓN LINEAL: DEFINICIÓN (1)

Programación lineal (PL)

• Es un método de solución de problemas parasituaciones que implican maximizar o minimizar unafunción objetivo lineal sujeta a restricciones linealesque limitan la medida en la que se puede tender haciael objetivo.

• Está diseñada para ayudar a la toma de decisiones.

• Está relacionada a la asignación de recursos.

Con la PL podemos resolver problemas de:

o Asignación de recursos, materiales y servicios, manode obra, tareas.

o Procesos de planificación de personal, planificaciónde rutas y redes de telecomunicación.

o Refinamiento y mezcla de sustancias o componentes.

o Selección de portafolios de acciones.

o Etc.

PROGRAMACIÓN LINEAL: DEFINICIÓN (2)

PROGRAMACIÓN LINEAL

EJEMPLOS DE APLICACIÓN

EJEMPLOS DE APLICACIÓN

1. Desarrollo de la programación de la producciónpermitirá:

• Satisfacer demandas futuras para una empresa deproducción.

Mientras se minimizan los costos totales deproducción e inventarios.

2. Selección de una mezcla de productos en una fábrica para:

• Minimizar el uso de horas-máquina y horas-hombre, mientrasse maximiza la producción de la empresa.

3. Determinación de la combinación de los diferentes productosderivados del petróleo para rendir el máximo beneficio.

4. Selección de mezclas de materias primas paraabastecer molinos que producen alimentosbalanceados al mínimo costo.

5. Determinación de un sistema de distribución queminimiza los costos totales de transporte de losalmacenes a los mercados.

PROGRAMACIÓN LINEAL

CONDICIONES

Requerimientos del problema deprogramación lineal

Un problema de programación lineal (PL) es un problemade optimización para el cual se efectúa lo siguiente:

Se intenta maximizar o minimizar una función lineal(“función objetivo”) formada con las variables de decisión.

Los valores de las variables de decisión deben satisfacer unconjunto de restricciones. Cada restricción debe ser unaecuación o inecuación lineal.

Una restricción de signo es asociada con cada variable.

SUPOSICIONES BÁSICAS DE PL (1)

1. CERTEZA

Los números (coeficientes) en el objetivo y lasrestricciones son conocidos con certeza y nopueden cambiar durante el periodo en que se estáhaciendo el estudio.

2. PROPORCIONALIDAD

En el objetivo y las restricciones.

SUPOSICIONES BÁSICAS DE PL (2)

3. ADITIVIDAD

- El total de todas las actividades es igual a la sumade las actividades individuales.

4. Divisibilidad

- Las soluciones no necesitan ser números enteros.

- Las soluciones son divisibles y pueden tomarcualquier valor fraccionario.

SUPOSICIONES BÁSICAS DE PL (3)

5. No negatividad (rango de existencia)

- Todas las respuestas o variables son no negativas(≥0).

- Los valores negativos de cantidadesfísicas son imposibles.

PROGRAMACIÓN LINEAL

PLANTEAMIENTO

PARTES DE UN MODELO DE PL

1. Variables de Decisión

Xi , i = 1, 2, …, n

2. Función Objetivo

Máx Z = aX1 + bX2 + bX3+…+zXn ó

Mín Z = aX1 + bX2 + bX3+…+zXn

Donde: a,b,c,…z pueden tomar valores positivos negativos

3. Restricciones

a11X1 + a12X2 + ... + a1nXn {≤, =, ≥} b1

a21X1 + a22X2 + ... + a2nXn {≤, =, ≥} b2

...

am1X1 + am2X2 + ...+ amnXn {≤, =, ≥} bm

4. Rango de existencia

Xi ≥ 0, i = 1, 2, …, n

RESTRICCIONES ESTRUCTURALES

RESTRICCIONES NO ESTRUCTURALES

FORMULACION DE UN PROBLEMA DE PL (3)

Pasos a seguir en la formulación de un problema de PL

1. Entender por completo el problema que se enfrenta.

2. Identificar las variables de decisión en la preguntadel problema.

3. Reconocer el objetivo y las restricciones.

4. Utilizar las variables de decisión para escribirlas expresiones matemáticas de la función objetivo yde las restricciones.

PROGRAMACIÓN LINEAL

EJERCICIOS

Ejemplo: Problema de la mezcla de productos

• Dos o más productos son fabricados usando recursos limitados

tales como personal, máquinas, materias primas, etc.

La utilidad que la empresa busca para maximizar está basada enla contribución a la utilidad por unidad de cada producto.

A la compañía le gustaría determinar cuántas unidades decada producto deberá fabricar para maximizar la utilidadtotal dados sus recursos limitados.

EMPRESA MADERERA (1)

Horas requeridas para producir 1 unidad

Departamento Mesas SillasDisponibilidad

(Horas / Semana)

Carpintería 4 3 240

Pintura y barnizado 2 1 100

Utilidad (UM por unidad) 7.00 5.00

Identificar el objetivo de las restricciones.

Maximizar la utilidad sujeta a:

1. Horas de carpintería utilizadas ≤ 240 horas por semana2. Horas de pintura y barnizado utilizadas ≤ 100 horas por semana

Problema de la mezcla de productos

1. Variables de decisión

X1 : número de mesas producidas y vendidas por semana

X2 : número de sillas producidas y vendidas por semana

2. Función objetivo

Maximizar utilidades: Max Z = 7 X1 + 5 X2

3. Restricciones

Tiempo disponible de Carpintería4 X1 + 3 X2 ≤ 240

Tiempo disponible en Pintura y Barnizado2 X1 + 1 X2≤ 100

4. Rango de existencia

X1, X2 ≥ 0

Problemas propuestos

Problemas de PL – Adicionales (2)

Problemas de PL – Adicionales (3)

Problemas de PL – Adicionales (4)

Problemas de PL – Adicionales (5)

Problema 2.5

Problemas de PL – Adicionales (6)

Tablas de datos:

PROGRAMACIÓN LINEAL

MÉTODO GRÁFICO

La forma más fácil de resolver un pequeño problemade PL tal como el presentado anteriormente es con elmétodo gráfico.

El método gráfico funciona sólo cuando existendos variables de decisión, pero es importante yaque da una idea de cómo funcionan otros métodos.

PROGRAMACIÓN LINEAL

MÉTODO GRÁFICO

1. Graficar todas las restricciones y encontrar la regiónfactible.

2. Encontrar los puntos esquina de la región factible.

3. Calcular la utilidad en cada punto esquina de laregión factible.

4. Seleccionar el punto esquina con el mayor valor(caso de maximización) o el mínimo (caso deminimización) de la función objetivo. Éste es lasolución óptima.

Pasos para resolver por el método gráfico

Las condiciones de nonegatividad X1 ≥ 0 y X2≥ 0 significan quesiempre se trabaja enel primer cuadrante.

MÉTODO GRÁFICO PARA RESOLVER PROBLEMAS DE MAXIMIZACIÓN

Continuando con elejemplo anterior.

La restricción de Carpintería es: 4X1 + 3X2 ≤ 240

Hacemos: 4X1 + 3X2 = 240

o Sea X1 = 0 y resuelva para el punto donde la línea cruza el ejeX2: 4(0) + 3(X2) = 240, entonces X2 = 80 sillas

o Sea X2 = 0 y resuelva para el punto donde la línea cruza eleje X1: 4(X1) + 3(0) = 240, entonces X1 = 60 mesas

La restricción de Carpintería está limitada por la línea queva del punto (0, 80) al punto (60, 0).

La restricción de Pintura y Barnizado es: 2X1 + 1X2 ≤ 100

Hacemos: 2X1 + 1X2 = 100

o Sea X1 = 0 y resuelva para el punto donde la línea cruza el eje X2.2(0) + 1(X2) = 100, X2 = 100 sillas

o Sea X2 = 0 y resuelva para el punto donde la línea cruza el eje X1.2(X1) + 1(0) = 100, X1 = 50 mesas

La restricción de Pintura y Barnizado está limitada por la líneaque va del (0, 100) al punto (50, 0).

Punto 1: (X1 = 0, X2 = 0), Utilidad = 7(0) + 5(0) = 0

Punto 2: (X1 = 0, X2 = 80), Utilidad = 7(0) + 5(80) = 400

Punto 3: (X1 = 30, X2 = 40), Utilidad = 7(30) + 5(40) = 410

Punto 4: (X1 = 50, X2 = 0), Utilidad = 7(50) + 5(0) = 350

RESPUESTA: La mayor utilidad es de 410 U.M. y se obtieneproduciendo y vendiendo 30 mesas y 40 sillas.

Punto de esquina (8)

Línea de isoutilidad (1)

Línea de isoutilidad (2)

SOLUCÍON ÓPTIMA

PROBLEMAS DE MINIMIZACIÓN

EJEMPLO

Una granja de aves utiliza la mezcla de los siguientes ingredientes para la alimentación de sus animales:

Determinar cuántos Kg. de cada marca se debe comprar para obtener el mínimo costo.

IngredienteMarca 1

(Kg.)Marca 2

(Kg.)

Requerimientomínimo bimestral

por ave (Kg.)

A 5 10 90

B 4 3 48

C 0.5 0 1.5

Costo (Soles/Kg.) 0.02 0.03

1. Variables de decisiónX1 : número de Kg. adquiridas del alimento marca 1X2 : número de Kg. adquiridas del alimento marca 2

2. Función objetivoMinimizar costosMin Z = 2 X1 + 3 X2

3. Restricciones5 X1 + 10 X2 ≥ 90 (requerimiento mínimo del ingrediente A)4 X1 + 3 X2 ≥ 48 (requerimiento mínimo del ingrediente B)0.5 X1 ≥ 1.5 (requerimiento mínimo del ingrediente C)

4. Rango de existenciaX1, X2 ≥ 0

Método de solución del punto de esquina (3)

Los puntos esquina son:Punto 1: ( 3 , 12 )Punto 2: ( 8.4 , 4.8 )Punto 3: (18 , 0 )

Evaluando en la función objetivo:Costo en el punto 1: 42 SolesCosto en el punto 2: 31.2 SolesCosto en el punto 3: 36 Soles

La solución óptima la determina el menor costo de los puntos de intersección. Elcosto mínimo se da en el punto 2, (X1,X2)= ( 8.4 , 4.8 )

Respuesta: se debe comprar 8.4 Kg. de alimento de la marca 1 y 4.8Kg. de la marca 2, lo que nos daría un costo mínimo de 31.2 Soles

Método de solución de la línea de isocosto:

Infactibilidad.‐ La falta de una región factible puede ocurrir siexisten conflictos entre las restricciones.

No acotamiento.‐ La falta de una o más restricciones puede hacerque la región factible sea infinitamente grande, y el problema seráilimitado.

Degeneración.‐ Cuando más de dos puntos críticos dan soluciónóptima, es decir, hay empates, la solución es degenerada.

Múltiples soluciones óptimas.‐ Cuando existe paralelismo entrela función objetivo y una de las restricciones que conforman la regiónfactible, se pueden tener múltiples soluciones óptimas.

CASOS ESPECIALES

Un problema con solución no factible

Una región factible no acotada a la derecha

Un problema con múltiples soluciones óptimas