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Conceptos básicos

El concepto de probabilidad se encuentra con frecuencia en

situaciones de la vida cotidiana.

En un sorteo, José tiene un 1,8% de probabilidad de ganarse un auto.

Ejemplo:

En el ejemplo, se da el “valor” de la posibilidad de que ocurra un

evento (ganarse un auto) y esta se expresa mediante un porcentaje

entre 0 y 100, o con un número entre 0 y 1.

Intuitivamente, podemos observar que cuanto más probable es que

ocurra un evento, su medida de ocurrencia estará más próximo a 100%

(o a 1), y cuando menos probable, más se aproximará a 0.

Espacio muestral

Es el conjunto formado por todos los resultados posibles de un

experimento.

Ejemplos:

1. Al realizar el experimento “lanzar un dado común” el espacio

muestral tiene 6 elementos:

E = {1, 2, 3, 4, 5, 6}

2. Al realizar el experimento “lanzar una moneda y un dado común” el

espacio muestral tiene (2 · 6) = 12 elementos:

E = {c1, c2, c3, c4, c5, c6, s1, s2, s3, s4, s5, s6}

Evento o suceso

Corresponde a un subconjunto de un espacio muestral, asociado a un

experimento aleatorio.

Ejemplo:

Experimento: lanzar un dado de seis caras.

Espacio muestral: E = {1, 2, 3, 4, 5, 6}

Para este espacio muestral, se puede definir el siguiente suceso:

A: Obtener un número par.

Es decir, A = {2, 4, 6}.

Probabilidad clásica

Casos posibles

Casos favorables P(A) = Cardinalidad del espacio muestral.

La cardinalidad corresponde a la cantidad de

elementos de un conjunto. Ejemplos:

1. Si se lanza una moneda, ¿cuál es la probabilidad de obtener una cara?

Casos posibles : 2 {Cara, Sello}

Casos favorables : 1 {Cara}

Cardinalidad del evento o suceso A.

Casos posibles

Casos favorables P(Cara) =

1

2 =

Al realizar un experimento, la probabilidad de que ocurra el evento o

suceso A es:

Probabilidad clásica

Para trasformar a porcentaje se

multiplica por 100%.

2. Si se lanza un dado común, ¿cuál es la probabilidad de obtener un

número mayor que 4?

Casos posibles : 6 {1, 2, 3, 4, 5, 6}

Casos favorables: 2 {5, 6}

Casos posibles

Casos favorables P(Número mayor que 4) = (Reemplazando)

2

6 P(Número mayor que 4) = (Simplificando)

1

3 P(Número mayor que 4) =

Tipos de eventos

Evento seguro

Es aquel que siempre sucederá. Si se tiene certeza absoluta de que

un evento A ocurrirá, entonces:

P(A) = 1

Ejemplo:

La probabilidad de obtener un número natural al lanzar un dado común

es 1 (6 de 6).

6

6 = = 1

Casos posibles : 6 {1,2,3,4,5,6}

Casos favorables: 6 {1,2,3,4,5,6}

Casos posibles

Casos favorables P(Natural) =

Tipos de eventos

Evento imposible

Es aquel que nunca sucederá. Si se tiene certeza absoluta de que un

evento A jamás ocurrirá, entonces:

P(A) = 0

Ejemplo:

La probabilidad de obtener un número mayor que 6 al lanzar un dado

común es 0 (0 de 6).

0

6 = = 0

Casos posibles : 6 {1,2,3,4,5,6}

Casos favorables: 0

Casos posibles

Casos favorables P(Mayor que 6) =

¿Cuál es la alternativa

correcta?

ejemplo

5. Una caja contiene 6 esferas, todas de igual peso y tamaño, con las

letras de la palabra TEATRO. Si se extrae una esfera al azar, ¿cuál(es)

de las siguientes afirmaciones es(son) verdadera(s)?

I) La probabilidad de sacar una T es .

II) La probabilidad de NO sacar una consonante es .

III) La probabilidad de sacar una E es igual a la probabilidad de

sacar una O.

A) Solo I

B) Solo III

C) Solo I y II

D) Solo II y III

E) I, II y III

1

3

1

2

Apliquemos nuestros

conocimientos

Resolución:

I) Verdadera, ya que la palabra TEATRO tiene dos T. Entonces:

Casos posibles

Casos favorables P(T) =

Casos posibles: 6

Casos favorables: 2

2

6 =

1

3 =

II) Verdadera, ya que la palabra TEATRO tiene tres vocales. Entonces:

P(NO sacar una consonante) = P(Vocal)

Casos posibles

Casos favorables P(Vocal) =

Casos posibles : 6

Casos favorables: 3

3

6 =

1

2 =

Apliquemos nuestros

conocimientos

Resolución:

III) Verdadera, ya que la palabra TEATRO tiene una E y una O. Entonces,

para ambas letras ocurre que:

Casos posibles

Casos favorables P(E) = P(O) =

Casos posibles : 6

Casos favorables: 1

1

6 =

Por lo tanto, las tres afirmaciones son verdaderas.

Habilidad: Análisis

E

Variable aleatoria

Una variable aleatoria X es una función que asocia a cada suceso del espacio muestral E de un experimento Aleatorio, con un valor numérico real:

La variable aleatoria puede ser discreta o continua. Veremos el caso discreto, que es el conjunto de posibles valores numerables. Ejemplo: cantidad de hermanos, numero de puntos obtenidos al lanzar un dado

Ejemplo de variable aleatoria discreta:

Número de caras al lanzar

3 monedas.

Elementos del espacio muestral +++ ++C +C+ C++ CC+ C+C +CC CCC

Nº reales (# de caras) 0 1 2 3 caras

Establecer una variable aleatoria

para un experimento aleatorio no

es más que una manera de asignar

de "manera natural" números a los

eventos.

Función de probabilidad V.A.D

Es una función que asocia a cada valor xi de una variable

Aleatoria discreta su probabilidad de ocurrencia pi, es decir

f(xi)=P(X=xi):

La función de probabilidad debe cumplir:

1)(0)1 ixf

Si x1, x2, x3,…,xn es el recorrido de la

variable aleatoria x

2) f(x1)+f(x2)+f(x3)+…+ f(xn)=1

Función de probabilidad discreta

se define V A X : números de sellos obtenidos al lanzar dos monedas

Valores Probabilidad

0 1/4 = 0.25

1 2/4 = 0.50

2 1/4 = 0.25

S

S

S S

Además 0.25+0.5+0.25= 1

Gráfico

Ejemplo • Se define la variable aleatoria X:Número de caras

que se obtienen al lanzar 3 veces una moneda

normal.

• Complete la siguiente tabla y determine el valor de

a+b+c+d=

Resultados del

experimento

Valores de X f(xi)=P(X=xi)=

sss X1 f(X1= )=P(X=x1)=a

ssc scs css X2 f(X2= )=P(X=x2)=b

scc csc ccs X3 f(X3= )=P(X=x3)=c

ccc X4 f(X4= )=P(X=x4)=d

Actividad

• Se define la variable aleatoria X: al lanzar

dos dados anotar la suma de sus

puntuaciones.

• Construir una tabla con el espacio

muestral, el recorrido de la VAX, la función

probabilidad y construir un grafico

f(x)

2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 X

1/36

2/36

6/36

4/36

5/36

3/36

2/36

1/36

5/36

4/36

3/36

Gráfico

Función de distribución acumulada de una V.A.D

Dada una variable aleatoria discreta X y su función de probabilidad

f(x)=P(X=x), se define la función de distribución acumulada como la función

Que asocia a cada valor xi la probabilidad acumulada hasta xi

F(xi)= P(X ≤ xi)= f(x1)+f(x2)+f(x3)+…+ f(xi)

se de denota F(x)= P(X ≤ x)

)(F1)X(P1)X(P 4) aaa

aFbFbXaPentoncesbaSi

xFxFxXP

xF

ii

i

)()()(,)3

)()()()2

1)(0)1

1

Ejemplo :

La siguiente tabla representa los valores de la función de distribución acumulada

Para la variable aleatoria X definida como el numero de caras que se obtiene al

lanzar tres veces una moneda

Resultados

del

experiment

o

Valores de X f(x)=P(X=x) F(x)=P(X ≤ x)

sss 0 F(0)=P(X ≤ 0)=

ssc scs css 1 F(1)=P(X ≤ 1)=

scc csc ccs 2 F(2)=P(X ≤ 2)=

ccc 3 F(3)=P(X ≤ 3)=

La esperanza matemática o valor esperado de una

variable aleatoria discreta es la suma del producto

de la probabilidad de cada suceso por el valor de

dicho suceso.

El nombre de esperanza matemática y valor

esperado tienen su origen en los juegos de azar y hacen

referencia a la ganancia promedio esperada por un jugador

cuando hace un gran número de apuestas.

Si la esperanza matemática es cero, E(x) = 0,

el juego es equitativo, es decir, no existe ventaja ni para el

jugador ni para la banca.

Esperanza matemática

Varianza de una V.A.D

222 )( XEXEXV

Desviación estándar de una V.A.D

22)( XEXEXVS

x p i

0 0,1

1 0,2

2 0,1

3 0,4

4 0,1

5 0,1

Sea X una variable aleatoria discreta cuya función de probabilidad es:

Ejemplo

Calcular: Varianza Desviación estándar

Ejercicio

CALCULAR

ESPERANZA

VARIANZA

DESVIACIÓN ESTÁNDAR