presentación de powerpoint · 2017. 11. 3. · en un sorteo, josé tiene un 1,8% de probabilidad...
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Conceptos básicos
El concepto de probabilidad se encuentra con frecuencia en
situaciones de la vida cotidiana.
En un sorteo, José tiene un 1,8% de probabilidad de ganarse un auto.
Ejemplo:
En el ejemplo, se da el “valor” de la posibilidad de que ocurra un
evento (ganarse un auto) y esta se expresa mediante un porcentaje
entre 0 y 100, o con un número entre 0 y 1.
Intuitivamente, podemos observar que cuanto más probable es que
ocurra un evento, su medida de ocurrencia estará más próximo a 100%
(o a 1), y cuando menos probable, más se aproximará a 0.
Espacio muestral
Es el conjunto formado por todos los resultados posibles de un
experimento.
Ejemplos:
1. Al realizar el experimento “lanzar un dado común” el espacio
muestral tiene 6 elementos:
E = {1, 2, 3, 4, 5, 6}
2. Al realizar el experimento “lanzar una moneda y un dado común” el
espacio muestral tiene (2 · 6) = 12 elementos:
E = {c1, c2, c3, c4, c5, c6, s1, s2, s3, s4, s5, s6}
Evento o suceso
Corresponde a un subconjunto de un espacio muestral, asociado a un
experimento aleatorio.
Ejemplo:
Experimento: lanzar un dado de seis caras.
Espacio muestral: E = {1, 2, 3, 4, 5, 6}
Para este espacio muestral, se puede definir el siguiente suceso:
A: Obtener un número par.
Es decir, A = {2, 4, 6}.
Probabilidad clásica
Casos posibles
Casos favorables P(A) = Cardinalidad del espacio muestral.
La cardinalidad corresponde a la cantidad de
elementos de un conjunto. Ejemplos:
1. Si se lanza una moneda, ¿cuál es la probabilidad de obtener una cara?
Casos posibles : 2 {Cara, Sello}
Casos favorables : 1 {Cara}
Cardinalidad del evento o suceso A.
Casos posibles
Casos favorables P(Cara) =
1
2 =
Al realizar un experimento, la probabilidad de que ocurra el evento o
suceso A es:
Probabilidad clásica
Para trasformar a porcentaje se
multiplica por 100%.
2. Si se lanza un dado común, ¿cuál es la probabilidad de obtener un
número mayor que 4?
Casos posibles : 6 {1, 2, 3, 4, 5, 6}
Casos favorables: 2 {5, 6}
Casos posibles
Casos favorables P(Número mayor que 4) = (Reemplazando)
2
6 P(Número mayor que 4) = (Simplificando)
1
3 P(Número mayor que 4) =
Tipos de eventos
Evento seguro
Es aquel que siempre sucederá. Si se tiene certeza absoluta de que
un evento A ocurrirá, entonces:
P(A) = 1
Ejemplo:
La probabilidad de obtener un número natural al lanzar un dado común
es 1 (6 de 6).
6
6 = = 1
Casos posibles : 6 {1,2,3,4,5,6}
Casos favorables: 6 {1,2,3,4,5,6}
Casos posibles
Casos favorables P(Natural) =
Tipos de eventos
Evento imposible
Es aquel que nunca sucederá. Si se tiene certeza absoluta de que un
evento A jamás ocurrirá, entonces:
P(A) = 0
Ejemplo:
La probabilidad de obtener un número mayor que 6 al lanzar un dado
común es 0 (0 de 6).
0
6 = = 0
Casos posibles : 6 {1,2,3,4,5,6}
Casos favorables: 0
Casos posibles
Casos favorables P(Mayor que 6) =
¿Cuál es la alternativa
correcta?
ejemplo
5. Una caja contiene 6 esferas, todas de igual peso y tamaño, con las
letras de la palabra TEATRO. Si se extrae una esfera al azar, ¿cuál(es)
de las siguientes afirmaciones es(son) verdadera(s)?
I) La probabilidad de sacar una T es .
II) La probabilidad de NO sacar una consonante es .
III) La probabilidad de sacar una E es igual a la probabilidad de
sacar una O.
A) Solo I
B) Solo III
C) Solo I y II
D) Solo II y III
E) I, II y III
1
3
1
2
Apliquemos nuestros
conocimientos
Resolución:
I) Verdadera, ya que la palabra TEATRO tiene dos T. Entonces:
Casos posibles
Casos favorables P(T) =
Casos posibles: 6
Casos favorables: 2
2
6 =
1
3 =
II) Verdadera, ya que la palabra TEATRO tiene tres vocales. Entonces:
P(NO sacar una consonante) = P(Vocal)
Casos posibles
Casos favorables P(Vocal) =
Casos posibles : 6
Casos favorables: 3
3
6 =
1
2 =
Apliquemos nuestros
conocimientos
Resolución:
III) Verdadera, ya que la palabra TEATRO tiene una E y una O. Entonces,
para ambas letras ocurre que:
Casos posibles
Casos favorables P(E) = P(O) =
Casos posibles : 6
Casos favorables: 1
1
6 =
Por lo tanto, las tres afirmaciones son verdaderas.
Habilidad: Análisis
E
Variable aleatoria
Una variable aleatoria X es una función que asocia a cada suceso del espacio muestral E de un experimento Aleatorio, con un valor numérico real:
La variable aleatoria puede ser discreta o continua. Veremos el caso discreto, que es el conjunto de posibles valores numerables. Ejemplo: cantidad de hermanos, numero de puntos obtenidos al lanzar un dado
Ejemplo de variable aleatoria discreta:
Número de caras al lanzar
3 monedas.
Elementos del espacio muestral +++ ++C +C+ C++ CC+ C+C +CC CCC
Nº reales (# de caras) 0 1 2 3 caras
Establecer una variable aleatoria
para un experimento aleatorio no
es más que una manera de asignar
de "manera natural" números a los
eventos.
Función de probabilidad V.A.D
Es una función que asocia a cada valor xi de una variable
Aleatoria discreta su probabilidad de ocurrencia pi, es decir
f(xi)=P(X=xi):
La función de probabilidad debe cumplir:
1)(0)1 ixf
Si x1, x2, x3,…,xn es el recorrido de la
variable aleatoria x
2) f(x1)+f(x2)+f(x3)+…+ f(xn)=1
Función de probabilidad discreta
se define V A X : números de sellos obtenidos al lanzar dos monedas
Valores Probabilidad
0 1/4 = 0.25
1 2/4 = 0.50
2 1/4 = 0.25
S
S
S S
Además 0.25+0.5+0.25= 1
Gráfico
Ejemplo • Se define la variable aleatoria X:Número de caras
que se obtienen al lanzar 3 veces una moneda
normal.
• Complete la siguiente tabla y determine el valor de
a+b+c+d=
Resultados del
experimento
Valores de X f(xi)=P(X=xi)=
sss X1 f(X1= )=P(X=x1)=a
ssc scs css X2 f(X2= )=P(X=x2)=b
scc csc ccs X3 f(X3= )=P(X=x3)=c
ccc X4 f(X4= )=P(X=x4)=d
Actividad
• Se define la variable aleatoria X: al lanzar
dos dados anotar la suma de sus
puntuaciones.
• Construir una tabla con el espacio
muestral, el recorrido de la VAX, la función
probabilidad y construir un grafico
f(x)
2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 X
1/36
2/36
6/36
4/36
5/36
3/36
2/36
1/36
5/36
4/36
3/36
Gráfico
Función de distribución acumulada de una V.A.D
Dada una variable aleatoria discreta X y su función de probabilidad
f(x)=P(X=x), se define la función de distribución acumulada como la función
Que asocia a cada valor xi la probabilidad acumulada hasta xi
F(xi)= P(X ≤ xi)= f(x1)+f(x2)+f(x3)+…+ f(xi)
se de denota F(x)= P(X ≤ x)
)(F1)X(P1)X(P 4) aaa
aFbFbXaPentoncesbaSi
xFxFxXP
xF
ii
i
)()()(,)3
)()()()2
1)(0)1
1
Ejemplo :
La siguiente tabla representa los valores de la función de distribución acumulada
Para la variable aleatoria X definida como el numero de caras que se obtiene al
lanzar tres veces una moneda
Resultados
del
experiment
o
Valores de X f(x)=P(X=x) F(x)=P(X ≤ x)
sss 0 F(0)=P(X ≤ 0)=
ssc scs css 1 F(1)=P(X ≤ 1)=
scc csc ccs 2 F(2)=P(X ≤ 2)=
ccc 3 F(3)=P(X ≤ 3)=
La esperanza matemática o valor esperado de una
variable aleatoria discreta es la suma del producto
de la probabilidad de cada suceso por el valor de
dicho suceso.
El nombre de esperanza matemática y valor
esperado tienen su origen en los juegos de azar y hacen
referencia a la ganancia promedio esperada por un jugador
cuando hace un gran número de apuestas.
Si la esperanza matemática es cero, E(x) = 0,
el juego es equitativo, es decir, no existe ventaja ni para el
jugador ni para la banca.
Esperanza matemática
Varianza de una V.A.D
222 )( XEXEXV
Desviación estándar de una V.A.D
22)( XEXEXVS
x p i
0 0,1
1 0,2
2 0,1
3 0,4
4 0,1
5 0,1
Sea X una variable aleatoria discreta cuya función de probabilidad es:
Ejemplo
Calcular: Varianza Desviación estándar
Ejercicio
CALCULAR
ESPERANZA
VARIANZA
DESVIACIÓN ESTÁNDAR