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Acercarse a las matemáticas

Richard R. Skemp Psicología del aprendizaje de las

matemáticas (1980)

Matemáticas: factores interpersonales y emocionales

¿Por qué es una afirmación válida? (¿Por qué estoy equivocado?)

• Lengua, inglés

• Ciencias naturales

• Matemáticas

• ¿Cómo se dice refrigerator? El profesor detenta la autoridad

• Las demostraciones experimentales, los hechos, tienen la autoridad

• El criterio es la consistencia (mutuo acuerdo de dos… la pura razón)

Propiedad asociativa en la multiplicación

(a x b) x c = a x (b x c)

Dificultades • El estudiante no necesita

aceptar cualquier cosa que no sea agradable a su propia inteligencia: idealmente tiene el deber de no hacerlo

• Lo no inteligible supone un agravio para el estudiante, un insulto a su inteligencia…

• Intentar comprender algo implica la acomodación de los esquemas propios. En la medida en que lo que se está comunicando no es inteligible, el receptor está intentando acomodar sus esquemas para asimilar la no significación.

• Hacer esto sería equivalente a la destrucción de tales esquemas, el equivalente mental de la herida corporal

Propiedad asociativa en la multiplicación

(a x b) x c = a x (b x c)

(5 x 4) x 3 = 5 x (4 x 3)

Problema: reglas sin razones

• Por eso las matemáticas (mal planteadas) no solo no atraen, sino que repelen: porque lastiman la propia inteligencia, desorganizan lo que hay

• Ahora bien, el problema no es del alumno, en absoluto, el problema es: – Bien que la materia se les está mostrando, enseñando,

de forma no significativa (sin razones explícitas) – Bien que no han recibido ciertas ideas preliminares

necesarias para la comprensión de las nuevas

Otros problemas • Ejercicio de autoridad: disciplinar (estatutaria) vs. “iluminadora” • El flujo de comunicación, la posibilidad de discutir ideas y los

tamaños de grupo (ideal de 2 a 6 personas) • Problema de la ansiedad y la actividad mental elevada:

– A corto plazo, la ansiedad elevada dificulta la comprensión (bloqueo) – A largo plazo, instaura un estímulo aprendido de ansiedad en clase de

matemáticas (cada clase, ya empieza mal).

• Causas de ansiedad: – Profesor autoritario – Que los esquemas necesarios para la comprensión no estén presentes y

disponibles cuando son necesarios para un nuevo aprendizaje se fuerza el aprendizaje de memoria (no esquemático)

– Siempre hay algún tipo de organización mental de lo aprendido. Lo importante es si esta organización incorpora los conceptos matemáticos y estructuras elementales necesarios para el éxito próximo… y remoto

Inteligencia B

• Inteligencia A: potencial innato… • Inteligencia B: acumulación total de los

planes o esquemas mentales construidos a través de la interacción del individuo con su ambiente, en la medida en que su equipo constitucional lo permite – Esquema: estructura conceptual

Formación de conceptos

Formación de conceptos • Conducta y conocimiento:

– Los humanos vamos llevando a cabo clasificaciones de experiencias previas (vamos creando clases)

– Y vamos incluyendo la experiencia presente en una de esas clases (acomodamos la experiencia pasada a la situación presente)

Ejemplo pre-verbal: Un niño de dos años de edad, viendo un bebé gateando, reaccionaba como usualmente lo hacía con los perros, acariciando su cabeza y dando palmadas en su espalda (había visto muchos perros, pero nunca a otro niño “a cuatro patas”)

Clasificación: el nivel inferior

• Clasificar implica reconocer un objeto como uno que hemos visto antes… pero eso nunca sucede dos veces de la misma y exacta manera.

• Por tanto, lo que sucede es que vamos abstrayendo ciertas propiedades invariantes que persisten en la memoria más tiempo que el recuerdo de una presentación del objeto en particular

s

s1 s2 s3 sn

Abstracción 1er orden (perceptual):

propiedades comunes de la silla

del comedor

S

S’ S’’ S’’’ Sn

Abstracción 2º orden (funcional): propiedades del

concepto silla

Mueble

Punto a tener en cuenta: la adscripción funcional específica de una clasificación, que evita ver otros aspectos de las cosas. Coche: - Ahorra tiempo - Liberador - Da estatus - … - (Peligroso) - (Contaminador) - (Caro)

Entonces…

• Abstraer: actividad por la cual nos hacemos conscientes de similitudes entre nuestras experiencias

• Clasificar: reunir nuestras experiencias sobre la base de estas similitudes

• Una abstracción es cierto tipo de cambio mental duradero, el resultado de abstraer, que nos capacita para reconocer nuevas experiencias como poseedoras de similitudes con una clase ya formada – Es algo aprendido que nos capacita para clasificar, la

propiedad definidora de una clase – Abstracción como producto final = CONCEPTO

Formación de conceptos

• Como hemos visto, para formar un concepto es preciso un cierto número de experiencias que tengan algo en común

• Entonces, una vez formado el concepto, podemos (retrospectiva y prospectivamente) hablar acerca de ejemplos del concepto – ¿Qué son ejemplos de algo y que no son ejemplos de

algo? (algo que podemos distinguir en base a la posesión del concepto)

– “Eso (señalamos un taburete) no es una silla…”

El concepto y su nombre • Un concepto es una idea; el nombre de un concepto es un sonido, o

una marca de papel, asociada con él. • La asociación puede formarse después de que el concepto ha sido

formado, o en el proceso de formarlo. • El nombre ayuda a clasificar el concepto, pero no lo forma, si bien

oír repetidamente un nombre relacionado con ciertas experiencias, puede incrementar nuestras oportunidades de abstraer (inferir) sus similitudes intrínsecas (“dame el rojo, me llevo el rojo, el rojo mismo, etc.”… en todo ello coincide un elemento común: rojo, que es un color)

• El lenguaje ayuda a activar la formación de conceptos, recolectando y separando experiencias (contributivas del concepto) y también identificando los contra ejemplos.

Tipos de concepto

Conceptos primarios • Los que derivan de

nuestras experiencias sensoriales y motoras del mundo exterior (rojo, dulce, pesado, caliente)

• “Rojo es el color que experimentamos por la luz de longitud de onda en la zona de 0,6 micras”… ¿es un concepto primario?

Conceptos secundarios • Los que son abstraídos de

otros conceptos • Si el concepto A es un ejemplo

del concepto B, entonces diremos que B es de un orden superior a A. si B es ejemplo de C, entonces C es de orden más elevado que B y A (abstraído de… B y A)

• Más abstracto = más separado del mundo externo, dentro de la misma jerarquía

“En general, los conceptos de un orden superior a aquellos que una persona ya posee no pueden comunicarse mediante una definición, sino, únicamente, reuniendo ejemplos adecuados para que experimente” (Skemp, 1980; p. 30).

Una definición puede servir, pero únicamente: • Para añadir precisión a las fronteras de un concepto una vez formado • Para establecer explícitamente su relación con otros conceptos • También para comunicar nuevos conceptos de orden más bajo (por ej.,

“agua templada” = agua fría + agua caliente

“Por tanto, los conceptos de orden más elevados en jerarquía, respecto de los que una persona ya posee, no pueden comunicarse por definición. Las matemáticas no pueden ser definidas con precisión a priori… solo ejemplificadas.”

Por definición: (a x b) x c = a x (b x c) es la propiedad asociativa en la multiplicación

“Sin embargo, en matemáticas, no solo los conceptos son más abstractos que los de la vida diaria, sino que la dirección del aprendizaje va en su mayor parte en la de una abstracción todavía mayor.” (p. 30).

El problema con las mates • Las Mas se articulan en una organización jerárquica de conceptos

progresivamente más abstractos (lo sensorial pasa pronto a lo abstracto en segundo, tercer, cuarto orden…)

• La memoria operativa almacena entorno a 7±2 unidades (palabras, símbolos). Por eso, cuanto más elevado sea el orden de abstracción de los conceptos que estos símbolos representan, mayor será la experiencia almacenada que mantienen (condensada). Compárese la abstracción que implica el símbolo “2” respecto a la que implica “ 2” o “∫𝑥𝑥2”

• Cuando se nos impone la manipulación mecánica de símbolos memorizados con poca o ninguna significación, en virtud de una estructura conceptual no-integrada, lo pasamos mal

• Es vital que ese progresivo conocimiento abstracto esté bien ligado. Las matemáticas que sabemos hoy y aprendemos en la escuela, incluso en la escuela primaria, fueron proezas intelectuales cuando fueron descubiertas y conceptualizadas hace 100, 500, 1000, 2000 años…

2 pre-requisitos del aprendizaje de conceptos matemáticos (síntesis)

1. Los conceptos de un orden más elevado que aquellos que una persona ya tiene, no le pueden ser comunicados mediante una definición, sino solamente preparándola para enfrentarse a una colección adecuada de ejemplos.

2. Puesto que en matemáticas muy pronto estos ejemplos son invariablemente otros conceptos abstractos, es necesario en principio asegurarse de que éstos se encuentran ya formados en la mente del que aprende

Teorema de Pitágoras… c2 = a2 + b2 c = 𝑎𝑎2 + 𝑏𝑏2

c = hipotenusa a = cateto menor b = cateto mayor

Problema: nunca haber visto antes un (ejemplo de) cuadrado reposando sobre un plano inclinado

Planificación (2º principio)

Antes de que intentemos comunicar un nuevo concepto debemos encontrar cuáles son sus conceptos contributorios; y, para cada uno de estos, hemos de aflorar sus conceptos contributorios; y así sucesivamente, hasta que alcancemos los conceptos primarios, o experiencias que suponemos como “dadas”. Cuando se ha conseguido esto, puede formarse un plan idóneo que presentará, al que aprende, una tarea posible, no una imposible.

Consecuencias de la no planificación (principio 2)

1. En la construcción de estructuras de abstracciones sucesivas, si un nivel dado se comprende imperfectamente, cualquier cosa derivada se encuentra en peligro. Esta dependencia es probablemente mayor en matemáticas que en cualquier otra materia (por ej., sin aritmética, no hay álgebra que se entienda).

2. Los conceptos contributorios necesitan para cada nueva etapa de abstracción estar disponibles. No es suficiente que hayan sido aprendidos en el pasado: han de estar accesibles cuando se necesitan. Hay que disponer de facilidades para retroceder.

La idea de un esquema

Los conceptos individuales tienden a integrarse en una estructura: el esquema

• Objetos y relaciones de distintos tipos (de orden… más que, sucesor de… de equivalencia… semejante a, mismo tamaño que…) entre objetos – Jerarquías de conceptos de clases

• Relaciones individuales y clases de relaciones: por ejemplo, trasformaciones y funciones: – Bueno malo… caliente frío… alto bajo – Bueno mejor… malo peor… alto más alto

• Bueno peor … caliente más frío …

Esquemas • Existen una serie de métodos para interrelacionar

conceptos, dando lugar a estructuras resultantes • El estudio de las estructuras mismas es una parte

importante de las matemáticas • El estudio de las maneras en que se construyen y

funcionan, se encuentra en el verdadero núcleo de la psicología del aprendizaje de las matemáticas

• El término psicológico general para una estructura mental es un esquema. El esquema tiene dos funciones principales: – Integra conocimiento existente – Es un instrumento mental para la adquisición de nuevo

conocimiento

Problemas con los esquemas • No adquirirlo… El aprendizaje esquemático puede

requerir más tiempo que el aprendizaje de una tarea aislada (memorizar puede costar menos tiempo que comprender). Aquí “lo mejor” (más rápido) es sin duda enemigo de “lo bueno”…

• Su resistencia… Cuando la experiencia se ajusta bien al esquema que tenemos, se recuerda mejor, y el esquema termina por adquirir un efecto selectivo sobre nuestra experiencia. Lo que no se ajusta a él, no se aprende en absoluto o se olvida pronto: – Coche es lo que me da libertad, velocidad, status …

• [peligro, contaminación, coste]

Esquemas adaptables Capaces de organizar la experiencia pasada y asimilar nuevos datos Asimilar nuevos datos siempre implica cierta acomodación

Capaces de acomodarse a la nueva situación Pero se entiende por acomodación la presencia de cambios estructurales en el esquema mismo

Carlitos se ha dado cuenta de la diferencia entre la gente de su país y los extranjeros. Su esquema del extranjero es el de una persona que viene de fuera; que habla su idioma con un acento diferente, quizá con dificultad. Que difieren en su forma de vestir, etc. Nuevos individuos extranjeros y nuevas clases (por países) son asimilados fácilmente a este concepto

Carlitos se va de vacaciones con sus padres a otro país, y descubre que él mismo es considerado como un extranjero. Para él esto es incomprensible. Los habitantes locales son los extranjeros; ¡él es español! Antes de que pueda comprender esta nueva experiencia –asimilarla a su esquema- el esquema mismo ha de acomodarse. Un extranjero es cualquiera que no está en su país. En la acomodación, su primer concepto no queda destruido: el esquema original pasa a formar parte del nuevo (re-estructuración, no eliminación).

Esquemas adaptables Capaces de organizar la experiencia pasada y asimilar nuevos datos Asimilar nuevos datos siempre implica cierta acomodación

Capaces de acomodarse a la nueva situación Pero se entiende por acomodación la presencia de cambios estructurales en el esquema mismo Aprendizaje del esquema del

sistema de los números naturales, los números contables, y las operaciones de suma y multiplicación. Contar hasta diez, contar hasta 20… sumar números de una cifra… sumar números de dos cifras (aprender el valor del lugar del número: unidades, decenas) lleva a una extensión simple a suma de números de 3, 4, 5 cifras. En todo el proceso predomina la asimilación.

Aparecen los números fraccionarios, que constituyen un nuevo sistema numérico. Por ejemplo, un número infinito de fracciones diferentes se emplea para representar el mismo número. La multiplicación ya no se puede comprender como una adición repetida. Antes de poder entender los números fraccionarios se requiere una mayor acomodación del sistema numérico

Implicaciones

La importancia central del esquema como instrumento de aprendizaje, significa que si los primeros esquemas son inadecuados, dificultan la asimilación de conceptos posteriores, o quizá hacen que esto no sea posible. “Inadecuado” incluye también no existente.

Habría que intentar

1. Establecer un fundamento bien estructurado de ideas matemáticas básicas, sobre el cual podrá construir el que aprende en cualquier dirección futura que sea necesaria

2. Enseñar a los alumnos a buscar esos patrones básicos por sí mismos

3. Enseñarles siempre a estar preparados para acomodar sus esquemas