pozos y barreras en mecánica cuántica: retraso...
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Pozos y Barreras en Mecanica Cuantica: Retraso
Temporal
Alfonso Isaac Jaimes Najera
Cinvestav
10 de diciembre de 2012
Alfonso Isaac Jaimes Najera (Cinvestav) Pozos y Barreras: Retraso Temporal 10 de diciembre de 2012 1 / 39
Introduccion
Estudiaremos la dinamica de una partıcula en un proceso de
dispersion unidimensional en Mecanica Cuantica.
Un proceso de dispersion es aquel en el cual una partıcula incide con
una cierta energıa sobre un dispersor que se modela como un
potencial de corto alcance.
Para esto usamos la ecuacion de Schrodinger, la cual gobierna la
dinamica de las partıculas.
´
Esta dicta la evolucion temporal del estado | i de un sistema fısico.
Alfonso Isaac Jaimes Najera (Cinvestav) Pozos y Barreras: Retraso Temporal 10 de diciembre de 2012 2 / 39
Introduccion
Analizaremos la dinamica de una partıcula por medio de la funcion de
onda hx | i = (x , t),
Ecuacion de Schrodinger ! (x , t) (1)
Condiciones de frontera: continuidad de la funcion de onda y de su
derivada. Que sea acotada.
Alfonso Isaac Jaimes Najera (Cinvestav) Pozos y Barreras: Retraso Temporal 10 de diciembre de 2012 3 / 39
La ecuacion de Schrodinger para este caso esta dada por
� ~22m
@2
@x2 (x , t) + V (x) (x , t) = i~ @
@t (x , t) (2)
Proponemos llevar a cabo la separacion de variables en la sig. forma
(x , t) = (x)f (t) (3)
y sustituyendo en la ec. (2) obtenemos para f
i~@f (t)@t
= E f (t), (4)
cuya solucion es
f (t) = e
�iEt/~. (5)
Alfonso Isaac Jaimes Najera (Cinvestav) Pozos y Barreras: Retraso Temporal 10 de diciembre de 2012 4 / 39
Mientras que para obtenemos la siguiente ecuacion
� ~22m
@2
@x2 (x) + V (x) (x) = E (x), (6)
que se conoce como la ecuacion estacionaria de Schrodinger. Si el estado
de un sistema esta descrito por la funcion de onda
(x , t) = (x)e�iEt/~, (7)
el estado es estacionario. En Mecanica Cuantica se deriva una ecuacion de
continuidad
@⇢(x , t)
@t+
@j(x , t)
@x= 0, (8)
donde
⇢(x , t) = | (x , t)|2, j(x , t) =i~2m
✓
@ ⇤
@x� ⇤@
@x
◆(9)
Alfonso Isaac Jaimes Najera (Cinvestav) Pozos y Barreras: Retraso Temporal 10 de diciembre de 2012 5 / 39
Estudiaremos la dispersion de partıculas con potenciales rectangulares
Se siguen exigiendo las condiciones a la frontera
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El potencial escalon
Consideremos una partıcula incidiendo por la izquierda. Debemos resolver
� ~22m
d
2
dx
2
(x) + V (x) (x) = E (x) (10)
Notemos que existen dos casos: E < V
0
, E � V
0
.
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Caso E < V
0
:
Dividimos el espacio en dos regiones
00+ k
2 = 0 para x 0, (11)
00 � q
2 = 0 para x > 0, (12)
donde
k
2
=
2mE
~2 , q
2
=
2m
~2 (V0
� E ), (13)
cuyas soluciones son
(x) =
8<
:
Ae
ikx
+ Be
�ikx , x 0
Ce
�qx
+ De
qx , x > 0
(14)
donde D = 0, la condicion de frontera impide su existencia.
Alfonso Isaac Jaimes Najera (Cinvestav) Pozos y Barreras: Retraso Temporal 10 de diciembre de 2012 8 / 39
Analicemos las soluciones un momento.
j
e
ikx
=
~km
|A|2, j
e
�ikx
= �~km
|B |2, j
e
�qx = 0. (15)
e
ikx ! E (16)
e
�ikx E (17)
Alfonso Isaac Jaimes Najera (Cinvestav) Pozos y Barreras: Retraso Temporal 10 de diciembre de 2012 9 / 39
Apliquemos las condiciones de frontera
(x)|x=0
� = (x)|x=0
+
) A+ B = C , (18)
d (x)
dx
����x=0
�=
d (x)
dx
����x=0
+
) ikA� ikB = �qC . (19)
obtenemos
= A(e
ikx
+
ik + q
ik � q
e
�ikx
), x 0, (20)
= A
2ik
ik � q
e
�qx , x > 0, (21)
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El flujo de partıculas resulta nulo, tanto en x 0 como en x > 0. Por
tanto todas las partıculas son reflejadas.
-10 -5 5
1
2
3
4
Figura: La funcion | |2 para A = 1, V
0
= 1 y E = 0,75.
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Caso E > V
0
:
Las soluciones a la ecuacion estacionaria son
= Ae
ikx
+ Be
�ikx , x 0, (22)
= Ce
ik
1
x
+ De
�ik
1
x , x > 0, (23)
donde k
2
=
2mE
~2 , k
2
1
=
2m
~2 (E � V
0
),
donde tomamos D = 0. Aplicando las condiciones de continuidad
obtenemos
= A
✓e
ikx
+
k � k
1
k + k
1
e
�ikx
◆, x 0, (24)
= A
2k
k + k
1
e
ik
1
x , x > 0. (25)
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El flujo para x < 0 esta dado por
j< =
~km
(|A|2 � |B |2). (26)
Asımismo para x > 0
j> =
~k1
m
|C |2 (27)
Las condiciones de frontera garantizan que el flujo es continuo, entonces
j< = j>, obteniendo
k |A|2 = k |B |2 + k |C |2 (28)
k |A|2 es proporcional al flujo incidente j
inc
,
k |B |2 es proporcional al flujo reflejado j
r
, (29)
k
1
|C |2 es proporcional al flujo transmitido j
t
.
La reflexion es parcial.
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Introducimos el coeficiente de reflexion R y el de transmision T , como
sigue
R :=
|jr
||jinc
| =k |B |2
k |A|2 =
✓k � k
1
k + k
1
◆2
, (30)
T :=
|jt
||jinc
| =k
1
|C |2
k |A|2 =
4kk
1
(k + k
1
)
2
. (31)
De (28) se sigue que estos coeficientes cumplen la relacion
R + T = 1. (32)
0.0 0.5 1.0 1.5 2.0 k2
0.2
0.4
0.6
0.8
1.0R
Figura: Coeficiente de reflexion como funcion de E/V0
.
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Pozo rectangular
Analizamos la dispersion de partıculas debida a un pozo.
Figura: El pozo cuadrado de ancho 2a y profundidad V
0
.
Primeramente analizamos los estados con E � 0.
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Dividimos el espacio en tres regiones.
En este caso las soluciones son
I
= A
1
e
ikx
+ B
1
e
�ikx , x < �a, (33)
II
= A
2
e
iq
1
x
+ B
2
e
�iq
1
x , �a x a, (34)
III
= A
3
e
ikx
+ B
3
e
�ikx , x > a, (35)
con
k
2
=
2mE
~2 q
2
1
=
2m
~2 (E + V
0
). (36)
Donde tomamos B
3
= 0, y aplicando las condiciones a la frontera se
obtiene el valor de B
1
(reflejadas) y A
3
(transmitidas).
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Con esto obtenemos los coeficientes de reflexion y transmision
T =
����A
3
A
1
����2
=
"1 +
1
4
✓q
1
k
� k
q
1
◆2
sen
2
(2q
1
a)
#�1
(37)
R =
���B1
A
1
���2
= 1� T . Cuando E !1, q
1
/k ! 1 y T ! 1.
Cuando sen 2q
1
a = 0 tenemos T = 1.
-1.5 -1.0 -0.5 0.5 1.0 1.5 2.0 k2
-1.0
-0.5
0.5
1.0
1.5T
Figura: Coeficiente de transmision para a =2.8, V
0
= 1.
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Caso �V0
E < 0.
Las soluciones son
I
= A
1
e
x , x < �a, (38)
II
= A
2
e
iqx
+ B
2
e
�iqx , �a x a, (39)
III
= B
3
e
�x , x > a. (40)
donde
2 =�2mE
~2 =
2m|E |~2 (41)
q
2
=
2m(E + V
0
)
~2 (42)
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Aplicando las condiciones de frontera obtenemos la siguiente ecuacion
trascendental. ✓� iq
+ iq
◆2
= e
4iqa
(43)
Solo ciertos valores de E satisfacen esta ecuacion: Discretizacion de
energıas.
-1.5 -1.0 -0.5 0.5 1.0 1.5 2.0 k2
-1.0
-0.5
0.5
1.0
1.5T
Figura: Coeficiente de transmision para a =2.8, V
0
= 1.
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Barrera rectangular
Analizamos la dispersion de partıculas debida a una barrera cuadrada.
Figura: Barrera de potencial de ancho a y altura V
0
.
Casos: E < V
0
, E � V
0
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Caso E < V
0
Las soluciones son
I
= A
1
e
ikx
+ B
1
e
�ikx , x < 0, (44)
II
= A
2
e
qx
+ B
2
e
�qx , 0 x a, (45)
III
= A
3
e
ikx , x > a. (46)
donde
k
2
=
2mE
~2 , (47)
q
2
=
2m(V
0
� E )
~2 (48)
Alfonso Isaac Jaimes Najera (Cinvestav) Pozos y Barreras: Retraso Temporal 10 de diciembre de 2012 21 / 39
Aplicando las condiciones de continuidad obtenemos el coeficiente de
transmision y el de reflexion
T = 1� R =
"1 +
1
4
✓k
q
� q
k
◆2
senh
2
qa
#�1
k
2 < V
0
, (49)
Caso E � V
0
Las soluciones son las del caso anterior con el cambio
q ! iq (50)
y obtenemos
T = 1� R =
"1� 1
4
✓k
q
� q
k
◆2
sen
2
qa
#�1
k
2 � V
0
, (51)
Alfonso Isaac Jaimes Najera (Cinvestav) Pozos y Barreras: Retraso Temporal 10 de diciembre de 2012 22 / 39
Con estas funciones tenemos el coeficiente de transmision para k
2 � 0
1 2 3 4 k2
0.2
0.4
0.6
0.8
1.0
T
Figura: Coeficiente de transmision para a = 5, V
0
= 1, como funcion de k
2
.
Tunelamiento Cuantico: en la mecanica clasica esperamos reflexion total.
Alfonso Isaac Jaimes Najera (Cinvestav) Pozos y Barreras: Retraso Temporal 10 de diciembre de 2012 23 / 39
Corrimiento de fase
Analicemos la onda transmitida. Escribiendo
A
1
= |A1
|e i�1 , A
3
= |A3
|e i�3
(52)
vemos que
A
3
A
1
=
|A3
||A
1
|e�i(�
1
��3
)
=
pTe
�i�(53)
Notamos un corrimiento de fase respecto de la onda incidente.
III
= A
1
pTe
i(kx��)(54)
Reduccion de la amplitud de la onda
Corrimiento de fase
Alfonso Isaac Jaimes Najera (Cinvestav) Pozos y Barreras: Retraso Temporal 10 de diciembre de 2012 24 / 39
Asımismo podemos calcularlo para la onda reflejada. Escribiendo
A
1
= |A1
|e i�1 , B
1
= |B1
|e i�2
(55)
vemos que
B
1
A
1
=
|B1
||A
1
|e�i(�
1
��2
)
=
pRe
�i⇣(56)
Notamos un corrimiento de fase respecto de la onda incidente.
ref
= A
1
pRe
�i(kx+⇣)(57)
Alfonso Isaac Jaimes Najera (Cinvestav) Pozos y Barreras: Retraso Temporal 10 de diciembre de 2012 25 / 39
Paquetes de ondas
Los estados que hemos estudiado son estacionarios y no son de cuadrado
integrable.
Analicemos una situacion distinta para la partıcula libre: superposicion.
La ecuacion de Schrodinger admite soluciones como
(x , t) =
Z 1
�1dk ⇤(k)e
�i(kx+!(k)t), (58)
donde |⇤(k)|2 es la distribucion de energıa.
A una solucion de este tipo se le llama paquete de onda
Alfonso Isaac Jaimes Najera (Cinvestav) Pozos y Barreras: Retraso Temporal 10 de diciembre de 2012 26 / 39
Supongamos a ⇤(k) muy localizada en un intervalo (k
0
� b, k0
+ b).
Ası,
(x , t) =
Z 1
�1dk ⇤(k)e
�i(k(x�x
0
)+!t), (59)
sera un paquete de ondas localizado con energıa E
0
= ~2k20
/2m.
El centro del paquete se desplaza con una velocidad de grupo
v
g
(k
0
) =
d!
dk
����k=k
0
= 2k
0
. (60)
Alfonso Isaac Jaimes Najera (Cinvestav) Pozos y Barreras: Retraso Temporal 10 de diciembre de 2012 27 / 39
Buscaremos los valores de x y t para los cuales las ondas esten en fase,
para tener interferencia constructiva.
Reescribimos el paquete en la forma
inc
(x , t) =
Z 1
�1dk ⇤(k)e
i�(k), (61)
donde
�(k) = �k(x � x
0
)� !(k)t. (62)
Nos fijamos en aquellas ondas con k ⇡ k
0
.
Queremos que la fase varıe poco alrededor de k
0
.
Alfonso Isaac Jaimes Najera (Cinvestav) Pozos y Barreras: Retraso Temporal 10 de diciembre de 2012 28 / 39
Esto lo pedimos mediante la condicion de fase estacionaria:
d
dk
�(k)
����k=k
0
= 0 (63)
Con lo que obtenemos la ecuacion que determina el centro del paquete
d
dk
(k(x � x
0
) + !t)
����k=k
0
= 0 (64)
x = x
0
� v
g
t. (65)
Para tener mayor claridad, tomemos una distribucion de energıa en
especial.
Alfonso Isaac Jaimes Najera (Cinvestav) Pozos y Barreras: Retraso Temporal 10 de diciembre de 2012 29 / 39
Paquete Gaussiano
Tomemos una distribucion Gaussiana
⇤(k) =
1pp⇡b
e
�(k�k
0
)
2/(2b2)(66)
Con esta distribucion obtenemos el modulo cuadrado de la funcion de onda
| (x , t)|2 = b/~p⇡(1 + b
4
t
2/m2~2)exp
�(b/~)2(x � x
0
+ 2k
0
t)
2
1 + b
4
t
2/m2~2
�. (67)
Alfonso Isaac Jaimes Najera (Cinvestav) Pozos y Barreras: Retraso Temporal 10 de diciembre de 2012 30 / 39
Dispersion de un paquete de ondas
Consideremos un paquete de ondas localizado con energıa E
0
= ~2k20
/2m,
incidente por la derecha de la barrera desde x = x
0
en t = 0
inc
(x , t) =
Z 1
�1dk ⇤(k)e
�i(k(x�x
0
)+!t), (68)
donde E = ~! = ~k2/2m, y ⇤(k) es el coeficiente de Fourier.
Las ondas transmitidas se escriben
trans
=
pTe
�i(kx+�), (69)
entonces escribimos al paquete transmitido como
trans
(x , t) =
Z 1
�1dk ⇤(k)
pT (k , a)e�i(k(x�x
0
)+!t+�). (70)
Alfonso Isaac Jaimes Najera (Cinvestav) Pozos y Barreras: Retraso Temporal 10 de diciembre de 2012 31 / 39
Aplicamos la condicion de fase estacionaria al paquete transmitido
d
dk
(k(x � x
0
) + !t + �)
����k=k
0
= 0. (71)
Con esto obtenemos
x = x
0
� v
g
t +
@�
@k
����k=k
0
!, (72)
mientras que para el paquete libre tenemos
x = x
0
� v
g
t. (73)
Si
@�
@k
����k=k
0
> 0 ! Adelanto (74)
Si
@�
@k
����k=k
0
< 0 ! Retraso (75)
Alfonso Isaac Jaimes Najera (Cinvestav) Pozos y Barreras: Retraso Temporal 10 de diciembre de 2012 32 / 39
Para el paquete reflejado
ref
(x , t) =
Z 1
�1dk ⇤(k)
pR(k , a)e i(k(x+x
0
)�!t�⇣), (76)
aplicamos la condicion de fase estacionaria
d
dk
(k(x + x
0
)� !t � �)����k=k
0
= 0. (77)
Con esto obtenemos
x = �x0
+ v
g
t +
@�
@k
����k=k
0
!. (78)
Alfonso Isaac Jaimes Najera (Cinvestav) Pozos y Barreras: Retraso Temporal 10 de diciembre de 2012 33 / 39
Derivada del corrimiento de fase
0 1 2 3 4
0.5
1.0
1.5
2.0
Figura: Retraso temporal debido a un pozo cuadrado con a = 6, y V
0
= 1.
Alfonso Isaac Jaimes Najera (Cinvestav) Pozos y Barreras: Retraso Temporal 10 de diciembre de 2012 34 / 39
0.0 0.5 1.0 1.5 2.0
-2
-1
0
1
2
3
Figura: Retraso temporal debido a una barrera cuadrada con a = 8 y V
0
= 1.
Alfonso Isaac Jaimes Najera (Cinvestav) Pozos y Barreras: Retraso Temporal 10 de diciembre de 2012 35 / 39
Proceso de dispersion completo
Analicemos la dispersion de un paquete de ondas en todo el eje real
Las soluciones a la ecuacion estacionaria para la barrera estan dadas por
(x) =
8>>>><
>>>>:
e
ikx
+
pRe
�i(kx+⇣), x < a
A
2
e
qx
+ B
2
e
�qx , �a x a
pTe
i(kx��)x > a
(79)
La funcion de onda en todo el eje real esta dada por
(x , t) =
Z 1
0
dk ⇤(k) (x)e i(kx0+!t). (80)
Alfonso Isaac Jaimes Najera (Cinvestav) Pozos y Barreras: Retraso Temporal 10 de diciembre de 2012 36 / 39
Muchas Gracias
Alfonso Isaac Jaimes Najera (Cinvestav) Pozos y Barreras: Retraso Temporal 10 de diciembre de 2012 37 / 39
Derivada del corrimiento de fase
0 1 2 3 40.0
0.5
1.0
1.5
2.0
Figura: Retraso temporal debido a un pozo cuadrado con a = 6, y V
0
= 1 (rojo).
Coeficiente de transmision para los mismos parametros (azul).
Alfonso Isaac Jaimes Najera (Cinvestav) Pozos y Barreras: Retraso Temporal 10 de diciembre de 2012 38 / 39
0.0 0.5 1.0 1.5 2.0
-2
-1
0
1
2
3
Figura: Retraso temporal debido a una barrera cuadrada con a = 8 y V
0
= 1
(rojo). Coeficiente de transmision para los mismos parametros (azul).
Alfonso Isaac Jaimes Najera (Cinvestav) Pozos y Barreras: Retraso Temporal 10 de diciembre de 2012 39 / 39
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