p h p v - materias.fi.uba.armaterias.fi.uba.ar/6722/nivel.pdf · sistemas de control 67-22 versión...
Post on 05-Feb-2018
219 Views
Preview:
TRANSCRIPT
Sistemas de control 67-22 versión 2007 Página 1 de 10
Modelos de nivel de líquido.
Buscamos unsuperficie librla ambiente. L
es un líquido
y llamamos b
teniendo en c
Modelos de N
a relación entre Q y H, por el teorema de Bernoulli tomemos la sección 1 en la e del tanque y la sección 2 en la salida, en ese caso ambas presiones son iguales a a diferencia de alturas es la profundidad del tanque H. Considerando que el fluido
incompresible tomamos un peso específico g constante.
hVPhPgg
V2
2
221
211
22++=++
γγ
P1 = P2 = Pambiente
h1 -h2 = H
la relación de los diámetros de la salida y del tanque
φφβ
1
2=
uenta la ecuación de continuidad
QSVSV =•=•2211
ivel de Líquidos pág. 1
Sistemas de control 67-22 versión 2007 Página 2 de 10
siendo la superficie de las secciones circulares
4
2φπ •=S
combinando estas últimas tres expresiones tenemos
β 2
21•=VV
reemplazando esta expresión en la del teorema de Bernoulli y teniendo en cuenta la igualdad de las presiones a la ambiente en las secciones que tomamos queda
HgV •=
−• 212
42 β
la velocidad de salida del líquido del tanque queda
HgV •−
=β 42
1
2
entonces la expresión del caudal de salida es:
HgD SCVSCQ D
•−
••=••=β 422 1
22
Donde CD es el coeficiente de descarga que tiene en cuenta la eficiencia del orificio de salida agrupamos todo lo que antecede a la raíz de H como una constante K
HKQ •=
Modelos de Nivel de Líquidos pág. 2
Sistemas de control 67-22 versión 2007 Página 3 de 10
Representamos esta relación de raíz cuadrada (no lineal) . Tomemos el difer
dQ
Definiremos dosmecánico a un cir Capacitancia: es nivel. Se hace essuperficie del tanen un circuito RCResistencia: es lasalida Suponemos el vainversa la llamam
1
Modelos de Nive
encial primero para linealizar la expresión del caudal
hdhdhdQq K
HQ
•=•
== ´
,
conceptos que tienen aplicación cuando se hace la analogía del problema cuito eléctrico ( en general R,L ,C en distintas configuraciones):
la razón entre el cambio en la cantidad de líquido acumulado y el cambio de ta interpretación puesto que en la ecuación diferencial ocupa el lugar de la que con lo cual se logra una equivalencia con el modelo de carga del capacitor . razón entre el cambio en la diferencia de niveles y el cambio en el caudal de
lor de la derivada en el punto de funcionamiento constante del valor K´ y a su os R pues coincide con la resistencia que opone el orificio a la salida de fluido,
Rhq =
0
l de Líquidos pág. 3
Sistemas de control 67-22 versión 2007 Página 4 de 10
las letras minúsculas indican variaciones alrededor del punto de funcionamiento, colocamos el subíndice “o” para simbolizar en este caso las variaciones del caudal de salida , y le colocaremos el subíndice i para simbolizar las variaciones del caudal de entrada
El volumen que se acumula en el tanque es la integral del caudal entrante menos el saliente en el tiempo y un diferencial de volumen será
A la superficie dpor otro lado loquedando
si transformamodespejar las varia
despejemos la re
)(
(
sh
shC
⋅
⋅
Modelos de Nive
[ ] dtqQqQdh oiSdV •+−+=•= )1
(
el tanque se la considera como la capacidad en este modelo por lo que S1 = C s caudales de diseño entran sumando y restando , por lo que se cancelan
qq oidtdhC −=•
2
s las expresiones 1 y 2 nos queda el siguiente sistema que nos permitirá ciones del nivel en función del caudal modulado de entrada qo
)()(
)()()(
0 shsqRsqsqsshC oi
=⋅−=⋅⋅
lación entre el caudal modulado qi(s) y el aumento de nivel h(s):
)(1
)()()
sqR
sC
Rshsqs
i
i
=
+⋅
−=⋅
l de Líquidos
1)(
)(
+⋅⋅=
sCRR
sqsh
i
pág. 4
Sistemas de control 67-22 versión 2007 Página 5 de 10
Sistemas con dos tanques
Para resolver el problema planteo las expresiones de C y R para cada tanque.
Tanque 1
(4)
(5) dt
Tanque 1 Tanque 2
H1 + h1
C1R1 R2
H2 + h2C2
Q+q1 Q+q2
Q+q
⇒−=⋅ 11
1 qqdh
C
)s(q)s(qs)s(hC 111 −=⋅⋅
⇒−
= 1
211
q
hhR
)s(h)s(h)s(qR 2111 −=⋅ (6)
Modelos de Nivel de Líquidos pág. 5
Sistemas de control 67-22 versión 2007 Página 6 de 10
Tanque 2
⇒−=⋅ 212
2 qqdt
dhC
)s(q)s(qs)s(hC 2122 −=⋅⋅ (7)
R2
Con las ecuaciones transformadas (4transferencias que me pidan por ejemplo:
(q
q sequiere Si
s(q
s(h ,
)s(q
)s(q
2
12
De (4) se eliminan las “h” utilizando De (6) se elimina h2(s) usando la (7) De lo que se obtiene se despeja q1(s)
sRCRC)s(q
)s(q2
2211
2
+⋅⋅⋅⋅=
Modelos de Nivel de Líquidos
2
22qhR =
)s(h)s(q 22 =⋅
), (5), (6) y (7) puedo calcular las distintas
:hacer debe se , )s
)s(
)s(q
)s(h ,
)
) 2
(5) y (7).(**) . y se lo reemplaza en (**) y listo.
( ) 1sRCRCRC
1
222111 +⋅⋅+⋅+⋅
pág. 6
Sistemas de control 67-22 versión 2007 Página 7 de 10
Sistemas con realimentación
Veamos en primer instancia como reacciona el tanque a una variación del valor deseado (Set point) en principio ya hemos deducido la transferencia del tanque en sí
el diagram
Siendo G la producproductoria de las deducida para la tra
Modelos de Nivel d
1
RhG
1T
+⋅⋅==
sRCqa de bloques sin considerar la perturbación será:
toria de las transferencias de la Rama directa es decir GC . GV . GT , y H la transferencias de la rama inversa o de realimentación aplicamos la fórmula nsferencia total de lazo cerrado es decir:
e Líquidos pág. 7
Sistemas de control 67-22 versión 2007 Página 8 de 10
HGG
hhref
s
.1+=
Demos valores literales a las transferencias y veamos a través del teorema del valor
final de la transformada como corrige por ejemplo un algoritmo de control GC solo proporciona, cuando se da a href un escalón unitario.
En estas condiciones tomamos una realimentación unitaria es decir admitimos que la transferencia de la rama de realimentación sea unitaria, de esta manera podemos comparar las variaciones que le damos al valor deseado directamente con la salida sin hacer adaptaciones de las magnitudes.
Demos ganancias estáticas genéricas (sin considerarles dinámica alguna) a las transferencias del control y la válvula, admitiendo que reaccionan mucho mas rápido que el tanque.
Entonces GC = Kp ganancia proporcional (algoritmo de control solo proporcional). Gv = Kv ganancia de la válvula (respuesta inmediata). GT es la transferencia del tanque ya vista, es decir la salida es el nivel y la entrada es el caudal que manipulamos a través de la válvula de control. Como hemos dicho la realimentación se toma unitaria H = 1 apliquemos la fórmula del lazo cerrado.
hh refHs GGGGGG
TVC
TVc •= •••+
••
1
Haciendo los reemplazos según los valores mencionados arriba queda
SHRCSR
RCSR
s KKKK
VC
Vch 1
11
1 •=•
+••+
+••
Operando sobre la misma nos queda
SRKKSCRRKK
VC
Vchs 11
•= ••++
••
Modelos de Nivel de Líquidos pág. 8
Sistemas de control 67-22 versión 2007 Página 9 de 10
apliquemos entonces el teorema del valor final de la transformada del Laplace que vimos dice:
)(lim)(lim 0 Ff Sst St •=→∞→
cual será entonces la salida del sistema cuando le pido que se modifique en una unidad
••
••++
••
→ SRKKSCRRKKSVC
Vc
s1
10lim
Vemos que el resultado es menor que la unidad que es lo que le solicitamos como valor deseado por lo que un algoritmo solo proporcional no corrige sin error a un sistema como el tanque que es de primer orden , mas adelante estudiaremos esto en mas detalle.
11<
••+
••
RKKRKKVC
Vc
En el caso de no modificar el valor deseado pero si se produce una perturbación como la indicada con NS en la figura al comenzar este tema en principio se debe deducir con álgebra de bloques la transferencia del nivel respecto de esa perturbación teniendo en cuenta el diagrama de bloques que vemos a continuación.
Nh ss GGGG
TVC
T •= ••+1
Modelos de Nivel de Líquidos pág. 9
Sistemas de control 67-22 versión 2007 Página 10 de 10
Si reemplazamos por los valores dados y aplicamos el teorema del valor final para un escalón unitario den NS sucede los siguiente
SRKKSCRR
VChs 1
1•= ••++
••
••++→ SRKKSCRRS
VCS1
10lim
que resulta nuevamente con un error permanente pues no debiera variar el valor de la variable controlada
01
>
••+ RKKR
VC
Vemos que cuanto mas ganancia KC en el controlador menor será el error permanente, la inversa de la carga R también influye , pero esta influencia disminuye al crecer. Vemos que la válvula tiene importancia en el control , si su funcionamiento no nos asegura un valor constante de KV o bien si este varía ,en forma no lineal ,o a saltos discretos tendremos ya respuestas que se van de la posibilidad de un análisis con estas herramientas matemáticas
Modelos de Nivel de Líquidos pág. 10
top related