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Operaciones de números
racionales
Yuitza T. Humarán Martínez Adapatado por Caroline Rodriguez
Departamento de Matemáticas Universidad de Puerto Rico en Arecibo
• El conjunto de los números
racionales consiste de: Fracciones de naturales
Opuestos de las fracciones de naturales
Enteros
Profa. Yuitza T. Humarán
Profa. Yuitza T. Humarán
Orden de números racionales y la recta numérica
Recta numérica
• A todo número racional le corresponde uno y sólo un punto de la recta.
Profa. Yuitza T. Humarán
0 1 -1 2 3 4 -2 -3
0 1 -1 2 3 4 -2 -3 1
2 2
3
2
5
Números racionales negativos Dos números racionales opuestos están a la
misma distancia de cero
• el positivo hacia la derecha de cero
• el negativo hacia la izquierda de cero.
Profa. Yuitza T. Humarán
Opuestos
0 1 -1 2 3 4 -2 -3 1
2 2
3
2
5
2
3
2
1
2
5
Orden Los números en la recta numérica
aumentan siempre de izquierda a derecha. a)
b)
c)
d)
Profa. Yuitza T. Humarán
0 1 -1 2 3 4 -2 -3 1
2 2
3
2
5
2
3
2
1
2
5
2
5
2
1
2
3
2
1
2
5
2
5
2
31
2
<
>
>
<
Profa. Yuitza T. Humarán
Simplificación de fracciones
Profa. Yuitza T. Humarán
Una fracción está en su mínima expresión si el máximo común divisor o factor (MCDiv) del numerador y del denominador es 1.
Ejemplos:
24
7(a)
(b) 35
8
MCDiv(7,24)=1
MCDiv(8,35)=1
Las fracciones se escriben en su mínima expresión mediante la ley fundamental de fracciones.
Ley fundamental de fracciones
Si es una fracción, entonces
para cualquier número n ≠ 0 y b ≠0.
Profa. Yuitza T. Humarán
ba
bnan
ba
Ejemplo
Profa. Yuitza T. Humarán
Reduzca o simplifique a su mínima expresión. 54
36
Determine el máximo común divisor de 36 y 54.
183
182
54
36
MCDiv(36,54) = 18
Exprese el numerador y el denominador como producto del máximo común divisor.
Utilice ley fundamental de fracciones
183
182
54
36
3
2
Profa. Yuitza T. Humarán
Otra forma de reducir una fracción es mediante la factorización prima.
1. Se factoriza en números primos el numerador y el denominador.
2. Se aplica la ley fundamental de fracciones a todos los factores del numerador y del denominador que sean iguales.
Del ejemplo anterior:
3
2
333
332
3332
3322
54
36
Ejercicio
Determine si la fracción está o no está en su mínima expresión. De no estarlo, simplifíquela. 1.
2.
3.
Profa. Yuitza T. Humarán
20
4
54
27
45
32
Profa. Yuitza T. Humarán
Suma y resta de
números racionales
Profa. Yuitza T. Humarán
Si quieres sumar o restar fracciones, éstas deben tener el mismo denominador.
+ =
+ =
Nota que al sumar fracciones con el mismo denominador, el resultado tiene ese denominador.
Considere el siguiente ejemplo.
Además, el numerador del resultado es la suma de los numeradores.
2 __
8
__
8
3 __
8
5
Ejemplo
Profa. Yuitza T. Humarán
+ =
__
5
4 __
5
2 + =
__
5
6 = 1
__
5
1
Fracciones homogéneas: fracciones con denominadores iguales
Profa. Yuitza T. Humarán
Suma lo siguiente:
Sumas los numeradores.
Escribes el mismo denominador.
__
3
4 +
__
3
10
= __
3
14
Ejemplo
Suma de fracciones
Sean a, b y c números enteros tal que b ≠ 0, entonces,
Profa. Yuitza T. Humarán
b
ca
b
c
b
a +=+
Profa. Yuitza T. Humarán
Lo mismo ocurre con la resta.
- =
__
8
7 __
8
2 - =
__
8
5
Profa. Yuitza T. Humarán
Resta lo siguiente: Resta los numeradores.
Escribe el mismo denominador.
___
12
10 ___
12
7 -
= ___
12
3
= ___
4
1 Simplifica.
10 7
12
Suma o Resta de fracciones homogéneas Sean a, b y c números enteros
tal que b ≠ 0, entonces,
.
Profa. Yuitza T. Humarán
b
ca
b
c
b
a
b
ca
b
c
b
a
Reglas de signos y operaciones con fracciones
• Las reglas de signo se usan igual que con lo números enteros.
• Se operan los valores absolutos y se decide el signo del resultado.
Profa. Yuitza T. Humarán
Ejemplos:
Profa. Yuitza T. Humarán
Efectúe la operación y simplifique.
a)
b)
c)
8 7
5 5
5 10
8 8
7 11
4 4
15
5
3
5
8
5
)7(8
5 10
8
7 11
4 4
41
4
5
)11(7
Profa. Yuitza T. Humarán
¿Qué hacer cuando se suman fracciones con denominadores distintos?
1
2
1
3+
Recuerda que sumar fracciones implica contar cuántos pedazos de un mismo tamaño tenemos.
Debemos cambiar las partes a un mismo tamaño en común para poder contarlos.
Profa. Yuitza T. Humarán
¿Qué hacer cuando se suman fracciones con denominadores distintos?
1
2
1
3+
Simbólicamente, debemos representar las fracciones de tal forma que tengan el mismo denominador.
Profa. Yuitza T. Humarán
2
6
=
1
3
1
2
=
3
6
Mediante equivalencias obtenemos,
Profa. Yuitza T. Humarán
Así que,
1
2
1
3+ =
2
6
3
6+ =
5
6
Entonces podemos representar la suma,
2
6
=
1
3
1
2
=
3
6
+
+ 5
6
Profa. Yuitza T. Humarán
1. Calcular el mínimo común múltiplo (MCM) del conjunto de denominadores (mínimo común denominador (MCD)).
Sumar o resta de fracciones con denominadores distintos
2. Construir fracciones equivalentes que tengan el denominador que se calculó en el paso anterior usando la ley fundamental de fracciones.
3. Efectuar la operación y simplificar.
bnan
ba
Profa. Yuitza T. Humarán
1
2
1
3+ =
2
6
3
6
+
=
5
6
1 2
3 2
+
=
1 3
2 3
Ejemplo anterior revisitado:
Profa. Yuitza T. Humarán
Ejemplo:
Efectúe la operación y simplifique.
(a)
(b)
1 3
10 4 =
MCM(4, 10)
1 2
10 2
+
3 5
4 5
= =
9 6
50 25 =
MCM(50, 25)
9 6 2
50 25 2
= 9 12
50 50
=
21
50
20
15
20
2
20
17
= 20
= 50
=
Profa. Yuitza T. Humarán
Multiplicación de
números racionales
Profa. Yuitza T. Humarán
Para multiplicar fracciones, multiplica los numeradores y multiplica los denominadores.
a c
b d
a c
b d
Ejemplo:
2 7
3 5
14
15
2 7
3 5
Profa. Yuitza T. Humarán
Ahora bien, los resultados deben estar expresados en su forma mínima.
Para lograr esto, se aconseja que simplifiques antes de efectuar como tal la multiplicación.
Ejemplo:
3 10
4 3
3 10
4 3
5
2
232
532
Ejemplos
Profa. Yuitza T. Humarán
(a)
(b)
10 21
7 100
10 21
7 100
3
10
11 4
12 3
11 4
12 3
11
3 3
11
9
10710
1073
433
411
Profa. Yuitza T. Humarán
(c) 54
3
= 4 5
1 3
= 4 5
1 3
=
20
3
Escribes el entero en alguna forma racional.
(d) 2 9
3 5
= 2 9
3 5
= 2 3 3
3 5
= 6
5
Escoges el signo del producto con las reglas de signo.
5
32
Profa. Yuitza T. Humarán
División de
números racionales
Recíproco
Profa. Yuitza T. Humarán
Dos números cuyo producto es 1, son recíprocos o inversos multiplicativos uno del otro.
Ejemplos:
8 1
31
7
a)
b)
7
3
1
8
Profa. Yuitza T. Humarán
Dividir por un número equivale a multiplicar por el recíproco del número.
a c a d a d
b d b c b c
¡Si sabes multiplicar puedes dividir!
Ejemplos
Profa. Yuitza T. Humarán
Divide y expresa tu resultado en su expresión mínima.
a)
b) 2 8
3 3
2 3
3 8
2 3
3 8
1
4
1 3
4 2
1 2
4 3
1 2
4 3
1
6
223
21
322
21
23
1
3222
32
2223
32
22
1
Profa. Yuitza T. Humarán
c) 123
7
73
12
3 7
1 12 3 7
1 12
7
4
d) 7 4
2 3
7 3
2 4
21
8
341
37
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