octavo año - tec.ac.cr

HomoteciasOctavo año

Céspedes Gómez LencySegura Siles Verónica

Ulloa Araya Siony

Habilidades específicasLas habilidades específicas que se abarcan en este documento son las siguientes:

1. Trazar en un plano cartesiano la figura que se obtiene al someter un polígono dado a una homotecia.

2. Reconocer puntos, ángulos y lados homólogos de un polígono y el polígono que resulta al aplicar una homotecia.

Conocimientos: Transformaciones en el plano

1. Homotecias.

2. Puntos homólogos.

3. Segmentos homólogos.

Conocimientos previos 01

Tipos de homotecias 03

Homotecias02

Práctica04

TABLA DE contenIDOS

CONOCIMIENTOSPREVIOS

01

Una razón matemática nos permite comparar dos magnitudes por medio de un cociente (división). En general, lasrazones se pueden representar por medio de fracciones.

Ejemplo:

1. Si un paquete de galletas tiene 4 galletas, la razón entre el número de paquetes y el número de galletas se representa por:1

4

2. Si dos paquetes de galletas tienen 8 galletas, la razón entre el número de paquetes y el número de galletas se representa por:2

8

PROPORCIÓN MATEMÁTICA

Una proporción matemática corresponde a la igualdad entre dos o más razones.

Si se toman las razones del ejemplo anterior, es evidente que ambas razones son iguales, es decir:

𝟏

𝟒=𝟐

𝟖

Por lo cual se concluye que la relación de proporción que se establece es verdadera.

Ejemplo:

HOMOtECIAS02

Una homotecia es una transformación isomórfica, es decir solo cambia el tamaño, pero se mantiene la figuraoriginal. Entre la figura original y su homóloga existe una proporcionalidad.

Matemáticamente, una homotecia de centro 𝐴 y razón de proporcionalidad 𝑘, es la transformación que permiteque un punto 𝐵 corresponda (sea homólogo) con el punto B′, alineado con el centro 𝐴 y el punto 𝐵, tal que secumple que 𝐴𝐵′ = k ⋅ 𝐴𝐵.

En general, si queremos conocer cuál es el valor de la constante de proporcionalidad 𝑘, tenemos lo siguiente:

𝑘 =𝐴𝐵′

𝐴𝐵

También, se puede encontrar la constante de proporcionalidad cuando se tiene cualquier par de lados homólogos.

HOMOTECIAS

Cada vértice de la figura original y su respectiva proyección de la figura resultante son homólogos.

Vértices HOMÓLOGOS

Ejemplo:Con respecto a la siguiente figura, los vértices homólogos son:

1. 𝐵 y 𝐵′

2. 𝐶 y 𝐶′

3. 𝐷 y 𝐷′

Cada lado de la figura original y su correspondiente proyección de la figura resultante, son homólogos. Además,cada uno de los lados homólogos poseen la misma razón de proporción 𝑘.

LADOS HOMÓLOGOS

Ejemplo:Con respecto a la siguiente figura, los lados homólogos son:

1. 𝐵𝐶y 𝐵′𝐶′

2. 𝐶𝐷y 𝐶′𝐷′

3. 𝐵𝐷y 𝐵′𝐷′

Cada ángulo de la figura original y su respectiva proyección de la figura resultante son homólogos. También, losángulos homólogos, tienen la misma medida.

Ángulos HOMÓLOGOS

Ejemplo:Con respecto a la siguiente figura, los ángulos homólogos son:

1. ∠𝐵 y ∠𝐵′

2. ∠𝐶 y ∠𝐶′

3. ∠𝐷 y ∠𝐷

Tipos de homotecias03

Las homotecias se clasifican en directa o inversa, esto de acuerdo con el valor de 𝑘.

• Directa:

- Ampliación 𝒌 > 𝟏: la figura que se obtiene es de mayor tamaño que la original.

- Reducción 𝟎 < 𝒌 < 𝟏: la figura que se obtiene es de menor tamaño que laoriginal.

• Inversa:

- 𝒌 < 𝟎: los elementos de la homotecia están en sentido direccional opuestos alcentro.

Reducción: 𝟏 < 𝒌 < 𝟎

Ampliación: 𝒌 < −𝟏

−

Tipos de HOMOTECIAS

Representación GRÁFICA

Homotecia directa 𝒌 =𝟏

𝟐Homotecia inversa 𝒌 =

−𝟏

𝟒Homotecia directa 𝒌 = 𝟑

Representacióngráfica

Práctica 04

Céspedes Gómez Lency

Segura Siles Verónica

Ulloa Araya Siony

PRÁCTICA HOMOTECIAS

1. Trace diferentes homotecias e indicar puntos, ángulos y lados homólogos de polígono dado.

a) Homotecia Directa

Puntos Homólogos: _____ y _____, _____ y _____, _____ y _____,

_____ y _____, _____ y _____.

Ángulos Homólogos: _____ y _____, _____ y _____, _____ y _____,

_____ y _____, _____ y _____.

Lados Homólogos: _____ y _____, _____ y _____, _____ y _____,

_____ y _____, _____ y _____.

Céspedes Gómez Lency

Segura Siles Verónica

Ulloa Araya Siony

b) Homotecia Inversa

Puntos Homólogos: _____ y _____, _____ y _____, _____ y _____,

_____ y _____, _____ y _____.

Ángulos Homólogos: _____ y _____, _____ y _____, _____ y _____,

_____ y _____, _____ y _____.

Lados Homólogos: _____ y _____, _____ y _____, _____ y _____,

_____ y _____, _____ y _____.

Céspedes Gómez Lency

Segura Siles Verónica

Ulloa Araya Siony

2. Con base en las siguientes homotecias, complete los espacios con la información que se solicita.

a)

Tipo de Homotecia: __________

Valor numérico de la constante : ________

Puntos Homólogos: _____ y _____, _____ y _____, _____ y _____.

Ángulos Homólogos: _____ y _____, _____ y _____, _____ y _____.

Lados Homólogos: _____ y _____, _____ y _____, _____ y _____.

Céspedes Gómez Lency

Segura Siles Verónica

Ulloa Araya Siony

b)

Tipo de Homotecia: __________

Valor numérico de la constante : ________

Puntos Homólogos: _____ y _____, _____ y _____, _____ y _____, _____ y _____.

Ángulos Homólogos: _____ y _____, _____ y _____, _____ y _____, _____ y _____.

Lados Homólogos: _____ y _____, _____ y _____, _____ y _____, _____ y _____.

Céspedes Gómez Lency

Segura Siles Verónica

Ulloa Araya Siony

c)

Tipo de Homotecia: __________

Valor numérico de la constante : ________

Puntos Homólogos: _____ y _____, _____ y _____, _____ y _____, _____ y _____.

Ángulos Homólogos: _____ y _____, _____ y _____, _____ y _____, _____ y _____.

Lados Homólogos: _____ y _____, _____ y _____, _____ y _____, _____ y _____.

Céspedes Gómez Lency

Segura Siles Verónica

Ulloa Araya Siony

Solución:

2. Con base en las siguientes homotecias, complete los espacios con la información que se solicita.

a.

Tipo de Homotecia: Inversa

Valor numérico de la constante :

Puntos Homólogos: y , y , y .

Ángulos Homólogos: y , y , y .

Lados Homólogos: y , y , y .

Céspedes Gómez Lency

Segura Siles Verónica

Ulloa Araya Siony

b.

Tipo de Homotecia: Directa (Ampliación)

Valor numérico de la constante :

Puntos Homólogos: y , y , y , y .

Ángulos Homólogos: y , y , y , y .

Lados Homólogos: y , y , y , y .

Céspedes Gómez Lency

Segura Siles Verónica

Ulloa Araya Siony

c.

Tipo de Homotecia: Directa (Reducción)

Valor numérico de la constante :

Puntos Homólogos: y , y , y , y .

Ángulos Homólogos: y , y , y , y .

Lados Homólogos: y , y , y , y .