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Multiplicacion de polinomios por binomios monicos

Egor Maximenkohttp://www.egormaximenko.com

Instituto Politecnico Nacional, ESFM, Mexico

29 de diciembre de 2014

Contenido

Algoritmo en accion

Justificacion

Multiplicamos un polinomio por un binomio monicoPrimer ejemplo

(5 − 2x + 3x2 − 4x3)(3 + x)

= 15 − x + 7x2 − 9x3 − 4x4.

5 −2 3 −4

3 15 −1 7 −9 −4

Multiplicamos un polinomio por un binomio monicoPrimer ejemplo

(5 − 2x + 3x2 − 4x3)(3 + x)

= 15 − x + 7x2 − 9x3 − 4x4.

5 −2 3 −4

3 15 −1 7 −9 −4

Multiplicamos un polinomio por un binomio monicoPrimer ejemplo

(5 − 2x + 3x2 − 4x3)(3 + x)

= 15 − x + 7x2 − 9x3 − 4x4.

5 −2 3 −4

3 15 −1 7 −9 −4

3 · 5 = 15

Multiplicamos un polinomio por un binomio monicoPrimer ejemplo

(5 − 2x + 3x2 − 4x3)(3 + x)

= 15 − x + 7x2 − 9x3 − 4x4.

5 −2 3 −4

3 15 −1 7 −9 −4

3 · 5 = 15

Multiplicamos un polinomio por un binomio monicoPrimer ejemplo

(5 − 2x + 3x2 − 4x3)(3 + x)

= 15 − x + 7x2 − 9x3 − 4x4.

5 −2 3 −4

3 15 −1 7 −9 −4

3 · (−2) + 5 = −1

Multiplicamos un polinomio por un binomio monicoPrimer ejemplo

(5 − 2x + 3x2 − 4x3)(3 + x)

= 15 − x + 7x2 − 9x3 − 4x4.

5 −2 3 −4

3 15 −1 7 −9 −4

3 · (−2) + 5 = −1

Multiplicamos un polinomio por un binomio monicoPrimer ejemplo

(5 − 2x + 3x2 − 4x3)(3 + x)

= 15 − x + 7x2 − 9x3 − 4x4.

5 −2 3 −4

3 15 −1 7 −9 −4

3 · 3 + (−2) = 7

Multiplicamos un polinomio por un binomio monicoPrimer ejemplo

(5 − 2x + 3x2 − 4x3)(3 + x)

= 15 − x + 7x2 − 9x3 − 4x4.

5 −2 3 −4

3 15 −1 7 −9 −4

3 · 3 + (−2) = 7

Multiplicamos un polinomio por un binomio monicoPrimer ejemplo

(5 − 2x + 3x2 − 4x3)(3 + x)

= 15 − x + 7x2 − 9x3 − 4x4.

5 −2 3 −4

3 15 −1 7 −9 −4

3 · (−4) + 3 = −9

Multiplicamos un polinomio por un binomio monicoPrimer ejemplo

(5 − 2x + 3x2 − 4x3)(3 + x)

= 15 − x + 7x2 − 9x3 − 4x4.

5 −2 3 −4

3 15 −1 7 −9 −4

3 · (−4) + 3 = −9

Multiplicamos un polinomio por un binomio monicoPrimer ejemplo

(5 − 2x + 3x2 − 4x3)(3 + x)

= 15 − x + 7x2 − 9x3 − 4x4.

5 −2 3 −4

3 15 −1 7 −9 −4

−4 = −4

Multiplicamos un polinomio por un binomio monicoPrimer ejemplo

(5 − 2x + 3x2 − 4x3)(3 + x)

= 15 − x + 7x2 − 9x3 − 4x4.

5 −2 3 −4

3 15 −1 7 −9 −4

−4 = −4

Multiplicamos un polinomio por un binomio monicoPrimer ejemplo

(5 − 2x + 3x2 − 4x3)(3 + x) = 15 − x + 7x2 − 9x3 − 4x4.

5 −2 3 −4

3 15 −1 7 −9 −4

Multiplicamos un polinomio por un binomio monicoSegundo ejemplo

(2 − 3x + x2 − 3x4)(−2 + x)

= −4 + 8x − 5x2 + x3 + 6x4 − 3x5.

2 −3 1 0 −3

−2 −4 8 −5 1 6 −3

Multiplicamos un polinomio por un binomio monicoSegundo ejemplo

(2 − 3x + x2 − 3x4)(−2 + x)

= −4 + 8x − 5x2 + x3 + 6x4 − 3x5.

2 −3 1 0 −3

−2 −4 8 −5 1 6 −3

Multiplicamos un polinomio por un binomio monicoSegundo ejemplo

(2 − 3x + x2 − 3x4)(−2 + x)

= −4 + 8x − 5x2 + x3 + 6x4 − 3x5.

2 −3 1 0 −3

−2 −4 8 −5 1 6 −3

(−2) · 2 = −4

Multiplicamos un polinomio por un binomio monicoSegundo ejemplo

(2 − 3x + x2 − 3x4)(−2 + x)

= −4 + 8x − 5x2 + x3 + 6x4 − 3x5.

2 −3 1 0 −3

−2 −4 8 −5 1 6 −3

(−2) · 2 = −4

Multiplicamos un polinomio por un binomio monicoSegundo ejemplo

(2 − 3x + x2 − 3x4)(−2 + x)

= −4 + 8x − 5x2 + x3 + 6x4 − 3x5.

2 −3 1 0 −3

−2 −4 8 −5 1 6 −3

(−2) · (−3) + 2 = 8

Multiplicamos un polinomio por un binomio monicoSegundo ejemplo

(2 − 3x + x2 − 3x4)(−2 + x)

= −4 + 8x − 5x2 + x3 + 6x4 − 3x5.

2 −3 1 0 −3

−2 −4 8 −5 1 6 −3

(−2) · (−3) + 2 = 8

Multiplicamos un polinomio por un binomio monicoSegundo ejemplo

(2 − 3x + x2 − 3x4)(−2 + x)

= −4 + 8x − 5x2 + x3 + 6x4 − 3x5.

2 −3 1 0 −3

−2 −4 8 −5 1 6 −3

(−2) · 1 + (−3) = −5

Multiplicamos un polinomio por un binomio monicoSegundo ejemplo

(2 − 3x + x2 − 3x4)(−2 + x)

= −4 + 8x − 5x2 + x3 + 6x4 − 3x5.

2 −3 1 0 −3

−2 −4 8 −5 1 6 −3

(−2) · 1 + (−3) = −5

Multiplicamos un polinomio por un binomio monicoSegundo ejemplo

(2 − 3x + x2 − 3x4)(−2 + x)

= −4 + 8x − 5x2 + x3 + 6x4 − 3x5.

2 −3 1 0 −3

−2 −4 8 −5 1 6 −3

(−2) · 0 + 1 = 1

Multiplicamos un polinomio por un binomio monicoSegundo ejemplo

(2 − 3x + x2 − 3x4)(−2 + x)

= −4 + 8x − 5x2 + x3 + 6x4 − 3x5.

2 −3 1 0 −3

−2 −4 8 −5 1 6 −3

(−2) · 0 + 1 = 1

Multiplicamos un polinomio por un binomio monicoSegundo ejemplo

(2 − 3x + x2 − 3x4)(−2 + x)

= −4 + 8x − 5x2 + x3 + 6x4 − 3x5.

2 −3 1 0 −3

−2 −4 8 −5 1 6 −3

(−2) · (−3) + 0 = 6

Multiplicamos un polinomio por un binomio monicoSegundo ejemplo

(2 − 3x + x2 − 3x4)(−2 + x)

= −4 + 8x − 5x2 + x3 + 6x4 − 3x5.

2 −3 1 0 −3

−2 −4 8 −5 1 6 −3

(−2) · (−3) + 0 = 6

Multiplicamos un polinomio por un binomio monicoSegundo ejemplo

(2 − 3x + x2 − 3x4)(−2 + x)

= −4 + 8x − 5x2 + x3 + 6x4 − 3x5.

2 −3 1 0 −3

−2 −4 8 −5 1 6 −3

−3 = −3

Multiplicamos un polinomio por un binomio monicoSegundo ejemplo

(2 − 3x + x2 − 3x4)(−2 + x)

= −4 + 8x − 5x2 + x3 + 6x4 − 3x5.

2 −3 1 0 −3

−2 −4 8 −5 1 6 −3

−3 = −3

Multiplicamos un polinomio por un binomio monicoSegundo ejemplo

(2 − 3x + x2 − 3x4)(−2 + x) = −4 + 8x − 5x2 + x3 + 6x4 − 3x5.

2 −3 1 0 −3

−2 −4 8 −5 1 6 −3

Multiplicamos un polinomio por un binomio monicoTercer ejemplo

(−4 + 6x − 3x2 + 2x3)(2 + x)

= −8 + 8x + x3 + 2x4.

−4 6 −3 22

− 8 8 0 1 2

Multiplicamos un polinomio por un binomio monicoTercer ejemplo

(−4 + 6x − 3x2 + 2x3)(2 + x)

= −8 + 8x + x3 + 2x4.

−4 6 −3 22

− 8 8 0 1 2

Multiplicamos un polinomio por un binomio monicoTercer ejemplo

(−4 + 6x − 3x2 + 2x3)(2 + x)

= −8 + 8x + x3 + 2x4.

−4 6 −3 22 − 8

8 0 1 2

Multiplicamos un polinomio por un binomio monicoTercer ejemplo

(−4 + 6x − 3x2 + 2x3)(2 + x)

= −8 + 8x + x3 + 2x4.

−4 6 −3 22 − 8 8

0 1 2

Multiplicamos un polinomio por un binomio monicoTercer ejemplo

(−4 + 6x − 3x2 + 2x3)(2 + x)

= −8 + 8x + x3 + 2x4.

−4 6 −3 22 − 8 8 0

1 2

Multiplicamos un polinomio por un binomio monicoTercer ejemplo

(−4 + 6x − 3x2 + 2x3)(2 + x)

= −8 + 8x + x3 + 2x4.

−4 6 −3 22 − 8 8 0 1

2

Multiplicamos un polinomio por un binomio monicoTercer ejemplo

(−4 + 6x − 3x2 + 2x3)(2 + x)

= −8 + 8x + x3 + 2x4.

−4 6 −3 22 − 8 8 0 1 2

Multiplicamos un polinomio por un binomio monicoTercer ejemplo

(−4 + 6x − 3x2 + 2x3)(2 + x) = −8 + 8x + x3 + 2x4.

−4 6 −3 22 − 8 8 0 1 2

Multiplicamos un polinomio por un binomio monicoCuarto ejemplo

(3 − 4x + x2 − 7x3)(0 + x)

= 3x − 4x2 + x3 − 7x4.

3 −4 1 −70

0 3 − 4 1 − 7

Multiplicamos un polinomio por un binomio monicoCuarto ejemplo

(3 − 4x + x2 − 7x3)(0 + x)

= 3x − 4x2 + x3 − 7x4.

3 −4 1 −70

0 3 − 4 1 − 7

Multiplicamos un polinomio por un binomio monicoCuarto ejemplo

(3 − 4x + x2 − 7x3)(0 + x)

= 3x − 4x2 + x3 − 7x4.

3 −4 1 −70 0

3 − 4 1 − 7

Multiplicamos un polinomio por un binomio monicoCuarto ejemplo

(3 − 4x + x2 − 7x3)(0 + x)

= 3x − 4x2 + x3 − 7x4.

3 −4 1 −70 0 3

− 4 1 − 7

Multiplicamos un polinomio por un binomio monicoCuarto ejemplo

(3 − 4x + x2 − 7x3)(0 + x)

= 3x − 4x2 + x3 − 7x4.

3 −4 1 −70 0 3 − 4

1 − 7

Multiplicamos un polinomio por un binomio monicoCuarto ejemplo

(3 − 4x + x2 − 7x3)(0 + x)

= 3x − 4x2 + x3 − 7x4.

3 −4 1 −70 0 3 − 4 1

− 7

Multiplicamos un polinomio por un binomio monicoCuarto ejemplo

(3 − 4x + x2 − 7x3)(0 + x)

= 3x − 4x2 + x3 − 7x4.

3 −4 1 −70 0 3 − 4 1 − 7

Multiplicamos un polinomio por un binomio monicoCuarto ejemplo

(3 − 4x + x2 − 7x3)(0 + x) = 3x − 4x2 + x3 − 7x4.

3 −4 1 −70 0 3 − 4 1 − 7

Ejercicios

(−5 + 4x2 + 2x3 + x4)(3 + x) =

− 15 − 5x + 12x2 + 10x3 + 5x4 + x5

Se recomienda parar la presentacion y escribir la solucion en papel.

−5 0 4 2 13

− 15 −5 12 10 5 1

(4 − 3x − 3x2 − 5x3)(−1 + x) = − 4 + 7x + 2x3 − 5x4.

Se recomienda detener la presentacion y escribir la solucion en papel.

4 −3 −3 −5−1 −4 7 0 2 −5

Ejercicios

(−5 + 4x2 + 2x3 + x4)(3 + x) =

− 15 − 5x + 12x2 + 10x3 + 5x4 + x5

Se recomienda parar la presentacion y escribir la solucion en papel.

−5 0 4 2 13

− 15 −5 12 10 5 1

(4 − 3x − 3x2 − 5x3)(−1 + x) = − 4 + 7x + 2x3 − 5x4.

Se recomienda detener la presentacion y escribir la solucion en papel.

4 −3 −3 −5−1 −4 7 0 2 −5

Ejercicios

(−5 + 4x2 + 2x3 + x4)(3 + x) = − 15 − 5x + 12x2 + 10x3 + 5x4 + x5

Se recomienda parar la presentacion y escribir la solucion en papel.

−5 0 4 2 13 − 15 −5 12 10 5 1

(4 − 3x − 3x2 − 5x3)(−1 + x) = − 4 + 7x + 2x3 − 5x4.

Se recomienda detener la presentacion y escribir la solucion en papel.

4 −3 −3 −5−1 −4 7 0 2 −5

Ejercicios

(−5 + 4x2 + 2x3 + x4)(3 + x) = − 15 − 5x + 12x2 + 10x3 + 5x4 + x5

Se recomienda parar la presentacion y escribir la solucion en papel.

−5 0 4 2 13 − 15 −5 12 10 5 1

(4 − 3x − 3x2 − 5x3)(−1 + x) =

− 4 + 7x + 2x3 − 5x4.

Se recomienda detener la presentacion y escribir la solucion en papel.

4 −3 −3 −5−1 −4 7 0 2 −5

Ejercicios

(−5 + 4x2 + 2x3 + x4)(3 + x) = − 15 − 5x + 12x2 + 10x3 + 5x4 + x5

Se recomienda parar la presentacion y escribir la solucion en papel.

−5 0 4 2 13 − 15 −5 12 10 5 1

(4 − 3x − 3x2 − 5x3)(−1 + x) = − 4 + 7x + 2x3 − 5x4.

Se recomienda detener la presentacion y escribir la solucion en papel.

4 −3 −3 −5−1 −4 7 0 2 −5

Contenido

Algoritmo en accion

Justificacion

Deduccion de las formulas para un caso particular

(a0x0 + a1x1 + a2x2 + a3x3 + a4x4 )( bx0 + 1 x1 )

= c0x0 + c1x1 + c2x2 + c3x3 + c4x4 + c5x5.

Igualemos los coeficientes:

x0 : c0 = a0bx1 : c1 = a1b + a0

x2 : c2 = a2b + a1

x3 : c3 = a3b + a2

x4 : c4 = a4b + a3

x5 : c5 = a4

Deduccion de las formulas para un caso particular

(a0x0 + a1x1 + a2x2 + a3x3 + a4x4 )( bx0 + 1 x1 )

= c0x0 + c1x1 + c2x2 + c3x3 + c4x4 + c5x5.

Igualemos los coeficientes:

x0 : c0 = a0bx1 : c1 = a1b + a0

x2 : c2 = a2b + a1

x3 : c3 = a3b + a2

x4 : c4 = a4b + a3

x5 : c5 = a4

Deduccion de las formulas para un caso particular

(a0x0 + a1x1 + a2x2 + a3x3 + a4x4 )( bx0 + 1 x1 )

= c0x0 + c1x1 + c2x2 + c3x3 + c4x4 + c5x5.

Igualemos los coeficientes:

x0 : c0 =

a0bx1 : c1 = a1b + a0

x2 : c2 = a2b + a1

x3 : c3 = a3b + a2

x4 : c4 = a4b + a3

x5 : c5 = a4

Deduccion de las formulas para un caso particular

(a0x0 + a1x1 + a2x2 + a3x3 + a4x4 )( bx0 + 1 x1 )

= c0x0 + c1x1 + c2x2 + c3x3 + c4x4 + c5x5.

Igualemos los coeficientes:

x0 : c0 = a0b

x1 : c1 = a1b + a0

x2 : c2 = a2b + a1

x3 : c3 = a3b + a2

x4 : c4 = a4b + a3

x5 : c5 = a4

Deduccion de las formulas para un caso particular

(a0x0 + a1x1 + a2x2 + a3x3 + a4x4 )( bx0 + 1 x1 )

= c0x0 + c1x1 + c2x2 + c3x3 + c4x4 + c5x5.

Igualemos los coeficientes:

x0 : c0 = a0bx1 : c1 =

a1b + a0

x2 : c2 = a2b + a1

x3 : c3 = a3b + a2

x4 : c4 = a4b + a3

x5 : c5 = a4

Deduccion de las formulas para un caso particular

(a0x0 + a1x1 + a2x2 + a3x3 + a4x4 )( bx0 + 1 x1 )

= c0x0 + c1x1 + c2x2 + c3x3 + c4x4 + c5x5.

Igualemos los coeficientes:

x0 : c0 = a0bx1 : c1 = a1b + a0

x2 : c2 = a2b + a1

x3 : c3 = a3b + a2

x4 : c4 = a4b + a3

x5 : c5 = a4

Deduccion de las formulas para un caso particular

(a0x0 + a1x1 + a2x2 + a3x3 + a4x4 )( bx0 + 1 x1 )

= c0x0 + c1x1 + c2x2 + c3x3 + c4x4 + c5x5.

Igualemos los coeficientes:

x0 : c0 = a0bx1 : c1 = a1b + a0

x2 : c2 =

a2b + a1

x3 : c3 = a3b + a2

x4 : c4 = a4b + a3

x5 : c5 = a4

Deduccion de las formulas para un caso particular

(a0x0 + a1x1 + a2x2 + a3x3 + a4x4 )( bx0 + 1 x1 )

= c0x0 + c1x1 + c2x2 + c3x3 + c4x4 + c5x5.

Igualemos los coeficientes:

x0 : c0 = a0bx1 : c1 = a1b + a0

x2 : c2 = a2b + a1

x3 : c3 = a3b + a2

x4 : c4 = a4b + a3

x5 : c5 = a4

Deduccion de las formulas para un caso particular

(a0x0 + a1x1 + a2x2 + a3x3 + a4x4 )( bx0 + 1 x1 )

= c0x0 + c1x1 + c2x2 + c3x3 + c4x4 + c5x5.

Igualemos los coeficientes:

x0 : c0 = a0bx1 : c1 = a1b + a0

x2 : c2 = a2b + a1

x3 : c3 =

a3b + a2

x4 : c4 = a4b + a3

x5 : c5 = a4

Deduccion de las formulas para un caso particular

(a0x0 + a1x1 + a2x2 + a3x3 + a4x4 )( bx0 + 1 x1 )

= c0x0 + c1x1 + c2x2 + c3x3 + c4x4 + c5x5.

Igualemos los coeficientes:

x0 : c0 = a0bx1 : c1 = a1b + a0

x2 : c2 = a2b + a1

x3 : c3 = a3b + a2

x4 : c4 = a4b + a3

x5 : c5 = a4

Deduccion de las formulas para un caso particular

(a0x0 + a1x1 + a2x2 + a3x3 + a4x4 )( bx0 + 1 x1 )

= c0x0 + c1x1 + c2x2 + c3x3 + c4x4 + c5x5.

Igualemos los coeficientes:

x0 : c0 = a0bx1 : c1 = a1b + a0

x2 : c2 = a2b + a1

x3 : c3 = a3b + a2

x4 : c4 =

a4b + a3

x5 : c5 = a4

Deduccion de las formulas para un caso particular

(a0x0 + a1x1 + a2x2 + a3x3 + a4x4 )( bx0 + 1 x1 )

= c0x0 + c1x1 + c2x2 + c3x3 + c4x4 + c5x5.

Igualemos los coeficientes:

x0 : c0 = a0bx1 : c1 = a1b + a0

x2 : c2 = a2b + a1

x3 : c3 = a3b + a2

x4 : c4 = a4b + a3

x5 : c5 = a4

Deduccion de las formulas para un caso particular

(a0x0 + a1x1 + a2x2 + a3x3 + a4x4 )( bx0 + 1 x1 )

= c0x0 + c1x1 + c2x2 + c3x3 + c4x4 + c5x5.

Igualemos los coeficientes:

x0 : c0 = a0bx1 : c1 = a1b + a0

x2 : c2 = a2b + a1

x3 : c3 = a3b + a2

x4 : c4 = a4b + a3

x5 : c5 =

a4

Deduccion de las formulas para un caso particular

(a0x0 + a1x1 + a2x2 + a3x3 + a4x4 )( bx0 + 1 x1 )

= c0x0 + c1x1 + c2x2 + c3x3 + c4x4 + c5x5.

Igualemos los coeficientes:

x0 : c0 = a0bx1 : c1 = a1b + a0

x2 : c2 = a2b + a1

x3 : c3 = a3b + a2

x4 : c4 = a4b + a3

x5 : c5 = a4

De las formulas a la tabla

Aquı estan las formulas deducidas en la pagina anterior:

x0 : c0 = a0bx1 : c1 = a1b + a0

x2 : c2 = a2b + a1

x3 : c3 = a3b + a2

x4 : c4 = a4b + a3

x5 : c5 = a4

Las podemos escribir en una tabla:

a0 a1 a2 a3 a4b a0b a1b + a0 a2b + a1 a3b + a2 a4b + a3 a4

c0 c1 c2 c3 c4 c5

De las formulas a la tabla

Aquı estan las formulas deducidas en la pagina anterior:

x0 : c0 = a0bx1 : c1 = a1b + a0

x2 : c2 = a2b + a1

x3 : c3 = a3b + a2

x4 : c4 = a4b + a3

x5 : c5 = a4

Las podemos escribir en una tabla:

a0 a1 a2 a3 a4b a0b a1b + a0 a2b + a1 a3b + a2 a4b + a3 a4

c0 c1 c2 c3 c4 c5

De las formulas a la tabla

Aquı estan las formulas deducidas en la pagina anterior:

x0 : c0 = a0bx1 : c1 = a1b + a0

x2 : c2 = a2b + a1

x3 : c3 = a3b + a2

x4 : c4 = a4b + a3

x5 : c5 = a4

Las podemos escribir en una tabla:

a0 a1 a2 a3 a4b a0b a1b + a0 a2b + a1 a3b + a2 a4b + a3 a4

c0 c1 c2 c3 c4 c5

Ejercicio: deducir las formulas para otro caso particular

Multiplicar un polinomio de grado 3 por un binomio monico.Expresar c0, . . . , c4 a traves de a0, . . . , a3 y b:

(a0 + a1x + a2x2 + a3x3)(b + x) = c0 + c1 + c2x2 + c3x3 + c4x4.

c0 =?

c1 =?

c2 =?

c3 =?

c4 =?

Demostracion formalUsamos la siguiente notacion para los datos iniciales y para el resultado:

f (x) =n−1∑j=0

ajx j , g(x) = b + x , h(x) = f (x)g(x) =n∑

j=0cjx j .

f (x)g(x) =n−1∑j=0

(ajb)x j +n−1∑j=0

ajx j+1 =n−1∑j=0

(ajb)x j +n∑

k=1ak−1xk

= a0b +n−1∑j=1

(ajb)x j +n−1∑j=1

aj−1x j + an−1xn

= a0b +n−1∑j=1

(ajb + aj−1)x j + an−1xn.

Obtenemos las siguientes formulas para los coeficientes del producto:

c0 = a0b, cj = ajb + aj−1 (1 ≤ j ≤ n − 1), cn = an−1.

Demostracion formalUsamos la siguiente notacion para los datos iniciales y para el resultado:

f (x) =n−1∑j=0

ajx j , g(x) = b + x , h(x) = f (x)g(x) =n∑

j=0cjx j .

f (x)g(x) =n−1∑j=0

(ajb)x j +n−1∑j=0

ajx j+1

=n−1∑j=0

(ajb)x j +n∑

k=1ak−1xk

= a0b +n−1∑j=1

(ajb)x j +n−1∑j=1

aj−1x j + an−1xn

= a0b +n−1∑j=1

(ajb + aj−1)x j + an−1xn.

Obtenemos las siguientes formulas para los coeficientes del producto:

c0 = a0b, cj = ajb + aj−1 (1 ≤ j ≤ n − 1), cn = an−1.

Demostracion formalUsamos la siguiente notacion para los datos iniciales y para el resultado:

f (x) =n−1∑j=0

ajx j , g(x) = b + x , h(x) = f (x)g(x) =n∑

j=0cjx j .

f (x)g(x) =n−1∑j=0

(ajb)x j +n−1∑j=0

ajx j+1 =n−1∑j=0

(ajb)x j +n∑

k=1ak−1xk

= a0b +n−1∑j=1

(ajb)x j +n−1∑j=1

aj−1x j + an−1xn

= a0b +n−1∑j=1

(ajb + aj−1)x j + an−1xn.

Obtenemos las siguientes formulas para los coeficientes del producto:

c0 = a0b, cj = ajb + aj−1 (1 ≤ j ≤ n − 1), cn = an−1.

Demostracion formalUsamos la siguiente notacion para los datos iniciales y para el resultado:

f (x) =n−1∑j=0

ajx j , g(x) = b + x , h(x) = f (x)g(x) =n∑

j=0cjx j .

f (x)g(x) =n−1∑j=0

(ajb)x j +n−1∑j=0

ajx j+1 =n−1∑j=0

(ajb)x j +n∑

k=1ak−1xk

= a0b +n−1∑j=1

(ajb)x j +n−1∑j=1

aj−1x j + an−1xn

= a0b +n−1∑j=1

(ajb + aj−1)x j + an−1xn.

Obtenemos las siguientes formulas para los coeficientes del producto:

c0 = a0b, cj = ajb + aj−1 (1 ≤ j ≤ n − 1), cn = an−1.

Demostracion formalUsamos la siguiente notacion para los datos iniciales y para el resultado:

f (x) =n−1∑j=0

ajx j , g(x) = b + x , h(x) = f (x)g(x) =n∑

j=0cjx j .

f (x)g(x) =n−1∑j=0

(ajb)x j +n−1∑j=0

ajx j+1 =n−1∑j=0

(ajb)x j +n∑

k=1ak−1xk

= a0b +n−1∑j=1

(ajb)x j +n−1∑j=1

aj−1x j + an−1xn

= a0b +n−1∑j=1

(ajb + aj−1)x j + an−1xn.

Obtenemos las siguientes formulas para los coeficientes del producto:

c0 = a0b, cj = ajb + aj−1 (1 ≤ j ≤ n − 1), cn = an−1.

Demostracion formalUsamos la siguiente notacion para los datos iniciales y para el resultado:

f (x) =n−1∑j=0

ajx j , g(x) = b + x , h(x) = f (x)g(x) =n∑

j=0cjx j .

f (x)g(x) =n−1∑j=0

(ajb)x j +n−1∑j=0

ajx j+1 =n−1∑j=0

(ajb)x j +n∑

k=1ak−1xk

= a0b +n−1∑j=1

(ajb)x j +n−1∑j=1

aj−1x j + an−1xn

= a0b +n−1∑j=1

(ajb + aj−1)x j + an−1xn.

Obtenemos las siguientes formulas para los coeficientes del producto:

c0 = a0b, cj = ajb + aj−1 (1 ≤ j ≤ n − 1), cn = an−1.

Tareas y aplicaciones

Ejercicio de programacion.En algun lenguaje de programacion escribir una funcionque realice el algoritmo explicado en esta presentacion.

Aplicaciones del algoritmo:Construir polinomios con raıces dadas.Construir el polinomio interpolante(formulas de Lagrange, Neville y Newton).

¡Gracias por su atencion!

Tareas y aplicaciones

Ejercicio de programacion.En algun lenguaje de programacion escribir una funcionque realice el algoritmo explicado en esta presentacion.

Aplicaciones del algoritmo:Construir polinomios con raıces dadas.Construir el polinomio interpolante(formulas de Lagrange, Neville y Newton).

¡Gracias por su atencion!