modulo 16 de_a_y_t

183Álgebra y trigonometría

Introducción

En este módulo se introduce, se resuelve y se propone una serie de ejercicios en

que intervienen ecuaciones exponenciales y logarítmicas. Se utilizan los conceptos

estudiados en los módulos 14 y 15.

Objetivos

1. Definir en qué consiste una ecuación exponencial y una logarítmica.

2. Conocer diversas aplicaciones en que intervienen ecuaciones exponenciales y

logarítmicas.

Preguntas básicas

1. ¿Qué es una ecuación exponencial?

2. ¿Cómo se define una ecuación logarítmica?

Contenido

16.1 Ecuaciones exponenciales y logarítmicas

16.1.1 Ecuación exponencial y logarítmica

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Álgebra y trigonometría

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16Ecuaciones exponenciales y logarítmicas

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16.1 Ecuaciones exponenciales y logarítmicas

16.1.1 Ecuación exponencial y logarítmica

Una ecuación que contiene funciones exponenciales o logarítmicas se llama, res-

pectivamente, ecuación exponencial o ecuación logarítmica. Estas ecuaciones son

condicionales en el sentido que se satisfacen sólo para uno o varios valores de la

variable independiente.

Ejemplo 17

Resuelva para x y para y el siguiente sistema:

2 2

log log

log log 8,

2 4 .x y

xxy

y !

!

Solución

De la segunda igualdad se tiene que " # 2loglog 2 2 log log

4 2 2 2 .y

y y y! ! ! Como

2log log2 2 ,x y! se tiene que 2

log logx y! y por tanto 2.x y!

Reemplazando en la primera ecuación:

" # " #" #" #" #" #

2 3 2

3 3

2

log log 8,

log log log log 8,

3log log 3log log 8,

4log 2log 8,

8log 8.

y y

y y y y

y y y y

y y

y

!

$ !

$ !

!

!

Por tanto:

log 1y ! y log 1.y !

10y! y 1

.10

y !

Como 2 ,x y! se obtiene que las parejas que satisfacen el anterior sistema de

ecuaciones son:

(100, 10) y 1 1

, .100 10

% &' () *

Ejemplo 18

Resuelva para x la siguiente ecuación: " #log 5 log log 2.x x !

Capítulo 6: Funciones exponencial y logarítmica

185Álgebra y trigonometría

Módulo 16: Ecuaciones exponenciales y logarítmicas

Solución

Se sabe que " # 5log 5 log log .

xx x

x

% & ! ' () *

Por tanto, 5

log log 2.x

x

% & !' () *

O sea, 52;

x

x

! 5 2 ;x x ! 5.x !

Si reemplazamos el valor hallado, en la ecución original, se tiene que:

" # " #log 5 5 log 5 log 2. !

Como no están definidos los logaritmos de números negativos, la ecuación original

no tiene una solución en los reales.

Ejemplo 19

Resuelva para x la ecuación 2 5

4 · 2 8.x x !

Solución

Se sabe que " #2

2 22 24 2 2 .

xx x! !

La ecuación original, por consiguiente, se convierte en 22 5

2 · 2 8.x x !

22 5 3

2 2 .x x$ !

O sea que:

22 5 3 0.x x$ !

Entonces, 3x ! y 1

.2

x !

Ejemplo 20

Resuelva la ecuación 26 0.

x xe e !

Solución

2 6 0x xe e ! es equivalente a la ecuación 2( ) 6 0.x xe e !

Factorizando se tiene que ( 3) ( 2) 0.x xe e $ !

Si 3 0xe ! se tiene que 3xe ! y por tanto:

ln ln 3,x

e !

ln ln3,

ln3.

x e

x

!

!

186

Si ex + 2 = 0 resulta que ex = 2 y esta expresión no tiene solución porque 0x

e +

para todo .x,

Ejemplo 21

Resuelva la ecuación 2 33 0.

x xx e x e$ !

Solución

Factorizando el lado izquierdo de la ecuación se tiene:

2 3

2 3

2

3 0,

(3 ) 0,

(3 ) 0.

x x

x

x

x e x e

x x e

x x e

$ !

$ !

$ !

Por tanto:

x2 = 0 o 3 + x = 0 o ex = 0.

La ecuación ex = 0 no tiene solución porque 0xe + para todo ;x, por tanto

x = 0 y x = 3 son las únicas soluciones.

Ejemplo 22

Resuelva para x la ecuación 4 + 3 log (2 x) = 16.

Solución

4 + 3 log (2x) = 16 equivale a afirmar que 3 log (2x) = 12.

O sea que log (2x) = 4.

Por tanto,

2x = 104,

x = 5.000.

Ejemplo 23

Resuelva para x la ecuación log ( 2) log ( 1) 1.x x$ $ !

Capítulo 6: Funciones exponencial y logarítmica

187Álgebra y trigonometría

Módulo 16: Ecuaciones exponenciales y logarítmicasSolución

log (x + 2) + log (x – 1) = 1,

log (x + 2) (x – 1) = 1,

(x + 2) (x – 1) = 10,

x2 + x – 2 = 10,

x2 + x – 12 = 0,

(x + 4) (x – 3) = 0.

Por tanto x = –4 o x = 3. La solución x = –4 se desecha por no existir logaritmo de

números negativos.

Ejemplo 24

Resuelva el siguiente sistema de ecuaciones:

2x + y = 4,

log2(x + 7) + log

2 (y – 1) = 3.

Solución

De la ecuación 2x + y = 4 se tiene que y = 4 – 2x que lo reemplazamos en la otra

ecuación para obtener:

log2 (x + 7) + log

2 (3 – 2x) = 3,

(x + 7 ) (3 – 2x) = 8,

–2x2– 11x + 21 = 8,

2x2 + 11x – 13 = 0.

Resolviendo la ecuación cuadrática se obtiene que x = 1 o 13

.2

x !

Para x = 1 se obtiene y = 2 en la ecuación y = 4 – 2x.

Para13

2x ! se obtiene y = 17 en la ecuación y = 4 – 2x.

188

Capítulo 6: Funciones exponencial y logarítmica

Ejemplo 25

Resuelva para x la ecuación log2(log

3x) = 4.

Solución

Si se llama z = log3x se tiene que log

2z = 4 y por tanto z = 24 = 16.

Reemplazando este valor en la ecuación original se tiene que:

log3

x = z o sea que log3

x = 16.

Por tanto x = 316.

Ejemplo 26

Resuelva para x la ecuación 4x – 2x + 1 = 3.

Solución

Como 4x = (22)x = 22x, la ecuación original se convierte en:

2 12 2 3

x x$ ! .

Por tanto 2(2 ) 2.2 3 0.

x x !

La anterior ecuación es una ecuación cuadrática en 2x cuya solución se calcula así:

22 2 12 2 42 .

2 2

x- $ -

! !

Por tanto 2x = 3 ó 2 1.x !

De lo anterior se sigue que:

x = log2 3.

La expresión 2 1x ! no es solución porque 2x > 0 para todo .x,