modulo 16 de_a_y_t
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183Álgebra y trigonometría
Introducción
En este módulo se introduce, se resuelve y se propone una serie de ejercicios en
que intervienen ecuaciones exponenciales y logarítmicas. Se utilizan los conceptos
estudiados en los módulos 14 y 15.
Objetivos
1. Definir en qué consiste una ecuación exponencial y una logarítmica.
2. Conocer diversas aplicaciones en que intervienen ecuaciones exponenciales y
logarítmicas.
Preguntas básicas
1. ¿Qué es una ecuación exponencial?
2. ¿Cómo se define una ecuación logarítmica?
Contenido
16.1 Ecuaciones exponenciales y logarítmicas
16.1.1 Ecuación exponencial y logarítmica
Vea el módulo 16 delprograma de televisión
Álgebra y trigonometría
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16Ecuaciones exponenciales y logarítmicas
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16.1 Ecuaciones exponenciales y logarítmicas
16.1.1 Ecuación exponencial y logarítmica
Una ecuación que contiene funciones exponenciales o logarítmicas se llama, res-
pectivamente, ecuación exponencial o ecuación logarítmica. Estas ecuaciones son
condicionales en el sentido que se satisfacen sólo para uno o varios valores de la
variable independiente.
Ejemplo 17
Resuelva para x y para y el siguiente sistema:
2 2
log log
log log 8,
2 4 .x y
xxy
y !
!
Solución
De la segunda igualdad se tiene que " # 2loglog 2 2 log log
4 2 2 2 .y
y y y! ! ! Como
2log log2 2 ,x y! se tiene que 2
log logx y! y por tanto 2.x y!
Reemplazando en la primera ecuación:
" # " #" #" #" #" #
2 3 2
3 3
2
log log 8,
log log log log 8,
3log log 3log log 8,
4log 2log 8,
8log 8.
y y
y y y y
y y y y
y y
y
!
$ !
$ !
!
!
Por tanto:
log 1y ! y log 1.y !
10y! y 1
.10
y !
Como 2 ,x y! se obtiene que las parejas que satisfacen el anterior sistema de
ecuaciones son:
(100, 10) y 1 1
, .100 10
% &' () *
Ejemplo 18
Resuelva para x la siguiente ecuación: " #log 5 log log 2.x x !
Capítulo 6: Funciones exponencial y logarítmica
185Álgebra y trigonometría
Módulo 16: Ecuaciones exponenciales y logarítmicas
Solución
Se sabe que " # 5log 5 log log .
xx x
x
% & ! ' () *
Por tanto, 5
log log 2.x
x
% & !' () *
O sea, 52;
x
x
! 5 2 ;x x ! 5.x !
Si reemplazamos el valor hallado, en la ecución original, se tiene que:
" # " #log 5 5 log 5 log 2. !
Como no están definidos los logaritmos de números negativos, la ecuación original
no tiene una solución en los reales.
Ejemplo 19
Resuelva para x la ecuación 2 5
4 · 2 8.x x !
Solución
Se sabe que " #2
2 22 24 2 2 .
xx x! !
La ecuación original, por consiguiente, se convierte en 22 5
2 · 2 8.x x !
22 5 3
2 2 .x x$ !
O sea que:
22 5 3 0.x x$ !
Entonces, 3x ! y 1
.2
x !
Ejemplo 20
Resuelva la ecuación 26 0.
x xe e !
Solución
2 6 0x xe e ! es equivalente a la ecuación 2( ) 6 0.x xe e !
Factorizando se tiene que ( 3) ( 2) 0.x xe e $ !
Si 3 0xe ! se tiene que 3xe ! y por tanto:
ln ln 3,x
e !
ln ln3,
ln3.
x e
x
!
!
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Si ex + 2 = 0 resulta que ex = 2 y esta expresión no tiene solución porque 0x
e +
para todo .x,
Ejemplo 21
Resuelva la ecuación 2 33 0.
x xx e x e$ !
Solución
Factorizando el lado izquierdo de la ecuación se tiene:
2 3
2 3
2
3 0,
(3 ) 0,
(3 ) 0.
x x
x
x
x e x e
x x e
x x e
$ !
$ !
$ !
Por tanto:
x2 = 0 o 3 + x = 0 o ex = 0.
La ecuación ex = 0 no tiene solución porque 0xe + para todo ;x, por tanto
x = 0 y x = 3 son las únicas soluciones.
Ejemplo 22
Resuelva para x la ecuación 4 + 3 log (2 x) = 16.
Solución
4 + 3 log (2x) = 16 equivale a afirmar que 3 log (2x) = 12.
O sea que log (2x) = 4.
Por tanto,
2x = 104,
x = 5.000.
Ejemplo 23
Resuelva para x la ecuación log ( 2) log ( 1) 1.x x$ $ !
Capítulo 6: Funciones exponencial y logarítmica
187Álgebra y trigonometría
Módulo 16: Ecuaciones exponenciales y logarítmicasSolución
log (x + 2) + log (x – 1) = 1,
log (x + 2) (x – 1) = 1,
(x + 2) (x – 1) = 10,
x2 + x – 2 = 10,
x2 + x – 12 = 0,
(x + 4) (x – 3) = 0.
Por tanto x = –4 o x = 3. La solución x = –4 se desecha por no existir logaritmo de
números negativos.
Ejemplo 24
Resuelva el siguiente sistema de ecuaciones:
2x + y = 4,
log2(x + 7) + log
2 (y – 1) = 3.
Solución
De la ecuación 2x + y = 4 se tiene que y = 4 – 2x que lo reemplazamos en la otra
ecuación para obtener:
log2 (x + 7) + log
2 (3 – 2x) = 3,
(x + 7 ) (3 – 2x) = 8,
–2x2– 11x + 21 = 8,
2x2 + 11x – 13 = 0.
Resolviendo la ecuación cuadrática se obtiene que x = 1 o 13
.2
x !
Para x = 1 se obtiene y = 2 en la ecuación y = 4 – 2x.
Para13
2x ! se obtiene y = 17 en la ecuación y = 4 – 2x.
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Capítulo 6: Funciones exponencial y logarítmica
Ejemplo 25
Resuelva para x la ecuación log2(log
3x) = 4.
Solución
Si se llama z = log3x se tiene que log
2z = 4 y por tanto z = 24 = 16.
Reemplazando este valor en la ecuación original se tiene que:
log3
x = z o sea que log3
x = 16.
Por tanto x = 316.
Ejemplo 26
Resuelva para x la ecuación 4x – 2x + 1 = 3.
Solución
Como 4x = (22)x = 22x, la ecuación original se convierte en:
2 12 2 3
x x$ ! .
Por tanto 2(2 ) 2.2 3 0.
x x !
La anterior ecuación es una ecuación cuadrática en 2x cuya solución se calcula así:
22 2 12 2 42 .
2 2
x- $ -
! !
Por tanto 2x = 3 ó 2 1.x !
De lo anterior se sigue que:
x = log2 3.
La expresión 2 1x ! no es solución porque 2x > 0 para todo .x,