modos de vibración en sólidos
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3
MODOS DE VIBRACIN EN SLIDOS
Teora formal de las vibraciones de la red. Fonones. Modos de vibracin de una cadena lineal. Modelos de dinmica de la red. Modos de vibracin en pozos cunticos y superredes. Interaccin electrn-fonn.
Teora formal de las vibraciones de la red. Fonones
Aproximacin armnica
Energa cintica
Energa potencial Desarrollo en serie de potencias de un, Aproximacin armnica constantes de fuerza atmicas
Tratamiento clsico de las vibraciones de la redSistema de osciladores armnicos acoplados
Ecuaciones de movimiento Transformada de Fourier Rn q ( ZB)
Matriz dinmica Buscamos soluciones armnicas Problema de autovalores
dimensin 3r 3r
Solucin : Para q fijo frecuencias (q) ( =1,...,3r ) autovectores , (q) ( =1,...,3r )dimensin 3 r Al variar q N valores 3rN frecuencias (que corresponden a 3rN grados de libertad) agrupadas en 3r relaciones de dispersin (ramas) (q) Para cada frecuencia (q) autovector , (q) 3r-dimensional r vectores 3-dimensionales que contienen la informacin sobre la direccin de los desplazamientos de los r tomos de la celdilla Estas soluciones son los MODOS DE VIBRACIN y vienen caracterizados por los ndices (,q)
Modos de vibracin en Si
q
Ahora puedo expresar un desplazamiento general del sistema como una superposicin de desplazamientos asociados a los modos de vibracin (,q)
Amplitud (arbitraria) del desplazamiento del ion
El modo de vibracin (,q) es una onda plana de frecuencia (q) que se propaga con vector de onda q
Da la direccin del desplazamiento del ion En general, no es ni (transversal) ni k (longitudinal) a q
Clasificacin de los modos de vibracin 3r ramas (q)Siempre hay 3 ramas i(A)(q), i = 1,2,3, que tienen la propiedad:
i(A)(q)' i q
cuando q ( q' )
Se denominan RAMAS ACSTICAS (2 transversales y 1 longitudinal) En un modo acstico con q La celdilla se desplaza como un todo se corresponde con una onda acstica en el slido y i es la velocidad del sonido en el medio
Las restantes 3r-3 ramas tienden a valores finitos en q'
i(O)() ' i(O)Se denominan RAMAS PTICAS En un modo ptico con q = 0 El centro de masas de la celdilla no se desplaza Desplazamientos atmicos internos
Densidad de estadosNmero de modos de vibracin entre 1 y 2 DOS por unidad de volumen
Densidad de estados (DOS)
Los conceptos de puntos crticos y singularidades de Van Hove tambin se aplican aqu Dado que el nmero de modos de vibracin es finito:
Curvas de dispersin de los fonones en semiconductores IV-IV y III-V
FononesDefinicin: COORDENADAS NORMALES
Ecuaciones de movimiento en trminos de las coordenadas normales
3rN osciladores armnicos independientes
Hamiltoniano (clsico) en trminos de las coordenadas normales
Cuantizacin de un oscilador armnico
V(x)
~2 1 n=0 Los estados cunticos se pueden interpretar como los estados posibles de un sistema oscilante (1a cuantizacin) Interpretacin alternativa: Existe una partcula ficticia (un cuanto de vibracin), de energa fija ~, que se puede crear y destruir. El sistema viene caracterizado por los estados |ni, donde n indica el nmero de cuantos presentes (2a cuantizacin) El estado fundamental n = 0 (no hay cuantos) energa E0= ~/2 Excitar o desexcitar el sistema equivale a crear o destruir cuantos Tcnicamente, se introducen los operadores de destruccin (b) y creacin (b+)
3
x
El Hamiltoniano del sistema se puede reescribir como:
Cuantizacin del sistema de 3rN modos de vibracin (osciladores armnicos) FONONES En trminos de las coordenadas normales: Modos normales de vibracin = 3rN osciladores armnicos independientes (q,) A cada uno asociamos un cuanto de vibracin FONN (q,) Operadores de creacin y destruccin: bq, y b+q, El operador Hamiltoniano se reescribe como:
Los estados del sistema vienen caracterizados por el nmero de fonones presentes: | nq, i El desplazamiento es ahora un operador:
El valor esperado del desplazamiento est relacionado con el nmero de fonones presentes:
Modos de vibracin de una cadena lineal
Cadena lineal monoatmican-1Masa m
n
Constante k
n+1
a un-1 un un+1
Cadena lineal diatmicaMasa M1 Masa M2 Constante k1 Constante k 2
a un-1,2 un,1 un,2 un+1,1
Modelos de dinmica de la red
Modos de vibracin en pozos cunticos y superredes
Interaccin electrn-fonn
Hamiltoniano de interaccin electrn-fonn: Potencial de deformacinHasta ahora ( gracias a la aproximacin adiabtica) hemos tratado por separado: la dinmica de los electrones:
H(e)(R(0)) { Eb(k) , b,k(r) }la dinmica de los iones:
H(i) { (q) , u,q } { ~(q), n(q) }Pero ambos sistemas estn acoplados H(e)(R) H(e)(R)= H(e)(R(0)) + [H(e)(R)- H(e)(R(0)) ] HI Hamiltoniando de interaccin de los electrones con las vibraciones de la red
Consistentemente con la aprox. armnica, supondremos aqu: u=R-R(0)
Interaccin por POTENCIAL DE DEFORMACIN
N problemas de 1 electrn Problema de 1 electrn interaccionando con las vibraciones de la red Interaccin de carcter mecnico ( local, de corto alcance )
HAMILTONIANO DE INTERACCIN ELECTRN-FONN
Potencial de deformacin del modo (q,)
Tratamiento perturbativo de la interaccinLa interaccin electrn-fonn se considera usualmente como una perturbacin sobre el sistema electrnico descrito por H0 { Eb(k) , b,k(r) }Teora de perturbaciones dependiente del tiempo
Necesitaremos calcular elementos de matriz de la forma:
Proceso de dispersin de un electrn acompaado de la destruccin de un fonn
Proceso de dispersin de un electrn acompaado de la creacin de un fonn
Hamiltoniano de interaccin electrn-fonn: Potencial elctricoEn materiales con enlace parcialmente inico (zincblenda, wurzita) Algunos modos de vibracin llevan asociado una polarizacin elctrica ( modos polares ) Estos modos de vibracin ( fonones) pueden interaccionar con los electrones ( adems de mediante la interaccin por potencial de deformacin ) de forma indirecta a travs del potencial elctrico asociado (r,t)Interaccin de carcter elctrico ( de largo alcance )
formalmente idntico al potencial de deformacin
Interaccin FrhlichGa As
Fonones longitudinales pticos (LO) de q ( )
+LO
q
Campo elctrico longitudinal
Interaccin piezoelctricaEfecto piezoelctrico en cristales no centrosimtricos: deformacin campo elctrico
Fonones acsticos de q ( )
Tipos de interaccin electrn-fonn( en semiconductores con la estructura del diamante y de la zincblenda )
bi,bf = C
ki,kf ' L
bi,bf = V
ki,kf '
bi,bf = C
ki,kf '
bi,bf = V
ki,kf '
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