modelos de espera - angelfire.com · 2 introducción una línea de espera es la resultante de un...

Modelos de Espera

M. En C. Eduardo Bustos Farías

Introducción

Una línea de espera es la resultante de un sistema cuando la demanda por un bien o servicio supera la capacidad que puede proporcionar dicho sistema.

Un sistema está formado por un conjunto de entidades que en paralelo proporcionan el bien o servicio donde las transacciones ingresan aleatoriamente al sistema

Ejemplos de Líneas de Espera• Redes de Comunicaciones y Computadores• Tareas en un Computador • Cajas en Supermercado o Bancos• Modelos de Tráfico en una Ciudad ( T-A -M)• Líneas de Producción e Inventario• Talleres de Reparación• Hospitales• Estaciones de Bomberos• Sistemas de Distribución o Logísticos

Introducción

Elementos de estudio de dichas líneas de espera serán entonces los tiempos asociados a cada uno de los procesos que se desarrollan y las llegadas de las transacciones al sistema.

Debido a que las variables están fuera del control del

tomador de decisiones, será necesario realizar el

modelado utilizando procesos estocásticos.

Esquema Líneas de Espera

Población o Fuente deEntrada deClientesAl Sistema

Instalacionesde Servicio

SISTEMA

Clientes Servidossalen del Sistema

de Servicio y vuelven a laPoblación

Clientes que entran al Sistema de Servicioy Esperan ser Atendidos

Algunos Clientespueden no entrar

al sistema deServicio

Definición Básica

Una línea de espera puede modelarse como un

proceso estocástico en el cual la variable aleatoria se

define como el número de transacciones en el

sistema en un momento dado.

El conjunto de valores que puede tomar dicha variable

es { 0, 1, 2, 3, 4,.......,N } y cada uno de ellos tiene

asociada una Prob.de ocurrencia {P0, P1, P2........, PN }

Objetivo del EstudioDeterminar el nivel de desempeño del sistema:

• Cantidad de entidades presente

• Velocidad del Servicio en el sistema

Interesa minimizar el costo total del sistema

Los costos de transacciones dan cuenta de la pérdida por

tiempo de espera o la pérdida de clientes por abandono del

sistema.

Los costos de proporcionar el servicio, dan cuenta de los

salarios, energía, mantención, etc.

Objetivo del estudioMatemáticamente :

Min {Ct} = Ce S + C q Lq

dondeS = 1,2,3,4.........Lq= f {S,E(t),.......}

Donde:S: Número de entidades que proporcionan servicio.E(t): tiempo promedio de Servicio.Lq: : Número de transacciones en espera.Ce : Costo de servicio por entidad - tiempo.Cq : Costo de servicio por transacción - tiempo.Ct : Costo total por unidad de tiempo

Optimización de Costos

No. de Servidores

Costo de servicio

Costo de espera

$/tiempo

Ct mínimo

Líneas de Espera (LE)• Los modelos de LE nos permitirán estudiar

este tipo de fenómeno y determinar:

Tiempo de Espera Promedio de los ClientesLargo Promedio de la LEFactor de Utilización de ServidoresDistribución Tiempos de Espera (Difícil)Tiempos OciososEficiencia del SistemaPérdidas de Clientes

Elementos Básicos de M-LE

• Población: Fuente de Entradas– Tamaño Poblacional:

→ Infinito ; Finito– Patrón de Llegadas : Tasa de Llegada– Patrón de Salidas :

→ Cliente Satisfecho→ Cliente vuelve a la LE.

– Actitudes de los Clientes→ Cambios→ Renuncias etc.

Estructura General Sistema Espera

Salida delSistema

Entrada al Sistema

Servidores en paralelo

Fuente deTransacciones potenciales

EstructuraLos elementos básicos constituyentes de un sistema de espera son los siguientes:

ServidorFila o ColaTransacciones Potenciales

ServidorRepresenta el mecanismo por el cual las transacciones reciben de una manera completa el servicio deseado.

Sus principales características son:La Cantidad asignada a cada fila existente en

el sistema.La distribución de probabilidad del Tiempo de

Atención a las transacciones o (Velocidad de Servicio)

FilaEs el conjunto de Clientes que espera ser atendido por alguno de los servidores del sistema.

Sus principales características son:

Capacidad : Es la cantidad máxima de transacciones que puede albergar cada fila existente en el sistema.

De acuerdo a esto se clasifican en finitas o infinitas.

Orden : Es la forma como los Clientes son extraídas de la fila para su atención.

Ejemplos: FIFO, prioridad, aleatorio, etc.

Forma de salir : como sale de la filamediante el proceso de serviciomediante factores de abandono : insatisfacción,

desesperación, etc.

Transacciones Potenciales

Representan el número de clientes potenciales que podría requerir el servicio proporcionado por el sistema.

Sus principales características son:

El Tamaño del conjunto de potencial de clientes.

La distribución de probabilidad del Tiempo entre llegadas o tasa de entrada promedio.

NomenclaturaS número de servidoresn número de clientes en el sistemaN número máximo de clientes permitidos en el sistemaλn flujo de clientes que entran cuando hay n clientes en el sistemaµn capacidad del servidor cuando hay n clientes en el sistemaE(t) tiempo promedio de proceso por clienteV(t) varianza del tiempo de procesoE(a) tiempo promedio entre llegadasV(a) varianza del tiempo entre llegada

Coeficiente cuadrado de variación del flujo de clientes que entran al sistema.Coeficiente cuadrado de variación del tiempo de servicio. Coeficiente cuadrado de variación del flujo de clientes que salen del sistema.

Nomenclaturapii Probabilidad de que el sistema cambie del estado i a un estado j

después de un intervalo de tiempoPn Probabilidad en estado estable de que existan n clientes en el

sistemaL Número promedio de clientes en el sistemaLq Número promedio de clientes en la filaW Tiempo promedio de permanencia en el sistemaWq Tiempo promedio de permanencia en la filaρ Factor de utilización promedio del servicioCt Costo total promedio del sistema de líneas de espera por unidad de

tiempoCe Costo promedio de servicio por cliente por unidad de tiempoCq Costo promedio de espera por cliente por unidad de tiempo

Clasificación de Kendall y Lee

Kendall y Lee 1953

Proponen un sistema de clasificación para sistemas de líneas de espera, el cual considera seis de las características mencionadas en la estructura de los modelos.

El cual tiene el siguiente formato

(a/b/c)(d/e/f)

a Distribución de probabilidad del tiempo entre llegadas de las transacciones

b Distribuciones de probabilidad del tiempo de servicio.

Símbolos utilizados en estos dos primeros campos son:D : constanteEk: distribución Erlang con parámetro kG : cualquier tipo de distribuciónGI: distribución general independienteH : distribución hiperexponencialM : distribución exponencial

Clasificación de Kendall y Leec número de servidores

d orden de atención de los clientes

Símbolos utilizados en este campo son:

FIFO : primeras entradas, primeros serviciosLIFO : últimas entradas, primeros servicios SIRO : orden aleatorioPR : con base en prioridadesGD : en forma general

e número máximo de clientes que soporta el sistema en un mismo instante de tiempo

f número de clientes potenciales del sistema de líneas de espera

Ejemplos

Un modelo (M/D/3)(FIFO/20/20) representa la clasificación

de un sistema donde existen 3 servidores en paralelo

atendiendo de acuerdo con un orden de primeras entradas,

primeras salidas, con un tiempo de servicio constante. El

sistema tiene sólo 20 clientes potenciales, los cuales podrían

encontrarse dentro del sistema en un mismo instante. El

tiempo entre llegadas de los clientes sigue una distribución

exponencial y, en caso de llegar y encontrar todos los

servidores ocupados, pasan a formarse de una fila común.

Respetando la clasificación Kendall y Lee, es posible agrupar los diferentes modelos de una manera donde los procesos Markovianos y los no Markovianos se separan claramente.

Los Markovianos se dividen en modelos de capacidad finita y modelos de capacidad Infinita.

Los No Markovianos, se clasifican en modelos con tiempos entre llegadas exponenciales y tiempos de servicios con cualquier tipo de distribución.

Mediante cadenas deMarkov de estadofinito

Mediante el factor de corrección K

(G/G/1) (FCFS/∞ / ∞)

Mediante la fórmula de Pollaczek- Khintchine

(M/G/1) (FCFS/ ∞ / ∞)

(M/M/S) (d/N/f)

(M/M/1) (FCFS/N/:)

(M/M/1) (FCFS/N/N)

(M/M/S) (FCFS/N/:)

(M/M/S) (FCFS/N/N)

Mediante cadenas de Markov y series geométricas

(M/M/S) (d/ ∞ / ∞)

(M/M/1) (FCFS/ ∞ / ∞)

(M/M/S) (FCFS/ ∞ / ∞)Mediante el cálculo de límite superior

(G/G/S) ( FCFS /∞/∞)

Mediante fórmulas generales

Medidas de desempeño

Medidas de desempeño:Utilización de Servicio

Tasa de entrada Promedio

Número Promedio de Clientes en el sistema

Número promedio de Clientes en la fila

Tiempo promedio de espera en el sistema

Tiempo promedio de espera en la fila

Coeficiente cuadrado de variación

Ecuaciones Generales

µλρs

=Utilización de Servicio

0λλTasa de entrada Promedio

= ∑=0

Número Promedio de clientes en el sistema

snnq PsnL )(Número promedio de

clientes en la fila

)( tEWW

=λTiempo Promedio de

espera en el sistema

Tiempo promedio de espera en la fila

Coeficiente cuadrado de variación

[ ])()(

aEaVCa =Tiempo entre llegadas

[ ])()(

tEtVC s =Tiempo de servicio

Tiempo entre salidas del servicio

22222 )1( ρρ sap CCC +−=

Procesos MarkovianosEl proceso estocástico asociado a una línea de espera tiene la propiedad markoviana, es decir la probabilidad condicional de llegar a un estado futuro depende exclusivamente del estado actual en el que se encuentre el sistema, sin importar el estado inicial de dicho sistema.

Las probabilidades condicionales deben cumplir con

∀≥

Procesos Markovianos

Las probabilidades de estado estacionario Pj representan

el comportamiento Probabilístico de cada estado del

sistema a largo plazo y se calculan a partir de las

probabilidades de transición( del estado i al estado j) de

un paso de acuerdo con las Probabilidades de transición

de acuerdo con

=∞→

Matriz de probabilidades a un paso

⎥⎥⎥⎥⎥⎥

⎢⎢⎢⎢⎢⎢

pppppppppppp

..................

2221220

1121110

0020100

Estado Futuro

0 1 2 . . . N

Estado

Actual

La matriz Probabilidades a un paso genera un sistema de ecuaciones con N+1 incógnitas, N+1 ecuaciones independientes y una ecuación redundante que debe ser eliminada.

1............

..................

221100

22221120022

12211110011

02201100000

=++++++++=

++++=++++=++++=

NNNNNNN

PPPPPpPpPpPpP

PpPpPpPpPPpPpPpPpPPpPpPpPpP

Matriz de probabilidades

La solución a este sistema de ecuaciones origina los valores de las probabilidades estacionarias independientes del estado en que se encuentra el sistema inicialmente.

⎥⎥⎥⎥⎥⎥

⎢⎢⎢⎢⎢⎢

PPPPPPPPPPPP

..................

Estado Futuro0 1 2 . . . N

Estado

Actual

Ejemplo

Datos del ejemplo: Consultorio de Salud• Número total de observaciones del SM: 73• Intervalo entre observación: 5 Minutos• Tabla de relaciones existente entre datos

⎥⎥⎥⎥⎥⎥

⎢⎢⎢⎢⎢⎢

10001001005555554107800253

Estado Futuro0 1 2 3 4

Estado

Actual

Ejemplo

La matriz anterior se explica como:

• De las 73 observaciones, en 10 de ellas el sistema estuvo en estado 0 y 5 minutos después el sistema había permanecido igual en 3 ocasiones, había cambiado a estado 1 en 5 ocasiones, había cambiado a estado 2 en 2 ocasiones, y no se observaron cambios a los estados 3 y 4.

Ejemplo

Calculando la probabilidad condicional de estado presente i al estado futuro j, se obtiene la siguiente matriz a un paso:

⎥⎥⎥⎥⎥⎥

⎢⎢⎢⎢⎢⎢

5.00005.00066.0033.0

2.02.02.02.02.02.005.0035.04.0

002.05.03.0

Estado Futuro0 1 2 3 4

Estado

Actual

Ejemplo

4....1,010

==∑=

iparapN

Aplicando las ecuaciones de estado estacionario a la matriz de un paso, se obtienen las ecuaciones

15.02.02.0

2.005.066.02.02.02.035.05.0

5.033.02.04.03.0

432100

=++++++=

+=++=++=

PPPPPPPPP

PPPPPPP

PPPPPPPPPP

Ejemplo

Resolviendo el sistema de ecuaciones

173.0041.0122.0310.0355.0

Número promedio de transacciones en la cola

7179.0

)173.0(3)041.0(2)122.0(1)310.0(0)(

+++=−= ∑=

Característica principal:

Distribución de probabilidad que define la llegada y salida de transacciones del sistema: sigue una ley Poisson.

Para un intervalo de tiempo ∆t esta dado por:

....2,1,0

!)()|( 0

∆−

xettxXp

Condiciones que se deben cumplir

•Solamente puede ocurrir una llegada entre t y ∆t.•Solamente puede ocurrir una salida entre t y ∆t.•Solamente puede ocurrir una llegada o una salida entre t y ∆t.

Por lo que el cambio de estado de n a n+1 se lleva a cabo al ocurrir una llegada. Un cambio de estado de n a n-1 solo ocurre cuando se produce una salida.

Matriz de probabilidad a un paso

⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥

⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢

−−−

...0000

...0000.......00...0000...000...000...00

232221

121110

Estado Futuro

0 1 2 3 . . . N-1 N

Estado

Actual

Lo cual conduce a:

Nntntetnnn

,......,2,1,01,

,......,2,1,0)(1,

1,......,2,1,0)(1,

=∆−∆−=

=∆≈∆−∆=−

−=∆≈∆−∆=+

µµµ

λλλ

Ecuaciones de Balance

De la matriz se obtienen las ecuaciones de balance

1............10

1,11,121,2

2211110011

1100000

++=++=

−−

−−−−−−−−

NNNNNN

NNNNNNNNN

PpPpPPpPpPpP

PpPpPpPPpPpP

Sustituyendo se obtiene

1............)1()1(

)111(2)1(

22111001

=+++∆−+∆−=

∆+∆−−∆−−+∆−=

)()1( 11000

∆+∆−∆−+∆=∆+∆−= PtPtP

µµλλµλ

−−−

NNNNNNNN

PPPPtPtP

tPPtttPPtPPtttPP

N µλµµλλ

............4

µµµλλλ

µµλλ

Resolviendo el sistema

Generalizando

..... PPn

nn µµµµ

λλλλλ −=

Finalmente se obtiene

00 .....

....1−

−⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡++++=

nPµµµµ

λλλλµµµλλλ

µµλλ

Elementos Básicos de LE

• Cola de Espera– Infinita– Finita : Tamaño Máximo

• Instalaciones de Servicio– Número Instalaciones– Disposición Instalaciones de Servicio

→ En Serie→ En Paralelo→ Redes de Servidores

– Distribución Tiempos de Servicio

Elementos Básicos de LE

• Disciplina de Servicio– LIFO– Aleatorio– FIFO– Asignación de Prioridades

A continuación realizaremos las definiciones de las cantidades que permitirán el estudio del comportamiento de un sistema de LE.

LE : Definiciones Elementales

N(t): Número Total de Clientes en el Sistema en el tiempo t

Pn(t): Probabilidad de Estado. Probabilidad que en elsistema se encuentren n clientes en el instante t

λn(t): Tasa de llegada de clientes nuevos cuando se encuentran n Clientes en el Sistema, en el tiempo t

µn(t): Tasa de servicio para el conjunto instalación de servicio cuando se encuentran n clientes en el sistema, en el instante t

S : número de servidores o estaciones de servicio delas instalaciones de servicio del sistema

LE : Definiciones y Cálculos Elementales

λn :Tasa de Llegada en Estado Estacionario cuando hay n clientes en el sistemaµn :Tasa de Atención de las instalaciones de servicio en estado estacionario cuando hay n clientes en el sistemabi : Probabilidad que existan i servidores ocupados

b0 = P0 si hay cero servidor ocupado, entonceshay cero clientes en el sistema

bi = Pi probabilidad que existan i, i < s, servidores ocupados, es igual a queexistan i clientes en el sistema

bs = Pn probabilidad que existan s servidoresocupados, es igual a que existans o más clientes en el sistema

∑n=s

LE : Definiciones y Cálculos Elementales

B Número Esperado de Servidores ocupados en uninstante cualesquiera

B = i * b i

esto resulta ser también al número esperado siendoatendidos en un instante dado cualquiera

Ls Número Esperado de Clientes en el Sistema, en cualquier instante

Ls = n Pn

∑i=0

8∑n=0

[Servidores]

[Clientes]

LE : Cálculos Elementales

qj Probabilidad que existan j clientes haciendo Cola,en un instante dado

q0 = Pn Probabilidad que existan cero clienteshaciendo Cola; e.o.p., que existan s omenos clientes en el sistema

qj = Ps+j j = 1, 2, 3, .... Probabilidad que existanj clientes haciendo Cola.

Lq Longitud de la Cola: Cantidad promedio o esperado de Clientes esperando ser atendidos, en cualquier instante. (no incluye a los que están siendo atendidos)

Lq= j q j Lq = (n-1)Pn∑j=0

8∑n=s+1

[Clientes]

LE : Definiciones y Cálculos Elementales U Tasa de Utilización de los servidores: Razón Promedio

de ocupación por Servidor de la Instalación de Servicio

λ Tasa Promedio de Llegada de Clientes

λ = λn Pn

R Tasa Promedio (Esperada) de clientes que pasan: entran y salen del sistema. El número promedio de servicios completados por unidad de tiempo.

R = λ

∑n=0

[Clientes][Tiempo]

LE : Definiciones y Cálculos Elementales µ Tasa Promedio de atención de las Instalaciones (cuando

en el sistema hay menos clientes que servidores la tasa de atención del sistema es menor)

µ = µn bn n ≤ s

Ws tiempo esperado que un cliente cualquiera estaráen el sistema, desde que entra hasta cuando sale de él.

Wq Tiempo promedio que un Cliente esperará antes de ser atendido

∑n=1

LE : Medidas de Desempeño Ls Número Esperado de Clientes en el Sistema

Ls = nPn

Lq Número Esperado de Clientes en la cola

Lq = (n-s)Pn

Ws Tiempo Estimado de Espera en el Sistema

Ls = λ Ws

λ Tasa Estimada de Llegada de Clientes

λ = λnPn

∑n=0

∑n=s+1

∑n=0

LE : Medidas de Desempeño Relación Tiempos de Espera

Ws = Wq + 1 / µ

Relación Número Esperado de Clientes

Ls = Lq + λ / µ

Número Esperado de Servidores Ocupados

B = Ls - Lq = λ / µ

Tasa Esperada de Utilización de los Servidores

U = µ / s

X X , x , X , X, X

PATRON de LLEGADASM: MarkovianoG : GeneralE : Erlang

PATRON del SERVICIOM: MarkovianoG : GeneralE: Erlang

NUMEROSERVIDORES

1: un servidors: s servidores

en paralelo

TAMAÑO POBLACION

: InfinitaP : Finita

TAMAÑO COLA: Infinita

K : Finita

Notación en LEDISCIPLINA

DE SERVICIODG , FIFO , LIFO

RAND, PRI

Notación en L.E. : Distribuciones Llegadas y Salidas

• M : Distribución de Llegadas o Salidas de Poissono Markoviana. (Distribución Exponencial de tiempos de servicio)

• D : Tiempo entre llegadas o de servicio constante o determinista

• EK : Distribución de Servicio de Erlang o Gamma de parámetro k entre llegadas o de servicio

• GI : Distribución de Llegadas General Independiente (o tiempo entre llegadas)

• G : Distribución de Salidas General (o tiempo de servicio)

Estudio de L.E.

• Todas las definiciones y ecuaciones anteriores, junto con suposiciones acerca de las distribuciones de llegada y salida nos permitirán realizar el estudio de un sistema de l.e. en el régimen transiente.

• Los cálculos se realizan en secuencia, siendo el primer paso el cálculo de Pn como función de λn y µn y así sucesivamente hasta lograr calcular todas las medidas de desempeño definidas antes.

• La deducción de una expresión para Pn se logra en base al diagrama de tasas de transición.

Estudio L.E.: Diagrama Tasas de Transición• Dado que hay n clientes en el sistema en un

instante t, el número de clientes luego de un ∆t suficientemente pequeño será (n-1) si ocurrió una salida o (n+1) si fue una entrada

n-1 n+1

λn−1

... ...

• Se obtiene la ecuación de equilibrio:λn-1Pn-1 + µn+1Pn+1= ( λn + µn) Pn

Estudio L.E.: Ejemplos de Cálculo en base a Diagramas Tasas de Transición

• A continuación ejemplificaremos el proceso de cálculo de las medidas de desempeño de l.e. en 4 tipos de sistemas de colas definidas por tasas de llegadas y tiempos de atención poissonianos:

M / M / 1 / DG /∞ / ∞M / M / s / DG / ∞ / ∞M / M / 1 / DG / P / ∞M / M / 1 / DG / ∞ / K

M / M / 1 / DG /∞ / ∞ :markoviano, markoviano, 1 servidor, población infinita, cola infinita

0 1 2 4 n

λ∆t λ λ λ λ λ

µ∆t µ µ µ µ µ

....... ....

M / M / s / DG / ∞ / ∞ :markoviano, markoviano, 1 servidor, población infinita, cola infinita

1 2 s+1 n

λ∆t λ λ λ λ λ

1µ∆t 2µ (s−1)µ

sµ sµ sµ sµ sµ

.... .... ....

M / M / 1 / DG / P / ∞ :markoviano, markoviano, 1 servidor, población finita, cola infinita

0 1 2 n

Pλ (P−1)λ

µ µ µ µ µ

.... ....(P−2)λ (P-n+1)λ (P-n)λ λ

M / M / 1 / DG / ∞ / K :markoviano, markoviano, 1 servidor, población infinita, cola finita

µ µ µ

....λ λ

Estudio de otros ME• Los 4 ejemplos anteriores corresponden a los

casos “clásicos en teoría l.e. Veamos otros ejemplos de Poisson o Markovianos de interés:

M / M / s / DG / ∞ / KM / M / s / DG / P / ∞Caso Finito: M / M / s / DG / P / ∞ s ≤ PAutoservicio: M / M / ∞ / DG / ∞ / ∞Modelo de Servicio de Máquinas:

M / M / s / DG / P / P s ≤ P

modelos de espera - angelfire.com · 2 introducción una línea de espera es la resultante de un...

Documents

reduccion sistema resultante

lineas de espera

mapa resultante

romance espera

capitulo 2 - s4f4a6e0c58d15cfc.jimcontent.com · capitulo 2...

fuerza resultante problemas

la espera original

líneas de espera

fenomeno de espera

haiti espera

ínez lorena olmeda liane gonzález - universidad de ......

informe resultante de la actividad de control n°2

calcular torque de la resultante

“empleo del subproducto resultante del fraccionamiento de

resultados 2ºmt del ciclo2012 y clasificación resultante

fenómenos de espera

factor espera

4. implementaciÓn del modelo resultante. 4.1. aspectos

calculo de resultante

comparación de la calidad del compost resultante del