modelado y control de un hexarotor
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INSTITUTO POLITÉCNICO NACIONAL
ESCUELA SUPERIOR DE INGENIERIA MECÁNICA Y ELÉCTRICA
SECCIÓN DE ESTUDIOS DE POSGRADO E INVESTIGACIÓN
Modelado y Control de un Hexarotor.
TESIS
QUE PARA OBTENER EL GRADO DE
DOCTOR EN CIENCIAS
EN INGENIERIA MECÁNICA
PRESENTA:
M. en C. VANYA ITZEL RANGEL ELIZALDE
DIRECTORES:
DR. JESÚS ALBERTO MEDA CAMPAÑA
DR. JOSÉ DE JESÚS RUBIO ÁVILA
MÉXICO, CIUDAD DE MÉXICO. 2017
Modelado y Control de un Hexarotor M. en C. Vanya Itzel Rangel Elizalde
Modelado y control de un Hexarotor M. en C. Vanya Itzel Rangel Elizalde
Resumen
El presente desarrollo de tesis muestra la investigación y desarrollo tanto numérico como
simulado de la obtención del modelo en espacio de estados para un hexarotor modelo DJI
2312 de construcción propia a través del Lagrangiano y el Método de Newton Euler
aplicados a la dinámica traslacional y rotacional del aeronave y a las combinaciones de
actuadores presentes en cada uno de los movimientos básicos del dron.
En el capítulo uno, se muestra el estado del arte sobre la teoría de los vehículos aéreos no
tripulados (UAV), su evolución e importancia en varias áreas de desempeño de los mismos,
así como las características de construcción y desempeño del dron bajo estudio con la
finalidad de ampliar el panorama de aplicación de este tipo de vehículo aéreo del cual no se
existe una gran cantidad de investigaciones como las existentes para el caso del quadrotor.
En el segundo capítulo se analiza cada uno de los movimientos traslacionales y rotacionales
del dron alrededor de sus seis grados de libertad con la finalidad de obtener las ecuaciones
de movimiento y las entradas de control del sistema con la finalidad de trasladar dichas
ecuaciones al espacio de estados para su manipulación.
El capítulo tercero muestra cómo se traducen las ecuaciones obtenidas en el segundo
capítulo a la forma de espacio de estados y se desarrolla la simulación en el programa de
computación Matlab con la finalidad de probar la fiabilidad del modelo en comparación
con la bibliografía existente en la actualidad
El cuarto capítulo se pretende incluir la aplicación del control lineal y posteriormente el
control difuso sobre el modelo en espacio de estados. Este capítulo se encuentra en
desarrollo.
En el capítulo cinco se mostrarán y se analizarán los resultados obtenidos tras la aplicación
de los sistemas de control del capítulo cuarto de la presente tesis.
Abstract
Modelado y Control de un Hexarotor M. en C.. Vanya Itzel Rangel Elizalde ii
Abstract.
The present thesis shows the numerical and simulated research and development of the
state space model for a self-constructed DJI 2312 hexarotor through the Lagrangian and the
Newton Euler Method applied to the translational and rotational dynamics of the Aircraft
and the combinations of actuators present in each of the basic movements of the dron.
In chapter one, the state of the art on unmanned aerial vehicle theory (UAV) is shown, its
evolution and importance in several areas of performance of the same, as well as the
construction and performance characteristics of the dron under study with the purpose of
broadening the scope of application of this type of air vehicle of which there is not a great
amount of investigations like the existent ones for the case of the quadrotor.
In the second chapter we analyze each of the translational and rotational movements of the
dron around its six degrees of freedom in order to obtain the equations of motion and the
control inputs of the system in order to transfer these equations to the space of states for
manipulation.
The third chapter shows how the equations obtained in the second chapter are translated to
the form of state space and the simulation is developed in the Matlab computer program in
order to test the reliability of the model in comparison with the existing bibliography.
The fourth chapter is intended to include the application of linear control and then fuzzy
control over the state space model. This chapter is under development.
In chapter five the results obtained after the application of the control systems of the fourth
chapter of the present thesis will be shown and analyzed.
Modelado y Control de un Hexarotor M. en C. Vanya Itzel Rangel Elizalde
Agradezco al Instituto Politécnico Nacional, a la Escuela Superior de Ingeniería Mecánica
y Eléctrica y a la Sección de Estudios de Posgrados por presentarme el mayor desafío
académico hasta ahora, costo mucho pero lo supere con gran satisfacción, por el apoyo y la
invaluable orientación de mis directores de tesis el Dr. Jesús Meda Campaña y Dr. José de
Jesús Rubio Ávila.
Así mismo agradezco a mi mamá y mi papá por siempre estar ahí para mí, aconsejarme y
orientarme. A mi hermano que desde que tengo memoria existimos juntos, así también a
mis sobrinitos hermosos que siempre tienen una sonrisa para alegrarme, a mi abue y mi tía
por animarme y quererme. A todos y cada uno los quiero.
Muchas Gracias!!!
Índice General
Modelado y Control de un Hexarotor M. en C.. Vanya Itzel Rangel Elizalde iii
Índice General
INSTITUTO POLITÉCNICO NACIONAL ................................................................................................... I
............................................................................................................................................................................. I
ABSTRACT. .................................................................................................................................................... II
ÍNDICE GENERAL ....................................................................................................................................... III
SIMBOLOGÍA ............................................................................................................................................... VI
OBJETIVOS ................................................................................................................................................ VIII
OBJETIVO GENERAL .............................................................................................................................. VIII
OBJETIVOS ESPECIFICOS ..................................................................................................................... VIII
CAPÍTULO 1 .................................................................................................................................................... 1
ESTADO DEL ARTE. ..................................................................................................................................... 1
1.1. DEFINICIONES GENERALES AERONAVES Y UAV (UNMANNED AEREAL VEHICLE) ..................... 1 1.2 PRIMEROS CONCEPTOS DE AERONAVES VTOL ................................................................................. 2 1.3 HISTORIA DE LOS VEHÍCULOS AÉREOS MULTI-ROTOR. ..................................................................... 3 1.4 HEXAROTOR DJI 2312E ..................................................................................................................... 7 1.5 CAMPO DE APLICACIÓN DE LOS UAVS ............................................................................................... 8 1.6 INVESTIGACIONES ACTUALES. .......................................................................................................... 11
.......................................................................................................................................................................... 13
CAPÍTULO 2 .................................................................................................................................................. 14
MARCO TEÓRICO. ...................................................................................................................................... 14
2.1. CINEMÁTICA. ....................................................................................................................................... 14
2.2. DINÁMICA. ............................................................................................................................................. 16
2.2.1 DINÁMICA TRASLACIONAL. ................................................................................................................. 16 2.2.2 DINÁMICA ROTACIONAL...................................................................................................................... 18 2.2.3 DETERMINACIÓN DEL EMPUJE VERTICAL (U). ................................................................................ 20 2.2.4 DETERMINACIÓN DEL TORQUE EN MOVIMIENTO DE ROLL ( ). .................................................... 20 2.2.5 DETERMINACIÓN DEL TORQUE EN MOVIMIENTO DE PITCH ................................................... 24 2.2.6 DETERMINACIÓN DEL TORQUE EN MOVIMIENTO DE YAW .................................................... 24
CAPÍTULO 3 .................................................................................................................................................. 27
OBTENCIÓN DEL MODELO EN ESPACIO DE ESTADOS DEL HEXAROTOR .............................. 27
EL PRESENTE CAPÍTULO MUESTRA LA TRANSFORMACIÓN DEL MODELO EULER-
LAGRANGE A SU CORRESPONDIENTE REPRESENTACIÓN EN EL ESPACIO DE ESTADOS
EL CUAL QUEDARA DETERMINADO POR DOCE ESTADOS PRINCIPALES. ............................. 27
3.1 OBTENCIÓN DEL ESPACIO DE ESTADOS. ..................................................................................... 27
Figura 3.1. Ecuaciones dinámicas de movimiento traslacional y rotacional ......................................... 28 para el hexarotor. ................................................................................................................................... 28 Figura 3.2. Ecuaciones dinámicas de movimiento traslacional y rotacional ......................................... 31 para el hexarotor 2. ................................................................................................................................ 31 Figura 3.3. Variables de Estado del modelo del hexarotor. ................................................................... 31 Figura 3.4 Entradas de Control del modelo del hexarotor. .................................................................... 32 Figura 3.5. Modelo 1 en espacio de estados. .......................................................................................... 33
Índice General
Modelado y Control de un Hexarotor M. en C. Vanya Itzel Rangel Elizalde
Figura 3.6. Modelo 2 en Espacio de Estados. ........................................................................................ 33 Figura 3.7. Modelo 1 Sustitución de los estados. ................................................................................... 34 Figura 3.8. Modelo 2 Sustitución de los estados. ................................................................................... 34
3.2. PROGRAMA DE SIMULACIÓN DEL SISTEMA EN ESPACIO DE ESTADOS EN MATLAB
SIMULINK. .................................................................................................................................................... 35
3.2.1. CONSTRUCCIÓN DEL MODELO 1 DE ESPACIO DE ESTADOS EN SIMULINK. ................ 36
Figura 3.2.1 Estados del Modelo 1 (Traslación en eje x). ...................................................... 36 Figura 3.2.2 Estados del Modelo 1 (Traslación en eje y). ...................................................... 37 Figura 3.2.3 Estados del Modelo 1 (Traslación en eje z). ...................................................... 37 Figura 3.2.4 Estados del Modelo 1 (Rotación sobre eje x (Roll)). ......................................... 38 Figura 3.2.5 Estados del Modelo 1 (Rotación sobre eje y (Pitch)). ..................................... 39 Figura 3.2.6 Estados del Modelo 1 (Rotación sobre eje z (Yaw)). .................................... 39 Figura 3.2.7. Obtención de la entrada de control ........................................................................... 40 Figura 3.2.7. Obtención de la entrada de control ........................................................................... 41 Figura 3.2.8. Obtención de la entrada de control ........................................................................... 41 Figura 3.2.9. Obtención de la entrada de control ........................................................................... 42 Figura 3.2.10. Obtención de la entrada de control ......................................................................... 43
3.2.2. CONSTRUCCIÓN DEL MODELO 2 DE ESPACIO DE ESTADOS EN SIMULINK. ................ 44
Figura 3.2.11. Estados del Modelo 2 (Traslación en eje x). ................................................... 44 Figura 3.2.12. Estados del Modelo 2 (Traslación en eje y). ................................................... 45
3.3. SIMULACIÓN DEL SISTEMA EN ESPACIO DE ESTADOS ......................................................... 45
Figura 3.3.1. Comparativa (Traslación en eje x). .................................................................. 46 Figura 3.3.2. Comparativa (Traslación en eje y). .................................................................. 46 Figura 3.3.3. Comparativa (Traslación en eje z). ................................................................... 46 Figura 3.3.4. Comparativa (Rotación en eje x). ...................................................................... 47 Figura 3.3.5. Comparativa (Rotación en eje y). .................................................................... 47 Figura 3.3.6. Comparativa (Rotación en eje z). ................................................................. 47
CAPÍTULO 4 .................................................................................................................................................. 51
APLICACIÓN DEL CONTROL .................................................................................................................. 51
4.1. CONSTRUCCIÓN DEL REGULADOR LINEAL. ............................................................................. 51
Figura 4.1. Control lineal aplicado al hexarotor. .................................................................................. 51 Figura 4.2. Construcción del regulador lineal para los modelos en ...................................................... 52 espacio de estados del hexrotor. ............................................................................................................. 52 Figura 4.3. Subsistema del regulador lineal para modelo 1 en .............................................................. 53 espacio de estados del hexarotor. ........................................................................................................... 53
4.1.1 DEFINICIÓN DE CONSTANTES DEL SISTEMA: .................................................................................................... 53 Figura 4.4. Declaración de características constantes del sistema. ....................................................... 53
4.1.2 DEFINICIÓN DE LOS ESTADOS DEL SISTEMA: ................................................................................................... 53 Figura 4.5. Declaración de estados iniciales y estados de equilibrio del sistema. ................................. 54
4.1.3 DECLARACIÓN DEL PROGRAMA EN ESPACIO DE ESTADOS: ................................................................................. 54 Figura 4.6. Construcción de las ecuaciones de control y modelo en espacio de estados. ...................... 54
4.1.4 FUNCIONES F Y H : ................................................................................................................................... 55 Figura 4.7. Construcción de las funciones f y h .................................................................................. 55
4.1.5 JACOBIANO: ............................................................................................................................................ 55 Figura 4.8. Cálculo del Jacobiano para matrices de sistema de control lineal. .................................... 55
4.1.6 EVALUACIÓN DE LAS FUNCIONES: ................................................................................................................ 56
Índice General
Modelado y Control de un Hexarotor M. en C. Vanya Itzel Rangel Elizalde
Figura 4.9 Evaluación de puntos de operación y función f. ................................................................... 56 Figura 4.10 Evaluación de las velocidades delos rotores. ..................................................................... 57 Figura 4.11 Solución del modelo no lineal para las velocidades de los rotores. ................................... 58 Figura 4.12 Resultados del sistema no lineal en Matlab. ....................................................................... 58 Figura 4.13: Respuesta del sistema de control lineal para el desplazamiento vertical. ......................... 71 Figura 4.14: Velocidades angulares del control lineal para un rango de 4.9 metros. ........................... 72 Figura 4.15: Velocidades angulares del control lineal para un rango de 5.5 metros. ........................... 73
4.2. CONSTRUCCIÓN DEL REGULADOR LINEAL. ............................................................................. 60
Figura 4.16: Proceso lógica difusa. ....................................................................................................... 60 Figura 4.17. Esquema función de pertenencia (membresía). ................................................................. 62
CAPÍTULO 5 .................................................................................................................................................. 71
ANÁLISIS DE RESULTADOS. .................................................................................................................... 71
CAPÍTULO 6. ................................................................................................................................................. 53
CONCLUSIONES Y TRABAJOS FUTUROS ............................................................................................ 53
REFERENCIAS. ............................................................................................................................................ 54
ANEXO A. PRODUCTIVIDAD ................................................................................................................... 58
ANEXO B. PROGRAMAS COMPLETOS. ................................................................................................ 86
Simbología
Modelado y Control de un Hexarotor M. en C.. Vanya Itzel Rangel Elizalde vi
Simbología
Símbolo Descripción
Vector de estados traslacionales
Vector de estados rotacionales.
Estados principales
Desplazamiento sobre eje X
Desplazamiento sobre eje Y.
Desplazamiento sobre eje Z.
Rotación sobre eje X.
Rotación sobre eje Y.
Rotación sobre eje Z.
Matriz de Rotación
L Lagrangiano
T Energía cinética
U Energía potencial
M Masa
g Gravedad
Derivada con respecto al tiempo
Derivada parcial
F Vector de fuerzas
U Entrada de control
Movimiento traslacional sobre el eje x
Movimiento traslacional sobre el eje y
Movimiento traslacional sobre el eje z
Matriz de momentos de inercia
Vector de fuerzas externas
Inercia del propulsor
Perturbaciones de entrada causadas por los torques
Longitud
Torque en roll
Torque en pitch
Torque en yaw
Ecuación dinámica de rotación sobre eje x
Ecuación dinámica de rotación sobre eje y
Simbología
Modelado y Control de un Hexarotor M. en C. Vanya Itzel Rangel Elizalde
Ecuación dinámica de rotación sobre eje z
Momento de inercia con respecto al eje x
Momento de inercia con respecto al eje y
Momento de inercia con respecto al eje z
Constante especifica del rotor
Velocidad del rotor
Constante especifica del rotor
Objetivos
Modelado y Control de un Hexarotor M. en C.. Vanya Itzel Rangel Elizalde viii
Objetivos
Objetivo General
Obtener el modelo en espacio de estados del hexarotor modelo de la forma no lineal de:
Que describa el comportamiento del hexarotor y en base a dicho modelo aplicar el control
lineal y posteriormente control difuso a dicho sistema.
Objetivos Especificos
Obtención de las ecuaciones dinámicas del sistema.
Transcripción al espacio de estados.
Simulación en programa Simulink.
Validación del sistema.
Obtención de valores reales del hexarotor.
Simulación para valores reales.
Aplicación de Control Lineal.
Aplicación del Control difuso.
Justificación
Modelado y Control de un Hexarotor M. en C.. Vanya Itzel Rangel Elizalde ix
Justificación
El uso y desarrollo de vehículos aéreos no tripulados a escala (UAV´s) ha incrementado
significativamente en los últimos años ya que dichas aeronaves se pueden usar en diversos
campos de aplicación, más aun los vehículos de despegue y aterrizaje vertical que pueden
ser usados en zonas de difícil acceso.
El modelo dinámico que describe el proceso de vuelo de un hexarotor presenta
principalmente la relación entre las velocidades angulares de los seis motores que se
encuentran unidos a las hélices y a la estructura del vehículo. El modelo dinámico es
importante en el diseño del vehículo para la simulación o animación del sistema, o para el
diseño de estrategias de control.
Los vehículos micro-aéreos multi-rotor (MAVs) se están volviendo populares en el campo
robótico aéreo debido a varios factores: son altamente maniobrables, tienen la capacidad de
despegar y aterrizar verticalmente (VTOL) y son capaces de volar a baja altitud. La
plataforma multi-rotor más común es quadrotor y se convirtió en el banco de pruebas
universal para la investigación robótica aérea.
Los métodos convencionales del sistema de control de vuelo del multi-rotor han sido
dependientes de los reguladores lineales tales como PID (derivado integral proporcional) y
LQR (regulador cuadrático linear). Sin embargo, el rendimiento de esos controladores
lineales se verá afectado cuando el vehículo aéreo abandone las condiciones nominales. Se
han desarrollado diferentes esquemas de control avanzado para robots aéreos multi-rotor
con el fin de superar algunas de las limitaciones de los controladores lineales. Método de
control de inversión inversa, método de control no lineal basado en la planitud, método de
control no lineal utilizando saturaciones anidadas, método de control jerárquico,
controlador predictivo modelo (MPC) y control predictivo modelo no lineal fueron
diseñados sobre la base de modelos de vehículos precisos.
Sin embargo, los resultados informados de los controladores de vuelo avanzados no
lineales no mostraron mucha diferencia en comparación con los controladores lineales y los
controladores avanzados son normalmente difíciles de implementar en tiempo real del
sistema embebido.
Justificación
Modelado y Control de un Hexarotor M. en C. Vanya Itzel Rangel Elizalde
La presente tesis busca desarrollar y aplicar un método distinto de control, el control lineal
seguido de la aplicación de control difuso sobre el modelo en espacio de estados que
caracterice el vuelo del hexarotor.
Introducción
Modelado y Control de un Hexarotor M. en C.. Vanya Itzel Rangel Elizalde xi
Introducción
Comprender la dinámica no lineal e inestable de un sistema multitortor es el núcleo de la
mayoría de los trabajos anteriores. Los fundamentos del modelo, la rotación y la traslación
de un cuerpo rígido se pueden encontrar en cada uno de los documentos sobre el modelado
y el control de las plataformas multitorres.
La identificación de diferentes parámetros es un proceso que consume mucho tiempo y, en
muchos casos, es caro. Las obras de [13], [14], [15] muestran que, aunque es posible,
requiere de muchos equipos y experimentos múltiples. Los parámetros seguirán siendo
válidos sólo para flotar, ya que la recreación de la condición durante el vuelo hacia adelante
es muy difícil. La carga de trabajo puede muy bien corresponder a una tesis propia, por lo
que debe encontrarse otra solución.
Un enfoque que podría resultar útil es el que se utiliza en [10], [11], [12]. Allí los autores
tratan de identificar modelos lineales desacoplados con datos recogidos de experimentos de
vuelo. Los controladores se diseñan con estos modelos.
El control de una plataforma multi-rotor es un campo ampliamente explorado en trabajos
previos. Muchas de las estrategias de control independientes de los modelos han sido
propuestas, como el retroceso [17] y la modificación del control de los factores receptivos
[18]. Sin embargo, los controladores finales deberían ser independientes del modelo y
fácilmente sintonizados.
El control PID es un concepto bien probado y puede muy bien demostrar lo suficiente para
estabilizar el hexarotor. En trabajos anteriores, tales como [6], [8], [9], muestra que el
controlador PID puede ser una elección adecuada de la estrategia de control. Un enfoque
interesante es utilizado por [20] donde identifican todos los tipos de armamento de los datos
de la fluctuación y de los controladores idiomáticos que utilizan estos modelos
identificados.
La presente tesis presenta la construcción de un modelo dinámico capaz de describir el
proceso de vuelo del hexarotor, presentando principalmente la relación entre los
desplazamientos y velocidades angulares de las seis propelas y la estructura de la aeronave.
Es bien sabido que la obtención de un modelo dinámico es de suma importancia al
momento de proceder a realizar una simulación o animación del sistema, así como una
posterior aplicación de técnicas o sistemas de control, en el caso de esta tesis se aplicará
Introducción
Modelado y Control de un Hexarotor M. en C. Vanya Itzel Rangel Elizalde
primeramente el control lineal y una vez logrado se procederá a la aplicación del control
difuso.
De acuerdo con [7] en la literatura se pueden encontrar básicamente dos modelos dinámicos
que describen el vuelo de un cuadrotor, la diferencia entre ambos modelos dinámicos en
uno, las matrices de rotación están acomodadas a manera de que su rotación sea en un
sentido, mientras que en el otro se encuentran en el sentido contrario. En esta tesis tomamos
como idea principal la estructura del trabajo presentado por [7] sin embargo las ecuaciones
de movimiento y el sistema en general presenta un incremento en la complejidad de las
mismas como se presentará en el desarrollo del capítulo segundo de este escrito.
Así mismo se desarrollaron ambos modelos con la finalidad de comparar características y
tener dos puntos de partida para la posterior aplicación de las estrategias de control
propuestas para esta tesis.
Capítulo 1. Estado del Arte
Modelado y Control de un Hexarotor M. en C. Vanya Itzel Rangel Elizalde
Capítulo 1
Estado del Arte.
El sistema utilizado en la presente tesis es un hexarotor el cual se conforma de seis brazos
todos conectados simétricamente al módulo central. Al final de cada brazo se encuentra un
rotor impulsado por un motor eléctrico. Todas las hélices tienen palas de paso fijo, lo que
significa que las hélices no se pueden inclinar (el movimiento del helicóptero clásico se
controla lanzando la hélice principal). La electrónica utilizada para la comunicación y el
control se colocan en el módulo central junto con la batería.
Una ventaja de las aeronaves multi-rotor es que poseen una mecánica de rotor más simple
necesaria para el control de vuelo. A diferencia de los helicópteros de uno y dos
rotores que utilizan complejos rotores de paso variable cuya afinación varía ya que la
cuchilla gira para la estabilidad y el control de vuelo, los vehículos aéreos no tripulados
(UAV por sus siglas en inglés) multi-rotor utilizan a menudo paso de cuchillas o hélices
fijas; el control de movimiento del vehículo se consigue variando la velocidad relativa de
cada rotor para cambiar el empuje y el par producido por cada uno.
1.1. Definiciones generales Aeronaves y UAV (Unmanned Aereal Vehicle)
En años recientes, ha habido un rápido desarrollo de las aeronaves autónomas no tripuladas
equipadas con dispositivos de control autónomos llamados vehículos aéreos no tripulados
(UAV por sus siglas en inglés) y micro vehículos aéreos (MAV). Estos han comenzado a
conocerse como “Aeronaves Robóticas” y su uso se ha incrementado considerablemente.
De acuerdo a [27] una aeronave es cualquier máquina capaz de volar. Las aeronaves
pueden ser divididas en dos categorías:
Más pesadas: Autogiros, helicópteros y sus variantes y las aeronaves de ala fija
convencionales.
Más ligeros: globos y dirigibles. La diferencia entre globos y dirigibles es que un
dirigible tiene algunos medios de control de movimiento hacia adelante y dirección
mientras que los globos simplemente van a la deriva con el viento.
La abreviación de VTOL es aplicada a aeronaves además de helicópteros que pueden
despegar o aterrizar verticalmente. Similarmente STOL se usa para pequeño despegue y
aterrizaje por sus siglas en inglés (Short Take Off and Landing).
Capítulo 1. Estado del Arte
Modelado y Control de un Hexarotor M. en C. Vanya Itzel Rangel Elizalde
Según [27] un Vehículo Aéreo no Tripulado ó UAV por sus siglas en inglés (Unmanned
Aerial Vehicle), también llamado drone, es un término auto-descriptivo usado para
describir aplicaciones militares y civiles de las últimas generaciones de aeronaves no
tripuladas. Los UAV son definidos como aeronaves sin la presencia a bordo de pilotos,
usados para realizar recorridos de inteligencia, vigilancia y misiones de reconocimiento. La
promesa tecnológica de los UAV es ser funcionales a un amplio rango de misiones. Los
UAV tienen varias ventajas básicas sobre los sistemas tripulados incluyendo incremento de
la maniobrabilidad, reducción de costos, reducción de reconocimiento por radar, mayor
resistencia y menor riesgo para la tripulación [6].
1.2 Primeros conceptos de aeronaves VTOL
VTOL (del inglés de Vertical Take-Off and Landing, “despegue y aterrizaje verticales”), es
una capacidad de ciertos aviones, helicópteros, dirigibles, autogiros, globos aerostáticos
normalmente no son considerados VTOL [28].
Durante las décadas pasadas desde los primeros vuelos exitosos, los helicópteros han
madurado desde los inestables, artilugios vibrantes que apenas podía levantar el piloto de la
tierra, en máquinas sofisticadas de extraordinaria capacidad de vuelo.
La idea del vuelo vertical de aeronaves puede remontarse a los primeros juguetes Chinos,
uno de los primeros juguetes usados alrededor de 400 A.C. La primera versión de un
rehilete chino constaba de plumas en el extremo de un palo, que se gira rápidamente entre
las manos para generar la elevación y luego se libera en vuelo libre como se muestra en la
figura.
Figura 1.1. El primer concepto de aviación de Ala - Rotatoria
Capítulo 1. Estado del Arte
Modelado y Control de un Hexarotor M. en C. Vanya Itzel Rangel Elizalde
Otro ejemplo de los primeros diseños de VTOL se presenta en 1483 cuando Leonardo Da
Vinci diseñó una sofisticada aeronave capaz de flotar. Algunos expertos han identificado
esta aeronave como el antecesor del helicóptero. El vehículo volador llamado “tornillo
aéreo” o “giroscopio aéreo” tenía un diámetro de 5m y era operado presuntamente por
cuatro hombres quienes podían haberse sostenido en la plataforma central y ejercían
presión en las barras en frente de ellos con las manos, de esta forma hacían que el eje girara
[29] .
La idea principal era que si una fuerza motriz adecuada era aplicada, la máquina podría
haber girado en el aire y despegar del suelo.
Figura 1.2. El tornillo aéreo.
Un gran número de inventos menores contribuyeron a los avances del helicóptero. Entre los
siglos XV y XX, no fue posible producir la maquinaria necesaria para construir
helicópteros, como engranes de turbinas y rotores, pero como en la revolución industrial se
crearon fábricas y la tecnología se aceleró, el helicóptero evolucionó (Taylor J. , 1980).
1.3 Historia de los vehículos aéreos Multi-rotor.
Capítulo 1. Estado del Arte
Modelado y Control de un Hexarotor M. en C. Vanya Itzel Rangel Elizalde
El término vehículo aéreo no tripulado (Unmanned Aerial Vehicle, UAV) se hizo común en
los años 90 para describir a las aeronaves robóticas y reemplazó el término vehículo aéreo
pilotado remotamente (Remotely Piloted Vehicle, RPV), el cual fue utilizado durante la
guerra de Vietnam y con posterioridad. el documento “Joint Publication 1-02, Department
of Defense Dictionary” editado por el Ministerio de Defensa de los Estados unidos
define UAV como:
«Un vehículo aéreo motorizado que no lleva a bordo a un operador humano, utiliza las
fuerzas aerodinámicas para generar la sustentación, puede volar autónomamente o ser
tripulado de forma remota, que puede ser fungible o recuperable, y que puede transportar
una carga de pago letal o no. No se consideran UAV a los misiles balísticos o
semibalísticos, misiles crucero y proyectiles de artillería».
Además de los misiles citados y los proyectiles de artillería, la definición también excluye a
los planeadores (que no llevan planta propulsora), a los globos y dirigibles (los cuales no
utilizan la generación de sustentación mediante fuerzas aerodinámicas sino mediante
fuerzas de flotabilidad) y a los objetos arriostrados (que carecen de control remoto u
autónomo). Los términos UAV y RPV no son más que dos entre cerca de la docena de
nombres que han ido recibiendo las aeronaves robóticas no tripuladas a lo largo de su
existencia.
En la figura 1.3 (http://drones.uv.es/origen-y-desarrollo-de-los-drones/) se representa
gráficamente la cronología de dichos nombres.. Así se han acuñado los términos que a
continuación se detallan, y que tienen hoy en día una validez y aplicación internacional y
casi única en todos los ámbitos. estos términos son:
• Aeronave pilotada remotamente (Remotely-Piloted Aircraft, RPA): una aeronave en la
que el piloto al mando no está a bordo;
• Sistema de aeronave pilotada remotamente (Remotely-Piloted Aircraft System, RPAS):
un conjunto de elementos configurables formado por un RPA, su estación de pilotaje
remoto asociada (RPS – Remote Pilot Station), el sistema requerido de enlace de mando y
control y cualquier otro elemento requerido en cualquier punto durante la operación del
vuelo.
El resto de los acrónimos no definidos se corresponden con:
UMA= Unmanned Aircraft; Apv = AutomaticallyPiloted Vehicle;
UTA = Unmanned Tactical Aircraft;
Capítulo 1. Estado del Arte
Modelado y Control de un Hexarotor M. en C. Vanya Itzel Rangel Elizalde
UCAV = Unmanned Combat Air Vehicle;
ROA =Remotely Operated Aircraft.
Figura 1.3. Cronología de los nombres aplicados a las aeronaves robóticas
Una aeronave de múltiples rotores, también llamadas aeronaves de múltiples ejes, es un
tipo de helicóptero que normalmente tiene más de 3 rotores cuando las hélices están
girando el movimiento rotacional “Pitch” no cambia. El avión puede volar cambiando el
torque y la velocidad de los rotores. En comparación con el helicóptero de rotor único
tradicional, es más simple y fácil de estabilizar y operar. Los aviones multi-rotor comunes,
tales como el rotor cuádruple, hexa-rotor y octo-rotor son ampliamente utilizados en el cine
de bajo costo y la grabación de videos para televisión.
El avión multi-rotor debe combinarse con el sistema de piloto automático como A2,
WooKong-M, Naza-Mand Naza-M-V2.
La figura 1.4 muestra las diferentes configuraciones existentes para las aeronaves multi-
rotor comercialmente más utilizadas.
Capítulo 1. Estado del Arte
Modelado y Control de un Hexarotor M. en C. Vanya Itzel Rangel Elizalde
Figura 1.4 Configuraciones aeronaves multi-rotor.
Los vehículos micro-aéreos multi-rotor (MAVs) son cada vez más populares entre los
investigadores robóticos aéreos para el sistema de misión autónoma. Son mucho más
seguros de operar que los helicópteros o las alas fijas debido a sus rotores más pequeños
con un marco protector. Son altamente maniobrables, tienen la habilidad de realizar
despegues y aterrizajes verticales (VTOL), pueden volar fácilmente sobre el blanco, volar a
baja altitud y tener la habilidad de moverse en el espacio 3D.
El MAV multi-rotor más común entre los investigadores de todo el mundo es el quadrotor,
sin embargo la presente tesis se basa en el estudio y obtención del modelo matemático de
un hexarotor, el cual consiste en seis rotores unidos a un marco de cuerpo rígido. Otros dos
Capítulo 1. Estado del Arte
Modelado y Control de un Hexarotor M. en C. Vanya Itzel Rangel Elizalde
rotores adicionales en un hexarotor hacen que pueda transportar más carga útil y una gran
maniobrabilidad en comparación con el cuadrotor ya que al menos cuatro rotores pueden
contribuir a la dinámica de cada rotación angular.
1.4 Hexarotor DJI 2312E
El dron ó vehículo aéreo multi-rotor utilizado en la presente tesis es un hexarotor armado
por piezas modelo DJI 2312 E mostrado en la figura 1.5:
Figura 1.5. Hexarotor DJI2312E
Los motores utilizados para la rotación de las propelas son motores de tipo CW y CCW de
960 Kv que adopta una estructura pionera del devanado del estator, que tiene una doble
capa, estator del solo alambre. Esta tecnología aumenta el empalme del alambre entre los
brazos del estator; Esto permite que cualquier acumulación de calor en el motor sea
disipada más rápidamente, dicho motor se muestra en la imagen 1.6.
Figura 1.6 Motor 2312
Capítulo 1. Estado del Arte
Modelado y Control de un Hexarotor M. en C. Vanya Itzel Rangel Elizalde
Especificaciones del motor:
Carga recomendada: 350 g / eje 3S Lipo / 400g / eje 4S LiPo
Batería recomendada: 3S - 4S Lipo
Empuje máximo: 800 g / eje
Temperatura de trabajo: -5 ° C a 40 ° C
Tamaño del estator: 22 × 12mm
KV: 960 rpm / V
Peso: 60g
1.5 Campo de aplicación de los UAVs
De acuerdo con [3] el exitoso desarrollo de un vehículo aéreo autónomo requería resolver
complejos problemas de ingeniería. Hacia finales de los 80´s la compactación del tamaño
de las computadoras y la llegada de pequeñas unidades de sistemas de posicionamiento
global (GPS) y chips de sensores inerciales hicieron posible la instrumentación de un
helicóptero a pequeña escala para vuelo libre y automático. En los primeros años de la
robótica aérea un considerable número de estos sistemas han sido construidos,
principalmente en instituciones académicas, y unos cuantos fueron capaces de demostrar
capacidades básicas de vuelo como flotar en una posición y vuelo lento siguiendo puntos
clave.
En los siguientes años estas características mejoraron sustancialmente hasta ser altamente
manejables y presentando características de vuelo de gran complejidad.
Capítulo 1. Estado del Arte
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El uso de estas aeronaves se ha incrementado en diversas áreas, según [4] estos pueden ser
clasificados de acuerdo a sus aplicaciones para la milicia o uso civil. Siendo
considerablemente marcado el desarrollo de las UAVs y MAVs para uso militar. Sin
embargo, se puede decir que las infinitas posibilidades de utilizar sus características para
aplicaciones civiles permanecen ocultas a pesar de las ya ampliamente aplicadas. La figura
1.17 muestra los países con mayor uso de UAVs.
Figura 1.17. Países con mayor uso de aeronaves aéreas no tripuladas.
Estos vehículos ofrecen mayores ventajas cuando son usados para vigilancia,
reconocimiento e inspección aérea en ambientes complejos y peligrosos. Los vehículos no
tripulados ofrecen alternativas sobre los vehículos tripulados para misiones que pueden ser
peligrosos para la tripulación, donde la automatización puede mejorar la eficiencia o donde
las aplicaciones son imposibles para vehículos tripulados debido a otras circunstancias
como la necesidad de vehículos miniaturizados.
De [6] podemos apreciar las ventajas de un helicóptero miniatura, que con la habilidad de
despegar y aterrizar verticalmente y flotar, a través con natural agilidad y controlabilidad,
un helicóptero extiende los roles potenciales para las UAV s. Los helicópteros tienen un rol
irremplazable sobre las aeronaves de ala fija, indispensable para una gran variedad de tareas
que van desde evacuaciones médicas, hasta transportación e inclusive construcción en áreas
confinadas.
Helicópteros como UAV (RUAV por sus siglas en inglés) son todavía en gran medida
apreciados para aplicaciones militares para un rango de tareas en el campo de batalla, como
exploración y en ocasiones operaciones de combate. También existen numerosos ejemplos
para aplicaciones civiles incluyendo videograbaciones (permitiendo tanto vistas estáticas
como dinámicas), inspecciones de acercamiento (puentes, construcciones, presas) y
Capítulo 1. Estado del Arte
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modelado digital de terrenos (donde un vehículo pequeño que es potencial para
acercamiento próximo al terreno y estructuras, pudiendo reunir características más
detalladas).
También se podría imaginar aplicaciones donde el RUAV pudiera manipularse
inmediatamente en el ambiente, depositando o tomando objetos o sondeando el terreno.
Incluso hay planes para usar helicópteros para la exploración de planetas como Marte.
Siendo un robot de exploración aéreo es seguramente atractivo considerando las
dificultades involucradas en el manejo a través de terrenos ásperos.
Helicópteros a escala tienden a ser naturalmente más maniobrable y más responsivo que el
helicóptero a escala completa. La maniobrabilidad que estos vehículos pueden ofrecer una
tremenda ventaja operacional si se aprovechan durante el vuelo.
Podemos enlistar las aplicaciones como siguen:
En las aplicaciones referentes a misiones típicas se tiene:
Toma de fotografías aéreas.
Medición de contaminación del aire.
Aspersión agrícola.
Búsqueda de peces.
Inspección de tuberías de petróleo.
Monitoreo de las condiciones de tráfico.
Monitoreo de líneas ferroviarias.
Monitoreo de las costas marítimas.
Como misiones peligrosas, se pueden mencionar:
Rescates marítimos.
Rescates en montaña.
Monitoreo de accidentes en tanques de petróleo, plantas nucleares, etc.
Combate de incendios en áreas remotas o peligrosas: montañas, edificios altos, etc.
Visualización de fenómenos naturales: erupciones volcánicas, terremotos, etc.
Capítulo 1. Estado del Arte
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Búsqueda de aeronaves accidentadas.
Análisis de experimentos riesgosos en helicópteros piloteados.
1.6 Investigaciones actuales.
Existen varios reportes de plataformas experimentales de CR’s en funcionamiento. Por
ejemplo, en [30,31] el control basado en paso-atrás es utilizado con éxito. Otros enfoques
tales como paso-atrás adaptativo y robusto se presentan en [32]. Técnicas como
linealización por retroalimentación y control por modos deslizantes se presentan en [33,
34]. Otros esquemas de control no lineales se pueden encontrar en [35]. Además de
esquemas de control no lineales, varias aplicaciones de Cuadrotores en funcionamiento
utilizan controladores lineales PI-PID tradicionales, con excelentes resultados
experimentales [36]. No obstante, el diseño de tales controladores PI-PID sigue siendo
mayormente heurístico. En el contexto de aplicaciones para cuadrotores, existen diferentes
métodos de control, las cuales pueden ser aplicadas para diferentes objetivos, por ejemplo:
Control de altitud: Controladores lineales H∞ [37], ubicación de polos [38, 39],
linealización por retroalimentación [40, 3, 24] y otros métodos no lineales [17, 27].
Control de actitud: Controladores PID [23,19], LQR [40], Controladores lineales
H∞ [36], linealización por retroalimentación [83, 84], compensador de adelanto
doble [16] y otros métodos no lineales [21, 14].
Control de velocidad: Controladores lineales H∞ [36], ubicación de polos [16].
Uno de los estudios más sobresalientes desarrollado sobre el control de un hexarotor lo
podemos encontrar en [41] donde se realiza un estudio basado en pruebas de vuelo en un
sistema de control de vuelo llamado Ardupilot, Para la puesta en marcha ha sido necesario
familiarizarse con el controlador de vuelo PX4 Autopilot y con el proyecto Ardupilot, para
así poder programarlo y editar el código según fuese necesario. Para ello se ha usado un
editor de texto, la cadena de herramientas del PX4para programar el controlador y el
programa Mission Planner para editar los parámetros de vuelo.
Capítulo 1. Estado del Arte
Modelado y Control de un Hexarotor M. en C. Vanya Itzel Rangel Elizalde
Una vez habituado al controlador de vuelo y su programación, se ha realizado un modelo
dinámico. Para ello se ha hecho uso de las leyes de Newton, y posteriormente se han hecho
experimentos tanto en un banco de pruebas en el interior del laboratorio, como en el
exterior sin ninguna restricción en su movimiento. Estos experimentos son necesarios para
la identificación de los parámetros del sistema y su posterior simulación en MATLAB
Simulink.
El control del hexarotor está estructurado en tres niveles anidados: estabilización, altura y
traslación. Estos controladores son de tipo PID, y ha sido necesaria una sintonización para
su correcto funcionamiento.
Algunas partes del proceso de desarrollo se muestran en las siguientes imágenes:
Figura 1.18. Controlador en cascada para desplazamiento según [41]
Figura 1.19. Controlador de altura según [41]
Capítulo 1. Estado del Arte
Modelado y Control de un Hexarotor M. en C. Vanya Itzel Rangel Elizalde
Figura 1.20. Simulación del control PID aplicado según [41]
Como podemos apreciar en la figura 1.20, se logra un muy buen acople sobre la señal
referenciada, este se podría considerar como un seguimiento de una señal de referencia en
base al control PID.
Otra aplicación del control PID se observa en la tesis de Peredo P. [42], dicho control es
aplicado sobre un cuadrotor, el cual recordemos, posee la ventaja de ser lineal desde su
modelo matemático. El trabajo antes mencionado consiste en la realización del modelo
matemático, la estimación de parámetros físicos, el diseño de controles PID para nuestro
cuadricóptero, la validación del modelo matemático y la implementación experimental del
algoritmo de control en un sistema embebido para estabilizar la orientación de la aeronave.
La tesis realizo el modelo matemático de la aerodinámica del cuadricóptero agregando la
dinámica de los propulsores. Se linealizó el modelo en base a documentos publicados en
revistas importantes y se estiman las constantes y coeficientes utilizados en el modelo
matemático por medio de pruebas en laboratorio y con ayuda de “software” especializados.
En base a publicaciones y a sistemas embebido comerciales especiales para “drones” se
realiza el diseño del control del cuadricóptero en el entorno Simulink de Matlab. Para poder
comprobar el correcto funcionamiento se desarrolla un entorno virtual en tres dimensiones
también en Simulink. También se planteo un algoritmo de control de orientación que
Capítulo 1. Estado del Arte
Modelado y Control de un Hexarotor M. en C. Vanya Itzel Rangel Elizalde
permita mejorar la maniobrabilidad y robustez frente a perturbaciones. Finalmente se
implemento el algoritmo de control de orientación en un sistema embebido comercial para
desarrolladores y se llevan a cabo pruebas de vuelo.
Algunos de los resultados se muestran en las siguientes figuras:
Capítulo 3. Identificación de Parámetros a través de Pruebas de Vuelo
Modelado y Control de un Hexarotor M. en C.. Vanya Itzel Rangel Elizalde 14
Capítulo 2
Marco Teórico.
En el segundo capítulo de la presente tesis se muestra el marco teórico y el proceso de
obtención del modelo en espacio de estados de la ecuación 2.1 que caracteriza al hexarotor
modelo, construido a partir del método de Euler – Lagrange para describir la dinámica de
movimiento traslacional y el Método Newton Euler para la obtención de la dinámica de
movimiento rotacional.
2.1. Cinemática.
La posición del marco fijo de referencia del cuerpo en relación al marco fijo de la tierra
puede ser descrito mediante un vector de estados traslacionales [eq. 2.2] los cuales son
relativos al centro de masa del hexarotor y su orientación y comportamiento mediante el
vector [eq. 2.3] de estados rotacionales relativos a los ángulos de Euler. Debido a esto el
vector de estados principal queda como se muestra en [eq. 2.4].
Los movimientos básicos del hexarotor se muestran en la figura 2.1, cabe señalar que son
los mismos para cualquier aeronave:
Capítulo 3. Identificación de Parámetros a través de Pruebas de Vuelo.
Modelado y Control de un Hexarotor M. en C. Vanya Itzel Rangel Elizalde
Figura 2.1. Movimientos básicos de un hexarotor (roll, pitch, yaw).
Con el objetivo de transformar cualquier cantidad lineal a parir del marco de la tierra al
marco del cuerpo se utilizan las siguientes matrices. Se simplifican las notaciones de
y de . La rotación para el movimiento de :
[
]
De manera similar se obtienen las matrices para el movimiento de cabeceo y el
de :
[
]
[
]
Así entonces la matriz de rotación total para transformar cualquier cantidad a partir del
marco de la tierra al marco del cuerpo es obtenida multiplicando y
. Resultando la siguiente ecuación:
Capítulo 3. Identificación de Parámetros a través de Pruebas de Vuelo.
Modelado y Control de un Hexarotor M. en C. Vanya Itzel Rangel Elizalde
[
]
2.2. Dinámica.
Para representar la dinámica del hexarotor la separaremos en dos tipos de dinámica, la
primera describirá el movimiento traslacional del aeronave sobre los tres ejes
fundamentales y la segunda representara el movimiento rotacional de los tres movimientos
básicos (roll, pitch y yaw).
2.2.1 Dinámica Traslacional.
Para la obtención de la dinámica de movimiento traslacional basamos nuestro trabajo en la
aplicación del método Euler-Lagrange para lo cual el primer paso a desarrollar es la
obtención del lagrangiano como se muestra en la siguiente ecuación, según [7]:
Donde es la energía cinética del sistema y representa a la energía potencial del mismo,
sustituyendo el vector de posición angular ( , la masa , la gravedad y a altura
representada por el eje z ( , resulta entonces:
Debemos entones obtener la dinámica del hexarotor mediante una función de fuerzas
generalizadas, como lo desarrolla en su modelo [7]:
De donde se escribe como sigue:
Así mismo podemos definir como:
Capítulo 3. Identificación de Parámetros a través de Pruebas de Vuelo.
Modelado y Control de un Hexarotor M. en C. Vanya Itzel Rangel Elizalde
[ ]
La obtención de u se muestra posteriormente en la sección 2.2.3 del presente capítulo.
Así entonces sustituimos las ecuaciones 2.5 y 2.10 en 2.9 y se obtiene:
[ ] [
]
Resolviendo el álgebra lineal tenemos:
[
]
Sustituyendo 2.7 en 2.8 y resolviendo la ecuación se obtiene:
[[
] [
]] [
]
Por lo tanto las tres ecuaciones de movimiento traslacional resultan:
Capítulo 3. Identificación de Parámetros a través de Pruebas de Vuelo.
Modelado y Control de un Hexarotor M. en C. Vanya Itzel Rangel Elizalde
2.2.2 Dinámica Rotacional.
Una vez obtenida la dinámica traslacional del sistema se procede a obtener la dinámica
rotacional del hexarotor a través del método de Newton-Euler, la ecuación base queda
como se muestra a continuación:
Donde el símbolo representa el producto vectorial entre el vector de estados rotacionales
( ) y la matriz diagonal de inercia:
[ ]
Donde son los momentos de inercia del hexarotor.
Posteriormente se muestra la matriz de fuerzas externas presentes en el movimiento
rotacional del vehículo, mostrada en la ecuación 2.16.
[
] [
]
Donde:
Capítulo 3. Identificación de Parámetros a través de Pruebas de Vuelo.
Modelado y Control de un Hexarotor M. en C. Vanya Itzel Rangel Elizalde
Posteriormente describiremos la obtención de cada uno de los torques de control de acuerdo
a cada uno de los movimientos principales.
Sustituyendo lo anterior en la ecuación 2.14 tenemos:
[
] [
] [
] [
] [
] [
] [
]
Desarrollando el álgebra lineal de la ecuación 2.17 obtenemos las siguientes ecuaciones
dinámicas de rotación:
( )
( )
Capítulo 3. Identificación de Parámetros a través de Pruebas de Vuelo.
Modelado y Control de un Hexarotor M. en C. Vanya Itzel Rangel Elizalde
2.2.3 Determinación del Empuje Vertical (u).
La única manera de controlar el movimiento del dron es a través de la variación en la
potencia de los seis rotores o propelas de propulsión, debido a esto todos los torques y
empujes de control se basan en la combinación de movimientos de los rotores.
El control principal del hexarotor es el empuje vertical. Es usado para controlar el
movimiento del dron en dirección vertical. El empuje es producido incrementando o
decrementando la velocidad de todos los rotores de la misma ganancia como se muestra en
la figura 2.2
Figura 2.2. Empuje Vertical del hexarotor.
De esta manera se determina que la fórmula que describe el movimiento de empuje vertical
es:
(
)
Donde:
2.2.4 Determinación del Torque en Movimiento de roll ( ).
El comando roll es usado para rotar el hexarotor alrededor del eje frontal (x). Esto se logra
incrementando o decrementando el empuje producido por las propelas en el lado derecho
del hexarotor, mientras se decrementa o incrementa el empuje del lado izquierdo como se
puede apreciar claramente en la figura 2.3:
Capítulo 3. Identificación de Parámetros a través de Pruebas de Vuelo.
Modelado y Control de un Hexarotor M. en C. Vanya Itzel Rangel Elizalde
Figura 2.3. Generación del movimiento rotacional Roll ).
De acuerdo a estas características para obtener el movimiento de roll se requiere determinar
la geometría del hexarotor debido a que las fuentes de empuje, es decir, los rotores no están
localizados en el centro de gravedad éstas crearán torques alrededor de los diferentes ejes
de rotación. Por lo cual podemos deducir la geometría básica del hexarotor como se ve en
la figura 2.4 obtenida de [6] y en base a esta podemos encontrar el torque producido. Esto
es posible ya que nuestro dron está configurado en modo como se muestra en la figura
2.5, cabe señalar que existe la configuración X y +, esto por la posición de los rotores
respecto a los ejes de movimiento.
Capítulo 3. Identificación de Parámetros a través de Pruebas de Vuelo.
Modelado y Control de un Hexarotor M. en C. Vanya Itzel Rangel Elizalde
Figura 2.4. Geometría del hexarotor
Figura 2.5. Configuración X del hexarotor.
De acuerdo a la configuración geométrica antes descrita podemos definir la ecuación de
movimiento rotacional roll como sigue:
[
]
Dónde:
Capítulo 3. Identificación de Parámetros a través de Pruebas de Vuelo.
Modelado y Control de un Hexarotor M. en C. Vanya Itzel Rangel Elizalde
Capítulo 3. Identificación de Parámetros a través de Pruebas de Vuelo.
Modelado y Control de un Hexarotor M. en C. Vanya Itzel Rangel Elizalde
2.2.5 Determinación del Torque en Movimiento de Pitch
Este comando se utiliza para rotar el dron alrededor del eje derecho. Esto se logra
incrementando-decremntando el empuje en las propelas frontales del hexarotor mientras se
decrementa-incrementa el empuje de los rotores traseros como lo podemos apreciar en la
siguiente figura 2.6:
Figura 2.6. Generación del movimiento rotacional Pitch ).
De acuerdo a la geometría y a las indicaciones de decremento e incremento obtenemos la
ecuación que describe el movimiento en pitch del hexarotor:
√
[
]
Donde:
Cabe señalar que el rotor 2 y 5 no aparecen en la ecuación debido a que son empujes
idénticos pero en sentido de rotación contrarios por lo cual se anulan en la ecuación.
2.2.6 Determinación del Torque en Movimiento de Yaw
Este movimiento se genera alrededor del eje vertical mediante el incremento-decremento de
los rotores que giran en sentido de las manecillas del reloj mientras se decrementa o
Capítulo 3. Identificación de Parámetros a través de Pruebas de Vuelo.
Modelado y Control de un Hexarotor M. en C. Vanya Itzel Rangel Elizalde
incrementa el empuje de los rotores que giran en contra de las manecillas del reloj. Esta
combinación de empujes se puede apreciar en la figura 2.7.
Figura 2.6. Generación del movimiento rotacional Yaw ).
De acuerdo a la geometría y a las indicaciones de decremento e incremento obtenemos la
ecuación que describe el movimiento en pitch del hexarotor:
[
]
Donde:
Capítulo 6. Conclusiones y Trabajos Futuros
Modelado y Control de un Hexarotor M. en C. Vanya Itzel Rangel Elizalde
Capítulo 3
Obtención del Modelo en Espacio de Estados del Hexarotor
El presente capítulo muestra la transformación del modelo Euler-Lagrange a su
correspondiente representación en el espacio de estados el cual quedara determinado por
doce estados principales.
3.1 Obtención del espacio de Estados.
El primer paso para comenzar a construir el modelo en espacio de estados es definir las
variables de estado como se muestra a continuación:
Construyendo el vector queda como:
Capítulo 6. Conclusiones y Trabajos Futuros
Modelado y Control de un Hexarotor M. en C. Vanya Itzel Rangel Elizalde
Tras la obtención de las ecuaciones dinámicas de traslación y rotación obtenemos el
modelo completo que describe el comportamiento del hexarotor como se aprecia a
continuación en la figura 3.1:
( )
( )
Figura 3.1. Ecuaciones dinámicas de movimiento traslacional y rotacional
para el hexarotor.
Capítulo 6. Conclusiones y Trabajos Futuros
Modelado y Control de un Hexarotor M. en C. Vanya Itzel Rangel Elizalde
Se presenta una segunda opción de modelo de ecuaciones de movimiento traslacional en
donde la matriz de rotación original se cambia de acuerdo a las siguientes matrices
obtenidas de [6]:
[
]
[
]
[
]
Se utilizan ahora como
Por lo tanto la matriz de rotación queda de la siguiente manera:
[
]
Así entonces sustituimos las ecuaciones 2.5 y 3.1 en 2.9 y se obtiene:
[ ] [
]
Resolviendo algebraicamente tenemos:
[
]
Capítulo 6. Conclusiones y Trabajos Futuros
Modelado y Control de un Hexarotor M. en C. Vanya Itzel Rangel Elizalde
Sustituyendo 2.7 en 2.8 y resolviendo la ecuación se obtiene:
[[
] [
]] [
]
Por lo tanto las tres ecuaciones de movimiento traslacional resultan:
Las ecuaciones de movimiento rotacional al no tener relación con la matriz de rotación se
mantienen de la misma manera para definir el modelo dos que caracteriza el
comportamiento del dron como se muestra en la siguiente figura 3.2:
( )
Capítulo 6. Conclusiones y Trabajos Futuros
Modelado y Control de un Hexarotor M. en C. Vanya Itzel Rangel Elizalde
( )
Figura 3.2. Ecuaciones dinámicas de movimiento traslacional y rotacional
para el hexarotor 2.
Una vez que tenemos los modelos de ecuaciones dinámicas del hexarotor podemos
comenzar a establecer nuestro espacio de estados determinando los siguientes estados
mostrados en la figura 3.3:
Figura 3.3. Variables de Estado del modelo del hexarotor.
También nombramos las entradas de control con sustituyendo las ecuaciones 2.21, 2.22,
2.23 y 2.24 del capítulo dos para determinar las entradas de control del sistema como se
muestra en la figura 3.4:
[
]
√
[
]
[
]
Capítulo 6. Conclusiones y Trabajos Futuros
Modelado y Control de un Hexarotor M. en C. Vanya Itzel Rangel Elizalde
Figura 3.4 Entradas de Control del modelo del hexarotor.
Donde:
es la entrada de perturbaciones causadas por los torques giroscópicos de los rotores y se
considera para tener presentes los errores inherentes del sistema. Una vez establecidas estas
condiciones sustituimos las variables de estado y las variables de control y obtenemos el
modelo en espacio de estados:
( )
( )
Capítulo 6. Conclusiones y Trabajos Futuros
Modelado y Control de un Hexarotor M. en C. Vanya Itzel Rangel Elizalde
Figura 3.5. Modelo 1 en espacio de estados.
( )
( )
Figura 3.6. Modelo 2 en Espacio de Estados.
Cambiando las variables de los modelos a las variables nuevas, establecemos los siguientes
dos modelos.
( )
( )
Capítulo 6. Conclusiones y Trabajos Futuros
Modelado y Control de un Hexarotor M. en C. Vanya Itzel Rangel Elizalde
Figura 3.7. Modelo 1 Sustitución de los estados.
( )
( )
Figura 3.8. Modelo 2 Sustitución de los estados.
Capítulo 6. Conclusiones y Trabajos Futuros
Modelado y Control de un Hexarotor M. en C. Vanya Itzel Rangel Elizalde
3.2. Programa de simulación del sistema en espacio de estados en
Matlab Simulink.
Ahora que ya tenemos el programa desarrollado en el espacio de estados resulta más
practico generar la simulación del modelo en un programa de computo, se ha seleccionado
para esta tarea el programa matemático Malab y su herramienta principal Simulink los
cuales nos permiten la manipulación de las variables de manera precisa así como el acceso
rápido a las gráficas correspondientes a cada estado buscado.
El primer paso en la construcción del modelo es crear un espacio o programa en el editor de
Matlab en donde damos de alta las variables del modelo en espacio de estado como se
puede apreciar en la siguiente tabla de parámetros para el hexarotor obtenidos de manera
empírica de [10] :
Parámetro Valor Descripción
Longitud del hexarotor
Masa del hexarotor
Gravedad
Momento de inercia en eje x
Momento de inercia en eje y
Momento de inercia en eje z
Inercia del rotor propulsor
0.01458 Constante de los rotores
Constante especifica del rotor
9000 rpms Velocidad del rotor propulsor.
Tabla 3.1. Parámetros del Hexarotor.
Así pues procedemos a construir el modelo en espacio de estados en la herramienta
Simulink, cada bloque de estados se describe a continuación, los elementos se construyen a
partir de bloques básicos de simulink:
Capítulo 6. Conclusiones y Trabajos Futuros
Modelado y Control de un Hexarotor M. en C. Vanya Itzel Rangel Elizalde
3.2.1. Construcción del modelo 1 de espacio de estados en Simulink.
Referenciando a la figura 3.7 donde podemos observar el modelo en espacio de estados
procedemos a construir en simulink cada par de estados como se muestra a continuación:
Figura 3.2.1 Estados del Modelo 1 (Traslación en eje x).
La construcción anterior corresponde a las ecuaciones siguientes pertenecientes al modelo 1
en espacio de estados para el hexarotor:
Tras construir la ecuación mostrada procedemos a integrar dos veces para obtener la
velocidad y la posición del desplazamiento traslacional sobre x de la aceleración
obtenida en el modelo, estos de pueden observar en los osciloscopios señalados como “Pos
X” y “Vel X” correspondientes a posición y velocidad en x respectivamente. Los bloques
vienen referenciados de bloques posteriores.
Capítulo 6. Conclusiones y Trabajos Futuros
Modelado y Control de un Hexarotor M. en C. Vanya Itzel Rangel Elizalde
Figura 3.2.2 Estados del Modelo 1 (Traslación en eje y).
En la imagen 3.2.2 podemos observar la construcción del siguiente par de estados
correspondientes al movimiento traslacional a lo largo del eje y los cuales se muestran a
continuación:
De manera similar integramos dos veces para obtener tanto velocidad y posición de
traslación sobre el eje y.
Figura 3.2.3 Estados del Modelo 1 (Traslación en eje z).
Se procede de manera similar anidando bloques de funciones de multiplicación y adición
para conformar la ecuación de la aceleración a lo largo del eje z del hexarotor, las
ecuaciones son las siguientes:
Al igual que en las construcciones anteriores podemos acceder a las velocidades y
posiciones traslaciones del eje z a través de los osciloscopios mostrados después de cada
integrador.
( )
Capítulo 6. Conclusiones y Trabajos Futuros
Modelado y Control de un Hexarotor M. en C. Vanya Itzel Rangel Elizalde
Las figuras 3.2.1, 3.2.2 y 3.2.3 muestran los desplazamientos traslacionales del hexarotor, a
continuación se muestran los siguientes estados correspondientes a las posiciones y
velocidades rotacionales a lo largo de los tres ejes que representan los tres movimientos
básicos de cualquier aeronave (roll, pitch y yaw).
Estados del Figura 3.2.4
Modelo 1 (Rotación sobre eje x
(Roll)).
En esta construcción podemos observar algunas diferencias con los movimientos
traslacionales ya que en esta podemos observar que se extraen los estados
correspondientes a la velocidad y a la aceleración del movimiento rotacional de Roll. Así
mismo podemos apreciar la presencia de otros dos estados relacionados a las siguientes
construcciones y pertenecientes al movimiento de rotación de yaw cuya
construcción se presentara más adelante.
Capítulo 6. Conclusiones y Trabajos Futuros
Modelado y Control de un Hexarotor M. en C. Vanya Itzel Rangel Elizalde
Figura 3.2.5 Estados del Modelo 1 (Rotación sobre eje y (Pitch)).
En la figura anterior se muestra la construcción para la adquisición de los estados
del modelo en espacio de estados los cuales corresponden a la velocidad y aceleración para
el movimiento de rotación sobre el eje “y” denominado Pitch, este modelo ocupa los
estados provenientes de otras construcciones.
Figura 3.2.6 Estados del Modelo 1 (Rotación sobre eje z (Yaw)).
( )
La última construcción en la figura 3.2.6 es para la obtención de los estados
correspondientes al movimiento de rotación alrededor del eje z con nombre Yaw el cual
depende a su vez de los estados provenientes de las construcciones anteriores.
Tras la obtención de los estados principales del modelo procedemos a la estructuración de
las entradas de control para el modelo, estas en base al torque de las propelas o motores que
impulsan al dron y que son mostradas en las ecuaciones de la 2.21 a 2.24.
Capítulo 6. Conclusiones y Trabajos Futuros
Modelado y Control de un Hexarotor M. en C. Vanya Itzel Rangel Elizalde
En el modelo podemos observar que los tres primeros estados de traslación son controlados
únicamente a través de la entrada de control 1, con lo cual complica su control, sin
embargo, dichos estados son retroalimentados por estados rotacionales los cuales si son
afectados por los 5 estados de control y por lo tanto se alcanza la controlabilidad del
sistema completo.
Figura 3.2.7. Obtención de la entrada de control
Como se mencionó anteriormente se obtiene la entrada de control como se aprecia en la
figura 3.2.7 en base al torque de las seis propelas del hexarotor que se aprecian en la figura
3.2.7 como sumadas y multiplicadas por una ganancia específica del rotor
determinada como KT. Este control también es conocido como empuje vertical, lo cual
fácilmente se aprecia en la adición de manera simultánea de las seis propelas del hexarotor.
La siguiente figura muestra la construcción de la entrada de control a partir de la
ecuación 2.22. Dicha construcción de manera muy simple con las potencias de propulsión
de los rotores en diferente dirección (diferente signo en el sumador) multiplicando la salida
por la constante especifica del rotor y la longitud. Este control genera el torque necesario
para la rotación alrededor del eje x.
Capítulo 6. Conclusiones y Trabajos Futuros
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Figura 3.2.7. Obtención de la entrada de control
Figura 3.2.8. Obtención de la entrada de control
La construcción mostrada en la figura 3.2.8 es más simple ya que para generar el torque del
movimiento alrededor del eje y se contraponen dos propelas, por lo cual podemos
prescindir de dichos rotores y solo realizar la diferencia entre los cuatro rotores restantes,
multiplicados por la razón descrita en la ecuación 2.23 debida a la geometría del hexarotor
mostrada en la figura 2.4 del capítulo anterior, dicha geometría reduce considerablemente la
complejidad del sistema.
Capítulo 6. Conclusiones y Trabajos Futuros
Modelado y Control de un Hexarotor M. en C. Vanya Itzel Rangel Elizalde
Figura 3.2.9. Obtención de la entrada de control
En la figura 3.2.9 mostrada con anterioridad se realizó la construcción de la entrada de
control correspondiente al torque que genera el movimiento rotacional sobre el eje z o
también conocido como Yaw, en esta se presentan los seis rotores con diferente interacción
representada por el signo con que el que entran al sumador y finalmente multiplicados por
una constante de la propela.
Resta únicamente la construcción de la entrada de control la cual varia del resto en que
no se introducen los valores de la potencia de los rotores en forma cuadrática, se realiza la
suma y resta de forma lineal y no se multiplican por ningún coeficiente ni constante
especifica de los mismos. Esto lo podemos observar en la siguiente figura:
Capítulo 6. Conclusiones y Trabajos Futuros
Modelado y Control de un Hexarotor M. en C. Vanya Itzel Rangel Elizalde
Figura 3.2.10. Obtención de la entrada de control
Capítulo 6. Conclusiones y Trabajos Futuros
Modelado y Control de un Hexarotor M. en C. Vanya Itzel Rangel Elizalde
3.2.2. Construcción del modelo 2 de espacio de estados en Simulink.
Para el segundo modelo en espacio de estados obtenido en esta tesis, existen unos pequeños
cambios particularmente en dos de los estados del sistema. Para el segundo estado, debido a
que la matriz de rotación se considera en sentido inverso al modelo uno se tienen las
siguientes ecuaciones que podemos referenciar a la figura 3.8:
Estos cambios dan como resltado la estructura mostrada a continuación, la cual se persibe
de mayor complejidad que la mostrada den la figura 3.2.1. correspondiente al mismo par de
estados obtenidos a travez del modelo 1.
Figura 3.2.11. Estados del Modelo 2 (Traslación en eje x).
Capítulo 6. Conclusiones y Trabajos Futuros
Modelado y Control de un Hexarotor M. en C. Vanya Itzel Rangel Elizalde
Figura 3.2.12. Estados del Modelo 2 (Traslación en eje y).
Como podemos apreciar en la figura 3.2.12 también la construcción para los estados 3 y 4
del modelo 2 se diferencian con respecto a los correspondientes en el modelo 1, las
ecuaciones siguientes las podemos apreciar dentro del modelo completo de la figura 3.8:
3.3. Simulación del sistema en espacio de estados
Ya construidos ambos modelos en Simulink y ya teniendo el programa antes mencionado
en el editor de Matlab se procede a simular ambos modelos y se obtienen las siguientes
Capítulo 6. Conclusiones y Trabajos Futuros
Modelado y Control de un Hexarotor M. en C. Vanya Itzel Rangel Elizalde
gráficas comparativas entre los dos modelos. El modelo uno se muestra con una línea solida
en color azul y el modelo dos con la línea color rojo.
X1
X2
Posición Velocidad
Figura 3.3.1. Comparativa (Traslación en eje x).
X3
X4
Posición Velocidad
Figura 3.3.2. Comparativa (Traslación en eje y).
X5
X6
Posición Velocidad
Figura 3.3.3. Comparativa (Traslación en eje z).
Capítulo 6. Conclusiones y Trabajos Futuros
Modelado y Control de un Hexarotor M. en C. Vanya Itzel Rangel Elizalde
X7
X8
Posición Velocidad
Figura 3.3.4. Comparativa (Rotación en eje x).
X9
X10
Posición Velocidad
Figura 3.3.5. Comparativa (Rotación en eje y).
X11
X12
Posición Velocidad
Figura 3.3.6. Comparativa (Rotación en eje z).
Como podemos observar en [Rubio, J. de J. 2014] ambos modelos responden de manera
similar a la simulación de la excitación de entrada. Como podemos observar en las figuras
3.3.1 y 3.3.2 correspondientes a los estados traslacionales ambos modelos se comportan de
manera opuesta ya que son los estados afectados por la diferentes matrices de rotación
Capítulo 6. Conclusiones y Trabajos Futuros
Modelado y Control de un Hexarotor M. en C. Vanya Itzel Rangel Elizalde
utilizadas en los modelos. A partir de la figura 3.3.3 correspondiente al movimiento de
traslación en ambos modelos se sobreponen con tendencia positiva, considerando
que el dron considera el nivel “cero” como el piso y no puede ir más que hacia arriba.
Para los 6 estados rotacionales la respuesta de ambos modelos es idéntica por lo cual ambos
son candidatos para aplicación del control, sin embargo se seleccionó el modelo 2 para
comenzar con la aplicación del control lineal y posteriormente el control difuso.
Capítulo 4. Aplicación del Control
Modelado y Control de un Hexarotor M. en C. Vanya Itzel Rangel Elizalde
51
Capítulo 4
Aplicación del Control
En el presente capítulo de se muestra el desarrollo del sistema de control lineal y difuso en
base al modelo en espacio de estados obtenido y validado en el capítulo anterior. Cabe
señalar que después del sistema de control lineal, se propusieron dos metodologías
diferentes aplicando el control difuso con la finalidad de obtener la mejor respuesta posible,
en el capítulo quinto se analizaran dichos resultados. Así mismo se pretende calcular las
constantes específicas de los motores actuadores del hexarotor. Comenzamos con la
construcción del regulador lineal del sistema y procedemos con el cálculo de las ganancias
de control para la aplicación final de control.
4.1. Construcción del regulador lineal.
En esta sección se comenzó con la construcción del regulador lineal en el programa de
computación Matlab, aun con valores de las características específicas del hexarotor
obtenidos de la literatura, siguiendo el esquema mostrado en la figura 4.1.
Figura 4.1. Control lineal aplicado al hexarotor.
En el presente capítulo se encuentra en desarrollo y en fase de pruebas como se aprecia en
las figuras 4.2 y 4.3:
Capítulo 6. Conclusiones y Trabajos Futuros
Modelado y Control de un Hexarotor M. en C. Vanya Itzel Rangel Elizalde
Figura 4.2. Construcción del regulador lineal para los modelos en
espacio de estados del hexrotor.
En la figura anterior se aprecian las seis entradas de control conectadas al bloque de
subsistema, las cuales corresponden a las velocidades de los seis rotores respectivamente,
recordemos que la única forma de implementar un control sobre el hexarotor es en la
variación de la rotación de los seis motores conectados a sus respectivas hélices.
Capítulo 6. Conclusiones y Trabajos Futuros
Modelado y Control de un Hexarotor M. en C. Vanya Itzel Rangel Elizalde
Figura 4.3. Subsistema del regulador lineal para modelo 1 en
espacio de estados del hexarotor.
Así pues, la construcción de este modelo responde a la siguiente programación:
4.1.1 Definición de constantes del sistema:
Esta parte de la programación consiste en declarar todos aquello valores de estructura
constante que se utilizaran a lo largo del código, es decir, las dimensiones físicas de la
aeronave y las constantes específicas de operación del sistema, como los factores de empuje
y las constantes del rotor. Estas las podemos apreciar en la figura 4.4:
Figura 4.4. Declaración de características constantes del sistema.
4.1.2 Definición de los estados del sistema:
A continuación se brindan las condiciones iniciales del sistema, cabe señalar que
empezamos el control del sistema con la elevación vertical, esto es, el quinto estado dentro
del modelo en espacio de estados ( ). Estas condiciones se muestran en la figura 4.5, las
variables con subíndice “0” representan el valor inicial del cual partirá el sistema del
hexarotor y los estados que presentan el subíndice “e” representan el punto de equilibrio o
punto final en donde se desea que el dron se estabilice:
Capítulo 6. Conclusiones y Trabajos Futuros
Modelado y Control de un Hexarotor M. en C. Vanya Itzel Rangel Elizalde
Figura 4.5. Declaración de estados iniciales y estados de equilibrio del sistema.
4.1.3 Declaración del programa en espacio de estados:
Procedemos con la linealización del sistema altamente no lineal, para lo cual declaramos
variables simbólicas (primer renglón de la figura 4.5) y definimos el modelo en espacio de
estados obtenido en el capítulo dos de la presente tesis y establecemos las ecuaciones de los
doce estados del modelo mencionado, esto se observa en la siguiente figura 4.6.
La parte superior de la imagen describe las 5 ecuaciones de control existentes en el sistema:
En la parte inferior se escriben las ecuaciones del espacio de estado bajo el nombre “dx”
con su respectivo subíndice:
Figura 4.6. Construcción de las ecuaciones de control y modelo en espacio de estados.
Capítulo 6. Conclusiones y Trabajos Futuros
Modelado y Control de un Hexarotor M. en C. Vanya Itzel Rangel Elizalde
4.1.4 Funciones f y h :
Se considera un sistema dinámico no-lineal se puede representar por un conjunto de
ecuaciones diferenciales de la forma general en donde f y h son funciones que representan
la dinámica del sistema y la salida de este dados en términos de la variable de estado x y la
entrada u., las cuales son vectores columna de los estados y entradas de control del sistema
respectivamente, como se observa en la siguiente figura:
Figura 4.7. Construcción de las funciones f y h .
4.1.5 Jacobiano:
Una vez obtenidas dichas funciones se resuelven para cada una de las variables
correspondientes mediante la aplicación de la herramienta matemática del Jacobiano y se
almacenan en 4 diferentes matrices, denominadas A, B, C y D, cuyas dimensiones resultan:
respectivamente, esta programación se aprecia en la figura
4.8:
Figura 4.8. Cálculo del Jacobiano para matrices de sistema de control lineal.
El Jacobiano resuelve las ecuaciones del sistema mostrado en la figura 4.6 para los
parámetros simbólicos, para poder obtener los valores numéricos de dichos parámetros se
procede a evaluar las variables iniciales con los valores de los puntos de operación dados al
inicio de la programación.
Capítulo 6. Conclusiones y Trabajos Futuros
Modelado y Control de un Hexarotor M. en C. Vanya Itzel Rangel Elizalde
4.1.6 Evaluación de las funciones:
Posterior a esto se debe evaluar con la función f (vector de entradas) tal cual se muestra en
la figura 4.9:
Figura 4.9 Evaluación de puntos de operación y función f.
En la imagen anterior también se aprecia la determinación de las velocidades del rotor, las
cuales fueron calculadas a mano mediante el método de prueba y error debido a que el
modelo matemático del hexarotor es altamente no lineal y por tanto el programa de
computación Matlab no es capaz de resolver dicho sistema correctamente, las soluciones
encontradas por el programa no corresponden a las características reales o posibles del
hexarotor, por ejemplo; el programa obtiene una respuesta en el cual solamente muestra la
activación de dos rotores para el desplazamiento vertical, despreciando el resto de los
rotores debido a su construcción simétrica.
Por la razón anterior se realizó la experimentación con los valores de operación real del
sistema, es importante señalar que los valores utilizados en el programa tienen por unidades
radianes, los cuales son equivalentes a las velocidades de operación para desplazamiento
vertical que oscilan entre las 9000 y 14000 rpms.
Capítulo 6. Conclusiones y Trabajos Futuros
Modelado y Control de un Hexarotor M. en C. Vanya Itzel Rangel Elizalde
4.1.6 Velocidades angulares de los rotores:
Como podemos apreciar en la imagen 4.10 se evalúa la velocidad de los rotores para
efectuar un desplazamiento vertical, como se muestra en la sección 2.2.3 estas velocidades
deben de ser iguales para asegurar una correcta elevación del dron, es importante señalar
que el cálculo de estas velocidades se realizó de manera manual ya que el sistema del
hexarotor es altamente no lineal lo cual no permite resolver el sistema con ninguna de las
herramientas matemáticas con las cuales contamos.
Figura 4.10 Evaluación de las velocidades delos rotores.
Es importante justificar la utilización de estos valores, se optó por el cálculo manual
debido a que los resultados calculados y obtenidos en simulación a pesar de resolver
matemáticamente el sistema no lo resuelve de manera coherente para el funcionamiento del
mismo. Como muestra la figura 4.10 se realizó el cálculo en el programa de cómputo y los
resultados generados por el mismo están presentes en la imagen 4.11, la cual muestra que
como se indica en el apartado 2.2.3 de la presente tesis, los rotores se encuentran trabajando
de manera simétrica, rotor 1 con rotor 4 son los que presentan valores numéricos y el resto
de los pares (2-5 y 3-6) se consideran en cero, como ya se mencionó esta lógica funciona en
teoría pero no en la realidad para nuestro modelo, por tanto se procedió al cálculo manual.
Capítulo 6. Conclusiones y Trabajos Futuros
Modelado y Control de un Hexarotor M. en C. Vanya Itzel Rangel Elizalde
Figura 4.11 Solución del modelo no lineal para las velocidades de los rotores.
La figura anterior se muestra el sistema de seis ecuaciones con seis incógnitas,
seleccionando los valores absolutos de los resultados, cada resultado es un vector de
dimensión 4x1, se seleccionó cada uno de los valores para corroborar la totalidad de los
mismos, mostrando los mismos resultados.
Figura 4.12 Resultados del sistema no lineal en Matlab.
Capítulo 6. Conclusiones y Trabajos Futuros
Modelado y Control de un Hexarotor M. en C. Vanya Itzel Rangel Elizalde
Tras lo cual se probó el modelo para distintos puntos de operación del sistema (vuelo en
flotamiento) obteniendo un rango de operación y respuesta de 4.9 metros para alcanzar el
punto de operación, los resultados se muestran en el capítulo 5 de la presente tesis.
Capítulo 6. Conclusiones y Trabajos Futuros
Modelado y Control de un Hexarotor M. en C. Vanya Itzel Rangel Elizalde
4.2. Construcción del regulador lineal.
La lógica difusa se basa en lo relativo de lo observado como posición diferencial. Este tipo
de lógica toma dos valores aleatorios, pero contextualizados y referidos entre sí.
Como lógica multi-valuada, en la definición de grados de pertenencia, la lógica difusa
emplea valores continuos entre 0 (que representa hechos totalmente falsos) y 1 (totalmente
ciertos). Así, la lógica binaria clásica puede verse como un caso particular de la lógica
difusa.
Los conceptos se asocian a conjuntos difusos (asociando los valores de pertenencia) en un
proceso llamado fuzzificación. Una vez que tenemos los valores fuzzificados podemos
trabajar con reglas lingüísticas y obtener una salida, que podrá seguir siendo difusa o
defuzzificada para obtener un valor discreto.
De este modo, a diferencia de la teoría clásica de conjuntos que se basa en el principio
básico de la lógica de forma que un individuo pertenece o no pertenece a un conjunto, la
idea básica de un conjunto difuso es que un elemento forma parte de un conjunto con un
determinado grado de pertenencia. De este modo una proposición no es totalmente (sino
parcialmente) cierta o falsa. Este grado se expresa mediante un entero en el intervalo [0, 1].
En general, el descrito anteriormente responde a un esquema de modelado que permite
manipular reglas de inferencia sobre conjuntos difusos, y que puede ser resumido de la
siguiente figura:
Figura 4.16: Proceso lógica difusa.
Fuzzyficador: convierte las entradas del sistema, que son valores numéricos nítidos en
conjuntos borrosos aplicando una función de borrosificación.
Capítulo 6. Conclusiones y Trabajos Futuros
Modelado y Control de un Hexarotor M. en C. Vanya Itzel Rangel Elizalde
Base de conocimiento (Reglas Difusas): almacena las reglas SI-ENTONCES obtenidas
de los expertos.
Motor de inferencia: simula el razonamiento humano haciendo inferencia sobre las
entradas recibidas y las reglas SI-ENTONCES almacenadas.
Desfuzzyficador: convierte el conjunto borroso obtenido por el motor de inferencia en
un valor numérico nítido que puede ser reutilizado.
Un conjunto difuso puede definirse de forma general como un conjunto con límites difusos.
Sea el Universo del discurso, y sus elementos se denotan como . En la teoría clásica de
conjuntos se define un conjunto se define sobre mediante la función característica de
como :
{
Este conjunto mapea el universo en un conjunto de dos elementos, donde la función
es 1 si el elemento x pertenece al conjunto C y 0 si el elemento x no pertenece al
conjunto C.
Si generalizamos esta función para que los valores asignados a los elementos del conjunto
caigan en un rango particular y así indicar el grado de pertenencia de los elementos a ese
conjunto, tendremos una función de pertenencia o función de membresía de un determinado
conjunto difuso.
La función de pertenencia por la que se define un conjunto difuso A, sería:
Dónde:
Capítulo 6. Conclusiones y Trabajos Futuros
Modelado y Control de un Hexarotor M. en C. Vanya Itzel Rangel Elizalde
Este valor entre 0 y 1 representa el grado de pertenencia (también llamado valor de
pertenencia de un elemento x a un conjunto A). Así, el intervalo de la ecuación anterior es
de números reales e incluye los extremos. Aunque [0, 1] es el rango de valores más
utilizado para representar funciones de pertenencia, como se muestra en la figura 4.17,
cualquier conjunto arbitrario con alguna ordenación total o parcial podría ser utilizado.
Figura 4.17. Esquema función de pertenencia (membresía).
4.2.1 Desarrollo Función del sistema:
El primer paso para el desarrollo del control difuso es la construcción del modelo en
espacio de estados o en el medio a simular, el cual se realizó a través de un bloque de
función de Matlab Simulink, se trabajó con los parámetros mostrados en la tabla siguiente y
se describió la función como se puede apreciar en la figura 4.18:
Parámetro Valor Descripción
Longitud del hexarotor
Masa del hexarotor
Gravedad
Momento de inercia en eje x
Momento de inercia en eje y
Momento de inercia en eje z
Inercia del rotor propulsor
Capítulo 6. Conclusiones y Trabajos Futuros
Modelado y Control de un Hexarotor M. en C. Vanya Itzel Rangel Elizalde
Constante de los rotores
Constante especifica del rotor
10504 rpm Velocidad del rotor
propulsor.
Tabla 3. Parámetros del Hexarotor.
Figura 4.18. Función del modelo del hexarotor.
Capítulo 6. Conclusiones y Trabajos Futuros
Modelado y Control de un Hexarotor M. en C. Vanya Itzel Rangel Elizalde
4.2.2 Construcción Función de Transferencia:
Se modificó en Simulink el modelo mencionado en la segunda sección de la presente tesis
para el cual se desarrollaron las siguientes leyes de control mostradas en la figura 4.19:
Figura 4.19. Leyes de control difuso para el hexarotor.
La figura anterior se agregó al sistema simulado en simulink con la finalidad de realizar una
nivelación del punto de equilibrio, haciendo creer al sistema que el rango de operación gira
en torno al rango de equilibrio y permitiendo al mismo alcanzar puntos de operación de
varios cientos de metros.
Se desarrolla una función de pertenencia o membresía, capaz de ajustarse a los rangos del
programa de simulación como se puede apreciar en la figura 4.20:
Capítulo 6. Conclusiones y Trabajos Futuros
Modelado y Control de un Hexarotor M. en C. Vanya Itzel Rangel Elizalde
Figura 4.20. Bloque de control Difuso en Simulink.
De acuerdo a la figura anterior y a las funciones de membresía programadas dentro del
bloque de función en la figura 4.20 donde:
El bloque de función de Matlab de la figura 4.20, contiene la construcción de la función de
membresía que se muestra en la figura 4.17.
4.2.3 Señal de Control:
Así mismo se calcula una señal de retroalimentación con valores para
iguales a:
Figura 4.21. Valores para ganancia “k” del control difuso.
Capítulo 6. Conclusiones y Trabajos Futuros
Modelado y Control de un Hexarotor M. en C. Vanya Itzel Rangel Elizalde
Podemos observar que la anterior señal de control es una matriz con dimensión ,
representando aplicación de las seis entradas de control (rotores) sobre los doce estados del
sistema lineal.
4.2.4 Bloque de control Difuso:
La salida del bloque de control difuso es multiplicada por la matriz de valores “k” mostrada
en la figura anterior y sumada a la señal del estado origen deseado, la cual finalmente se
introduce a modo de retroalimentación como resta únicamente sobre el estado que
corresponde al desplazamiento vertical del sistema.
Cada uno de los estados se introducen a un multiplexor para poder manipularlos y
aplicarles la ganancia de control lineal obtenida con anterioridad. Este procedimiento lo
podemos ver en la siguiente figura 4.22 y 4.23:
Figura 4.22. Salida del bloque de control difuso.
Capítulo 6. Conclusiones y Trabajos Futuros
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Figura 4.23. Diferenciación de los estados de desplazamiento vertical.
4.2.5 Señal de error:
La señal de error presente en el bloque de control difuso es obtenida de la diferenciación
entre el estado o posición inicial y la posición final o de equilibrio a la cual estamos
forzando o “engañado” al sistema haciéndolo creer que continúa dentro de los parámetros
del control lineal, esto se muestra en la figura 4.24:
Figura 4.24. Diferencia entre posición inicial y estado de equilibrio
del desplazamiento vertical.
Capítulo 6. Conclusiones y Trabajos Futuros
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Esta señal de control difuso obtenida, se procede a adicionarla a las velocidades calculadas
de manera manual, mencionadas al principio de esta sección. Esto se muestra en la figura
4.25 mostrada a continuación:
Figura 4.25. Adición de señales de control difusas con velocidades iniciales
de los rotores.
Una de las etapas finales de esta construcción consiste en agregar las señales de control
finales a el modelo de espacio de estados que caracteriza al dron, tal como se obtuvo en el
capítulo 3 de la presente tesis. Se consensuo utilizar y configurar un bloque de función de
matlab para dar de alta el modelo como se aprecia en la figura 4.26:
Capítulo 6. Conclusiones y Trabajos Futuros
Modelado y Control de un Hexarotor M. en C. Vanya Itzel Rangel Elizalde
4.2.6 Retroalimentación:
Figura 4.26. Aplicación de las señales de control y realimentaciones de estados al modelo en espacio de
estados del hexarotor.
Capítulo 6. Conclusiones y Trabajos Futuros
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4.2.7 Obtención de estados de equiibrio:
En la figura anterior, se aprecia la retroalimentación de los estados del sistema, los cuales
proceden del mismo sistema en espacio de estados como se nota en la siguiente figura:
Figura 4.27. Entradas de control y salidas de los estados principales del sistema.
En la figura anterior podemos observar la colocación de un osciloscopio virtual sobre los
principales estados que actúan en el desplazamiento vertical: , descritos en
la segunda sección de esta tesis. A partir de este sistema realizamos el análisis y simulación
para determinar algunos valores de estabilización del sistema.
Capítulo 6. Conclusiones y Trabajos Futuros
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Capítulo 5
Análisis de Resultados.
Tras la construcción del programa de simulación en Matlab simulink y como se indica en el
capítulo anterior se realizaron pruebas tanto para el modelo lineal y el control difuso,
obteniendo los resultados que se muestran a continuación.
5.1 Análisis de resultados del control líneal:
Figura 4.13: Respuesta del sistema de control lineal para el desplazamiento vertical.
A pesar de que el sistema responde de forma muy rápida y se estabiliza adecuadamente al
punto de operación, cabe señalar que cualquier cantidad mayor a este rango de operación
(4.9 metros) genera inmediatamente que las respuestas de los (actuadores) se comporten de
manera inadecuada, es decir, roten en contrasentido al movimiento original de los mismos.
Capítulo 6. Conclusiones y Trabajos Futuros
Modelado y Control de un Hexarotor M. en C. Vanya Itzel Rangel Elizalde
Esto se aprecia claramente en las figuras 4.14 y 4.15, la primera muestra las rotaciones de
los rotores dentro del rango de operación de los 4.9 metros, la segunda figura para un punto
de operación de 5.5 metros, en dicho punto a pesar de que el sistema aun es capaz de
alcanzar el punto de operación señalado, las velocidades cruzan el valor de cero hacia los
negativos, así pues entre más se incrementa dicho rango los rotores comportan de forma
caótica. Así mismo más allá de los 5.5 metros el sistema se vuelve inestable e incapaz de
alcanzar el punto de operación requerido.
Figura 4.14: Velocidades angulares del control lineal para un rango de 4.9 metros.
Capítulo 6. Conclusiones y Trabajos Futuros
Modelado y Control de un Hexarotor M. en C. Vanya Itzel Rangel Elizalde
Figura 4.15: Velocidades angulares del control lineal para un rango de 5.5 metros.
El rango de operación obtenido a través del sistema de control lineal no satisface los
requerimientos de operación reales del sistema, por lo cual se procede a realizar un sistema
de control más robusto el cual sea capaz de alcanzar cualquier rango de operación deseado.
Así mismo las velocidades de operación de los rotores para este sistema de control se
encuentran por debajo de las velocidades angulares reales de los rotores (aproximadamente
10000 rpms) haciendo que este sistema no sea viable a ser utilizado.
Capítulo 6. Conclusiones y Trabajos Futuros
Modelado y Control de un Hexarotor M. en C. Vanya Itzel Rangel Elizalde
5.2 Análisis de resultados del control difuso:
Como podemos apreciar en las siguientes figuras, el sistema se estabiliza de manera eficaz
y rápidamente en valores cercanos de operación, a cuando se le indican valores muy
alejados al punto inicial tarda un tiempo proporcional. Se simulo para un valor de hasta
2000 metros, el cual bajo perspectiva del ojo humano resultaría imposible apreciar.
Figura 4.28. Simulación para 10 metros de altura.
Figura 4.28. Simulación para 100 metros de altura.
Capítulo 6. Conclusiones y Trabajos Futuros
Modelado y Control de un Hexarotor M. en C. Vanya Itzel Rangel Elizalde
Así pues se puede observar en la figura 4.22 que se logra simular y alcanzar con éxito un
valor de punto de equilibrio de 1000 metros en un tiempo de simulación de t=500.
Figura 4.22. Simulación para x05=1000.
Capítulo 6. Conclusiones y Trabajos Futuros
Modelado y Control de un Hexarotor M. en C. Vanya Itzel Rangel Elizalde
Capítulo 6. Conclusiones y Trabajos Futuros
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53
Capítulo 6.
Conclusiones y Trabajos Futuros
En la primera mitad del ciclo de trabajo del presente doctorado se presentan en esta tesis el
cumplimiento de los siguientes objetivos:
1. Se realizó la investigación del funcionamiento del hexarotor, tras lo cual se
obtuvieron las ecuaciones dinámicas del sistema, así como las ecuaciones de las
entradas de control para los rotores de la aeronave, las cuales describen el
movimiento de la misma. Para la dinámica de traslación se utilizó el método de
Lagrangiano y para la dinámica rotacional el método de Newton-Euler.
2. Se logró con éxito la transcripción de dichas ecuaciones a su correspondiente
sistema en espacios de estados, obteniéndose un sistema de doce variables y doce
ecuaciones de estado, seis para movimientos de traslación y seis para los
movimientos rotacionales.
3. Se realizó un programa de simulación en la herramienta Simulink del programa de
computación Matlab para observar el comportamiento del sistema obtenido.
4. Tras la simulación se realizó la validación del sistema comparando los resultados
con los obtenidos en otras investigaciones sobre hexarotores, concluyendo que el
modelo obtenido cumple con las condiciones suficientes para caracterizar el
comportamiento de nuestra aeronave.
En la segunda parte del doctorado de investigación se planea cumplir con los siguientes
objetivos:
1. Obtener los parámetros reales para el hexarotor, como son momentos de inercia y
constantes específicas de los motores.
2. Proceder a realizar la simulación con dichos valores reales del sistema con la
finalidad de verificar la validez del modelo.
Capítulo 6. Conclusiones y Trabajos Futuros
Modelado y Control de un Hexarotor M. en C. Vanya Itzel Rangel Elizalde
3. Aplicar la estrategia de Control Lineal.
4. Realizar y aplicar la teoría de control Difuso a fin de aplicarla al sistema real del
hexarotor.
5. Generar cuantos artículos sean posibles sobre la aplicación de esta teoría de control,
cuya investigación no es tan común como otras teorías de control.
Referencias
Identificación de la Dinámica de un Helicóptero a Ing. Vanya Itzel Rangel Elizalde
Escala no Tripulado
54
Referencias.
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Anexo A. Productividad
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Modelado y Control de un Hexarotor M. en C. Vanya Itzel Rangel Elizalde
Anexo B. Programas completos.
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