modelaciones matemÁticas

19/04/23 DANIEL MONTOYA YEVENES PROFESOR ESTADO MATEMATICA Y FISICA

MODELACIONES MODELACIONES

MATEMÁTICASMATEMÁTICAS

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ES UNA HERRAMIENTA QUE NOS PERMITE ES UNA HERRAMIENTA QUE NOS PERMITE INTERPRETAR GRÁFICAMENTE UN PROBLEMAINTERPRETAR GRÁFICAMENTE UN PROBLEMA

EXISTEN DISTINTOS TIPOS DE MODELACIONESEXISTEN DISTINTOS TIPOS DE MODELACIONES

CONJUNTISTASCONJUNTISTAS

LINEALESLINEALES

TABULARES TABULARES

RAMIFICADASRAMIFICADAS

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CONJUNTISTAS:CONJUNTISTAS: CUANDO SE DAN CIERTAS CARACTERÍSTICAS QUE CUMPLEN LOS ELEMENTOS DE UN CONJUNTO.

MODELACION LINEAL:MODELACION LINEAL: CUANDO EL CUANDO EL PROBLEMA INVOLUCRA UNA SOLA VARIABLE.PROBLEMA INVOLUCRA UNA SOLA VARIABLE.

MODELACION TABULAR:MODELACION TABULAR: SE USA CUANDO SE USA CUANDO EL PROBLEMA INVOLUCRA MÁS DE UNA EL PROBLEMA INVOLUCRA MÁS DE UNA VARIABLE.VARIABLE.

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MODELACIÓN RAMIFICADAMODELACIÓN RAMIFICADA:: SE SE UTILIZA CUANDO SE TRATA DE UTILIZA CUANDO SE TRATA DE PROBLEMAS DE MULTIPLICACION PROBLEMAS DE MULTIPLICACION ITERADAS, PREFERENTEMENTE ITERADAS, PREFERENTEMENTE PROBLEMAS QUE TIENEN QUE VER PROBLEMAS QUE TIENEN QUE VER CON COMBINACIONES, CON COMBINACIONES, PERMUTACIONES Y ARREGLOS.PERMUTACIONES Y ARREGLOS.

CADA UNA DE ELLAS SE APLICA CADA UNA DE ELLAS SE APLICA DEPENDIENDO DE LAS CARACTERÍSTICAS DEPENDIENDO DE LAS CARACTERÍSTICAS PROPIAS DEL PROBLEMA.PROPIAS DEL PROBLEMA.

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ES IMPORTANTE DESTACAR QUE ESTAS MODELACIONES SON UN INSTRUMENTO DE MODELACIONES SON UN INSTRUMENTO DE AYUDAAYUDA. SON UN MEDIO AL SERVICIO DE MEDIO AL SERVICIO DE DETERMINADOS OBJETIVOS O CONTENIDOSDETERMINADOS OBJETIVOS O CONTENIDOS.

¡EL MODELO NO ES EL CONTENIDO!¡EL MODELO NO ES EL CONTENIDO!

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NO DEBEMOS DEDICAR DEMASIADO TIEMPO A NO DEBEMOS DEDICAR DEMASIADO TIEMPO A ELLO Y MENOS ENSEÑARLO O INSTRUIRLO ELLO Y MENOS ENSEÑARLO O INSTRUIRLO COMO MATERIA. COMO MATERIA.

PODEMOS RECURRIR SIEMPRE A ELLOS, HASTA PODEMOS RECURRIR SIEMPRE A ELLOS, HASTA QUE LOS ESTUDIANTES LO HAGAN PROPIO Y QUE LOS ESTUDIANTES LO HAGAN PROPIO Y SE TRANSFORME CON EL USO EN UN SE TRANSFORME CON EL USO EN UN “MODELO MENTAL”“MODELO MENTAL”

LA IDEA ES QUE POR EL USO PERMANENTE DE ESTOS MODELOS LO ASIMILE DE TAL FORMA QUE LUEGO HAGA SOLO REFERENCIA ABSTRACTA DE ELLOS.

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MODELACIÓN CONJUNTISTA

SE APLICA O USA PREFERENTEMENTE CUANDO SE DAN CIERTAS CARACTERÍSTICAS QUE CUMPLEN LOS ELEMENTOS DE UN CONJUNTO.

ES IMPORTANTE ACLARAR ALGUNOS ES IMPORTANTE ACLARAR ALGUNOS CONCEPTOSCONCEPTOS

UN CONJUNTO ES UNA AGRUPACIÓN DE UN CONJUNTO ES UNA AGRUPACIÓN DE ELEMENTOS DE CUALQUIER NATURALEZA.ELEMENTOS DE CUALQUIER NATURALEZA.

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EJEMPLO: A=(CUADRADO, RECTÁNGULO,MANZANA,

CAMISA)

CUYA MODELACIÓN GRÁFICA CUYA MODELACIÓN GRÁFICA CORRESPONDE A:CORRESPONDE A:

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EN LA MODELACIÓN CONJUNTISTA ES IMPORTANTE TENER EN CUENTA ALGUNOS

CONCEPTOS QUE SON CLAVES

CONJUNTO UNIVERSO:CONJUNTO UNIVERSO:

SE REFIERE AL CONJUNTO “CONTEXTO” EN EL CUAL SE ESTABLECEN LAS RELACIONES MATEMÁTICAS, OPERACIONES, ABSTRACCIONES U OTRAS DEFINICIONES QUE INVOLUCREN UN PROBLEMA.

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ESTE CONJUNTO PUEDE SER DE NATURALEZA FINITA:

 “LAS SILLAS DEL LICEO SAN ANTONIO”  DE NATURALEZA INFINITA:“EL CONJUNTO DE LOS NÚMEROS

NATURALES.

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GRÁFICAMENTE PODEMOS UTILIZAR ESTE MODELO GRÁFICAMENTE PODEMOS UTILIZAR ESTE MODELO PARA REPRESENTAR OTRAS IDEAS O CONCEPTOSPARA REPRESENTAR OTRAS IDEAS O CONCEPTOS

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ESTA FORMA DE MODELAR ESTOS ESTA FORMA DE MODELAR ESTOS CONCEPTOS CONJUNTISTAS NOS PERMITE CONCEPTOS CONJUNTISTAS NOS PERMITE

RESOLVER MÚLTIPLES PROBLEMAS O RESOLVER MÚLTIPLES PROBLEMAS O INTRODUCIR NUEVOS CONCEPTOS.INTRODUCIR NUEVOS CONCEPTOS.

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UU CONJUNTO UNIVERSO,TIENE QUE VER CON EL TODO

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•UNION DE CONJUNTOS . TIENE QUE VER CON LAS UNION DE CONJUNTOS . TIENE QUE VER CON LAS PARTES QUE CONFORMAN O CONSTITUYEN EL TODOPARTES QUE CONFORMAN O CONSTITUYEN EL TODO

• EL LENGUAJE INSTITUCIONAL MATEMÁTICO EL LENGUAJE INSTITUCIONAL MATEMÁTICO RIGUROSO EXPRESA QUE:RIGUROSO EXPRESA QUE:

A U B SSI XEA V x EBA U B SSI XEA V x EB

LA IDEA DE LA MODELACIÓN NO ES EL LENGUAJE LA IDEA DE LA MODELACIÓN NO ES EL LENGUAJE RIGUROSO DE LA TEORÍA DE CONJUNTOS, ESO RIGUROSO DE LA TEORÍA DE CONJUNTOS, ESO DEJÉMOSLO PARA NUESTRA PROPIA DISCUSIÓN.DEJÉMOSLO PARA NUESTRA PROPIA DISCUSIÓN.

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LA UNIÓN LA UNIÓN

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INTERSECCIÓN INTERSECCIÓN

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DIFERENCIA ENTRE A Y B (A-B)DIFERENCIA ENTRE A Y B (A-B)    

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DIFERENCIA ENTRE B Y A (B-A)DIFERENCIA ENTRE B Y A (B-A)  

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UN CONCEPTO FUNDAMENTAL EN UN CONCEPTO FUNDAMENTAL EN MATEMÁTICA Y QUE LOS PROFESORES DEBEMOS MATEMÁTICA Y QUE LOS PROFESORES DEBEMOS ESTAR SIEMPRE REFORZANDO ES EL QUE ESTAR SIEMPRE REFORZANDO ES EL QUE ESTABLECE QUE:ESTABLECE QUE:

 ““LA SUMA DE LAS PARTES ES EL TODO”LA SUMA DE LAS PARTES ES EL TODO”

SI AHORA ESTE CONCEPTO TAN ELEMENTAL, SI AHORA ESTE CONCEPTO TAN ELEMENTAL, PERO TAN IMPORTANTE LO APLICAMOS A PERO TAN IMPORTANTE LO APLICAMOS A SITUACIONES SENCILLAS Y LO REFORZAMOS SITUACIONES SENCILLAS Y LO REFORZAMOS REITERADAMENTE, SERÁ MÁS FÁCIL Y NATURAL REITERADAMENTE, SERÁ MÁS FÁCIL Y NATURAL CONSTRUIR OTROS A PARTIR DE ESTO.CONSTRUIR OTROS A PARTIR DE ESTO.

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MODELACIÓN ADITIVAMODELACIÓN ADITIVA  

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  ““LA SUMA DE LAS PARTES ES IGUAL AL TODO” LA SUMA DE LAS PARTES ES IGUAL AL TODO” 

19/04/23 DANIEL MONTOYA YEVENES PROFESOR ESTADO MATEMATICA Y FISICA

NUEVAMENTE LA MISMA IDEANUEVAMENTE LA MISMA IDEA  

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EL MISMO PROBLEMA PUEDE TENER EL MISMO PROBLEMA PUEDE TENER VARIACIONESVARIACIONES

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EL PROCESO DE CÓMO EL ALUMNO EL PROCESO DE CÓMO EL ALUMNO OBTIENE LA RESPUESTA CORRECTA OBTIENE LA RESPUESTA CORRECTA TIENE VARIOS CAMINOS, ÉSTOS TIENE VARIOS CAMINOS, ÉSTOS PUEDEN SER DISTINTOS PARA LLEGAR PUEDEN SER DISTINTOS PARA LLEGAR A UN MISMO RESULTADO, LO A UN MISMO RESULTADO, LO IMPORTANTE ES EL CONCEPTO IMPORTANTE ES EL CONCEPTO COGNITIVO QUE ESTÁ EN JUEGO.COGNITIVO QUE ESTÁ EN JUEGO.

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Y SI AHORA ESTE MODELO LO APLICAMOS A Y SI AHORA ESTE MODELO LO APLICAMOS A UN PROBLEMA COTIDIANO, COBRA ENTONCES UN PROBLEMA COTIDIANO, COBRA ENTONCES MÁS SENTIDO:MÁS SENTIDO:

  ““MI PADRE ME REGALÓ $1.265.- MI MAMÁ MI PADRE ME REGALÓ $1.265.- MI MAMÁ $680.- ¿CUÁNTO TENGO EN TOTAL?$680.- ¿CUÁNTO TENGO EN TOTAL?

•  NOTE QUE EL PROBLEMA PUEDE SER MUY NOTE QUE EL PROBLEMA PUEDE SER MUY SENCILLO, PERO LO QUE ESTÁ DETRÁS DE SENCILLO, PERO LO QUE ESTÁ DETRÁS DE ELLO ES LA MODELACIÓN PARA RESOLVERLO.ELLO ES LA MODELACIÓN PARA RESOLVERLO.

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¿QUE VAMOS A CALCULAR?

¿EL TODO O UNA PARTE?

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DE ESTE MISMO PROBLEMA PODEMOS DE ESTE MISMO PROBLEMA PODEMOS HACER MÚLTIPLES VARIACIONES, HACER MÚLTIPLES VARIACIONES, INCLUSO LOS ALUMNOS NOS PUEDEN INCLUSO LOS ALUMNOS NOS PUEDEN AYUDAR A PLANTEAR SUS PROPIAS AYUDAR A PLANTEAR SUS PROPIAS INTERROGANTES.INTERROGANTES.

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““TENÍA 12 GALLETAS, ME COMÍ 3 EN EL RECREO TENÍA 12 GALLETAS, ME COMÍ 3 EN EL RECREO Y LE DI A MI AMIGA 2.Y LE DI A MI AMIGA 2. ¿CUÁNTAS ME QUEDAN? ¿CUÁNTAS ME QUEDAN?

EL ESQUEMA CONJUNTISTA SERÁ ENTONCES:EL ESQUEMA CONJUNTISTA SERÁ ENTONCES:

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PARA NIVELES MENORES SE PUEDE ADAPTAR PARA NIVELES MENORES SE PUEDE ADAPTAR ESTE PROBLEMA DE LA SIGUIENTE FORMA:ESTE PROBLEMA DE LA SIGUIENTE FORMA:

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Y PARA NIVELES MAYORES…Y PARA NIVELES MAYORES…  

- DE UN LIBRO LEÍ EL LUNES LA SEXTA PARTE, EL - DE UN LIBRO LEÍ EL LUNES LA SEXTA PARTE, EL MARTES LOS 2/5 DE ESTE.MARTES LOS 2/5 DE ESTE.

¿QUÉ PARTE ME QUEDA POR LEER?¿QUÉ PARTE ME QUEDA POR LEER?

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EL RAZONAMIENTO QUE SE EMPLEA ES QUE UN LIBRO EQUIVALE A 1.

ES IMPORTANTE NOTAR QUE EL CÁLCULO SE REFIERE A UNA PARTE DEL TODO.

 ESTE MISMO MODELO SE PUEDE APLICAR A PROBLEMAS QUE SON UN POCO MÁS COMPLEJOS PARA LOS ALUMNOS, PERO QUE CON UN BUEN USO DE ESTE PROCEDER SE SIMPLIFICA LA TAREA

  EJEMPLOEJEMPLO: EN UN CURSO HAY 15 ALUMNOS (AS) QUE SON RUBIOS, EN EL MISMO CURSO 5 ALUMNOS DEL TOTAL SON RUBIOS Y USAN LENTES, Y 20 DE ELLOS NO TIENEN NINGUNA DE LAS CARACTERÍSTICAS ANTERIORES. ¿CUÁNTOS ALUMNOS EN TOTAL TIENE EL CURSO?

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LA INFORMACIÓN LA DISPONEMOS EN LA INFORMACIÓN LA DISPONEMOS EN MODELO CONJUNTISTA:MODELO CONJUNTISTA:

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¿QUÉ NOS PERMITE VISUALIZAR MEJOR EL PROBLEMA?¿QUÉ NOS PERMITE VISUALIZAR MEJOR EL PROBLEMA?

SI COMPLEJIZAMOS MÁS TODAVÍA LA SITUACIÓN:SI COMPLEJIZAMOS MÁS TODAVÍA LA SITUACIÓN:

•TENGO UNA CANTIDAD DE FICHAS EN UNA CAJA LAS CUÁLES CUMPLEN CIERTAS CONDICIONES:

3 DE ELLAS ESTAN PINTADAS COMPLETAMENTE DE ROJO

1 DE ELLAS ESTA PINTADA DE ROJO Y VERDE

2 DE ELLAS ESTAN PINTADAS DE ROJO VERDE Y NEGRO

1 DE ELLAS ES TOTALMENTE VERDE

5 DE ELLAS CONTIENEN EL COLOR NEGRO

¿CUÁNTAS FICHAS TENGO EN TOTAL?

¿HAY ALGUNA FICHA COMPLETAMENTE NEGRA?

¿CUÁNTAS SOLUCIONES TIENE EL PROBLEMA?

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SI DISPONEMOS NUESTRO MODELO DE LA SI DISPONEMOS NUESTRO MODELO DE LA SIGUIENTE FORMA: SIGUIENTE FORMA: 

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EN UN A CONVENCIÓN DE UN TOTAL DE 70, 40 DE ELLOS EN UN A CONVENCIÓN DE UN TOTAL DE 70, 40 DE ELLOS SON PROFESORES DE MATEMÁTICA, 8 DE ELLOS SON SON PROFESORES DE MATEMÁTICA, 8 DE ELLOS SON PROFESORES DE MATEMÁTICA Y FÍSICA, Y EL RESTO PROFESORES DE MATEMÁTICA Y FÍSICA, Y EL RESTO SOLO DE FÍSICA. SOLO DE FÍSICA. ¿CUÁNTOS DE ELLOS SON ¿CUÁNTOS DE ELLOS SON PROFESORES DE FÍSICA?PROFESORES DE FÍSICA?

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AHORA, TAMBIÉN PODEMOS USAR ESTE MODELO AHORA, TAMBIÉN PODEMOS USAR ESTE MODELO CONJUNTISTA PARA INTRODUCIR OTROS CONCEPTOS DE CONJUNTISTA PARA INTRODUCIR OTROS CONCEPTOS DE UNA MANERA NATURAL Y NO MECANIZANTE.UNA MANERA NATURAL Y NO MECANIZANTE.  EN LA MULTIPLICACIÓNEN LA MULTIPLICACIÓN: SI TODAS LAS PARTES SON : SI TODAS LAS PARTES SON IGUALES.IGUALES.    EJEMPLO:EJEMPLO:

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LO QUE PUEDE INTERPRETARSE COMO:LO QUE PUEDE INTERPRETARSE COMO:

CUATRO VECES UNA PARTE QUE CUATRO VECES UNA PARTE QUE CONTIENE CINCO UNIDADES CONTIENE CINCO UNIDADES ( 4 x 5 = 20 )( 4 x 5 = 20 )

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AHORA SI AL MISMO PROBLEMA LE HACEMOS UNA AHORA SI AL MISMO PROBLEMA LE HACEMOS UNA VARIACIÓN Y PEDIMOS QUE CALCULE UNA DE LAS VARIACIÓN Y PEDIMOS QUE CALCULE UNA DE LAS PARTES IGUALES, PODEMOS INTRODUCIR EL CONCEPTO PARTES IGUALES, PODEMOS INTRODUCIR EL CONCEPTO DE LA PARTICIÓN O DIVISIÓN.DE LA PARTICIÓN O DIVISIÓN.

19/04/23 DANIEL MONTOYA YEVENES PROFESOR ESTADO MATEMATICA Y FISICA

ESTO LO PUEDE LOGRAR “TACHANDO” UNO POR UNO ESTO LO PUEDE LOGRAR “TACHANDO” UNO POR UNO LOS ELEMENTOS DEL TODO.LOS ELEMENTOS DEL TODO.

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INCLUSO NOS PUEDE AYUDAR A INTRODUCIR EL INCLUSO NOS PUEDE AYUDAR A INTRODUCIR EL CONCEPTO DE DIVISIÓN EXACTA O DE RESTO CERO CONCEPTO DE DIVISIÓN EXACTA O DE RESTO CERO   

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O DIVISIÓN O DIVISIÓN NONO EXACTA DE RESTO DISTINTO A CERO EXACTA DE RESTO DISTINTO A CERO

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¿CUÁNTO SOBRA?¿CUÁNTO SOBRA? ¿CUÁL ES EL RESTO?¿CUÁL ES EL RESTO?

  EN FIN LA MODELACIÓN CONJUNTISTA NO EN FIN LA MODELACIÓN CONJUNTISTA NO ES UN CONTENIDO, ES UN MEDIO, UNA ES UN CONTENIDO, ES UN MEDIO, UNA HERRAMIENTA QUE NOS PERMITE HERRAMIENTA QUE NOS PERMITE INTERNALIZAR CONCEPTO QUE CON EL USO INTERNALIZAR CONCEPTO QUE CON EL USO Y LA PRÁCTICA PUEDE TRANSFORMARSE EN Y LA PRÁCTICA PUEDE TRANSFORMARSE EN UNA DESTREZA MENTAL EFICAZ.UNA DESTREZA MENTAL EFICAZ.

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La suma de dos números es 106, y el mayor excede al La suma de dos números es 106, y el mayor excede al menor en ocho.menor en ocho. ¿Cuáles son los números? ¿Cuáles son los números?  Se puede proceder como se indica:Se puede proceder como se indica:

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LO QUE QUEDA AHORA ES REPARTIR A LO QUE QUEDA AHORA ES REPARTIR A PARTES IGUALES EL 98, EN CADA UNO DE PARTES IGUALES EL 98, EN CADA UNO DE LOS RECTÁNGULOS IGUALES, QUE LOS RECTÁNGULOS IGUALES, QUE REPRESENTAN CANTIDADES IGUALES.REPRESENTAN CANTIDADES IGUALES.    Cada una de ellas tiene el valor de: 49Cada una de ellas tiene el valor de: 49Por lo tanto el menor de los números es: 49 Por lo tanto el menor de los números es: 49

Y el mayor: 49 + 8, es decir: 57Y el mayor: 49 + 8, es decir: 57

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Dividir o repartir el número 106 en dos partes tales Dividir o repartir el número 106 en dos partes tales que la mayor exceda a la menor en 24.que la mayor exceda a la menor en 24.  

106106

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Lo que pueden disponerse de la siguiente manera:Lo que pueden disponerse de la siguiente manera:

106106

De donde una de las partes iguales equivale a: De donde una de las partes iguales equivale a: 4141

El otro valor se El otro valor se deduce de la diferencia de este número deduce de la diferencia de este número con el totalcon el total, en este caso , en este caso 65 65

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Una botella llena de miel pesa 600 grs. La misma Una botella llena de miel pesa 600 grs. La misma botella llena con parafina pesa 450 grs.botella llena con parafina pesa 450 grs.

¿Cuánto pesa la botella vacía?¿Cuánto pesa la botella vacía?

Problema 3. -Una botella llena de miel pesa 600 grs. , La misma botella llena con parafina pesa 450 grs.¿Cuánto pesa la botella vacía?  

600600

450450

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No parece ser muy difícil deducir que lo que No parece ser muy difícil deducir que lo que hace la diferencia de peso es lo que contiene el hace la diferencia de peso es lo que contiene el envase, y en este caso la miel es doblemente envase, y en este caso la miel es doblemente mas pesada que la parafina, por lo que esta mas pesada que la parafina, por lo que esta última pesa 150 grs.última pesa 150 grs.    Envase + parafina (150 grs.) = total (450 grs.)Envase + parafina (150 grs.) = total (450 grs.)      El envase entonces pesa 300 grs. El envase entonces pesa 300 grs.

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ACTIVIDAD:

-CREAR UN PAR DE PROBLEMAS EN RELACIÓN A UN CONTENIDO DE NUESTRA PROPIA COMPETENCIA QUE INVOLUCRE MODELACIÓN CONJUNTISTA.

 FINALMENTE, LES INVITO A EJERCITAR ESTE FINALMENTE, LES INVITO A EJERCITAR ESTE MODELO A CADA NIVEL, Y LES ASEGURO QUE SE MODELO A CADA NIVEL, Y LES ASEGURO QUE SE ENCONTRARÁN CON GRATAS SORPRESAS.ENCONTRARÁN CON GRATAS SORPRESAS.

19/04/23 DANIEL MONTOYA YEVENES PROFESOR ESTADO MATEMATICA Y FISICA

 EN LA PRÓXIMA OPORTUNIDAD EN LA PRÓXIMA OPORTUNIDAD TRATAREMOS EL TEMA:TRATAREMOS EL TEMA:

“MODELACIÓN LINEAL”