modelaciÓn numÉrica de aguas someras

MODELACIÓN NUMÉRICA DE AGUAS SOMERAS

Pervys Rengifo RengifoMaestría en Hidrosistemas

Pontificia Universidad Javeriana

ECUACIONES DE AGUAS SOMERAS EN 2D Y SIN TÉRMINOS FUENTE

Variables independientes: x,y, t

Variables dependientes: La altura h, con respecto a la superficie, y las velocidades u y v

ConservaciónDe Moméntum

Conservaciónde Masa

Forma conservativaEl sistema de ecuaciones anteriores, puede ser expresado en términos de las variables que se conservan(masa y moméntum)

De esta manera el sistema de ecuaciones de la diapositiva anterior, puede ser expresada de forma compacta en la forma de una sola ecuación diferencial parcial hiperbólica

SOLUCIÓN NUMÉRICA DE LAS ECUACIÓNES DE AGUAS SOMERAS

• A PESAR DE QUE EXISTEN MUCHOS MÉTODOS PARA RESOLVER ECUACIONES DE DIFERENCIALES PARCIALES, DADAS UNAS CONDICIONES INICIALES Y UNA CODICIONES DE CONTORNO, TALES COMO VOLÚMENES FINITIOS, ELEMENTOS FINITOS, MÉTODOS ESPECTRALES, ETC. En esta presentación se analizará un método explicito de diferencias finitas, llamado Lax Wendroff

Método de Lax-Wendroff

Es un metodo de solución de ecuacionesdiferenciasles parciales hiperbólicas, denominado así en honor a Peter Lax and Burton Wendroff, que lo propusieron en el artículo ”Difference Schemes for Hyperbolic Equations with High Order of Accuracy”, publicado en agosto de 1964. Es un método explícito de orden O(Dx2) y O(Dt2)

Método de Lax-WendroffCaso Unidimensional: El método supone que la ecuación tiene la forma

Paso 1: Calcula los valores de ƒ(x, t) en el paso de tiempo intermedio , tn + 1/2 y en los puntos medios de la grilla, xi + 1/2.

Paso 2: Los valroes de f(x,t), se calculan en tn + 1 usando los valores calculados en tn and tn + 1/2.

Método Lax Wendroff

• CASO TRIDIMENSIONAL APLICADO A LAS ECUACIONES DE AGUAS SOMERAS

Al principio de un paso de tiempo el valores de la variables representan al solución en el centro de la grilla de diferencias finitas

Método de Lax WendroffPaso 1: Se calculan el valor de cada componente en tn+1/2 y xn+1/2, y n+1/2

Método de Lax WendroffPaso 2: Se calcula el valor de la solución en el tiempo n+1, a partir de los valores calculados anteriormente

Tomado de: NUMERICAL SOLUTION OF THE SHALLOW WATER EQUATIONS. John Burkardt: http://people.sc.fsu.edu/jburkardt/presentations/shallow water 2010.pdf

Método de Lax Wendroff

Método de Lax Wendroff

Método de Lax Wendroff

Método de Lax Wendroff

Método de Lax Wendroff

Método de Lax Wendroff

Método de Lax Wendroff

Método de Lax Wendroff

Método de Lax Wendroff

Método de Lax Wendroff

Método de Lax Wendroff

• En forma escalar, se tiene, denominando

HaciendoH=hU=uhV=vhTodas las variables tienen un com-ponente en x y un componente en y,Correspondiente a las variaciones en Esas direcciones de F(U) y G(U)

Método de Lax Wendroff

𝐻𝑥𝑖+1 2,𝑗Τ𝑛+1 2Τ = 𝐻𝑖+1,𝑗𝑛 +𝐻𝑖,𝑗𝑛2 − ∆𝑡2∆𝑥൫𝑈𝑖+1,𝑗𝑛 −𝑈𝑖,𝑗𝑛 ൯

𝐻𝑦𝑖,𝑗+1 2Τ𝑛+1 2Τ = 𝐻𝑖,𝑗+1𝑛 +𝐻𝑖,𝑗𝑛2 − ∆𝑡2∆𝑦൫𝑉𝑖,𝑗+1𝑛 −𝑉𝑖,𝑗𝑛൯

Método de Lax Wendroff

𝑈𝑥𝑖+1 2,𝑗Τ𝑛+1 2Τ = 𝑈𝑖+1,𝑗𝑛 +𝑈𝑖,𝑗𝑛2 − ∆𝑡2∆𝑥൭൫𝑈𝑖+1,𝑗𝑛 ൯2

𝐻𝑖+1,𝑗𝑛 +𝑔2൫𝐻𝑖+1,𝑗𝑛 ൯2൩− ൫𝑈𝑖,𝑗𝑛 ൯2𝐻𝑖,𝑗𝑛 +𝑔2൫𝐻𝑖,𝑗𝑛 ൯2൩൱

𝑈𝑦𝑖,𝑗+1 2Τ𝑛+1 2Τ = 𝑈𝑖,𝑗+1𝑛 +𝑈𝑖,𝑗𝑛2 − ∆𝑡2∆𝑦ቆ𝑈𝑖,𝑗+1,𝑛 𝑉𝑖.𝑗+1𝑛𝐻𝑖,𝑗+1𝑛 −𝑈𝑖,𝑗𝑛 𝑉𝑖,𝑗𝑛𝐻𝑖,𝑗𝑛 ቇ

Método de Lax Wendroff

𝑉𝑦𝑖,𝑗+1 2Τ𝑛+1 2Τ = 𝑉𝑖,𝑗+1𝑛 +𝑉𝑖,𝑗𝑛2 − ∆𝑡2∆𝑦൭൫𝑉𝑖,𝑗+1𝑛 ൯2

𝐻𝑖,𝑗+1𝑛 +𝑔2൫𝐻𝑖,𝑗+1𝑛 ൯2൩− ൫𝑉𝑖,𝑗𝑛൯2𝐻𝑖,𝑗𝑛 +𝑔2൫𝐻𝑖,𝑗𝑛 ൯2൩൱

𝑉𝑥𝑖+1 2,𝑗Τ𝑛+1 2Τ = 𝑉𝑖+1,𝑗𝑛 +𝑉𝑖,𝑗𝑛2 − ∆𝑡2∆𝑥ቆ𝑈𝑖+1,𝑗𝑛 𝑉𝑖+1,𝑗𝑛𝐻𝑖+1,𝑗𝑛 −𝑈𝑖,𝑗𝑛 𝑉𝑖,𝑗𝑛𝐻𝑖,𝑗𝑛 ቇ

Método de Lax Wendroff

Método de Lax Wendroff

𝐻𝑖,𝑗𝑛+1 = 𝐻𝑖,𝑗𝑛 − ∆𝑡∆𝑥ቀ𝑈𝑥𝑖+1 2,𝑗Τ𝑛+1 2Τ −𝑈𝑥𝑖−1 2,𝑗Τ𝑛+1 2Τቁ− ∆𝑡∆𝑦ቀ𝑉𝑦𝑖+1 2,𝑗Τ𝑛+1 2Τ −𝑉𝑦𝑖−1 2,𝑗Τ𝑛+1 2Τ

ቁ

Método de Lax Wendroff

𝑈𝑖,𝑗𝑛+1 = 𝑈𝑖,𝑗𝑛 − ∆𝑡∆𝑥൮൦ቀ𝑈𝑖+1/2,𝑗𝑛+1/2ቁ2

𝐻𝑖+1/2,𝑗𝑛+1/2 +𝑔2ቀ𝐻𝑖+1/2,𝑗𝑛+1/2ቁ2൪− ൦

ቀ𝑈𝑖−1/2,𝑗𝑛+1/2ቁ2

𝐻𝑖−1/2,𝑗𝑛 +𝑔2൫𝐻𝑖−1/2,𝑗𝑛 ൯2൪൲

− ∆𝑡∆𝑦ቌ𝑈𝑖,𝑗+1/2𝑛+1/2 𝑉𝑖,𝑗+1/2𝑛+1/2𝐻𝑖,𝑗+1/2𝑛+1/2 −𝑈𝑖,𝑗−1/2𝑛+1/2 𝑉𝑖,𝑗−1/2𝑛+1/2

𝐻𝑖,𝑗−1/2𝑛+1/2 ቍ

Método de Lax Wendroff

𝑉𝑖,𝑗𝑛+1 = 𝑉𝑖,𝑗𝑛 − ∆𝑡∆𝑥ቌ𝑈𝑖+1/2,𝑗𝑛+1/2 𝑉𝑖+1/2,𝑗𝑛+1/2𝐻𝑖+1/2,𝑗𝑛+1/2 −𝑈𝑖−1/2,𝑗𝑛+1/2 𝑉𝑖−1/2,𝑗𝑛+1/2

𝐻𝑖−1/2,𝑗𝑛+1/2 ቍ

− ∆𝑡∆𝑦൮൦ቀ𝑈𝑖,𝑗+1/2𝑛+1/2ቁ2

𝐻𝑖,𝑗+1/2𝑛+1/2 +𝑔2ቀ𝐻𝑖,𝑗+1/2𝑛+1/2ቁ2൪−൦

ቀ𝑈𝑖,𝑗−1/2𝑛+1/2ቁ2

𝐻𝑖,𝑗−1/2𝑛 +𝑔2൫𝐻𝑖,𝑗−1/2𝑛 ൯2൪൲

Método de Lax Wendroff

CONDICIONES DE FRONTERALa frontera y condiciones de frontera son un tema

delicado, si se desea modelar situaciones del mundo real.

Se podrían especificar condiciones de frontera tipo:Dirichlet: Especificar valores de la solución ;Neumann: Especificar derivadas de la solución;Robin: Especificar una relación entre valores y

derivadas de la solución;En condiciones como el océano: Quién espera

controlar la frontera? Cómo establecer el tipo de condición de frontera a utilizar?

CONDICIONES DE FRONTERA

En muchas situaciones se desea investigar los comportamientos naturales que podrian surgir en condiciones no forzadas. En estos casos se suelen utilizar otro tipo de conticiones de frontera, tales como:

• Reflectivas: la frontera se comporta como un espejo;

• Libres: la frontera no ejerce ningún esfuerzo;• Periodic: las fronteras opuestas se juntan;

IMPLEMENTACION CONDICIONES DE FRONTERA REFLEXIVAS

ESTABILIDAD DEL METODOCASO UNIDIMENSIONAL

CASO BIDIMENSIONAL