modelacion cinematica directa de robots

ROBOTICA

1. Descripción de un Robot Industrial

Articulaciones y links de un robot industrial - PUMA.

2. Sistemas de Referencia

Un Sistema Articular puede ser representado matemáticamente a través de n cuerpos móviles Ci (i = 1, 2,..., n) y de un cuerpo C0 fijo, ínter ligados por n articulaciones, formando una estructura de cadena, siendo que estas articulaciones pueden ser rotacionales o prismáticas.

Movimientos de Roll, Pitch y Jaw

2.2 Transformación de Coordenadas

Transformación Directa de Coordenadas

Cinemática directa e inversa, y naturaleza no biunívoca de su inter-relación

2.3 Robot Elemental (1 GL) – péndulo simples

Modelo Matemático asociado

θsin L. X =Y L. ( 1 -cos )θ=

La figura presenta un robot elemental (péndulo simple) con 1 GL (grado de libertad) y de longitud L (perfectamente rígido), donde las coordenadas X y Y del elemento terminal son expresadas con relación al sistema de coordenadas presentado.

A partir de un dado valor θ queda determinado las coordenadas XT = (X, Y)T del elemento terminal del robot con relación a su sistema de coordenadas. Esta operación es llamada transformación directa de coordenadas.

2.4 Robot con 2 GDL – Doble péndulo

La figura presenta un robot con dos grados de libertad, constituido de dos péndulos con longitudes L1, L2, donde las coordenadas absolutas X y Y de la extremidad de L2 son expresadas en relación al sistema de coordenadas presentado.

Modelo Matemático asociado

22.11. sin Lsin L X θθ +=

( ) ( )2211 cos-1 .L cos-1 .L Y θθ +=

3. Modelo Geométrico

) f( X θ=

θ = (θ1, θ2,..., θn): Vector de posiciones angulares de las articulaciones y X = (X,Y,Z,ψ,θ,φ): Vector posición, donde los tres primeros términos denotan la posición cartesiana y los tres últimos la orientación del elemento terminal

n 0,1 1,2 n-1,nT = A A ... A⋅ ⋅ ⋅

nT = [ n s a p ]donde p = [ px , py , pz ]: vector posición y n = [ nx ny nz ], s = [ sx sy sz ] y a = [ ax ay az ]: vector orto normal que describe la orientación.

3. Modelo Geométrico

• Calcular una matriz de transformación homogenea que relaciona la i-ésima referencia con la referência i-1. Para esto hec uso de los parámetros de todas las uniones o junturas;

• Teniendo en cuenta todas las matrices Ti-1i , se

obtiene T0n a través de:

• Como T0n depende de las variables de las uniones o junturas,

el problema cinemático directo se resuelve con la obtención de la matriz de transformación homogénea que determina la posición y orientación de la punta del robot en relación a la base.

n1n

32

21

10

n0 T ... T.T.TT −=

4. Cinemática Directa del Robot

Representación de Denavit-Hartemberg

Suponga dos sistemas de coordenadas coincidentes, X0Y0Z0 y X1Y1Z1.

Una transformación homogénea

que relaciona esos sistemas es la matriz identidad

=≡

1000010000100001

1T10

4. Cinemática Directa del Robot

Si se realiza una rotación de θ° alrededor del eje Z0, se requiere de una matriz de transformación

Una nueva matriz esta ahora dada por

θθθθ

=θ

1000010000cossen00sen-cos

)z,ot(R 0

θθθθ

=θ=

1000010000cossen00sen-cos

)z,ot(R . IT 010

4. Cinemática Directa del Robot

Representación de Denavit-Hartemberg

Si se translada ahora el sistema X1Y1Z1 por d unidades a lo largo de Z1. Una matriz nueva se obtiene como,

( )

θθθθ

=θ=

1000d10000cossen00sen-cos

d0,0,Trans ).z,ot(RT 010

4. Cinemática Directa del Robot

Representación de Denavit-Hartemberg

Si se translada el sistema X1 Y1 Z1 de a unidades a lo largo del eje X1. una nueva matriz esta dada por

( ) ( )

θθθθ

=θ=

1000d10000cossena0sen-cos

00,a,Trans . d0,0,Trans ).z,ot(RT 010

4. Cinemática Directa del Robot

Representación de Denavit-Hartemberg

Finalmente, si el sistema X1 Y1 Z1 sufre una rotación de α°, en torno al eje X1. Esta última transformación genera una matriz como

( ) ( )

ααθθαθαθθθαθαθ

=αθ=

1000dcossen0

a.sen.cossen-cos.cossena.cos.sensen.sencos-cos

)x,ot(R.00,a,.Transd0,0,Trans ).z,ot(RT 1010

4. Cinemática Directa del Robot

Representación de Denavit-Hartemberg

Establece que una transformación homogénea Ai entre cualquier dos sistemas de coordenadas solidários y consecutivos, a través de una cadena cinemática de un manipulador, compuesto de ementos rígidos, separados por una unión, puede ser expresado por cuatro matrices de transformación homogéneas básicas.

Una rotación de θ en torno del eje zi

Un desplazamiento d a lo largo del eje zi

Una longuitud ao a lo largo del eje xi

Una rotación α en torno del eje xi.

4. Cinemática Directa del Robot

Representación de Denavit-Hartemberg

La descripción de la matriz de transformación es normalmente realizada utilizando la notación de Denavit-Hartenberg, luego de la obtención de los cuatro parámetros θi, ai, di y αi

4.1 Descripción Cinemática del Robot

iO

i iz x

iO ,i

i xP

( ),i

i i yx z∠

– Punto de origen del sistema de coordenadas i

– Ponto de intersección entre el eje zi y el eje xi

– Distancia del punto Oi al punto Pi medido a lo largo del eje xi

–Ángulo medido de la dirección de xi para la dirección de zi en torno del eje yi

4.1 Descripción Cinemática del Robot

Longitud Del eje (ai) Distancia medida a lo largo de la normal común entre los ejes de las articulaciones. Traduce el concepto de separación lineal entre los ejes de las articulaciones. Formalmente: 1 ,

ii i i i x

a z x O−=

Distancia entre links o desplazamiento de articulaciones (di): El desplazamiento de articulaciones traduce, en general, la distancia entre links medida a lo largo del eje de la junta anterior. Definición formal ( )

11 1,

ii i i i z

d O z x−

− −=

4.1 Descripción Cinemática del Robot

Ángulo de articulación (θi): Ángulo definido normalmente entre el eje de un link y el eje del link siguiente. Definición formal: ( )

11,

ii i i z

x xθ−

−= ∠

Ángulo de torsión del link (αi): Ángulo de torsión que el link impone desde el eje de la articulación anterior hasta el eje de la articulación siguiente. Definición formal: ( )1,

ii i i x

z zα −= ∠

4.1 Descripción Cinemática del Robot

4.1 Descripción Cinemática del Robot

Articulación Rotacional

Articulación Prismática

Ejemplo 1 de link – juntas rotacionales paralelas

ln ≠ 0 dn = 0 θn = variable αn = 0

4.1 Descripción Cinemática del Robot

4.1 Descripción Cinemática del Robot Ejemplo 2 de link: juntas rotacionales paralelas con desalineamiento

ln ≠ 0 dn ≠ 0 θn = variable αn = 0

4.1 Descripción Cinemática del Robot Ejemplo 3 de link: juntas rotacionales ortogonales

ln ≠ 0 dn = 0 θn = variable αn ≠ 0 (–90º)

4.1 Descripción Cinemática del Robot Ejemplo 4 de link: juntas rotacionales ortogonales y con desalineamiento

ln ≠ 0 dn ≠ 0 θn = variable αn ≠ 0 (–90º)

4.1 Descripción Cinemática del Robot Ejemplo 5 de link: juntas rotacionales ortogonales (2º tipo)

ln = 0 dn ≠ 0 θn = variable αn ≠ 0 (+90º)

4.1 Descripción Cinemática del Robot Ejemplo 6 de link: junta prismática y rotacional, ortogonales

ln = 0 dn ≠ 0 (variable) θn ≠ 0 (+90º) αn ≠ 0 (+90º)

Ejemplo 7 de link: junta prismática y rotacional, ortogonales (2º tipo)

4.1 Descripción Cinemática del Robot

ln ≠ 0 dn = variable θn= 0 αn ≠ 0 (+90º)

4.1 Descripción Cinemática del Robot Ejemplo 8 de link. Geometría más elaborada con juntas prismáticas ortogonales

Parámetros aparentes: ln ≠ 0 dn = variable θn = 0 αn ≠ 0 (+90º) En trazado mas grueso se indica los parámetros reales de hecho no contemplados en los 4 parámetros cinemáticos aparentes indicados arriba

4.1 Descripción Cinemática del Robot Ejemplo 9 de link. Geometría mas elaborada con juntas rotacionales ortogonales

Parámetros aparentes: ln ≠ 0 dn ≠ 0 θn= 90º + variable αn ≠ 0 (+90º) En trazado mas grueso se indica los parámetros reales de hecho no contemplados en los 4 parámetros cinemáticos aparentes indicados arriba.

4.2 Obtención de la Matriz de Transformación Homogénea i-1Ai

i-1i z, z,d x,a x,A R T T R θ α=

−

−

=

10000cossin00sincos00001

100001000010

001

1000010000cossin00sincos

1000100

00100001

A1

i1-i

ii

iiii

ii ai

d ααααθθ

θθ

−

−

=

1000cossin0

sincossincoscossincossinsinsincoscos

Ai1-i

iii

iiiiiii

iiiiiii

daa

ααθθαθαθθθαθαθ

4.3 Matriz Transformación T

Configuración del elemento terminal de un robot

4.4 Ángulos de Euler y RPY

( ) ( ) ( ) ( )φ=φ z,ROT . θy,ROT . ψz,ROTθ,ψ,EULER

( )

φφ−φ+φ−φ−φφ−−φ−φ

=φθCθSSθCS

ψSθSψCCψCθSSψSCψSθCSθCψSψCSψCθSψCψSSψCθCC

θ,ψ,EULER

=

y

xATANa-a

2ψ

ψψ=θ

Z

yx2ATANa

aC-as

ψ+ψ

ψ−ψ=ψ

yx

yx

nSnCSS

2ATANaC-

Ángulos de Euler

Función ATAN2 4.4 Ángulos de Euler y RPY

−+≤≤−−−−≤≤−+−≤≤++≤≤

=

=θ

yx,com ,0 θ90 yx,com ,90θ180yx,com ,180 θ90 yx,com ,90 θ0

yx

4.4 Ángulos de Euler y RPY Ángulos de RPY

( ) ( ) ( ) ( )ψφ=ψφ z,ROT . θy,ROT . z,ROTθ,,PYR

( )

ψθ−ψφψθφφ+ψφ−φψφ+ψθφφ−φ−φ

=ψφCCθSψCθS

SC-CSSψCCθSSSCθSSSCSCCψSθSψSCCθC

θ,,PYR

4.4 Ángulos de Euler y RPY Ángulos de RPY

=φ

x

y2ATANnn

φ+φ−

=θyx

Z

nSnCn2ATAN

φ+φ−

φ−φ=ψ

yx

yx

sCsSC

2ATANaaS

Donde:

4.4 Ángulos de Euler y RPY Cuaternions

121

1 +++= zyx asnq

121

2 +−−= zyx asnq

121

3 +−−= zxy ansq

121

4 +−−= yxz snaq

con señal de q2 = señal (sz – ay)

con señal de q3 = señal (ax – nz)

con señal de q4 = señal (ny – sx)

124

23

22

21 =+++ qqqq

orientación normalizada

Robot Cartesiano (PPP)

Robot Cilíndrico (RPP)

Robot Esférico o Polar (RRP)

Robot SCARA (RRP)

Robot antropomórfico o angular (RRR)