modelacion cinematica directa de robots

ROBOTICA

1. Descripción de un Robot Industrial

Articulaciones y links de un robot industrial - PUMA.

2. Sistemas de Referencia

Un Sistema Articular puede ser representado matemáticamente a través de n cuerpos móviles Ci (i = 1, 2,..., n) y de un cuerpo C0 fijo, ínter ligados por n articulaciones, formando una estructura de cadena, siendo que estas articulaciones pueden ser rotacionales o prismáticas.

Movimientos de Roll, Pitch y Jaw

2.2 Transformación de Coordenadas

Transformación Directa de Coordenadas

Cinemática directa e inversa, y naturaleza no biunívoca de su inter-relación

2.3 Robot Elemental (1 GL) – péndulo simples

Modelo Matemático asociado

θsin L. X =Y L. ( 1 -cos )θ=

La figura presenta un robot elemental (péndulo simple) con 1 GL (grado de libertad) y de longitud L (perfectamente rígido), donde las coordenadas X y Y del elemento terminal son expresadas con relación al sistema de coordenadas presentado.

A partir de un dado valor θ queda determinado las coordenadas XT = (X, Y)T del elemento terminal del robot con relación a su sistema de coordenadas. Esta operación es llamada transformación directa de coordenadas.

2.4 Robot con 2 GDL – Doble péndulo

La figura presenta un robot con dos grados de libertad, constituido de dos péndulos con longitudes L1, L2, donde las coordenadas absolutas X y Y de la extremidad de L2 son expresadas en relación al sistema de coordenadas presentado.

Modelo Matemático asociado

22.11. sin Lsin L X θθ +=

( ) ( )2211 cos-1 .L cos-1 .L Y θθ +=

3. Modelo Geométrico

) f( X θ=

θ = (θ1, θ2,..., θn): Vector de posiciones angulares de las articulaciones y X = (X,Y,Z,ψ,θ,φ): Vector posición, donde los tres primeros términos denotan la posición cartesiana y los tres últimos la orientación del elemento terminal

n 0,1 1,2 n-1,nT = A A ... A⋅ ⋅ ⋅

nT = [ n s a p ]donde p = [ px , py , pz ]: vector posición y n = [ nx ny nz ], s = [ sx sy sz ] y a = [ ax ay az ]: vector orto normal que describe la orientación.

3. Modelo Geométrico

• Calcular una matriz de transformación homogenea que relaciona la i-ésima referencia con la referência i-1. Para esto hec uso de los parámetros de todas las uniones o junturas;

• Teniendo en cuenta todas las matrices Ti-1i , se

obtiene T0n a través de:

• Como T0n depende de las variables de las uniones o junturas,

el problema cinemático directo se resuelve con la obtención de la matriz de transformación homogénea que determina la posición y orientación de la punta del robot en relación a la base.

n1n

32

21

10

n0 T ... T.T.TT −=

4. Cinemática Directa del Robot

Representación de Denavit-Hartemberg

Suponga dos sistemas de coordenadas coincidentes, X0Y0Z0 y X1Y1Z1.

Una transformación homogénea

que relaciona esos sistemas es la matriz identidad

=≡

1000010000100001

1T10


Si se realiza una rotación de θ° alrededor del eje Z0, se requiere de una matriz de transformación

Una nueva matriz esta ahora dada por

θθθθ

=θ

1000010000cossen00sen-cos

)z,ot(R 0

θθθθ

=θ=

1000010000cossen00sen-cos

)z,ot(R . IT 010



Si se translada ahora el sistema X1Y1Z1 por d unidades a lo largo de Z1. Una matriz nueva se obtiene como,

( )

θθθθ

=θ=

1000d10000cossen00sen-cos

d0,0,Trans ).z,ot(RT 010



Si se translada el sistema X1 Y1 Z1 de a unidades a lo largo del eje X1. una nueva matriz esta dada por

( ) ( )

θθθθ

=θ=

1000d10000cossena0sen-cos

00,a,Trans . d0,0,Trans ).z,ot(RT 010



Finalmente, si el sistema X1 Y1 Z1 sufre una rotación de α°, en torno al eje X1. Esta última transformación genera una matriz como

( ) ( )

ααθθαθαθθθαθαθ

=αθ=

1000dcossen0

a.sen.cossen-cos.cossena.cos.sensen.sencos-cos

)x,ot(R.00,a,.Transd0,0,Trans ).z,ot(RT 1010



Establece que una transformación homogénea Ai entre cualquier dos sistemas de coordenadas solidários y consecutivos, a través de una cadena cinemática de un manipulador, compuesto de ementos rígidos, separados por una unión, puede ser expresado por cuatro matrices de transformación homogéneas básicas.

Una rotación de θ en torno del eje zi

Un desplazamiento d a lo largo del eje zi

Una longuitud ao a lo largo del eje xi

Una rotación α en torno del eje xi.



La descripción de la matriz de transformación es normalmente realizada utilizando la notación de Denavit-Hartenberg, luego de la obtención de los cuatro parámetros θi, ai, di y αi

4.1 Descripción Cinemática del Robot

iO

i iz x

iO ,i

i xP

( ),i

i i yx z∠

– Punto de origen del sistema de coordenadas i

– Ponto de intersección entre el eje zi y el eje xi

– Distancia del punto Oi al punto Pi medido a lo largo del eje xi

–Ángulo medido de la dirección de xi para la dirección de zi en torno del eje yi


Longitud Del eje (ai) Distancia medida a lo largo de la normal común entre los ejes de las articulaciones. Traduce el concepto de separación lineal entre los ejes de las articulaciones. Formalmente: 1 ,

ii i i i x

a z x O−=

Distancia entre links o desplazamiento de articulaciones (di): El desplazamiento de articulaciones traduce, en general, la distancia entre links medida a lo largo del eje de la junta anterior. Definición formal ( )

11 1,

ii i i i z

d O z x−

− −=


Ángulo de articulación (θi): Ángulo definido normalmente entre el eje de un link y el eje del link siguiente. Definición formal: ( )

11,

ii i i z

x xθ−

−= ∠

Ángulo de torsión del link (αi): Ángulo de torsión que el link impone desde el eje de la articulación anterior hasta el eje de la articulación siguiente. Definición formal: ( )1,

ii i i x

z zα −= ∠



Articulación Rotacional

Articulación Prismática

Ejemplo 1 de link – juntas rotacionales paralelas

ln ≠ 0 dn = 0 θn = variable αn = 0


4.1 Descripción Cinemática del Robot Ejemplo 2 de link: juntas rotacionales paralelas con desalineamiento

ln ≠ 0 dn ≠ 0 θn = variable αn = 0

4.1 Descripción Cinemática del Robot Ejemplo 3 de link: juntas rotacionales ortogonales

ln ≠ 0 dn = 0 θn = variable αn ≠ 0 (–90º)

4.1 Descripción Cinemática del Robot Ejemplo 4 de link: juntas rotacionales ortogonales y con desalineamiento

ln ≠ 0 dn ≠ 0 θn = variable αn ≠ 0 (–90º)

4.1 Descripción Cinemática del Robot Ejemplo 5 de link: juntas rotacionales ortogonales (2º tipo)

ln = 0 dn ≠ 0 θn = variable αn ≠ 0 (+90º)

4.1 Descripción Cinemática del Robot Ejemplo 6 de link: junta prismática y rotacional, ortogonales

ln = 0 dn ≠ 0 (variable) θn ≠ 0 (+90º) αn ≠ 0 (+90º)

Ejemplo 7 de link: junta prismática y rotacional, ortogonales (2º tipo)


ln ≠ 0 dn = variable θn= 0 αn ≠ 0 (+90º)

4.1 Descripción Cinemática del Robot Ejemplo 8 de link. Geometría más elaborada con juntas prismáticas ortogonales

Parámetros aparentes: ln ≠ 0 dn = variable θn = 0 αn ≠ 0 (+90º) En trazado mas grueso se indica los parámetros reales de hecho no contemplados en los 4 parámetros cinemáticos aparentes indicados arriba

4.1 Descripción Cinemática del Robot Ejemplo 9 de link. Geometría mas elaborada con juntas rotacionales ortogonales

Parámetros aparentes: ln ≠ 0 dn ≠ 0 θn= 90º + variable αn ≠ 0 (+90º) En trazado mas grueso se indica los parámetros reales de hecho no contemplados en los 4 parámetros cinemáticos aparentes indicados arriba.

4.2 Obtención de la Matriz de Transformación Homogénea i-1Ai

i-1i z, z,d x,a x,A R T T R θ α=

−

−

=

10000cossin00sincos00001

100001000010

001

1000010000cossin00sincos

1000100

00100001

A1

i1-i

ii

iiii

ii ai

d ααααθθ

θθ

−

−

=

1000cossin0

sincossincoscossincossinsinsincoscos

Ai1-i

iii

iiiiiii

iiiiiii

daa

ααθθαθαθθθαθαθ

4.3 Matriz Transformación T

Configuración del elemento terminal de un robot

4.4 Ángulos de Euler y RPY

( ) ( ) ( ) ( )φ=φ z,ROT . θy,ROT . ψz,ROTθ,ψ,EULER

( )

φφ−φ+φ−φ−φφ−−φ−φ

=φθCθSSθCS

ψSθSψCCψCθSSψSCψSθCSθCψSψCSψCθSψCψSSψCθCC

θ,ψ,EULER

=

y

xATANa-a

2ψ

ψψ=θ

Z

yx2ATANa

aC-as

ψ+ψ

ψ−ψ=ψ

yx

yx

nSnCSS

2ATANaC-

Ángulos de Euler

Función ATAN2 4.4 Ángulos de Euler y RPY

−+≤≤−−−−≤≤−+−≤≤++≤≤

=

=θ

yx,com ,0 θ90 yx,com ,90θ180yx,com ,180 θ90 yx,com ,90 θ0

yx

4.4 Ángulos de Euler y RPY Ángulos de RPY

( ) ( ) ( ) ( )ψφ=ψφ z,ROT . θy,ROT . z,ROTθ,,PYR

( )

ψθ−ψφψθφφ+ψφ−φψφ+ψθφφ−φ−φ

=ψφCCθSψCθS

SC-CSSψCCθSSSCθSSSCSCCψSθSψSCCθC

θ,,PYR

4.4 Ángulos de Euler y RPY Ángulos de RPY

=φ

x

y2ATANnn

φ+φ−

=θyx

Z

nSnCn2ATAN

φ+φ−

φ−φ=ψ

yx

yx

sCsSC

2ATANaaS

Donde:

4.4 Ángulos de Euler y RPY Cuaternions

121

1 +++= zyx asnq

121

2 +−−= zyx asnq

121

3 +−−= zxy ansq

121

4 +−−= yxz snaq

con señal de q2 = señal (sz – ay)

con señal de q3 = señal (ax – nz)

con señal de q4 = señal (ny – sx)

124

23

22

21 =+++ qqqq

orientación normalizada

Robot Cartesiano (PPP)

Robot Cilíndrico (RPP)

Robot Esférico o Polar (RRP)

Robot SCARA (RRP)

Robot antropomórfico o angular (RRR)

modelacion cinematica directa de robots

Documents