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UNADM
LICENCIATURA EN MATEMTICAS
Geometra.
Unidad 4: Proporciones, semejanza, reas y volmenes.
Actividad 3. Propiedades y teoremas de polgonos y circunferencias.
Alumno: Claudio Ramn Rodrguez Mondragn.
Matrcula: AL13503064
Para C=24:
Conclusin: El polgono regular con 15 lados se llama Pentadecgono.Para C= 36:
Conclusin: El polgono regular con 10 lados se llama Decgono.Para C= 40:
Conclusin: El polgono regular con 9 lados se llama Enegono o Nongono.Para C= 120:
Conclusin: El polgono regular con 3 lados se llama Tringulo Equiltero.
Para n= 5:
Para n= 8:
Para n= 15:
Hiptesis:1.- Sea el tringulo un tringulo equiltero inscrito.Tesis:1.- Matemticamente, por relacin de razones tenemos que la expresin:
La podemos expresar como:
Y de esto:
Y aplicando las propiedades de proporcin:
La relacin de la medida de la apotema y el radio, es la mitad. Que es lo que deseamos encontrar, para demostrar.En la figura, por trigonometra y por geometra encontramos:
La funcin trigonomtrica que podemos relacionar los dos conceptos, radio y apotema, es:
Y analizando:
Sustituyendo, sabiendo que:
Entonces:
El valor de los ngulos representativos en una circunferencia unitario tenemos:
Por lo que:
Acomodando:
QED.
Hiptesis:1.- El tringulo, es un tringulo equiltero e inscrito, y su permetro es 2.- El tringulo, es un tringulo equiltero y circunscrito, y su permetro es Tesis:1.-
Anlisis del permetro del tringulo :
Por ser tringulo equiltero:
Analizando todo para un segmento , puesto que E, es punto medio del segmento
Sustituyendo en :
Anlisis del permetro del tringulo :
Por ser tringulo equiltero:
Se forman tringulos equilteros adyacentes, por la construccin, se forma el tringulo ACD:
Analizando el segmento :
Analizando el tringulo auxiliar :
Y con relacin al tringulo inscrito :
Entonces, tambin se cumple:
Y como:
Se sustituye:
Y como P2 es:
Por ser tringulo equiltero, entonces:
En conclusin:
Entonces la relacin:
Se cumple porque:
Entonces:
Por lgica:
QED.
Para calcular el valor del ngulo interior:
Entonces:Para n=7, un Heptgono:
Entonces:Para n=9, un Enegono:
Entonces:Para n=12, un Dodecgono:
Para un decgono, n=10, el ngulo central es:
La suma de todos lo ngulos centrales suman 360
La suma de todos los ngulos internos de un decgono:
Por definicin, un cuadrado posee 4 apotemas.Por trigonometra, en una circunferencia unitaria de radio uno, tenemos:
Como son 4 apotemas:
Por otro lado, calculemos la medida
Ahora:
Ahora:
Entonces, la suma de las 4 apotemas, es el semi permetro del mismo cuadrado.
Tomando la frmula de los apuntes de la Unidad, usaremos la siguiente frmula:
a) PARA EL HEXGONO:Para esta frmula:
Para n=3, se trata de un tringulo:
Ahora:
El lado para un tringulo es:
Entonces, para calcular el lado de un polgono de doble lado es:
Entonces se sustituye:
Realizando operaciones y reduciendo:
b) PARA EL OCTGONO:Para esta frmula:
Para n=4, se trata de un cuadrado:
Ahora:
El lado para un cuadrado es:
Entonces, para calcular el lado de un polgono de doble lado es:
Entonces se sustituye:
Realizando operaciones y reduciendo:
c) PARA EL DODECGONO:Para esta frmula:
Para n=6, se trata de un hexgono:
Ahora:
El lado para un hexgono es:
Entonces, para calcular el lado de un polgono de doble lado es:
Entonces se sustituye:
Realizando operaciones y reduciendo:
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