métodos numericos: tema 6 - transparencias
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7/25/2019 Mtodos Numericos: Tema 6 - Transparencias
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Mtodos NumricosGrado en Informtica
Tema 6: Anlisis Numrico Matricial II
Luis Alvarez Len
Univ. de Las Palmas de G.C.
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Contenido
1 Nociones bsicas sobre matrices y vectores
2 Mtodo de Jacobi para calcular autovalores de matrices simtricas
3 Mtodo de la potencia para calcular el autovalor mximo
4 Mtodos iterativos de resolucin de sistemas de ecuaciones
5 Mtodo de Newton-Raphson para sistemas no-lineales
6 Condicionamiento de una matriz
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Contenido
1 Nociones bsicas sobre matrices y vectores
2 Mtodo de Jacobi para calcular autovalores de matrices simtricas
3 Mtodo de la potencia para calcular el autovalor mximo
4 Mtodos iterativos de resolucin de sistemas de ecuaciones
5 Mtodo de Newton-Raphson para sistemas no-lineales
6 Condicionamiento de una matriz
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Contenido
1 Nociones bsicas sobre matrices y vectores
distancia entre 2 puntos en el planoNorma de vectores
Norma de una matriz
Producto Escalar
Base ortonormal de vectoresautovalores de una matriz
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Anlisis Numrico Matricial IIDistancia entre 2 puntos en el plano
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Anlisis Numrico Matricial IIDistancia entre 2 puntos en el plano. La distancia Eucldea
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Anlisis Numrico Matricial IIDistancia entre 2 puntos en el plano. La distancia L1
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Anlisis Numrico Matricial IIDistancia entre 2 puntos en el plano. La distancia L
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Anlisis Numrico Matricial IIDistancia entre 2 puntos en el plano
Consideremos los puntos(1, 2)y(3, 7)
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Anlisis Numrico Matricial IIDistancia entre 2 puntos en el plano
Consideremos los puntos(1, 2)y(3, 7)
Distancia Eucldea = ?
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Anlisis Numrico Matricial IIDistancia entre 2 puntos en el plano
Consideremos los puntos(1, 2)y(3, 7)
Distancia Eucldea =
(3 1)2 + (7 2)2
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Anlisis Numrico Matricial IIDistancia entre 2 puntos en el plano
Consideremos los puntos(1, 2)y(3, 7)
Distancia Eucldea =
(3 1)2 + (7 2)2
DistanciaL1 = ?
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Anlisis Numrico Matricial IIDistancia entre 2 puntos en el plano
Consideremos los puntos(1, 2)y(3, 7)
Distancia Eucldea =
(3 1)2 + (7 2)2
DistanciaL1 =
|3
1
|+
|7
2
|
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Anlisis Numrico Matricial IIDistancia entre 2 puntos en el plano
Consideremos los puntos(1, 2)y(3, 7)
Distancia Eucldea =
(3 1)2 + (7 2)2
DistanciaL1 =
|3
1
|+
|7
2
|DistanciaL = ?
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A li i N i M i i l II
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Anlisis Numrico Matricial IIDistancia entre 2 puntos en el plano
Consideremos los puntos(1, 2)y(3, 7)
Distancia Eucldea =
(3 1)2 + (7 2)2
DistanciaL1 =
|3
1
|+
|7
2
|DistanciaL = | 7 2 |
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A li i N i M t i i l II
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Anlisis Numrico Matricial IIDistancia entre 2 puntos en el plano
Consideremos los puntos(1, 2)y(3, 7)
Distancia Eucldea =
(3 1)2 + (7 2)2
DistanciaL1 =
|3
1
|+
|7
2
|DistanciaL = | 7 2 |
Orden entre las distancias
? ? ?
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Anlisis Numrico Matricial IIDistancia entre 2 puntos en el plano
Consideremos los puntos(1, 2)y(3, 7)
Distancia Eucldea =
(3 1)2 + (7 2)2
DistanciaL1 =
|3
1
|+
|7
2
|DistanciaL = | 7 2 |
Orden entre las distancias
distanciaL distancia Eucldea distanciaL1
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1 Nociones bsicas sobre matrices y vectores
distancia entre 2 puntos en el planoNorma de vectores
Norma de una matriz
Producto Escalar
Base ortonormal de vectores
autovalores de una matriz
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Anlisis Numrico Matricial IIDistancia y normaLp
distanciaLp entre 2 puntos(x1, x2)y(x1, x
2)
distanciaLp =
| x1 x1|p + | x2 x2|p
1/p
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Anlisis Numrico Matricial IIDistancia y normaLp
distanciaLp entre 2 puntos(x1, x2)y(x1, x
2)
distanciaLp =
| x1 x1|p + | x2 x2|p
1/p
NormaLp de un vectorx= (x1, x2, .....xN)y sus propiedades
xp=
Ni=1 |xi|p
1/p
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Anlisis Numrico Matricial IIDistancia y normaLp
distanciaLp entre 2 puntos(x1, x2)y(x1, x
2)
distanciaLp =
| x1 x1|p + | x2 x2|p
1/p
NormaLp de un vectorx= (x1, x2, .....xN)y sus propiedades
xp=
Ni=1 |xi|p
1/pPropiedades
1 xp=0 si y slo six=0
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Anlisis Numrico Matricial IIDistancia y normaLp
distanciaLp entre 2 puntos(x1, x2)y(x1, x
2)
distanciaLp =
| x1 x1|p + | x2 x2|p
1/p
NormaLp de un vectorx= (x1, x2, .....xN)y sus propiedades
xp=
Ni=1 |xi|p
1/pPropiedades
1 xp=0 si y slo six=02 xp=| | xp para todo yx
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Anlisis Numrico Matricial IIDistancia y normaLp
distanciaLp entre 2 puntos(x1, x2)y(x1, x
2)
distanciaLp =
| x1 x1|p + | x2 x2|p
1/p
NormaLp de un vectorx= (x1, x2, .....xN)y sus propiedades
xp=
Ni=1 |xi|p
1/pPropiedades
1 xp=0 si y slo six=02 xp=| | xp para todo yx3
x+y
p
x
p+
y
p para todox, y
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Anlisis Numrico Matricial IILugar geomtrico de los puntos que verifican x21
Cual es el lugar geomtrico de los puntos que verifican
x2=
x21 +x22 1
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Anlisis Numrico Matricial IILugar geomtrico de los puntos que verifican x21
Cual es el lugar geomtrico de los puntos que verifican
x2=
x21 +x22 1
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Anlisis Numrico Matricial II
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Anlisis Numrico Matricial IILugar geomtrico de los puntos que verifican x11
Cual es el lugar geomtrico de los puntos que verifican
x1=| x1| + | x2| 1
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Anlisis Numrico Matricial IILugar geomtrico de los puntos que verifican x11
Cual es el lugar geomtrico de los puntos que verifican
x1=| x1| + | x2| 1
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Anlisis Numrico Matricial IILugar geomtrico de los puntos que verifican x1
Cual es el lugar geomtrico de los puntos que verifican
x1=max{| x1|, | x2|} 1
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Anlisis Numrico Matricial IILugar geomtrico de los puntos que verifican x1
Cual es el lugar geomtrico de los puntos que verifican
x1=max{| x1|, | x2|} 1
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Creacin de mtodos en la clase Array1D para calcular la norma Eucldea
template
class Array1D{. private:
. T* data_; // puntero al comienzo del array
. int n_; //dimensin de array
. ....
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Creacin de mtodos en la clase Array1D para calcular la norma Eucldea
template
class Array1D{. private:
. T* data_; // puntero al comienzo del array
. int n_; //dimensin de array
. ....
. public:
. template
. double Array1D::norma_euclidea(){
. ......
. }
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Creacin de mtodos en la clase Array1D para calcular la norma Eucldea
template
class Array1D{. private:
. T* data_; // puntero al comienzo del array
. int n_; //dimensin de array
. ....
. public:
. template
. double Array1D::norma_euclidea(){
. ?
. for(int k=0;k< ? ;k++){ norma+= ? }
. ?
. }
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Creacin de mtodos en la clase Array1D para calcular la norma Eucldea
template
class Array1D{. private:
. T* data_; // puntero al comienzo del array
. int n_; //dimensin de array
. ....
. public:
. template
. double Array1D::norma_euclidea(){
. double norma=0.;
. for(int k=0;k< ? ;k++){ norma+= ? }
. ?
. }
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Creacin de mtodos en la clase Array1D para calcular la norma Eucldea
template
class Array1D{. private:
. T* data_; // puntero al comienzo del array
. int n_; //dimensin de array
. ....
. public:
. template
. double Array1D::norma_euclidea(){
. double norma=0.;
. for(int k=0;k< n_;k++){ norma+= ? }
. ?
. }
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Creacin de mtodos en la clase Array1D para calcular la norma Eucldea
template
class Array1D{. private:
. T* data_; // puntero al comienzo del array
. int n_; //dimensin de array
. ....
. public:
. template
. double Array1D::norma_euclidea(){
. double norma=0.;
. for(int k=0;k< n_;k++){ norma+= data_[k]*data_[k]; }
. ?
. }
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Creacin de mtodos en la clase Array1D para calcular la norma Eucldea
template
class Array1D{. private:
. T* data_; // puntero al comienzo del array
. int n_; //dimensin de array
. ....
. public:
. template
. double Array1D::norma_euclidea(){
. double norma=0.;
. for(int k=0;k< n_;k++){ norma+= data_[k]*data_[k]; }
. return sqrt(norma);
. }
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Creacin de mtodos en la clase Array1D para calcular la norma Eucldea
template
class Array1D{. private:
. T* data_; // puntero al comienzo del array
. int n_; //dimensin de array
. ....
. public:
. template
. double Array1D::norma_euclidea(){
. double norma=0.;
. for(int k=0;k< n_;k++){ norma+= data_[k]*data_[k]; }
. return sqrt(norma);
. }
Si x es una instancia de la clase Array1D llamamos al mtodo
haciendo ?
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Creacin de mtodos en la clase Array1D para calcular la norma Eucldea
template
class Array1D{. private:
. T* data_; // puntero al comienzo del array
. int n_; //dimensin de array
. ....
. public:
. template
. double Array1D::norma_euclidea(){
. double norma=0.;
. for(int k=0;k< n_;k++){ norma+= data_[k]*data_[k]; }
. return sqrt(norma);
. }
Si x es una instancia de la clase Array1D llamamos al mtodo
haciendo double norma=x.norma_euclidea();
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Anlisis Numrico Matricial II
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Creacin de mtodos en la clase Array1D para calcular la norma 1
template
class Array1D{. private:
. T* data_; // puntero al comienzo del array
. int n_; //dimensin de array
. ....
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Anlisis Numrico Matricial II
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Creacin de mtodos en la clase Array1D para calcular la norma 1
template
class Array1D{. private:
. T* data_; // puntero al comienzo del array
. int n_; //dimensin de array
. ....
. public:
. template
. double Array1D::norma_1(){
. ......
. }
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Anlisis Numrico Matricial IIC i d d l l A 1D l l l 1
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Creacin de mtodos en la clase Array1D para calcular la norma 1
template
class Array1D{. private:
. T* data_; // puntero al comienzo del array
. int n_; //dimensin de array
. ....
. public:
. template
. double Array1D::norma_1(){
. ?
. for(int k=0;k< ? ;k++){ norma+= ? }
. ?
. }
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Anlisis Numrico Matricial IIC i d t d l l A 1D l l l 1
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Creacin de mtodos en la clase Array1D para calcular la norma 1
template
class Array1D{. private:
. T* data_; // puntero al comienzo del array
. int n_; //dimensin de array
. ....
. public:
. template
. double Array1D::norma_1(){
. double norma=0.;
. for(int k=0;k< ? ;k++){ norma+= ? }
. ?
. }
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Anlisis Numrico Matricial IICreacin de mtodos en la clase Arra 1D para calc lar la norma 1
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Creacin de mtodos en la clase Array1D para calcular la norma 1
template
class Array1D{. private:
. T* data_; // puntero al comienzo del array
. int n_; //dimensin de array
. ....
. public:
. template
. double Array1D::norma_1(){
. double norma=0.;
. for(int k=0;k< n_;k++){ norma+= ? }
. ?
. }
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Anlisis Numrico Matricial IICreacin de mtodos en la clase Array1D para calcular la norma 1
http://find/ -
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Creacin de mtodos en la clase Array1D para calcular la norma 1
template
class Array1D{. private:
. T* data_; // puntero al comienzo del array
. int n_; //dimensin de array
. ....
. public:
. template
. double Array1D::norma_1(){
. double norma=0.;
. for(int k=0;k< n_;k++){ norma+= mn_abs(data_[k]); }
. ?
. }
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Anlisis Numrico Matricial IICreacin de mtodos en la clase Array1D para calcular la norma 1
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Creacin de mtodos en la clase Array1D para calcular la norma 1
template
class Array1D{. private:
. T* data_; // puntero al comienzo del array
. int n_; //dimensin de array
. ....
. public:
. template
. double Array1D::norma_1(){
. double norma=0.;
. for(int k=0;k< n_;k++){ norma+= mn_abs(data_[k]); }
. return norma;
. }
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Anlisis Numrico Matricial IICreacin de mtodos en la clase Array1D para calcular la norma 1
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Creacin de mtodos en la clase Array1D para calcular la norma 1
template
class Array1D{. private:
. T* data_; // puntero al comienzo del array
. int n_; //dimensin de array
. ....
. public:
. template
. double Array1D::norma_1(){
. double norma=0.;
. for(int k=0;k< n_;k++){ norma+= mn_abs(data_[k]); }
. return norma;
. }
Si x es una instancia de la clase Array1D llamamos al mtodo
haciendo ?
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Anlisis Numrico Matricial IICreacin de mtodos en la clase Array1D para calcular la norma 1
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Creacin de mtodos en la clase Array1D para calcular la norma 1
template
class Array1D{. private:
. T* data_; // puntero al comienzo del array
. int n_; //dimensin de array
. ....
. public:
. template
. double Array1D::norma_1(){
. double norma=0.;
. for(int k=0;k< n_;k++){ norma+= mn_abs(data_[k]); }
. return norma;
. }
Si x es una instancia de la clase Array1D llamamos al mtodo
haciendo double norma=x.norma_1();
Luis Alvarez Len Mtodos Numricos Univ. de Las Palmas de G.C. 16 / 84
Anlisis Numrico Matricial IICreacin de mtodos en la clase Array1D para calcular la norma infinito
http://find/ -
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Creacin de mtodos en la clase Array1D para calcular la norma infinito
template
class Array1D{. private:
. T* data_; // puntero al comienzo del array
. int n_; //dimensin de array
. ....
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Anlisis Numrico Matricial IICreacin de mtodos en la clase Array1D para calcular la norma infinito
http://find/http://goback/ -
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ULPGCLogo
Creacin de mtodos en la clase Array1D para calcular la norma infinito
template
class Array1D{. private:
. T* data_; // puntero al comienzo del array
. int n_; //dimensin de array
. ....
. public:
. template
. double Array1D::norma_inf(){
. ......
. }
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Anlisis Numrico Matricial IICreacin de mtodos en la clase Array1D para calcular la norma infinito
http://find/http://goback/ -
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C eac de todos e a c ase ay pa a ca cu a a o a to
template
class Array1D{. private:
. T* data_; // puntero al comienzo del array
. int n_; //dimensin de array
. ....
. public:
. template
. double Array1D::norma_inf(){
. ?
. for(int k=0;k< ? ;k++){
. ? }
. ?
. }
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Anlisis Numrico Matricial IICreacin de mtodos en la clase Array1D para calcular la norma infinito
http://find/ -
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y p
template
class Array1D{. private:
. T* data_; // puntero al comienzo del array
. int n_; //dimensin de array
. ....
. public:
. template
. double Array1D::norma_inf(){
. double norma=0.;
. for(int k=0;k< ? ;k++){
. ? }
. ?
. }
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Anlisis Numrico Matricial IICreacin de mtodos en la clase Array1D para calcular la norma infinito
http://find/http://goback/ -
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y p
template
class Array1D{. private:
. T* data_; // puntero al comienzo del array
. int n_; //dimensin de array
. ....
. public:
. template
. double Array1D::norma_inf(){
. double norma=0.;
. for(int k=0;k< n_;k++){
. ? }
. ?
. }
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Anlisis Numrico Matricial IICreacin de mtodos en la clase Array1D para calcular la norma infinito
http://find/ -
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template
class Array1D{. private:
. T* data_; // puntero al comienzo del array
. int n_; //dimensin de array
. ....
. public:
. template
. double Array1D::norma_inf(){
. double norma=0.;
. for(int k=0;k< n_;k++){
. if(norma
-
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template
class Array1D{
. private:
. T* data_; // puntero al comienzo del array
. int n_; //dimensin de array
. ....
. public:
. template
. double Array1D::norma_inf(){
. double norma=0.;
. for(int k=0;k< n_;k++){
. if(norma
-
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template
class Array1D{
. private:
. T* data_; // puntero al comienzo del array
. int n_; //dimensin de array
. ....
. public:
. template
. double Array1D::norma_inf(){
. double norma=0.;
. for(int k=0;k< n_;k++){
. if(norma
-
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template
class Array1D{
. private:
. T* data_; // puntero al comienzo del array
. int n_; //dimensin de array
. ....
. public:
. template
. double Array1D::norma_inf(){
. double norma=0.;
. for(int k=0;k< n_;k++){
. if(norma
-
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Sopongamos que tenemos 2 instancias x1 y x2 de la clase Array1D,
es decir
Array1D x1;
Array1D x2;
Para calcular la distancia Eucldea entre x1 y x2 usando el mtodopara calcular la norma Eucldea que hemos creado podemos hacer :
real distancia_euclidea = ? ;
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Anlisis Numrico Matricial IIUso de la norma para calcular distancias
http://find/ -
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Sopongamos que tenemos 2 instancias x1 y x2 de la clase Array1D,
es decir
Array1D x1;
Array1D x2;
Para calcular la distancia Eucldea entre x1 y x2 usando el mtodopara calcular la norma Eucldea que hemos creado podemos hacer :
real distancia_euclidea = (x1-x2).norma_euclidea();
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Contenido
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1 Nociones bsicas sobre matrices y vectores
distancia entre 2 puntos en el planoNorma de vectores
Norma de una matriz
Producto Escalar
Base ortonormal de vectores
autovalores de una matriz
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Anlisis Numrico Matricial IINorma de una matriz
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SeaAuna matriz y sea . una norma vectorial. Se define la normadeA, subordinada a la norma vectorial
.
como
A =supx=0 Axx
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Anlisis Numrico Matricial IINorma de una matriz
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SeaAuna matriz y sea . una norma vectorial. Se define la normadeA, subordinada a la norma vectorial
.
como
A =supx=0 AxxVamos, en primer lugar, a disear un cdigo en C++ bsico para
aproximar la norma Eucldea de una matriz a partir de esta definicin.Para ello necesitamos un procedimiento para crear vectores
aleatorios, lo cual haremos creando unconstructorespecial de la
claseArray1Dy despus implementaremos un procedimiento para
aproximar la norma de la matriz.
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Anlisis Numrico Matricial IICreacin de mtodos para hacer un constructor de un array de tamao N y
coordenadas aleatorias en el intervalo [a b]
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coordenadas aleatorias en el intervalo [a,b].
template
class Array1D{. private:
. T* data_; // puntero al comienzo del array
. int n_; //dimensin de array
. ....
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Anlisis Numrico Matricial IICreacin de mtodos para hacer un constructor de un array de tamao N y
coordenadas aleatorias en el intervalo [a,b].
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coordenadas aleatorias en el intervalo [a,b].
template
class Array1D{. private:
. T* data_; // puntero al comienzo del array
. int n_; //dimensin de array
. ....
. public:
. template
. double Array1D::Array1D(int N,T a, T b){
. ......
. }
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Anlisis Numrico Matricial IICreacin de mtodos para hacer un constructor de un array de tamao N y
coordenadas aleatorias en el intervalo [a,b].
-
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[ , ]
template
class Array1D{. private:
. T* data_; // puntero al comienzo del array
. int n_; //dimensin de array
. ....
. public:
. template
. double Array1D::Array1D(int N,T a, T b){
. Array1D aux(N);
. *this=aux;
. for(int k=0;k< ? ;k++){
. data_[k]= ?
. }
. }
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Anlisis Numrico Matricial IICreacin de mtodos para hacer un constructor de un array de tamao N y
coordenadas aleatorias en el intervalo [a,b].
http://find/ -
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[ , ]
template
class Array1D{. private:
. T* data_; // puntero al comienzo del array
. int n_; //dimensin de array
. ....
. public:
. template
. double Array1D::Array1D(int N,T a, T b){
. Array1D aux(N);
. *this=aux;
. for(int k=0;k< n_;k++){
. data_[k]= ?
. }
. }
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Anlisis Numrico Matricial IICreacin de mtodos para hacer un constructor de un array de tamao N y
coordenadas aleatorias en el intervalo [a,b].
http://find/http://goback/ -
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template
class Array1D{. private:
. T* data_; // puntero al comienzo del array
. int n_; //dimensin de array
. ....
. public:
. template
. double Array1D::Array1D(int N,T a, T b){
. Array1D aux(N);
. *this=aux;
. for(int k=0;k< n_;k++){
. data_[k]= a+ (b-a)*rand()/RAND_MAX;
. }
. }
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Anlisis Numrico Matricial IICdigo C++ Clculo de la norma Eucldea de una matriz
http://find/ -
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A =supx=0 Axx
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Anlisis Numrico Matricial IICdigo C++ Clculo de la norma Eucldea de una matriz
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A =supx=0 Axxreal norma_euclidea(Array2D &A,int Niteraciones) {
. real norma=0.;
. for(int k=0;k
-
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A =supx=0 Axxreal norma_euclidea(Array2D &A,int Niteraciones) {
. real norma=0.;
. for(int k=0;k
-
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A =supx=0 Axxreal norma_euclidea(Array2D &A,int Niteraciones) {
. real norma=0.;
. for(int k=0;k
-
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A =supx=0 Axxreal norma_euclidea(Array2D &A,int Niteraciones) {
. real norma=0.;
. for(int k=0;knorma){ ? }
. }
. ?}
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Anlisis Numrico Matricial IICdigo C++ Clculo de la norma Eucldea de una matriz
Ax
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A =supx=0 Axxreal norma_euclidea(Array2D &A,int Niteraciones) {
. real norma=0.;
. for(int k=0;knorma){ norma=temp; }
. }
. ?}
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Anlisis Numrico Matricial IICdigo C++ Clculo de la norma Eucldea de una matriz
Ax
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A =supx=0 Axxreal norma_euclidea(Array2D &A,int Niteraciones) {
. real norma=0.;
. for(int k=0;knorma){ norma=temp; }
. }
. return norma;
}
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Anlisis Numrico Matricial IICdigo C++ Clculo de la norma Eucldea de una matriz
A Ax
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A =supx=0 Axxreal norma_euclidea(Array2D &A,int Niteraciones) {
. real norma=0.;
. for(int k=0;knorma){ norma=temp; }
. }
. return norma;
}
Este procedimiento nos da una aproximacin (no el valor exacto).Adems, en la prctica, especialmente si la dimensin de la matriz es
grande, habra que hacer un nmero de iteraciones gigantesco para
estar seguros de que nos acercamos al valor real.
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Anlisis Numrico Matricial IINorma de una matriz
Veamos ahora como se puede calcular la norma de una matriz
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Veamos ahora como se puede calcular la norma de una matriz
matemticamente sin necesidad de realizar un procedimiento
aleatorio.
A =supx=0 Axx
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Veamos ahora como se puede calcular la norma de una matriz
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Veamos ahora como se puede calcular la norma de una matriz
matemticamente sin necesidad de realizar un procedimiento
aleatorio.
A =supx=0 AxxEjemplos 00 =supx=0 xx =supx=0 ||xx = ||
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Anlisis Numrico Matricial IINorma de una matriz
Veamos ahora como se puede calcular la norma de una matriz
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Veamos ahora como se puede calcular la norma de una matriz
matemticamente sin necesidad de realizar un procedimiento
aleatorio.
A =supx=0 AxxEjemplos 2 00 1
2
=supx=0
(2x1)2+x22x2
1+x2
2
= ?
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Veamos ahora como se puede calcular la norma de una matriz
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Veamos ahora como se puede calcular la norma de una matriz
matemticamente sin necesidad de realizar un procedimiento
aleatorio.
A =supx=0 AxxEjemplos 2 00 1
2
=supx=0
(2x1)2+x22x2
1+x2
2
= (21)2+0212+02
=2
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Veamos ahora como se puede calcular la norma de una matriz
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Veamos ahora como se puede calcular la norma de una matriz
matemticamente sin necesidad de realizar un procedimiento
aleatorio.
A =supx=0 AxxEjemplos 2 00 1
2
=supx=0
(2x1)2+x22x2
1+x2
2
= (21)2+0212+02
=2
2 0
0 1
1
=supx=0
|2x1|+|x2||x1|+|x2| = ?
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Veamos ahora como se puede calcular la norma de una matriz
matemticamente sin necesidad de realizar un procedimiento
aleatorio.
A =supx=0 AxxEjemplos 2 00 1
2
=supx=0
(2x1)2+x22x2
1+x2
2
= (21)2+0212+02
=2
2 0
0 1
1
=supx=0
|2x1|+|x2||x1|+|x2| =
|21|+|0||1|+|0| =2
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Veamos ahora como se puede calcular la norma de una matriz
matemticamente sin necesidad de realizar un procedimiento
aleatorio.
A =supx=0 AxxEjemplos 2 00 1
2
=supx=0
(2x1)2+x22x2
1+x2
2
= (21)2+0212+02
=2
2 0
0 1
1
=supx=0
|2x1|+|x2||x1|+|x2| =
|21|+|0||1|+|0| =2
2 00 1
=sup
x=0max{|2x1|,|x2|}max{|x1|,|x2|} = ?
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Veamos ahora como se puede calcular la norma de una matriz
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Veamos ahora como se puede calcular la norma de una matriz
matemticamente sin necesidad de realizar un procedimiento
aleatorio.
A =supx=0 AxxEjemplos 2 00 1
2
=supx=0
(2x1)2+x22x2
1+x2
2
= (21)2+0212+02
=2
2 0
0 1
1
=supx=0
|2x1|+|x2||x1|+|x2| =
|21|+|0||1|+|0| =2
2 00 1
=sup
x=0max{|2x1|,|x2|}max{|x1|,|x2|} =
max{|21|,|0|}max{|1|,|0|} =2
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p
matemticamente sin necesidad de realizar un procedimiento
aleatorio.
A =supx=0 AxxEjemplos 1 01 1
2
=supx=0
x21+(x1+x2)2x2
1+x2
2
= ?
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Veamos ahora como se puede calcular la norma de una matriz
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p
matemticamente sin necesidad de realizar un procedimiento
aleatorio.
A =supx=0 AxxEjemplos 1 01 1
2
=supx=0
x21+(x1+x2)2x2
1+x2
2
= (1+5)2+(1+5+2)2(1+
5)2+(2)2
=1. 618
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p
matemticamente sin necesidad de realizar un procedimiento
aleatorio.
A =supx=0 AxxEjemplos 1 01 1
2
=supx=0
x21+(x1+x2)2x2
1+x2
2
= (1+5)2+(1+5+2)2(1+
5)2+(2)2
=1. 618
1 0
1 1
1
=supx=0
|x1|+|x1+x2||x1|+|x2| =
|1+|1+0||1|+|0| =2
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Anlisis Numrico Matricial IINorma de una matriz
Veamos ahora como se puede calcular la norma de una matriz
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matemticamente sin necesidad de realizar un procedimiento
aleatorio.
A =supx=0 AxxEjemplos 1 01 1
2
=supx=0
x21+(x1+x2)2x2
1+x2
2
= (1+5)2+(1+5+2)2(1+
5)2+(2)2
=1. 618
1 0
1 1
1
=supx=0
|x1|+|x1+x2||x1|+|x2| =
|1+|1+0||1|+|0| =2
1 01 1
=sup
x=0max{|x1|,|x1+x2|}
max{|x1|,|x2|} = ?
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Veamos ahora como se puede calcular la norma de una matriz
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matemticamente sin necesidad de realizar un procedimiento
aleatorio.
A =supx=0 AxxEjemplos 1 01 1
2
=supx=0
x21+(x1+x2)2
x21+x2
2
= (1+5)2+(1+5+2)2(1+
5)2+(2)2
=1. 618
1 0
1 1
1
=supx=0
|x1|+|x1+x2||x1|+|x2| =
|1+|1+0||1|+|0| =2
1 01 1
=sup
x=0max{|x1|,|x1+x2|}
max{|x1|,|x2|} = max{|1|,|1+1|}
max{|1|,|1|} =2
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Anlisis Numrico Matricial IIClculo de las normas de una matriz
Teorema
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Teorema
Sea A una matriz cualquiera, entonces
A 2=
mximo de los autovalores de tAA
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Anlisis Numrico Matricial IIClculo de las normas de una matriz
Teorema
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Teorema
Sea A una matriz cualquiera, entonces
A 2=
mximo de los autovalores de tAA
A 1=maxj
i| aij|
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Anlisis Numrico Matricial IIClculo de las normas de una matriz
Teorema
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Teorema
Sea A una matriz cualquiera, entonces
A 2=
mximo de los autovalores de tAA
A 1=maxj
i| aij|
A
=maxij| aij|
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Ejemplo clculo normas matricesEjemplo: Calcular las normas 2,1 e infinito de la matriz
A1 0
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A= 1 0
1 2
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Ejemplo clculo normas matricesEjemplo: Calcular las normas 2,1 e infinito de la matriz
A 1 0
http://find/ -
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A= 1 2 Solucin:para calcular A 2, calculamos primero los autovalores dela matriz
1 1
0 2
1 0
1 2
=
2 2
2 4
que se calculan usando el polinomio caracterstico
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Ejemplo clculo normas matricesEjemplo: Calcular las normas 2,1 e infinito de la matriz
A 1 0
http://find/ -
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A= 1 2 Solucin:para calcular A 2, calculamos primero los autovalores dela matriz
1 1
0 2
1 0
1 2
=
2 2
2 4
que se calculan usando el polinomio caracterstico 2 22 4 =2 6 +4
cuyas races son 3 5. Por tanto A 2= 3 +
5.
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Ejemplo clculo normas matricesEjemplo: Calcular las normas 2,1 e infinito de la matriz
A 1 0
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A= 1 2 Solucin:para calcular A 2, calculamos primero los autovalores dela matriz
1 1
0 2
1 0
1 2
=
2 2
2 4
que se calculan usando el polinomio caracterstico 2 22 4 =2 6 +4
cuyas races son 3 5. Por tanto A 2= 3 +
5. Por otro lado
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Ejemplo clculo normas matricesEjemplo: Calcular las normas 2,1 e infinito de la matriz
A = 1 0
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A= 1 2 Solucin:para calcular A 2, calculamos primero los autovalores dela matriz
1 1
0 2
1 0
1 2
=
2 2
2 4
que se calculan usando el polinomio caracterstico 2 22 4 =2 6 +4
cuyas races son 3 5. Por tanto A 2= 3 +
5. Por otro lado
A 1=maxj i| aij| = ?
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Ejemplo clculo normas matricesEjemplo: Calcular las normas 2,1 e infinito de la matriz
A = 1 0
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A= 1 2 Solucin:para calcular A 2, calculamos primero los autovalores dela matriz
1 1
0 2
1 0
1 2
=
2 2
2 4
que se calculan usando el polinomio caracterstico 2 22 4 =2 6 +4
cuyas races son 3 5. Por tanto A 2= 3 +
5. Por otro lado
A 1=maxj i| aij| =2
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Ejemplo clculo normas matricesEjemplo: Calcular las normas 2,1 e infinito de la matriz
A = 1 0
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A= 1 2 Solucin:para calcular A 2, calculamos primero los autovalores dela matriz
1 1
0 2
1 0
1 2
=
2 2
2 4
que se calculan usando el polinomio caracterstico 2 22 4 =2 6 +4
cuyas races son 3 5. Por tanto A 2= 3 +
5. Por otro lado
A 1=maxj i| aij| =2 A =maxi
j| aij|
= ?
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Ejemplo clculo normas matricesEjemplo: Calcular las normas 2,1 e infinito de la matriz
A = 1 0
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A= 1 2 Solucin:para calcular A 2, calculamos primero los autovalores dela matriz
1 1
0 2
1 0
1 2
=
2 2
2 4
que se calculan usando el polinomio caracterstico 2 22 4 =2 6 +4
cuyas races son 3 5. Por tanto A 2= 3 +
5. Por otro lado
A 1=maxj i| aij| =2 A =maxi
j| aij|
=3
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Contenido
1 Nociones bsicas sobre matrices y vectores
distancia entre 2 puntos en el plano
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distancia entre 2 puntos en el plano
Norma de vectoresNorma de una matriz
Producto Escalar
Base ortonormal de vectores
autovalores de una matriz
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Anlisis Numrico Matricial IIProducto escalar de 2 vectores
DEFINICION: Producto escalar de 2 vectores
http://find/ -
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DEFINICION: Producto escalar de 2 vectores
(xi, xj) =N
k=1
(xi)k
xj
k
donde(xi)k indica la coordenadak-sima del vectorxi.
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Anlisis Numrico Matricial IIProducto escalar de 2 vectores
DEFINICION: Producto escalar de 2 vectores
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DEFINICION: Producto escalar de 2 vectores
(xi, xj) =N
k=1
(xi)k
xj
k
donde(xi)k indica la coordenadak-sima del vectorxi.
Ejemplo: Seanx1 = (1, 2, 3)T yx2 = (9, 8, 5)T, entonces :
(x1, x2) = ?
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Anlisis Numrico Matricial IIProducto escalar de 2 vectores
DEFINICION: Producto escalar de 2 vectores
http://find/ -
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DEFINICION: Producto escalar de 2 vectores
(xi, xj) =N
k=1
(xi)k
xj
k
donde(xi)k indica la coordenadak-sima del vectorxi.
Ejemplo: Seanx1 = (1, 2, 3)T yx2 = (9, 8, 5)T, entonces :
(x1, x2) =1
9 +2
8
3
5=10
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Anlisis Numrico Matricial IIProducto escalar de 2 vectores
DEFINICION: Producto escalar de 2 vectores
-
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DEFINICION: Producto escalar de 2 vectores
(xi, xj) =N
k=1
(xi)k
xj
k
donde(xi)k indica la coordenadak-sima del vectorxi.
Ejemplo: Seanx1 = (1, 2, 3)T yx2 = (9, 8, 5)T, entonces :
(x1, x2) =1
9 +2
8
3
5=10
Propiedad importante: x2=
(x, x)
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Anlisis Numrico Matricial IINormalizar vectores
Normalizar vectores
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Dado un vectorxnormalizarlo respecto a la norma . consiste en dividirel vector por su norma, es decir, hacer
x
xLa norma de un vector normalizado es 1.
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Anlisis Numrico Matricial IINormalizar vectores
Normalizar vectores
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Dado un vectorxnormalizarlo respecto a la norma . consiste en dividirel vector por su norma, es decir, hacer
x
xLa norma de un vector normalizado es 1.
Ejemplo:Seax= (1, 2, 3)T, normalizar el vector depende de la normaconsiderada y consiste en hacer :
x
x2 = ? x
x1 = ? x
x = ?
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Anlisis Numrico Matricial IINormalizar vectores
Normalizar vectores
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Dado un vectorxnormalizarlo respecto a la norma . consiste en dividirel vector por su norma, es decir, hacer
x
xLa norma de un vector normalizado es 1.
Ejemplo:Seax= (1, 2, 3)T, normalizar el vector depende de la normaconsiderada y consiste en hacer :
x x2 = 1/
14
2/143/
14
x x1 = ? x x = ?
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Anlisis Numrico Matricial IINormalizar vectores
Normalizar vectores
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Dado un vectorxnormalizarlo respecto a la norma . consiste en dividirel vector por su norma, es decir, hacer
x
xLa norma de un vector normalizado es 1.
Ejemplo:Seax= (1, 2, 3)T, normalizar el vector depende de la normaconsiderada y consiste en hacer :
x x2 = 1/
14
2/143/
14
x x1 = 1/62/63/6
x x = ?
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Anlisis Numrico Matricial IINormalizar vectores
Normalizar vectores
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Dado un vectorxnormalizarlo respecto a la norma . consiste en dividirel vector por su norma, es decir, hacer
x
xLa norma de un vector normalizado es 1.
Ejemplo:Seax= (1, 2, 3)T, normalizar el vector depende de la normaconsiderada y consiste en hacer :
x
x2 = 1/142/14
3/
14
x x1 =
1/62/63/6
x x =
1/32/33/3
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1 Nociones bsicas sobre matrices y vectores
distancia entre 2 puntos en el plano
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Norma de vectoresNorma de una matriz
Producto Escalar
Base ortonormal de vectores
autovalores de una matriz
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Anlisis Numrico Matricial IIBase ortonormal de vectores
DEFINICION: Base ortonormal de vectores
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Una base ortornormal de vectores de RN sonNvectoresx1,....xNnormalizados y tal que el producto escalar entre todos ellos es 0 (es decir los
vectores son ? entre s).
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Anlisis Numrico Matricial IIBase ortonormal de vectores
DEFINICION: Base ortonormal de vectores
http://find/ -
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Una base ortornormal de vectores de RN sonNvectoresx1,....xNnormalizados y tal que el producto escalar entre todos ellos es 0 (es decir los
vectores son perpendiculares entre s).
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Anlisis Numrico Matricial IIBase ortonormal de vectores
DEFINICION: Base ortonormal de vectores
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Una base ortornormal de vectores de RN sonNvectoresx1,....xNnormalizados y tal que el producto escalar entre todos ellos es 0 (es decir los
vectores son perpendiculares entre s).
Ejemplo: los vectores columna de las siguientes matrices forman una base
ortonormal de vectores 1 0 00 1 0
0 0 1
1/
2 1/
3 1/6
0 1/
3 2/
6
1/
2 1/3 1/6
cos() sin() 0 sin() cos() 0
0 0 1
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1 Nociones bsicas sobre matrices y vectores
distancia entre 2 puntos en el plano
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Norma de vectoresNorma de una matriz
Producto Escalar
Base ortonormal de vectores
autovalores de una matriz
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Anlisis Numrico Matricial IIAutovalores de una matriz
Definicin
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Un autovalor de A es un nmero real tal que existe un vector x,denominado autovector, tal que
Ax=x
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Anlisis Numrico Matricial IIAutovalores de una matriz
Definicin
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Un autovalor de A es un nmero real tal que existe un vector x,denominado autovector, tal que
Ax=x
Definicin
Se denomina polinomio caracterstico P()de la matriz A,al polinomiodado por el determinante
P() =| A I|
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Anlisis Numrico Matricial IIAutovalores de una matriz
Problema
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Calcular los autovectores de la matriz 1 1 01 1 0
0 0 2
y determinar una base ortonormal de R3 de autovectores de A.
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Problema
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Calcular los autovectores de la matriz 1 1 01 1 0
0 0 2
y determinar una base ortonormal de R3 de autovectores de A.
Solucin: tenemos que calcular los ceros del polinomio caracterstico ?
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Anlisis Numrico Matricial IIAutovalores de una matriz
Problema
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Calcular los autovectores de la matriz 1 1 01 1 0
0 0 2
y determinar una base ortonormal de R3 de autovectores de A.
Solucin: tenemos que calcular los ceros del polinomio caracterstico
|A iId| =0
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Problema
http://find/ -
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Calcular los autovectores de la matriz 1 1 01 1 0
0 0 2
y determinar una base ortonormal de R3 de autovectores de A.
Solucin: tenemos que calcular los ceros del polinomio caracterstico
|A iId| =0
1 1 0
1 1 00 0 2 = ((1 )2
1)(2 ) =0
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Anlisis Numrico Matricial IIAutovalores de una matriz
Problema
C l l l d l i
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Calcular los autovectores de la matriz 1 1 01 1 0
0 0 2
y determinar una base ortonormal de R3 de autovectores de A.
Solucin: tenemos que calcular los ceros del polinomio caracterstico
|A iId| =0
1 1 0
1 1 00 0 2 = ((1 )2
1)(2 ) =0
de donde obtenemos1 =0, 2=2 y3=2
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Anlisis Numrico Matricial IIAutovalores de una matriz
Calculamos los autovectores deA :
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Calculamos los autovectores deA :
1=0
1 1 0 0
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1 1 01 1 00 0 2
x1x2x3
= 000
x1= x2
x3=0 x1= ?
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Calculamos los autovectores deA :
1=0
1 1 0 0 1
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1 1 01 1 00 0 2
x1x2x3
= 00
0
x1= x2
x3=0 x1=
1
212
0
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Anlisis Numrico Matricial IIAutovalores de una matriz
Calculamos los autovectores deA :
1=0
1 1 0 0 1
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1 1 01 1 00 0 2
x1x2x3
= 00
0
x1= x2
x3=0 x1=
1212
0
2, 3=2 1 1 01 1 0
0 0 0
x1x2x3
= 000
? x2= ?, x3= ?
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Anlisis Numrico Matricial IIAutovalores de una matriz
Calculamos los autovectores deA :
1=01 1 0
x
0
x x 1
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1 1 01 1 00 0 2
x1x2x3
= 00
0
x1= x2
x3=0 x1=
1212
0
2, 3=2 1 1 01 1 0
0 0 0
x1x2x3
= 000
x1=x2x3 libre
x2= ?, x3= ?
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Anlisis Numrico Matricial IIAutovalores de una matriz
Calculamos los autovectores deA :
1=0 1 1 0 x 0 x x 1
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1 1 01 1 00 0 2
x1x2x3
= 00
0
x1= x2
x3=0 x1=
1212
0
2, 3=2 1 1 01 1 0
0 0 0
x1x2x3
= 000
x1=x2
x3 libre
x2= 121
2
0
, x3= ?
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Anlisis Numrico Matricial IIAutovalores de una matriz
Calculamos los autovectores deA :
1=0 1 1 0 x 0 x = x 1
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1 1 01 1 00 0 2
x1x2x3
= 00
0
x1= x2
x3=0 x1=
1212
0
2, 3=2
1 1 01 1 00 0 0
x1x2x3
= 000
x1=x2
x3 libre
x2= 121
2
0
, x3= 001
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Anlisis Numrico Matricial IIAutovalores de una matriz
Calculamos los autovectores deA :
1=0 1 1 0 x1 0 x1 = x2 1
http://find/ -
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1 1 01 1 00 0 2
x1x2x3
= 00
0
x1= x2
x3=0 x1=
1212
0
2, 3=2
1 1 01 1 00 0 0
x1x2x3
= 000
x1=x2
x3 libre
x2=
12
12
0
, x3= 001
La matriz,
B= 1
2
12
0
12
12
0
0 0 1
contiene los autovectores de A que forman una base ortonormal de R3.
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Anlisis Numrico Matricial IIAutovalores de matrices simtricas
Teorema
Todas las matrices simtricas poseen una base ortonormal de
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Todas las matrices simtricas poseen una base ortonormal deautovectores.
Por tanto, poseen tantos autovalores como dimensin tenga la matriz
(aunque alguno de los autovalores puede salir repetido)
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Anlisis Numrico Matricial IIAutovalores de matrices simtricas
Teorema
Todas las matrices simtricas poseen una base ortonormal de
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Todas las matrices simtricas poseen una base ortonormal deautovectores.
Por tanto, poseen tantos autovalores como dimensin tenga la matriz
(aunque alguno de los autovalores puede salir repetido)
No todas las matrices poseen una base de autovectores.
A=
1 0
1 1
tiene como autovalor = ?
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Anlisis Numrico Matricial IIAutovalores de matrices simtricas
Teorema
Todas las matrices simtricas poseen una base ortonormal de
http://find/ -
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Todas las matrices simtricas poseen una base ortonormal deautovectores.
Por tanto, poseen tantos autovalores como dimensin tenga la matriz
(aunque alguno de los autovalores puede salir repetido)
No todas las matrices poseen una base de autovectores.
A=
1 0
1 1
tiene como autovalor =1
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Anlisis Numrico Matricial IIAutovalores de matrices simtricas
Teorema
Todas las matrices simtricas poseen una base ortonormal de
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Todas las matrices simtricas poseen una base ortonormal deautovectores.
Por tanto, poseen tantos autovalores como dimensin tenga la matriz
(aunque alguno de los autovalores puede salir repetido)
No todas las matrices poseen una base de autovectores.
A=
1 0
1 1
tiene como autovalor =1
y tiene como autovector ?
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Anlisis Numrico Matricial IIAutovalores de matrices simtricas
Teorema
Todas las matrices simtricas poseen una base ortonormal de
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Todas las matrices simtricas poseen una base ortonormal deautovectores.
Por tanto, poseen tantos autovalores como dimensin tenga la matriz
(aunque alguno de los autovalores puede salir repetido)
No todas las matrices poseen una base de autovectores.
A=
1 0
1 1
tiene como autovalor =1
y tiene como autovectorx= (0, 1)T
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Contenido
1 Nociones bsicas sobre matrices y vectores
2 Mtodo de Jacobi para calcular autovalores de matrices simtricas
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Mtodo de Jacobi para calcular autovalores de matrices simtricas
3 Mtodo de la potencia para calcular el autovalor mximo
4
Mtodos iterativos de resolucin de sistemas de ecuaciones
5 Mtodo de Newton-Raphson para sistemas no-lineales
6 Condicionamiento de una matriz
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Anlisis Numrico Matricial IIMtodo de Jacobi para calcular autovalores de matrices simtricas
Este mtodo se basa en que, dadas dos matricesAyR,se verificaque los autovalores deAson los mismos que los autovalores de
R
1AR.:
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.
R1ARx=x
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Anlisis Numrico Matricial IIMtodo de Jacobi para calcular autovalores de matrices simtricas
Este mtodo se basa en que, dadas dos matricesAyR,se verificaque los autovalores deAson los mismos que los autovalores de
R
1AR.:
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R1ARx=x ARx=Rx
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Anlisis Numrico Matricial IIMtodo de Jacobi para calcular autovalores de matrices simtricas
Este mtodo se basa en que, dadas dos matricesAyR,se verificaque los autovalores deAson los mismos que los autovalores de
R
1AR.:
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R1ARx=x ARx=Rx
es autovalor deApara el autovectorRx
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Este mtodo se basa en que, dadas dos matricesAyR,se verificaque los autovalores deAson los mismos que los autovalores de
R
1AR.:
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R1ARx=x ARx=Rx
es autovalor deApara el autovectorRx
Las matricesRque se van a utilizar son matrices de rotacin :
R=
cos sin sin cos
R1 =?
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Anlisis Numrico Matricial IIMtodo de Jacobi para calcular autovalores de matrices simtricas
Este mtodo se basa en que, dadas dos matricesAyR,se verificaque los autovalores deAson los mismos que los autovalores de
R
1AR.:
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R1ARx=x ARx=Rx
es autovalor deApara el autovectorRx
Las matricesRque se van a utilizar son matrices de rotacin :
R=
cos sin sin cos
R1 =
cos sin
sin cos
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Este mtodo se basa en que, dadas dos matricesAyR,se verificaque los autovalores deAson los mismos que los autovalores de
R
1AR.: l d A
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R1ARx=x ARx=Rx
es autovalor deApara el autovectorRx
Las matricesRque se van a utilizar son matrices de rotacin :
R=
cos sin sin cos
R1 =
cos sin
sin cos
En 3 variables las matrices de rotacin respecto a cada eje son cos sin 0 sin cos 0
0 0 1
cos 0 sin 0 1 0 sin 0 cos
1 0 00 cos sin 0 sin cos
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Anlisis Numrico Matricial IIMtodo de Jacobi para calcular autovalores de matrices simtricas
El objetivo del mtodo es convertirA en una matriz diagonal.
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El objetivo del mtodo es convertirA en una matriz diagonal.
R1AR=
cos sin
sin cos a0,0 a0,1a0,1 a1,1
cos sin
sin cos
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El objetivo del mtodo es convertirA en una matriz diagonal.
R1AR=
cos sin
sin cos a0,0 a0,1a0,1 a1,1
cos sin
sin cos
=
a0,0 cos
2 a0,1 sin2 +a1,1 sin2 a0,1 cos2
12 a1,1 12 a0,0
sin2
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, , , ,
2 , 2 ,
a0,1 cos2
12 a1,1 12 a0,0
sin2 a0,0 cos
2 a0,1 sin2 +a1,1 sin2
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El objetivo del mtodo es convertirA en una matriz diagonal.
R1AR=
cos sin
sin cos a0,0 a0,1a0,1 a1,1
cos sin
sin cos
=
a0,0 cos
2 a0,1 sin2 +a1,1 sin2 a0,1 cos2
12 a1,1 12 a0,0
sin2
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, , , ,
2 , 2 ,
a0,1 cos2
12 a1,1 12 a0,0
sin2 a0,0 cos
2 a0,1 sin2 +a1,1 sin2
lo que nos lleva a la condicin : tan(2) = ?
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El objetivo del mtodo es convertirA en una matriz diagonal.
R1AR=
cos sin
sin cos a0,0 a0,1a0,1 a1,1
cos sin
sin cos
=
a0,0 cos
2 a0,1 sin2 +a1,1 sin2 a0,1 cos2
12 a1,1 12 a0,0
sin2
1 1 2
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a0,1 cos2
12 a1,1 12 a0,0
sin2 a0,0 cos
2 a0,1 sin2 +a1,1 sin2
lo que nos lleva a la condicin : tan(2) = 2a0,1
a1,1 a0,0
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El objetivo del mtodo es convertirA en una matriz diagonal.
R1AR=
cos sin
sin cos a0,0 a0,1a0,1 a1,1
cos sin
sin cos
=
a0,0 cos
2 a0,1 sin2 +a1,1 sin2 a0,1 cos2
12 a1,1 12 a0,0
sin2
1 1
2 2
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a0,1 cos2
12 a1,1 12 a0,0
sin2 a0,0 cos
2 a0,1 sin2 +a1,1 sin2
lo que nos lleva a la condicin : tan(2) = 2a0,1
a1,1 a0,0
Ejemplo
A=
1 1
1 1
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El objetivo del mtodo es convertirA en una matriz diagonal.
R1AR=
cos sin
sin cos a0,0 a0,1a0,1 a1,1
cos sin
sin cos
=
a0,0 cos
2 a0,1 sin2 +a1,1 sin2 a0,1 cos2 1
2 a1,1 12 a0,0
sin21 1
2 2
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a0,1 cos2
12 a1,1 12 a0,0
sin2 a0,0 cos
2 a0,1 sin2 +a1,1 sin2
lo que nos lleva a la condicin : tan(2) = 2a0,1
a1,1 a0,0
Ejemplo
A=
1 1
1 1
tan(2) = ?
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El objetivo del mtodo es convertirA en una matriz diagonal.
R1AR=
cos sin
sin cos a0,0 a0,1a0,1 a1,1
cos sin
sin cos
=
a0,0 cos
2 a0,1 sin2 +a1,1 sin2 a0,1 cos2 1
2 a1,1 12 a0,0
sin2
2
1 1
i 2 2 i 2 i 2
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a0,1 cos2
12 a1,1 12 a0,0
sin2 a0,0 cos
2 a0,1 sin2 +a1,1 sin2
lo que nos lleva a la condicin : tan(2) = 2a0,1
a1,1 a0,0
Ejemplo
A=
1 1
1 1
tan(2) = 20
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El objetivo del mtodo es convertirA en una matriz diagonal.
R1AR=
cos sin
sin cos a0,0 a0,1a0,1 a1,1
cos sin
sin cos
=
a0,0 cos
2 a0,1 sin2 +a1,1 sin2 a0,1 cos2 1
2 a1,1 12 a0,0
sin2
2
1 1
i 2 2 i 2 i 2
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a0,1 cos2
12 a1,1 12 a0,0
sin2 a0,0 cos
2 a0,1 sin2 +a1,1 sin2
lo que nos lleva a la condicin : tan(2) = 2a0,1
a1,1 a0,0
Ejemplo
A=
1 1
1 1
tan(2) = 20 = ?
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El objetivo del mtodo es convertirA en una matriz diagonal.
R1AR=
cos sin
sin cos a0,0 a0,1a0,1 a1,1
cos sin
sin cos
=
a0,0 cos
2 a0,1 sin2 +a1,1 sin2 a0,1 cos2 1
2 a1,1 12 a0,0
sin2
a cos2
1 a 1 a
sin2 a cos2 a sin2 + a sin2
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a0,1 cos2
12 a1,1 12 a0,0
sin2 a0,0 cos
2 a0,1 sin2 +a1,1 sin2
lo que nos lleva a la condicin : tan(2) = 2a0,1
a1,1 a0,0
Ejemplo
A=
1 1
1 1
tan(2) = 20 = 4
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El objetivo del mtodo es convertirA en una matriz diagonal.
R1AR=
cos sin sin cos
a0,0 a0,1a0,1 a1,1
cos sin
sin cos
=
a0,0 cos
2 a0,1 sin2 +a1,1 sin2 a0,1 cos2 12 a1,1 12 a0,0 sin2a cos2
1 a 1 a
sin2 a cos2 a sin2 + a sin2
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a0,1 cos2
12 a1,1 12 a0,0
sin2 a0,0 cos
2 a0,1 sin2 +a1,1 sin2
lo que nos lleva a la condicin : tan(2) = 2a0,1
a1,1 a0,0
Ejemplo
A=
1 1
1 1
tan(2) = 20 = 4 R1AR=
0 0
0 2
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El objetivo del mtodo es convertirA en una matriz diagonal.
R1AR=
cos sin sin cos
a0,0 a0,1a0,1 a1,1
cos sin
sin cos
=
a0,0 cos
2 a0,1 sin2 +a1,1 sin2 a0,1 cos2 12 a1,1 12 a0,0 sin2a cos2
1 a 1 a
sin2 a cos2 a sin2 + a sin2
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a0,1 cos2
2 a1,1 2 a0,0
sin2 a0,0 cos
2 a0,1 sin2 +a1,1 sin
lo que nos lleva a la condicin : tan(2) = 2a0,1
a1,1 a0,0
Ejemplo
A=
1 1
1 1
tan(2) = 20 = 4 R1AR=
0 0
0 2
Por tanto los autovalores y autovectores deA son :
1=
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El objetivo del mtodo es convertirA en una matriz diagonal.
R1AR=
cos sin sin cos
a0,0 a0,1a0,1 a1,1
cos sin sin cos
=
a0,0 cos
2 a0,1 sin2 +a1,1 sin2 a0,1 cos2 12 a1,1 12 a0,0 sin2a0 1 cos2
1 a1 1
1 a0 0
sin2 a0 0 cos2 a0 1 sin2 + a1 1 sin
2
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a0,1 cos2
2 a1,1 2 a0,0
sin2 a0,0 cos a0,1 sin2 +a1,1 sin
lo que nos lleva a la condicin : tan(2) = 2a0,1
a1,1 a0,0
Ejemplo
A=
1 1
1 1
tan(2) = 20 = 4 R1AR=
0 0
0 2
Por tanto los autovalores y autovectores deA son :
1=0 x=R
1
0
=
2/2
2/2
2=
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El objetivo del mtodo es convertirA en una matriz diagonal.
R1AR=
cos sin sin cos
a0,0 a0,1a0,1 a1,1
cos sin sin cos
=
a0,0 cos
2 a0,1 sin2 +a1,1 sin2 a0,1 cos2 12 a1,1 12 a0,0 sin2a0 1 cos2
1 a1 1 1 a0 0
sin2 a0 0 cos
2 a0 1 sin2 + a1 1 sin2
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a0,1 cos2
2 a1,1 2 a0,0
sin2 a0,0 cos a0,1 sin2 +a1,1 sin
lo que nos lleva a la condicin : tan(2) = 2a0,1
a1,1 a0,0
Ejemplo
A=
1 1
1 1
tan(2) = 20 = 4 R1AR=
0 0
0 2
Por tanto los autovalores y autovectores deA son :
1=0 x=R
1
0
=
2/2
2/2
2=2 x=R
0
1
=
2/22/2
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Ejemplo
1 1 2
1 2
1
2 1 5
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Ejemplo
?1 1 2
1 2
1
2 1 5 ?
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Ejemplo
cos 0 sin
0 1 0
sin 0 cos 1 1 2
1 2
1
2 1 5 cos 0 sin
0 1 0
sin 0 cos
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Ejemplo
cos 0 sin
0 1 0
sin 0 cos 1 1 2
1 2
1
2 1 5 cos 0 sin
0 1 0
sin 0 cos
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tan(2) =
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Ejemplo
cos 0 sin
0 1 0
sin 0 cos 1 1 2
1 2
1
2 1 5 cos 0 sin
0 1 0
sin 0 cos
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tan(2) = 2a0,2
a2,2 a0,0=
4
4=1 =
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Ejemplo
cos 0 sin
0 1 0
sin 0 cos 1 1 2
1 2
1
2 1 5 cos 0 sin
0 1 0
sin 0 cos
http://find/ -
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tan(2) = 2a0,2
a2,2 a0,0=
4
4=1 =
8
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Ejemplo
cos 0 sin
0 1 0
sin 0 cos 1 1 2
1 2
1
2 1 5 cos 0 sin
0 1 0
sin 0 cos
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tan(2) = 2a0,2
a2,2 a0,0=
4
4=1 =
8
cos 8 0 sin 80 1 0sin 8 0 cos
8
1 1 21 2 12 1 5
cos 8 0 sin 80 1 0 sin 8 0 cos 8
=
0,17 0,54 0
0,54 2,0
1,30
0,0 1. 30 5,82
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Anlisis Numrico Matricial IIMtodo de Jacobi para
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