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Métodos NuméricosGrado en Ingeniería Informática

Tema 3: Interpolación de Funciones I

Luis Alvarez León

Univ. de Las Palmas de G.C.

Luis Alvarez León () Métodos Numéricos Univ. de Las Palmas de G.C. 1 / 32

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Contenido

1 Introducción

2 Interpolación de funciones utilizando los polinomios de Lagrange

3 El error de interpolación

4 Elección de los puntos de interpolacion óptimos para minimizar elerror

5 Aproximación de funciones elementales utilizando polinomios

6 El método de diferencias de Newton para calcular el polinomiointerpolador

7 Práctica 3. Interpolación de funciones

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Contenido

1 Introducción

2 Interpolación de funciones utilizando los polinomios de Lagrange

3 El error de interpolación

4 Elección de los puntos de interpolacion óptimos para minimizar elerror

5 Aproximación de funciones elementales utilizando polinomios

6 El método de diferencias de Newton para calcular el polinomiointerpolador

7 Práctica 3. Interpolación de funciones

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Interpolación de funcionesPlanteamiento del problema de interpolación

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Interpolación de funcionesPlanteamiento del problema de interpolación

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Interpolación de funcionesInterpolación lineal

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Interpolación de funcionesInterpolación lineal

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Interpolación de funcionesInterpolación polinómica

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Interpolación de funcionesInterpolación polinómica

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Contenido

1 Introducción

2 Interpolación de funciones utilizando los polinomios de Lagrange

3 El error de interpolación

4 Elección de los puntos de interpolacion óptimos para minimizar elerror

5 Aproximación de funciones elementales utilizando polinomios

6 El método de diferencias de Newton para calcular el polinomiointerpolador

7 Práctica 3. Interpolación de funciones

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Interpolación de FuncionesPolinomios base de Lagrange

T (0) = 20, T (2) = 18, T (4) = 16, T (6) = 17, T (8) = 21, T (10) = 23

Polinomios base de Lagrange

P0(x) = (x−2)(x−4)(x−6)(x−8)(x−10)(0−2)(0−4)(0−6)(0−8)(0−10)

P2(x) = (x−0)(x−4)(x−6)(x−8)(x−10)(2−0)(2−4)(2−6)(2−8)(2−10)

P4(x) = (x−0)(x−2)(x−6)(x−8)(x−10)(4−0)(4−2)(4−6)(4−8)(4−10)

P6(x) = (x−0)(x−2)(x−4)(x−8)(x−10)(6−0)(6−2)(6−4)(6−8)(6−10)

P8(x) = (x−0)(x−2)(x−4)(x−6)(x−10)(8−0)(8−2)(8−4)(8−6)(8−10)

P10(x) = (x−0)(x−2)(x−4)(x−6)(x−8)(10−0)(10−2)(10−4)(10−6)(10−8)

Polinomio Interpolador

P5(x) = 20P0(x)+18P2(x)+16P4(x)+17P6(x)+21P8(x)+23P10(x)

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Interpolación de FuncionesAproximación de la función ex por un polinomio de grado 2

Interpolamos la función ex en los puntos 0,−1,1

Polinomios base de Lagrange

P0(x) = (x+1)(x−1)(0−1)(0+1)

P−1(x) = (x−0)(x−1)2

P1(x) = (x+1)(x−0)2

Polinomio Interpolador

P2(x) = e0P0(x) + e−1P−1(x) + e1P1(x)

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Interpolación de funcionesComparación de la función ex (trazo discontinuo) y P2(x)

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1 Introducción

2 Interpolación de funciones utilizando los polinomios de Lagrange

3 El error de interpolación

4 Elección de los puntos de interpolacion óptimos para minimizar elerror

5 Aproximación de funciones elementales utilizando polinomios

6 El método de diferencias de Newton para calcular el polinomiointerpolador

7 Práctica 3. Interpolación de funciones

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Interpolación de FuncionesError de interpolación de Lagrange

TeoremaSea f (x) una función, y PN(x) su polinomio interpolador de Lagrangeen los puntos {xi}i=0,..,N ⊂ [a,b] y x ∈ [a,b], entonces

f (x)− PN(x) =f N+1)(�)

(N + 1)!ΠN

i=0(x − xi)

donde � es un valor intermedio perteneciente a [a,b].

ProblemaCalcular la expresión del error de interpolación al aproximar la funciónf (x) = sen(x) en el intervalo [0,2�] interpolando en los puntos 0, �2 , �y 3�

2 , y acotarlo superiormente.

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Interpolación de FuncionesPolinomios base de Lagrange

Solución:f (x) = sen(x) f (x)− PN(x) = f N+1)(�)

(N+1)! ΠNi=0(x − xi)

f ′(x) = cos(x)

f ′′(x) = − sen(x) Los puntos a interpolar son 0, �/2, �,3�/2f ′′′(x) = −cos(x)

f 4)(x) = sen(x)

La fórmula del error de interpolación es

f (x)− P3(x) =sen(�)

4!x(

x − �

2

)(x − �)

(x − 3�

2

)

Como el valor máximo del sen(x) es 1 y el valor más alejado de lospuntos de interpolación en [0,2�] es 2� podemos acotar el error como:

∣f (x)− P3(x)∣ ≤ 14!

2�(

2� − �

2

)(2� − �)

(2� − 3�

2

)

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1 Introducción

2 Interpolación de funciones utilizando los polinomios de Lagrange

3 El error de interpolación

4 Elección de los puntos de interpolacion óptimos para minimizar elerror

5 Aproximación de funciones elementales utilizando polinomios

6 El método de diferencias de Newton para calcular el polinomiointerpolador

7 Práctica 3. Interpolación de funciones

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Interpolación de FuncionesElección de los puntos de interpolación

TeoremaSea N ≥ 0, y un intervalo [a,b] Se consideran los puntos xi dados por

xi = a +b − a

2

(1 + cos

(2i + 12N + 2

�

))i = 0, ...,N

entonces

maxx∈[a,b] ∣ ΠNi=0(x − xi) ∣=

(b − a

2

)N+1 12N ≤ maxx∈[a,b] ∣ ΠN

j=0(x − x̃j) ∣

para cualquier otra elección posible de valores de interpolación x̃j .

Por tanto, utilizando este resultado, el error de interpolación máximo viene de-terminado por:

∣ f (x)− PN(x) ∣≤maxx∈[a,b]f N+1)(�)

(N + 1)!2N

(b − a

2

)N+1

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Interpolación de FuncionesElección de puntos de interpolación

xi = a +b − a

2

(1 + cos

(2i + 12N + 2

�

))i = 0, ...,N

EjemploSe considera [a,b] = [0,1] y N = 5 (es decir 6 puntos deinterpolación). Los puntos de interpolación dados por el teoremaanterior son:

x0 = .982 96x1 = .853 55x2 = .629 41x3 = .370 59x4 = .146 45

x5 = 1.703 7× 10−2

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Interpolación de FuncionesPolinomios base de Lagrange

ProblemaCalcular el error máximo de interpolación en el intervalo [0,1] alinterpolar la función cos(x) en los puntos dados por los polinomios deChebyshev tomando N = 5.

El error de interpolación viene dado por la expresión:

∣ f (x)− PN(x) ∣≤maxx∈[a,b]

∣∣f N+1)(�)∣∣

(N + 1)!2N

(b − a

2

)N+1

en nuestro caso N = 5 y la derivada sexta de cos(x) es − cos(x) cuyomáximo en valor absoluto es 1. Por tanto obtenemos:

∣ f (x)− P5(x) ∣≤ 16!25

(12

)6

= 6.78× 10−7

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3 El error de interpolación

4 Elección de los puntos de interpolacion óptimos para minimizar elerror

5 Aproximación de funciones elementales utilizando polinomios

6 El método de diferencias de Newton para calcular el polinomiointerpolador

7 Práctica 3. Interpolación de funciones

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Interpolación de FuncionesAproximación de la función ex

Si aproximamos la función ex en el intervalo [0,1] utilizando los puntos :

xi =12

(1 + cos

(2i + 12N + 2

�

))i = 0, ...,N

El error de interpolación viene acotado por :

∣ ex − PN(x) ∣ ≤ e(N + 1)!2N

(12

)N+1

Por tanto si u es la unidad de redondeo y se verifica que

e(N + 1)!2N

(12

)N+1

≤ u ⋅ ex

Entonces la aproximación será la mejor posible dentro de la aritmética. En esteejemplo esto ocurre cuando N = 6, (en una aritmética de 32 bits). Asi, tomandoun polinomio de grado N = 6, es decir 7 puntos de interpolación, obtenemosya la mejor aproximación posible de ex en el intervalo [0,1].

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Interpolación de FuncionesAproximación de la función ex

También podemos aproximar funciones utilizando el desarrollo de Taylor que viene dado por

Por ejemplo, consideremos f (x) = cos(x) en el intervalo [0, �4 ], x0 = 0

cos(x) = 1− x3

3!+

x5

5!− ...+ (−1)N x2N+1

(2N + 1)!+ (−1)N+1 sin(�)x2N+2

(2N + 2)!

La mejor aproximación de cos(x) en una aritmética vendrá dada por la condición∣∣∣∣sin(�)x2N+2

(2N + 2)!

∣∣∣∣ ≤ u∣cos(x)∣ →

∣∣∣∣∣ (�/4)2N+2

cos(x)(2N + 2)!

∣∣∣∣∣ ≤ 2 (�/4)2N+2√

2(2N + 2)!≤ u

Aritmética Precisión Simple N = 4 → 2 (�/4)2N+2√

2(2N + 2)!= 3,4806× 10−8

Aritmética Precisión Double N = 8 → 2 (�/4)2N+2√

2(2N + 2)!= 2,8562× 10−18

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1 Introducción

2 Interpolación de funciones utilizando los polinomios de Lagrange

3 El error de interpolación

4 Elección de los puntos de interpolacion óptimos para minimizar elerror

5 Aproximación de funciones elementales utilizando polinomios

6 El método de diferencias de Newton para calcular el polinomiointerpolador

7 Práctica 3. Interpolación de funciones

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Interpolación de FuncionesMétodo de diferencias de Newton

0 : 2018−202−0 = −1

2 : 1816−184−2 = −1

4 : 1617−166−4 = 1

2

6 : 1721−178−6 = 2

8 : 2123−2110−8 = 1

10 : 23

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Interpolación de FuncionesMétodo de diferencias de Newton

0 : 2018−202−0 = −1

2 : 18 −1−(−1)4−0 = 0

16−184−2 = −1

4 : 16 1/2−(−1)6−2 = 3

817−166−4 = 1

2

6 : 17 2−1/28−4 = 3

821−178−6 = 2

8 : 21 1−210−6 = −1

423−2110−8 = 1

10 : 23

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Interpolación de FuncionesMétodo de diferencias de Newton

0 : 2018−202−0 = −1

2 : 18 −1−(−1)4−0 = 0

16−184−2 = −1 3/8−0

6−0 = 116

4 : 16 1/2−(−1)6−2 = 3

817−166−4 = 1

23/8−3/8

8−2 = 0

6 : 17 2−1/28−4 = 3

821−178−6 = 2 −1/4−3/8

10−4 = − 548

8 : 21 1−210−6 = −1

423−2110−8 = 1

10 : 23

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Interpolación de FuncionesMétodo de diferencias de Newton

0 : 2018−202−0 = −1

2 : 18 −1−(−1)4−0 = 0

16−184−2 = −1 3/8−0

6−0 = 116

4 : 16 1/2−(−1)6−2 = 3

80−1/16

8−0 = − 1128

17−166−4 = 1

23/8−3/8

8−2 = 0

6 : 17 2−1/28−4 = 3

8−5/48−0

10−2 = − 5384

21−178−6 = 2 −1/4−3/8

10−4 = − 548

8 : 21 1−210−6 = −1

423−2110−8 = 1

10 : 23

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Interpolación de FuncionesMétodo de diferencias de Newton

0 : 2018−202−0 = −1

2 : 18 −1−(−1)4−0 = 0

16−184−2 = −1 3/8−0

6−0 = 116

4 : 16 1/2−(−1)6−2 = 3

80−1/16

8−0 = − 1128

17−166−4 = 1

23/8−3/8

8−2 = 0 −5/384−(−1/128)10−0 = − 1

1920

6 : 17 2−1/28−4 = 3

8−5/48−0

10−2 = − 5384

21−178−6 = 2 −1/4−3/8

10−4 = − 548

8 : 21 1−210−6 = −1

423−2110−8 = 1

10 : 23

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Interpolación de FuncionesMétodo de diferencias de Newton

0 : 2018−202−0 = −1

2 : 18 −1−(−1)4−0 = 0

16−184−2 = −1 3/8−0

6−0 = 116

4 : 16 1/2−(−1)6−2 = 3

80−1/16

8−0 = − 1128

17−166−4 = 1

23/8−3/8

8−2 = 0 −5/384−(−1/128)10−0 = − 1

1920

6 : 17 2−1/28−4 = 3

8−5/48−0

10−2 = − 5384

21−178−6 = 2 −1/4−3/8

10−4 = − 548

8 : 21 1−210−6 = −1

423−2110−8 = 1

10 : 23

P(x) = 20 −1x +0x(x−2) + 116x(x−2)(x−4) − 1

128x(x−2)(x−4)(x−6)

− 11920x(x − 2)(x − 4)(x − 6)(x − 8)

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1 Introducción

2 Interpolación de funciones utilizando los polinomios de Lagrange

3 El error de interpolación

4 Elección de los puntos de interpolacion óptimos para minimizar elerror

5 Aproximación de funciones elementales utilizando polinomios

6 El método de diferencias de Newton para calcular el polinomiointerpolador

7 Práctica 3. Interpolación de funciones

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