métodos matemáticos
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Métodos Matemáticos
INAOE CURSO PROPEDEUTICO PARA LA
MAESTRIA EN ELECTRONICA
Capítulo 2
2010
EDO de primer orden
Métodos Matemáticos - INAOE
CASO ESPECIAL DE SEPARACION DE VARIABLES
El cambio de variable lleva a :
Ejemplo
Ecuaciones diferenciales de primer orden
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EDO Exacta
0),(),(
0
dyyxNdxyxM
dyy
Fdx
x
F
x
N
y
M
)(),(
),(
ygdxyxMF
yxMx
F
),(
)('),(
yxN
ygdxyxMyy
F
dxyxMy
yxNyg ),(),()('
La premisa es que se trata de una EDO exacta :
Si se cumple esta igualdad, si es una EDO exacta:
Tomamos el 1er. Término e integramos con respecto a “x” (y constante):
Obtenemos derivada parcial con respecto a “y”:
Despejamos g´(y)Integrando con respecto a “y” obtenemos g(y)
Tomamos g(y) y lo substituimos en F LA SOLUCION DE LA EDO ES
F=c
SOLUCION :
Ejemplo. Resolver:
Ecuaciones diferenciales de primer orden
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Checando exactitud
Como la ecuación es exacta:
Solución implícita:
Ecuaciones diferenciales de primer orden
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Las curvas integrales son círculos
Ecuaciones diferenciales de primer orden
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Ex: Find the exact first order ODE with a solution given by F(x,y) :
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Ejemplo: Resuelva la sig. EDO :
Ecuaciones diferenciales de primer orden
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Ecuaciones diferenciales de primer orden
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Integrales definidas para los IVPs
Ecuaciones diferenciales de primer orden
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Ecuaciones diferenciales de primer orden
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Ecuaciones diferenciales de primer orden
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Ecuaciones diferenciales de primer orden
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Ecuaciones diferenciales de primer orden
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Ejercicios:
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EJEMPLOS: Resolver las sig. EDO.
)()( xfyxPdx
dy
0)()( dxxfyxPdy
0)()()()( dxxfyxPxdyx
)()()()( xfyxPxy
xx
dxxPd
)(
dxxPe
dxxP
)(
)(ln
Determinación del Factor integrante µ(x)
Forma gral. de la EDO
La escribimos en forma diferencial
Multiplicamos todo por el factor integrante µ(x)
Para convertir la EDO en exacta se debe cumplir que:
)(xPdx
d Simplificando:
Resolviendo para µ :
Factor Integrante :
Solución de la EDO una vez conocido el factor integrante:
0)()( dxxfyxPdy
dxxfedxyxPedyedxxPdxxPdxxP
)()()()()(
dxxfeyeddxxPdxxP
)()()(
cdxxfeyedxxPdxxP
)()()(
dxxPdxxPdxxP
ecdxxfeey)()()(
)(
A partir de la EDO en su forma diferencial:
Multiplicamos todo por el factor integrante:
Reconocemos del lado izquierdo la diferencial de un producto:
Integramos en ambos lados:
Despejando “y” tenemos la solución ! :
Ecuaciones diferenciales de primer orden
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Ecuaciones diferenciales de primer orden
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Ecuaciones no homogéneas: Factor integrante (ejemplos)
METODO DE VARIACION DE PARAMETROS EN LA SOLUCION DE ECS. DIF. LINEAL NO-HOMOGENEA
)()( xfyxPdx
dy
pc yyy
Sol. Complementaria es la sol. de la ec. homogénea asociada
La solución particular proviene de la forma de f(x)
0)( yxPdx
dy
dxxPy
dy)(
dxxP
c ecy)(
1ycyc
1yvy
El método de variación de parámetros consiste en encontrar una función v(x) tal que al ser multiplicada por la solución complementaria entregue la solución de la ecuación diferencial
)()( xfyxPdx
dyIniciamos con la forma gral. de la ecuación:
)()( 11 xfyvxPyvdx
dSubstituímos la sol. propuesta:
)()( 111 xfyvxP
dx
dvy
dx
dyv Derivamos el producto:
)()( 111 xf
dx
dvyyxP
dx
dyv
Agrupamos y cancelamos
término:
Resolvemos para “v” : dxxy
xfdv
)(
)(
1
dxxy
xfdv
)(
)(
1
Integramos la expresión: cdxxy
xfv
)(
)(
1
Substituímos en la solución originalmente propuesta : )( 1yvy
11
1 )(
)(ycdx
xy
xfyy Se obtiene la solución:
EJEMPLO: Resolver la ecuación: xsenxyy tan'
Obtenemos : 1y xy
cos
11
cdx
xy
xfv
)(
)(
1
Obtenemos v cdx
x
xsenv
cos1
cx
v 2
cos2
La solución es :)( 1yvy
xcxycos
1cos2
1
Ecuaciones diferenciales de primer orden
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Ecuaciones no homogéneas: Variación de Parámetros (ejemplos).
Ecuaciones diferenciales de primer orden
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Ecuaciones no homogéneas: Variación de Parámetros (ejemplos).
Ecuaciones diferenciales de primer orden
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Ecuaciones no homogéneas: Variación de Parámetros (ejemplos).
EDO de segundo orden
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