métodos de solución de ecuaciones lineales (cuadro comparativo)

CUADRO COMPARATIVO DE LOS MÉTODOS PARA RESOLVER SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES CON DOS INCÓGNITAS.

Solución del sistema dado por los cinco métodos.

2x + y = 54x – y = 1

Método Gráfico Métodos analíticosSuma o resta Sustitución Igualación Determinantes

Una de las formas más rápidas para graficar una recta es definir dos puntos por los que pasa.

1.- Para la ecuación 2x + y = 5,

si x=0, 2(0) + y = 5, el primer producto es cero, y y = 5, entonces, el punto es (0, 5)

si x=2, 2(2) + y = 5 4 + y = 5 y = 5 – 4 y = 1, de donde el otro punto es (2, 1)

En este método lo que se busca es eliminar una variable, cuando tiene los mismos coeficientes y de signo contrario.

En el caso de las ecuaciones ejemplo, lo más sencillo es eliminar las y´s directamente haciendo la suma, puesto que tienen coeficiente 1 y -1, respectivamente.

Pero vamos a eliminar la x, para ver como se hacecuando no son iguales.

Consiste en despejar una incógnita de una de las ecuaciones y sustituirla en la otra.

Luego de encontrar el valor de esa incógnita, éste se sustituye en la ecuación despejada y se obtiene el valor de la segunda incógnita.

1.- De la ecuación 1, se despeja y, entonces:

y = 5 – 2x (3)

Es un método similar al de sustitución, sólo que en lugar de despejar una de las ecuaciones, se despejan las dos.

1.- Se despeja una misma incógnita en ambas ecuaciones.Ej. Despejar x.

De la primera ecuación:

x=5− y2

(3)

Dela segunda ecuación:

x=1+ y4

(4)

Consiste en usar sólo los coeficientes de las ecuaciones.La única condición es que las ecuaciones estén ordenadas tal y como está el sistema – ejemplo, los términos de x, los de y, y los independientes en el lado derecho.

Se deben encontrar primero los coeficientes ∆ ,∆x y ∆y .

2.- Para la ecuación 4x – y = 1,

si x = 0, 4(0) – y = 1 -y = 1 y = -1 habiendo multiplicado por -1 toda la

1.- Como el 4 es divisible entre 2, si multiplicamos la primera ecuación por -2, en x nos quedaría un coeficiente -4 que al sumar con el coeficiente para x en

Le llamamos ecuación 3.

2.- Ahora, se sustituye en la ecuación 2.

4x - (5 – 2x) = 1

2.- Ahora, como vemos que x tiene un valor en cada despeje, entonces podemos igualar los lados derechos de las ecuaciones (3) y (4).

Obtención de los coeficientes.

1.- Para el coeficiente ∆ ,

se toman los coeficientes de x y los de y.

expresión. Por tanto, el punto es (0, -1)

Si x = 2, 4(2) – y = 1 8 – y = 1 -y = 1 – 8 -y = -7 y = 7, habiendo multiplicado por -1.Entonces, el punto es (2, 7)

3.- Trazando los puntos y las rectas, la intersección de ellas es el punto solución del sistema.

Gráfica.

la segunda ecuación, se eliminan.

Entonces, multiplicando por-2 la primera ecuación, queda:

-2(2x + y = 5)-4x - 2y = -10

2.- Ahora se suma con la segunda ecuación.

-4x - 2y = -10 4x – y = 1----------------- -3y = -9

y = -9/-3

y = 3

3.- Finalmente, el valor de y se sustituye en una de las dos ecuaciones originales.Sustituyendo en la primera ecuación:

2x + (3) = 52x + 3 = 5 2x = 5 – 3 2x = 2 x = 2/2 x = 1

Es decir, en lugar de y, pusimos el valor que le asocia a y, la ecuación 3.

3.- Despejamos x.

4x -5 + 2x = 16x – 5 = 16x = 1 + 56x = 6

x = 6/6

x = 1

4.- A continuación, este valor se sustituye en la ecuación 3.

y = 5 – 2(1)

y = 5 – 2

y = 3

5.- Por tanto, la solución es:(1, 3)

5− y2

=1+ y4

3.- Se resuelve para y.

4(5-y) = 2(1+y)20 - 4y = 2 + 2y20 – 2 = 4y + 2y 18 = 6y 18/6=y

y = 3

4.- Finalmente, el valor de y se sustituye en cualquiera de las dos ecuaciones despejadas para x.

Sustituyendo y=3 en la ecuación (3),

x=5−(3)2

x=5−32

x=22

x = 1

5.- La solución del sistema

(Compare con las ecuaciones)

∆=|2 14 −1|

Solución.

∆=(2 ) (−1 )−(4)(1)

∆=−2−4

∆=−6

2.- Coeficiente ∆x ,Se toman los coeficientes independientes (sustituyen a los de x) y los de y.

∆x=|5 11 −1|

∆x=(5 ) (−1 )−(1)(1)

∆x=−5−1

∆x=−6

3.- Coeficiente ∆ y,Se toman los coeficientes de x, y los independientes (sustituyen a los de y).

4.- Así que la solución es:

(1, 3)

es (1, 3)∆ y=|2 5

4 1|∆ y=(2 ) (1 )−(4)(5)

∆ y=2−20

∆ y=−18

4.- Último paso.

Con los tres coeficientes obtenidos, finalmente, se calculan x y y.

x=∆x∆

y

y=∆ y∆

,

5.- Por lo tanto, sustituyendo los valores obtenidos:

x=−6−6 , x = 1

y=−18−6 , y = 3

La solución es: (1, 3)