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Medidas de Riesgo Coherentes Dinámicas: Aplicación a un Portafolio de TES
VIII Congreso de Riesgo FinancieroCartagena, 20 de noviembre de 2009
Matemáticas Aplicadas
Diego Jara
Plan de la presentación
Medidas de Riesgo Medidas Estáticas y Dinámicas Propiedades “Deseables” (Axiomas) Representación
Curva de Rendimientos Descomposición (Componentes Principales) Modelo de Proyección
Portafolio de TES Proyección en Factores de Riesgo Distribución de la Pérdida Riesgo Estático y Dinámico: Medición y Comparación
Conclusiones
Plan de la presentación
Medidas de Riesgo Medidas Estáticas y Dinámicas Propiedades “Deseables” (Axiomas) Representación
Curva de Rendimientos Descomposición (Componentes Principales) Modelo de Proyección
Portafolio de TES Proyección en Factores de Riesgo Distribución de la Pérdida Riesgo Estático y Dinámico: Medición y Comparación
Conclusiones
Medidas de Riesgo
NecesidadDado un Portafolio, cuánto dinero es conveniente
provisionar para asumir posibles pérdidas? Elementos usados para contestar la pregunta:
Horizonte de Inversión Tfinal
Factores de Riesgo Función de Valoración – o de Pérdidas – (en términos de
estos factores) Distribución de los factores, y del valor del portafolio Medición del Riesgo
Provisión necesaria = Medida de Riesgo
Medidas de Riesgo Estáticas
Se arranca de un espacio de probabilidad dado
es el conjunto de posibles “estados del mundo” en el futuro, es el conjunto de “eventos” y P es una función probabilidad sobre los eventos
La PERDIDA de un portafolio, Z, es una variable aleatoria en este espacio
Una medida estática de riesgo es una función que le asigna un número real a pérdidas finales de portafolios:
Supongamos tasas de interés iguales a 0, por simplicidad enAleatoriasVariables:
P,,
Medidas de Riesgo Estáticas
Qué propiedades debe cumplir ?Adoptemos los axiomas de Coherencia. Sean Z, Z1 y Z2
pérdidas de portafolios (variables aleatorias en ):1. Monotonicidad:
2. Homogeneidad Positiva:
3. Subaditividad:
4. Invarianza bajo Traslación:
)()( 2121 ZZZZ
)()( ZaaZa
)()()( 2121 ZZZZ
aZaZa )()(
Medidas de Riesgo Estáticas
Axiomas introducidos por Artzner, Delbaen, Eber, Heath (1999)
Alternativa: Follmer y Schied (2002) relajaron homogeneidad y subaditividad por convexidad
Teorema: es coherente si y solo si existe un conjunto de probabilidades tal que
PZEZ P |][sup)(
Medidas de Riesgo Estáticas
Ejemplo 1: VaR Para un nivel de confianza (e.g., 95%),
-1x]P[X :x inf (X) aR V
Medidas de Riesgo Estáticas
Ejemplo 2: CVaR (AVaR, ES) Para un nivel de confianza ,
)(|(X) aR XVaRXXECV
CVaR
Medidas de Riesgo Estáticas
VaR no es coherente:No cumple subaditividad (en ocasiones, fomenta la desdiversificación) aunque típicamente los contraejemplos son “fabricados”:
CVaR sí es coherente
0
3%
3%
94%
0
100
0
3%
3%
94%
100
0
Z1 Z2
Confianza: 95%VaR (Z1)=0VaR (Z2)=0
VaR (Z1+Z2)=100
Medidas de Riesgo Dinámicas
Si se trabaja en una plataforma multiperiódica, debe incluirse: Información en periodos intermedios (nuevos precios de mercado,
flujos de caja del portafolio, etc.) Posibilidad de quiebra en periodos intermedios Pueden tomarse acciones en periodos intermedios En un periodo, el capital era una provisión al principio, y riqueza de
los accionistas al final; cuál es el papel del capital en varios periodos?
Cómo se pueden extender los axiomas anteriores a este caso? Hay muchas propuestas … adoptemos una Pero primero, definamos qué es una medida de riesgo
dinámica
Medidas de Riesgo Dinámicas
Se enriquece el espacio con la posible información nueva, que se representa con una filtración:
Seguimos la información del portafolio mediante sus flujos de caja (proceso estocástico adaptado)
Flujos negativos se interpretan con signo positivo (analizamos pérdidas)
Pensemos en estos flujos como los flujos que deberían agregarse al portafolio (en los tiempos correspondientes) para terminar igual que se empezó
tt :
tZ t :
Medidas de Riesgo Dinámicas
El flujo final incluye la pérdida total del portafolioUna medida dinámica le asigna un número real a cada
posible proceso de flujos, para cada tiempo:
finalT hasta t desde enosEstocásticProcesos:t ,: tt
Medidas de Riesgo Dinámicas
Axiomas “deseables” (Riedel (2003))1. Monotonicidad Dinámica:
2. Homogeneidad Positiva Dinámica:
3. Subaditividad Dinámica:
4. Invarianza bajo Traslación Dinámica (Tfinal T t):
t todopara t todopara )()( )()( 2121 ZZtZtZ tt
)()( ZaaZa tt
)()()( 2121 ZZZZ ttt
aZaZa tt )()(Ten perdido"" ,
Medidas de Riesgo Dinámicas
5. Independencia del Pasado:
Hasta aquí llega la típica definición de coherencia. Pero usualmente se adicionan otras propiedades “deseables”:
6. Consistencia Dinámica:
7. Relevancia:
)()( )()( 2121 ts todopara ZZsZsZ tt
)()()()()()( 22112111 tZZtZZZZ tttt
01 },{ tt
Medidas de Riesgo Dinámicas
Posibilidad 1: Calcular la medida estática en el tiempo 0, y esperar hasta el finalNo parece muy prudente ignorar información nuevaEsto de hecho violaría casi todos los axiomas
Posibilidad 2: Calcular la medida estática en el tiempo 0. En cada periodo intermedio, recalcular, y rebalancear la provisión de riesgo en caso necesarioP. ej., el caso CVaR. Problema: Violaría el axioma de consistencia temporal
Medidas de Riesgo Dinámicas
Nivel de confianza: 95%
Z1
0
0
0
0
5
10
97%
3%
6%
94%
100%
Z2
0
0
0
0
8.33
10
97%
3%
3%
97%
100%
8CVaR(0)
10
5CVaR(1)
33.9CVaR(0)
10
5CVaR(1)
Medidas de Riesgo Dinámicas
Posibilidad 1: Calcular la medida estática en el tiempo 0, y esperar hasta el finalNo parece muy prudente ignorar información nueva.Esto de hecho violaría casi todos los axiomas.
Posibilidad 2: Calcular la medida estática en el tiempo 0. En cada periodo intermedio, recalcular, y rebalancear la provisión de riesgo en caso necesarioP. ej., el caso CVaR. Problema: Violaría el axioma de consistencia temporal.Adicionalmente, es posible que se necesite rebalancear excesivamente la provisión de riesgo, que no sería ideal para el administrador.
Medidas de Riesgo Dinámicas
Posibilidad 3: Inventarse una extensión basada en una medida estática
Por ejemplo, CVaR dinámico CVaR estático, pero tomando como entrada la medida de riesgo del siguiente periodo:
En el tiempo Tfinal - 2, se vería así (suponiendo cero flujos de caja antes de Tfinal)
)())(()( 1 tZZCVaRDCVaRZCVaRD tt
Medidas de Riesgo Dinámicas
…
…
1
i
N
1,1 Z1,1
…
1,2 Z1,2
…
i,1 Zi,1
i,2 Zi,2
…
N,1 ZN,1
N,2 ZN,2
CVaR(1,1)
CVaR(1,i)
CVaR(1,N)
CVaRD(0)
Medidas de Riesgo Dinámicas
Por ejemplo, CVaR dinámico CVaR estático, pero tomando como entrada el CVaR dinámico del siguiente periodo:
Por ejemplo, en el tiempo Tfinal - 2, se vería así (suponiendo cero flujos de caja antes de Tfinal)
Computacionalmente intensivo Fórmulas cerradas para ciertas distribuciones (normal,
lognormal, log-elípticas) (Hardy y Wirch (2003), y Valdez (2004))
Esta medida satisface todos los axiomas dinámicos
)())(()( 1 tZZCVaRDCVaRZCVaRD tt
Medidas de Riesgo Dinámicas
Teorema: satisface los axiomas dinámicos si y solo si existe un conjunto de probabilidades tal que
Vamos a medir el riesgo de un portafolio de TES para comparar estas medidas
PZEZ ttPt ||sup)(
Plan de la presentación
Medidas de Riesgo Medidas Estáticas y Dinámicas Propiedades “Deseables” (Axiomas) Representación
Curva de Rendimientos Descomposición (Componentes Principales) Modelo de Proyección
Portafolio de TES Proyección en Factores de Riesgo Distribución de la Pérdida Riesgo Estático y Dinámico: Medición y Comparación
Conclusiones
Curva de Rendimientos
Enfoquemos el experimento en TES Tasa Fija Curva Cero Cupón Primero: Construcción histórica de la curva
Se calibra a precios de mercado (no a tasas) Se podría ponderar por liquidez, duración, etc. Curva paramétrica o no paramétrica
Por ejemplo, usando un modelo de Diebold y Li (2006), que es una variación de Nelson-Siegel (1987), y tomando precios para Octubre 19 de 2009:
Curva de Rendimientos
Curva de Rendimientos
A partir de la serie de tiempo de los cambios de estas curvas, se toman puntos significativos (1, 2, 3, 5, 7, 10, 12, 15 años), y se calculan los Componentes Principales:
Curva de Rendimientos
Dada la historia de los “pesos” de los cambios de la curva sobre los Componentes Principales, se puede hacer un modelo de proyección de estos cambios
Frecuencia: diaria (días hábiles) Ajuste de un VAR
Se rechaza la Hipótesis de Series no Estacionaria Rezago óptimo: 9 días
Errores se suponen normales para el experimento Simulación de caminos (tridimensionales) Cada punto en cada camino se interpreta como un
cambio en la curva Si arrancamos de la curva actual, cada camino da una
posible evolución de la curva
Curva de Rendimientos
0 5 10 15-1.5
-1
-0.5
0
0.5
1
1.5
%
Movimientos Componente 1, 10 Días
0 5 10 15-0.8
-0.6
-0.4
-0.2
0
0.2
0.4
0.6Movimientos Componente 3, 10 Dias
0 5 10 15-1
-0.5
0
0.5
1
Años
%
Movimientos Componente 2, 10 Días
0 5 10 15-1.5
-1
-0.5
0
0.5
1
1.5
Años
Movimiento Total de la Curva, 10 Días
Curva de Rendimientos
0 5 10 152
3
4
5
6
7
8
9
10
11
Años
%
"Distribución" de Curvas, 10 Días
Plan de la presentación
Medidas de Riesgo Medidas Estáticas y Dinámicas Propiedades “Deseables” (Axiomas) Representación
Curva de Rendimientos Descomposición (Componentes Principales) Modelo de Proyección
Portafolio de TES Proyección en Factores de Riesgo Distribución de la Pérdida Riesgo Estático y Dinámico: Medición y Comparación
Conclusiones
Portafolio de TES
Dado un portafolio de TES, se calcula la exposición a cada componente principal: Si el componente i cambia en 1 unidad, en cuánto cambia el
valor del portafolio? Por ejemplo, si el portafolio es el TES 2020, con un
nocional de $100:
Comp. 1 Comp. 2 Comp. 3
Valor -$0.675 -$0.0565 $0.0588
Portafolio de TES
A partir de la distribución de los componentes, se genera una distribución del valor del portafolio
Por ejemplo, si el portafolio es el TES 2020, con un nocional de $100, su pérdida a 10 días se vería así:
-10 -8 -6 -4 -2 0 2 4 6 8 100
200
400
600
800
1000
1200
1400
1600
$, Pesos
Pérdida de $100 del TES 2020, 10 Días
Portafolio de TES
Consideremos un portafolio más general:
Sensibilidad de este portafolio a los componentes principales
Comp. 1 Comp. 2 Comp. 3
Valor -$55.77 -$6.63 $0.15
Feb 10 Abr 12 Sep 14 Oct 15 Oct 18 Jul 20 Jul 24
3000 1000 2000 -4000 2000 5000 2000
Portafolio de TES
10,000 simulaciones T = 10 días = 95%VaR = $301.8 CVaR = $393.5
-1000 -800 -600 -400 -200 0 200 400 600 8000
200
400
600
800
1000
1200
1400
1600Pérdida del Portafolio de TES, a 10 Días
$, Pesos
Portafolio de TES
Ahora usemos dos y tres periodos en el análisisMidamos el “riesgo dinámico” En nuestro experimento, usaremos la distribución sin
ajustarAlternativa: ajustar la distribución a una forma especial
con fórmula analítica (normal, lognormal, log-elíptica) Para nuestro caso, no tenemos fórmula analítica
Simulación de evolución de los componentes principales de la curva
Portafolio de TES
Observación inmediata: las medidas dinámicas crecen rápido con el número de periodos
Intuición: en el caso de dos periodos, el esquema propone tomar el “worst-case” del “worst-case”. En el caso de tres periodos es el “worst-case”3
Es muy conservador
Periodos
Simulaciones
VaR Est.
VaR Din.
cVaR Est.
cVaR Din.
1 100,000 $297.9 $297.9 $383.4 $383.4
2 1,0002 $424.4 $603.5 $542.1 $778.2
3 1003 $483.2 $1243.5 $676.7 $1497.1
Portafolio de TES
Y entonces … hay esperanza?Alternativa, usar la noción de “worst-case” en el último
periodo, pero relajar el nivel de confianza para periodos anteriores
Problema: relajar cuánto? La subjetividad de determinar un nivel de confianza adecuado se multiplica a determinar niveles adecuados de confianza para cada periodo
Portafolio de TES
Por ejemplo, tomemos un bono cero cupón, valorado con una tasa r : P = e-r
Modelemos las pérdidas a dos periodos con la fórmula P = e-r(1-e-y-z), con y, z i.i.d. ~ N(0, 2t/2)
VaR95% = e-r(1-e-1.645t) Suponiendo conocida y, faltando un periodo la pérdida total
del bono es P = e-r(1-e-y-z), con z ~ N(0, 2t/2), y
VaR95%(y) = Para igualar el VaR inicial, se necesita
Esto se da con un nivel de confianza de 75%
2/645.11 tyr ee
2/)12(645.1 ty
Portafolio de TES
Extendiendo a tres periodos, el nivel de confianza necesario para igualar el VaR inicial es 70%
Para nuestro experimento, usemos 95%, faltando un periodo 75%, faltando dos periodos 70%, faltando tres periodos
Periodos
Simulaciones
VaR Est.
VaR Din.
cVaR Est.
cVaR Din.
1 100,000 $297.9 $297.9 $383.4 $383.4
2 1,0002 $423.9 $432.6 $544.6 $637.9
3 1003 $524.4 $629.1 $676.7 $1076.4
Plan de la presentación
Medidas de Riesgo Medidas Estáticas y Dinámicas Propiedades “Deseables” (Axiomas) Representación
Curva de Rendimientos Descomposición (Componentes Principales) Modelo de Proyección
Portafolio de TES Proyección en Factores de Riesgo Distribución de la Pérdida Riesgo Estático y Dinámico: Medición y Comparación
Conclusiones
Conclusiones
Observación: la medida de riesgo dinámica propuesta es muy conservadora si no se relaja el nivel de confianza (dinámico)
Problema: diseñar niveles de confianza dinámicos que satisfagan al regulador, y sean prácticos para los administradores de riesgo
Antecedente: esto se ha venido madurando con el nivel de confianza usando el VaR
Ventaja: la medida dinámica estudiada indica – por construcción – la probabilidad de necesitar provisionar más capital en el futuro
Desventaja: si no se suponen distribuciones particulares, la medida es muy demandante computacionalmente
Conclusiones
Por revisar: rebalanceo de las provisiones Los axiomas (propiedades deseables) obedecen a
requerimientos de reguladores y participantes. Es importante coincidir en ellos.
Referencias
1. Artzner, Delbaen, Eber, Heath (1999). Coherent Measures of Risk. Mathematical Finance 9, 203-228.
2. Artzner, Delbaen, Eber, Heath, Hyejin (2003). Coherent Multiperiod Risk Adjusted Values and Bellman’s Principle. Annals of Operations Research 152, 1, 5-22.
3. Hardy, Wirch (2003). The Iterated CTE – A Dynamic Risk Measure. Institute of Insurance and Pension Research, Univ. of Waterloo Research Report 03-19.
4. Riedel (2004). Dynamic Coherent Risk Measures. Stochastic Processes and Applications 112, 185-200.
5. Föllmer, Schied (2002). Convex Measures of Risk and Trading Constraints. Finance and Stochastics 6, 429–447.
6. Valdez (2004). The Iterated TCE for the Log-Elliptical Loss Process. Working Paper, Univ. of South Wales.
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