módulo de matemáticas financieras

Módulo de Matemáticas

Financieras

Elkyn Rafael Lugo Arias

Docente Uniminuto

Magister en Economía y finanzas

Elkyn.lugo@uniminuto.edu.co

Pero…. subyacen problemas de

orden económico y su

correspondiente expresión

financiera.

¿Qué es matemáticas financieras

Son las matemáticas aplicadas para hallar el valor del

dinero en el tiempo con el objeto de disminuir el riesgo y la

incertidumbre y así tomar decisiones financieras de ahorro

– inversión.

El concepto de inversión

Cualquier sacrificio de recursos hoy con la

esperanza de recibir algún beneficio en el

futuro.

Estudiando los beneficios…La tasa de Interés:

La tasa de interés es la utilidad (rentabilidad) medida entérminos porcentuales del rendimiento de un capital

determinado.

¿De cuánto deben ser estos beneficios o intereses?

¿Cuánto es lo mínimo que debo cobrar para no perder?

Los beneficios deberán cubrir:

1 La pérdida del poder adquisitivo. (Inflación)

2 El riesgo de perder una parte o todo el dinero.

3El “sacrificio” de no consumir ahora(componente real)

Solución

• Sólo se pueden comparar o combinar los valoresque se encuentren en el mismo punto detiempo.

Regla 1

•Para mover un flujo de efectivo hacia adelanteen el tiempo, debe capitalizarse.Regla 2

•Para mover un flujo de efectivo hacia atrás en el tiempo, debe descontarse.Regla 3

Las tres reglas del movimiento del tiempo

Fuente: Adaptación de Berk y Demarzo (2008)

Las reglas de los movimientos en el tiempo

SoluciónLas reglas de los movimientos en el tiempo

La primera regla es que solo se puede comparar o combinar valores que estánen el mismo punto del tiempo. Para comparar flujos de efectivo que ocurrenen distintos puntos de tiempo, primero se necesita convertirlos a las mismasunidades, es decir moverlos al mismo tiempo.

La segunda regla señala que para mover un flujo de efectivo hacia adelante enel tiempo, debe capitalizarse. Si la tasa de interés de mercado para el año sedenota como i, para llevar el flujo de efectivo del comienzo al final del año, sele multiplica por el factor (1+ i). Este proceso de mover un valor o flujo deefectivo hacia adelante en el tempo de le denomina como capitalización.

La tercera regla trata de cómo mover los flujos de efectivo en el tiempo haciaatrás. Para realizar ese cálculo, se divide el flujo de efectivo entre el factor dela tasa de interés (1+i), donde i es la tasa de interés, por lo tanto, encontrar elvalor equivalente hoy de un flujo de efectivo futuro de se conoce comodescuento. Entonces, la tercera regla señala que para mover un flujo deefectivo hacia atrás en el tiempo, debe descontarse.

Línea de tiempo dinero…

Interés simple e interés compuesto …

Interés simple e interés compuesto …

En el interés simple, el capital inicial no varía

período a período, es decir, el cálculo del interés

para un período no considera el interés que el

capital ganó en el período anterior.

En el caso del interés compuesto, el interés que el

capital gana en un período pasa a formar parte

del capital para efectos del cálculo del interés en

el período siguiente. A este proceso se le

denomina capitalización.

Comparando ambos tipos de interés podemos

decir que , en el interés simple no hay

capitalización , en el interés compuesto si lo hay.

Interés simple

En el interés simple el rendimiento se calcula en cada periodo

sobre el capital inicial.

Nomenclatura

Valor presente (P) = representa el capital inicial; llamado igualmente

principal, suele representarse por VP, VA y se define como la cantidad

de dinero que se invierte, se presta o recibe al inicio de una transacción.

Valor futuro (F) = representa el capital final, denominado también monto

o dinero incrementado.

Interés (I) = representa el interés y es la cantidad de dinero que se paga

por el uso del capital (P).

Tasa de interés (i) = representa el tanto por ciento que se paga por cada

unidad monetaria.

Tiempo (n) = representa el tiempo que dura la transacción. Se le

denomina también periodo.

Interés compuesto …

En el interés simple el capital original sobre el que se calculan los interesespermanece sin variación alguna durante todo el tiempo que dura laoperación. En el interés compuesto, en cambio, los intereses que se generanse suman al capital original en periodos establecidos y, a su vez, van agenerar un nuevo interés adicional en el siguiente lapso.

En este caso se dice que el interés se capitaliza y que se esta en presenciade una operación de interés compuesto.

En estas operaciones, el capital no es constante a través del tiempo, puesaumenta al final de cada periodo por la adición de los intereses ganados deacuerdo con la tasa convenida.

Ejercicios de interés compuesto …Valor Futuro

1. Juan Andrés recibe un préstamo universitario de $1.520.000, que deberá pagar

en una sola cuota doce meses después de efectuado el desembolso. La entidad

le cobra un interés compuesto del 2,6520 % mensual. ¿Cuál será el valor que

deberá pagar el estudiante una vez cumplido el plazo? Por favor, elabore el

diagrama de flujo de caja.

Formula Manual Formula excel

ni1 VP VF

00,0)2,0,-15200VF(2.65%,1

Valor presente 1,520,000

Interés 2.6520%

Tiempo 12

Valor futuro 2,080,906.52 522.080.906, %6520,21 1.520.000 VF

12

n,0,-VP,0)VF(i,

Ejercicios de interés compuesto …

Valor presente

3. Juliana del Pilar se acerca hoy al banco y retira $5.500.500 de un CDT que

depositó hace 30 bimestres. El banco le reconocía una tasa de interés compuesto

del 1,0725 % mensual. Por favor, elabore el diagrama de flujo de caja.

Formula Manual Formula Excel

21,158.900.2

1.0725%1

5.500.500 VP

60

n,0,-VF,0)VA(i,

Ejercicios de interés compuesto …Tasa de interés

ni1 VP VF

1 - P

F i

P

F i)1(

P

Fi)(1

P

Fi1

n

n

/1/1n

n

nn

5. El Banco Fortuna les ofrece a sus clientes triplicar el valor de suinversión siempre y cuando dejen su dinero depositado por un

periodo de 4 años. ¿Qué tasa mensual compuesta les pagaría este

banco a los ahorradores?

Manual Formula Excel

%3152,211

3 i 48

%3152,211

3 i 48

Valor futuro (VF) 3 Valor presente (VP) 1

Tiempo (n) 48Interés = ? =tasa(n,0,-VP,VF)

Ejercicios de interés compuesto …Tiempo o periodo

Como ya se menciono, la formula

de VF puede utilizarse para

resolver cualquier problema de

interés compuesto, pues en ella

están involucradas todas las

variables que lo determinan:

monto, capital, tiempo y tasa de

interés; conociendo tres de ellas se

despeja y determina la cuarta.

Formula Manual

ni1 VP VF

7. Diego Alejandro realiza una inversión de

$8.000.000, que le aseguraba una tasa

bimestral compuesta del 3,0835 %. Pasado

el tiempo, le entregan $11.520.000.

¿Cuántos bimestres pasaron para lograr el

valor del retorno?

Formula de Excel

3,0835%1 Log

8.000.000

11.520.000Log

n

P

Fi1

n

12308350,1 Log

44,1Log n

Valor futuro (VF) 11,520,000 Valor presente (VP) 8,000,000

Interés (i) 3.0835%

n = ? =NPER(i,0,-VP,VF)

Tasas equivalentes

Se puede observar cómo las tasas de interés se estipulan para unperiodo de tiempo como por ejemplo meses, trimestres, semestres oaños; adicionalmente se determina el momento en el que se pagan losintereses dentro del periodo, es decir, los intereses se pueden pagar deforma anticipada o vencida. Siguiendo la idea del concepto deequivalencia, se puede determinar relaciones entre las tasas para:

Convertir tasas anticipadas a tasas vencidas.Convertir tasas de un tipo de periodo a otro, por ejemplo de meses asemestres.Comparar tasas anticipadas con tasas vencidas.Comparar tasas de diferentes períodos.

Interés anticipado e interés vencido

Interés anticipado e interés vencido

Interés anticipado e interés vencido

Interés anticipado e interés vencido

Interés anticipado e interés vencido

Interés nominal e interés efectivo

Interés nominal e interés efectivo

Tasa de Interés Periódica

•Índica la tasa y el periodo de aplicación

•Es vencida o anticipada

•Puede ser usada en las formulas

•Ejemplos: 2% mensual; 4% bimestral; 6% trimestral; 18% semestral y 30% anual

Tasa de Interés Nominal

•Tasa de interés de referencia y no se utiliza en fórmulas

•Tiene tres elementos:

•tasa

•periodo de referencia

•periodo de composición

•Ejemplos: 16% acumulable trimestral; 30% convertible mensualmente

Tasa de Interés Efectivo

•Tasa de interés para un periodo especifico

•Mide el costo o rentabilidad real del dinero

•Ejemplo: 12,55% efectivo anual

Interés nominal e interés efectivo9. La señora Ana Inés tiene unos ahorros y los piensa invertir en un CDT durante un año. Le ofrecen las siguientes opciones: Banco X le brinda una tasa del 12,9000 % NAMV; el Banco Y, una tasa del 13,1000 % NABV y el Banco Z, una tasa del 12,8000 % NATA. La señora Ana Inés le pide a usted el favor que le haga la equivalencia de tasas a EA, para poder establecer cuál es la mejor opción.Formula Manual Formula en Excel

𝑿) 𝒆𝒂 = (𝟏 + 𝒊)𝒏-1

𝒆𝒂 = (𝟏 + 𝒊𝑵𝑨𝑴𝑽/𝒏)𝒏-1

𝑒𝑎 = (1 + 0,129/12)12-1 = 13,69%

Tasa nominal vencida

Número de periodos

Resultado tasa efectiva =INT.EFECTIVO(12.9%,12)

12.9000% 12 13.6907%

Y) 𝒆𝒂 = (𝟏 + 𝒊𝑵𝑨𝑩𝑽/𝒏)𝒏-1

𝑒𝑎 = (1 + 0,131/6)6-1 = 13,84%

Tasa nominal vencida

Número de periodos

Resultado tasa efectiva =INT.EFECTIVO(13.1%,6)

13.1000% 6 13.8362%

Opciones NTA NTV NMV EA

banco x 12.9%NAMV 1.08% 13.69%

Banco y 13.1%NABV 2.18% 13.84%

Banco z 12.8%NATA 3.20% 3.31% 13.89%

Z) 𝑁𝑇𝐴 = (0,128/4) = 3,2%

= (0,032

1−0,032) = 3,31%

𝒆𝒂 = (𝟏 + 𝒊)𝒏-1

𝑒𝑎 = (1 + 0,0331)4 - 1 = 13,89%

Interés nominal e interés efectivo10. Manuela Fernanda desea sacar un crédito para realizar una remodelación en su hogar y le ofrecen las siguientes opciones: Almacén A, una tasa del 18,4200 % NASV; Almacén B, una tasa del 3,5233 % BV; Almacén C, una tasa del 19,0000 % EA. Manuela Fernanda le pide a usted el favor que le haga la equivalencia de tasas a mensual vencida, para poder establecer cuál es la mejor opción.Formula Manual Formula en Excel

𝑨) 𝒊𝑴𝑽 = (𝟏 + 𝒊/𝒏)𝒏/𝒎-1

𝑖𝑀𝑉 = (1 + 𝑖𝑁𝐴𝑆𝑉/𝑛)𝑛/𝑚-1

iMV = (1 + 0,1842/2)2/12-1 = 1,4792%

𝑩) 𝒊𝑴𝑽 = (𝟏 + 𝒊𝑩𝑽)𝒏/𝒎-1

iMV = (1 + 0,035233)6/12-1 = 1,7464%

C) 𝒊𝑴𝑽 = (𝟏 + 𝒊𝑬𝑨)𝟏/𝒏-1

iMV = (1 + 0,19)1/12-1 = 1,4602%

A) Tasa nominal

Número de periodos

Resultado tasa efectiva. =INT.EFECTIVO(18.42%, 2)

18.42% 2 19.2682%

Tasa efectivaNúmero de

periodos

Resultado tasa nominal. =TASA.NOMINAL(19.2682%, 12)

19.2682% 12 17.7505%

Interés nominal

Número de periodos

Interés periódico = i nom/1217.7505%/12 = 1,4792%

17.7505% 12 1.4792%

B) Interés periódico Número de periodos Interés nominal

3.5233% 6 21.1398%

Tasa nominal Número de periodos Resultado tasa efectiva

21.1398% 6 23.0917%

Tasa efectiva Número de periodos Resultado tasa nominal

23.0917% 12 20.9568%

Interés nominal Número de periodos Interés periódico

20.9568% 12 1.7464%

Tasa efectiva Número de periodos Resultado tasa nominal

19.0000% 12 17.5220%

Interés nominal Número de periodos Interés periódico

17.5220% 12 1.4602%

Interés nominal e interés efectivo

Interés nominal e interés efectivo

Interés nominal e interés efectivo

Interés nominal e interés efectivo

Interés nominal e interés efectivo

Amortizaciones

Amortizar significa reducir gradualmente el saldo de una deuda mediante una serie depagos periódicos que contienen, además del pago de intereses, los abonos a capital.Un préstamo amortizable, tal como un crédito hipotecario o un crédito para automóvil, esun préstamo en el cual se reembolsa el principal a medida que se hacen los pagosperiódicos.

Amortizaciones

Amortizaciones

Anualidad

https://www.youtube.com/watch?v=a1KrccUO-2w

En general, se denomina anualidad a un conjunto de pagos iguales realizados a

intervalos iguales. Se conserva el nombre de anualidad por estar ya muy arraigado

en el tema, aunque no siempre se refieran a periodos anuales de pago. Algunos

ejemplos de anualidades son:

• Los pagos mensuales por renta.

• El cobro quincenal o semanal de sueldos.

• Los abonos mensuales a una cuenta de crédito.

• Los pagos anuales de primas de pólizas de seguro de vida.

Se conoce como intervalo o periodo de pago al tiempo que transcurre entre un

pago y otro, y se

denomina plazo de una anualidad al tiempo que pasa entre el inicio del primer

periodo de pago y el final del ultimo. Renta es el nombre que se da al pago

periódico que se hace.

Interés nominal e interés efectivoA. Juan negocio un crédito, con un pago final a 12 meses, de capital e intereses por

$6.000.000. Si ella decide hacer un abono, en el mes 4, de $2.000.000 y pagar el saldo en el mes 10, si la tasa de interés es del 2,0000 % mes vencido, ¿cuánto deberá pagar? Tome como fecha focal el mes 10 y recuerde elaborar el diagrama de flujo de caja.

Formula Manual Formula en Excel

0 4 10 12 meses

2000000 ? 6000000

Periodos 2

Valor futuro 6,000,000

Interés 2%Valor presente $5,767,012.69

Periodos 6

Valor presente 2,000,000

Interés 2%

Valor futuro $2,252,324.84

Valor por pagar $3,514,687.85

Interés nominal e interés efectivoB. Pedro ha sido compensado en su trabajo con una bonificación mensual consecutiva adicional al sueldo de $100.000, durante 36 meses, que solo podrá retirar hasta el final del plazo. Asimismo, se le reconocerá un interés del 13 % EA, sobre los abonos. ¿Cuál será el valor final que le entregará la empresa a Pedro?

Formula Manual Formula en Excel

Tasa efectiva Número de periodos Resultado tasa nominal

13.0000% 12 12.2842%

Interés nominal Número de periodos Interés periódico

12.2842% 12 1.0237%Pago (R) 100,000.00 Interés (i) 1.0237%

Periodo (n) 36

VF = ?=VF(i,n,-R,0)

=4,326,511.70

Gracias!