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ANALISIS MATRICIAL DE ESTRUCTURAS.
TITULO: EL METODO DE LOS DESPLAZAMIENTOS EN SU ENFOQUE MATRICIAL
Contenido:
Parte 1. Introducción. Aspectos fundamentales del algebra lineal. Ejemplos.
Parte 2. Introducción. Breve reseña histórica. Hipótesis fundamentales. El análisis
estructural. Notación y Referencia. Elementos que intervienen en el análisis. Cargas
Nodales. Rotación de fuerzas y desplazamientos. Ejemplo.
BIBLIOGRAFÍA:
• Cálculo de Estructuras. J. R. González de Cangas, A. Samartín Quiroga. 1999.
• Análisis de estructuras. R. Arguelles Álvarez, R. Arguelles Bustillo. 1996.
• Cálculo de Estructuras por el Método de Elementos Finitos. Análisis estático
lineal. E. Oñate. 1992.
• Cálculo Matricial de Estructuras. E. Alarcón Álvarez, R. Álvarez Cabal. 1990.
• Análisis Matricial de estructuras. Método de los desplazamientos. Manuel
Penado. 1987.
El desarrollo de los ordenadores en las últimas décadas ha estimulado
sobremanera el trabajo de investigación en muchas ramas de la matemática.
La mayor parte de esta actividad ha estado, naturalmente, relacionada con el
desarrollo de los procedimientos numéricos apropiados para el uso de éstos, y
en el caso del análisis de estructuras ha conducido al desarrollo de métodos
que utilizan las ideas del ÁLGEBRA MATRICIAL.
El empleo de la notación matricial presenta dos ventajas en el cálculo de
estructuras. Desde el punto de vista teórico, permite utilizar métodos de cálculo
de una forma compacta, precisa y, al mismo tiempo, completamente general.
Desde el punto de vista práctico, proporciona un sistema apropiado de análisis
de las estructuras y determina una base muy conveniente para el desarrollo de
programas de computación.
En contraste con estas ventajas, debe admitirse que los métodos
matriciales se caracterizan por una gran cantidad de cálculos
sistemáticos, y su valor en el cálculo práctico de estructuras se
basa en la adecuación de los ordenadores para llevar a cabo el
trabajo numérico. Se desprende de esto que el principal campo
de aplicación está en el cálculo de grandes y complejas
estructuras, en las que los métodos manuales tradicionales
requieren una dosis excesiva de esfuerzo humano. En problemas
simples, en los que los métodos existentes son plenamente
satisfactorios, se gana muy poco con un tratamiento matricial.
El hecho de que los métodos matriciales estén ligados con los
ordenadores y que se emplee en los mismos una notación no
familiar a algunos ingenieros ha llevado a la creencia de que
incluyen nuevos y difíciles conceptos matemáticos y
estructurales, esto no es cierto. Un conocimiento de las
operaciones básicas del álgebra matricial es todo cuanto se
requiere, y los únicos principios estructurales necesarios son los
elementos tratados en todos los textos de estructuras.
ASPECTOS FUNDAMENTALES DE ÁLGEBRA
LINEAL.
1. Suma y/o resta de matrices.
2. Multiplicación de matrices.
3. Inversión de matrices.
SUMA Y /O RESTA DE MATRICES.
Sean dos matrices (A y B) que se desean sumar y / o restar
para obtener una nueva matriz (C); lo que equivale a:
[A] + [B] = [C]
Si: [A]p*n ; [B]p*n ; [C]p*n p*n: orden de la matriz
La matriz suma o resta vendrá dada por:
a + b = c
Es decir, para sumar y/o restar matrices se suman término a
término sus elementos componentes. Por la definición ambas
matrices deben ser del mismo orden, se dice entonces que
dos matrices del mismo orden son conformes para la suma.
Formalmente:
Ejemplo: Sumar las matrices [A] y [B] que se dan a
continuación, para obtener la matriz suma [C]:
[A]+[B]=
1p1p
2121
1111
ba
ba
ba
22
2222
1212
pp ba
ba
ba
pnpn
n2n2
n1n1
ba
ba
ba
np*
Ejemplo: Sumar las matrices [A] y [B] que se dan a
continuación, para obtener la matriz suma [C]:
[A]=
4
2
1
3
3*20
5
[B]=
0
1
4
2
3*27
3
dando [C]=
4
1
3
1
3*27
8
MULTIPLICACIÓN DE MATRICES.
Producto Escalar Por Una Matriz :
Para multiplicar una matriz[A] por un escalar ( ), se
multiplica por ( ) todos los elementos de la matriz. Las
operaciones se pueden resumir como:
Ejemplo: 3* =
1
0
2
3
0
6
15
9
3
PRODUCTO DE MATRICES
Para multiplicar una matriz [A] por una matriz [B],
obteniéndose de esta matriz una nueva matriz [C], debe
seguirse la siguiente formulación:
q*nA p*nB * = p*q
C
Propiedades del producto de matrices:
Es asociativa ([A] * [B]) *[C] = [A] * ([B] * [C]).
Es distributiva a la derecha y a la izquierda:
[A] * ([B] + [C]) = [A] * [B] + [A] * [C]
([B] + [C]) * A = [B] * [A] + [C] * [A]
INVERSIÓN DE MATRICES.
La inversión de una matriz cuadrada [A], si existe , es
también una matriz cuadrada la cual conmuta con y
tal que el producto * tiene como resultado la matriz
idéntica del mismo orden que la matriz .
Existen diferentes métodos para el cálculo de la matriz
inversa:
1. Mediante la adjunta.
2. Mediante el método de eliminación de Jordán .
3. Mediante programas de inversión empleando ordenadores.
A
A 1A
I
A 1A
A) Método de la Adjunta:
= 1
A ADet
AAdj
Adj [A]: se denomina a la traspuesta, de la matriz de los
cofactores de [A].
LA MATRIZ TRASPUESTA de una matriz [A] de orden (p * n)
es la que se obtiene intercambiando en [A] las filas por
columnas, se denota por
y es evidente que si la matriz [A] es de orden (p *n), su
traspuesta será de orden(n x p).
,́A
Ejemplo.
Determinar la matriz inversa aplicando el
método de la adjunta.
[A] =
1
1
1
4
3
2
3
4
3
1) Se calcula el determinante de la matriz [A]. En este
caso el determinante de la matriz [A] = (-2), distinto de cero,
teniendo la matriz por tanto inversa. En caso de que este
determinante diera cero, la matriz sería MATRIZ SINGULAR,
y la misma no tendría matriz inversa. Posteriormente en el
estudio del análisis matricial se observará cómo las matrices
singulares son reflejo de estructuras mal organizadas (
sistemas críticos o mecanismo).
2) Se calcula la adjunta de la matriz [A].
Adj[A] =
121
101
167
Al aplicar la definición de matriz inversa
=
En este caso se obtiene:
=
1A
2
11
2
12
10
2
12
13
2
7
1A
ADet
AAdj
METODO DE ELIMINACIÓN DE JORDAN.
Este método se basa en una serie de transformaciones
elementales aplicadas a la matriz [A] que se desea invertir. Se
entiende por transformaciones elementales las siguientes:
1. Intercambio de filas.
2. Intercambio de columnas.
3. Multiplicación de los elementos de una fila por un escalar.
4. Multiplicación de los elementos de una columna por un
escalar.
5. Sumar a los elementos de una fila los de otra fila
multiplicados por un escalar.
6. Sumar a los elementos de una columna los de otra columna
multiplicados por un escalar.
Ejemplo: Calcular por el método de Jordan
la inversa de la matriz:
A =
2
1
1
1
1
0
0
2
1
Antes de proceder a aplicar el Método de Jordan se debe
comprobar que esta matriz tiene realmente inversa, esto es,
que no sea una matriz singular. Para esto se obtiene el
determinante de la matriz [A] a invertir, el cual debe ser
distinto de cero. En este caso el mismo da un valor (-1), lo
cual indica que tiene inversa, proponiéndose a continuación a
obtener la misma.
Se escribe la matriz [A] y al lado, la matriz [ I ], del mismo
orden.
2
1
1
1
1
0
0
2
1
0
0
1
0
1
0
1
0
0 A =
3) Realice las transformaciones elementales en las dos matriz, en forma tal
que la matriz [A], se transforme en la identidad.
Para efectuar estas transformaciones:
a) Escriba la 1ra fila como está y realice las transformaciones necesarias para
obtener ceros en la primera columna.
0
0
1
1
1
0
2
3
1
2
1
1
0
1
0
1
0
0
0
0
1
1
1
0
2
3
1
2
1
1
0
1
0
1
0
0
Fila 2: fila 2 – fila 1.
Fila 3: fila 1 * (-2) + fila 3.
0
0
1
1
1
0
2
3
1
2
1
1
0
1
0
1
0
0
0
0
1
0
1
0
1
3
1
1
1
1
1
1
0
1
0
0
b) Escriba ahora la segunda fila como está y utilizando la segunda fila obtenga los ceros en la
segunda columna.
Fila 3: fila 2 – fila 3.
c) Escriba la tercera fila como este y utilizando la tercera fila obtenga los ceros de la tercera
columna.
0
0
1
1
1
0
2
3
1
2
1
1
0
1
0
1
0
0
0
0
1
0
1
0
1
0
0
1
4
2
1
2
1
1
3
1
d) Como la matriz [A] se ha convertido en la identidad, la matriz identidad [ I ], a la que se le han
aplicado las misma transformaciones se habrá convertido en la ,matriz inversa de [A], por tanto la
matriz será:
1
1
4
2
1
2
1
1
3
1
A =
e) Compruebe que la matriz obtenida es la inversa multiplicando la
matriz [A] original por esta, debiéndose obtener la matriz [ I ].
Fundamentalmente en el análisis matricial existen dos métodos:
EL METODO DE LAS FUERZAS Y EL METODO DE LOS
DESPLAZAMIENTOS
El primero, METODO DE LAS FUERZAS, su solución se basa en la formación
de una matriz [f], que se llama matriz flexibilidad del sistema, la cual se
corresponde con un sistema base dado y para una estructura determinada
existirán tantas matrices [f], como sistemas bases se elijan. Esta dificultad en
establecer una relación única entre la estructura real y el sistema base
(además de lo engorroso en determinar este si la estructura tiene un cierto
grado de complejidad), hizo que la aplicación de los ordenadores al análisis de
las estructuras mediante este método se retrasara en relación con la aplicación
del segundo método, METODO DE LOS DESPLAZAMIENTOS, en el que el
sistema base es único.
En el segundo método, METODO DE LOS DESPLAMIENTOS, como se
conoce el sistema base es único y parte de la inmovilización de todos los
nudos de la estructura no permitiéndose ningún tipo de desplazamiento de los
mismos (lineales o angulares), con lo cual se desprende que el sistema base
tiene que ser único también y puede ser formado en forma directa y sencilla
como posteriormente se verá. Es lo anterior lo que brindó gran atractivo para
los científicos e investigadores en el desarrollo de este método y es esta la
razón por lo que fue el primero en desarrollarse.
La hipótesis en que ambos métodos se basan son las mismas estudiadas en
los cursos de Mecánica de la Construcción, en sentido general, valga decir
continuidad, homogeneidad, isotropismo, linealidad, etc.
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