matematicas financieras
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Hermosillo, Son., 15 de Junio de 2009
MATEMATICAS FINACIERAS
1. Una persona adquiere un vehículo en $68,000 y para venderlo quiere ganar el 40%, determina el precio.
68,000*.40 = 27,200+68,000= 95,200
R=$95,200
2. En un grupo de 40 alumnos el 30% son mujeres, ¿cuántos hombres hay? 40*.30 = 12 (40 – 12) = 28
R= 28
3. Un aparato de refrigeración cuesta $15,594.60 el cual es un precio de crédito ya que su precio de contado se incremento en el 58%, ¿Cuál es el precio de contado de ese aparato?
*15,594.60/1.58= 9,870x.58= 5,724.6+9,870= 15,594.60
*X+.58X= 15,594.601.58X=15,594.60X=15,594.60/1.58
*15,594.60 – 158 – 100(15,594.60)(100)/1.58=
R=9,870
Firmamos un documento por $16,296 en el cual está contenido el monto del préstamo, el 48% de intereses y el IVA de los intereses. ¿Cuánto es de monto? ¿De intereses? Y ¿de IVA?
M= X
i=.48X
IVA .15i = (.15)(.48)
X+.48X+.15(.48X) = 16,296 1.552X = 16,292
X+.48X+.072X = 16,292 X= 10,500 … *
1 | P a g e
MATEMATICAS FINANCIERAS
FINANZAS I
FINANZAS II
SEMINARIO DE FINANZAS
PROYECTOS DE INVERSION
PRESUPUESTOS
(.48)(.15) = 0.072
.48 + .072 = 0.552
16, 296 / 1.552 = 10,500
*10,500 X .48 = 5,040
5,040 X .15 = 756
R:
Monto= 10,500
Interés= 5,040
I.V.A= 756
Hermosillo, Son., 16 de Junio de 2009
Solución de ejemplo pendiente Ejercicio de exponentes Multiplicación de potencias de la misma base Potencia de factores Potencia de cocientes Potencia 1 y 0 Potencias negativas Potencias fracciones
��
2 | P a g e
16 a3 b10 c15 = 4a = 4(1600) = 6,400 4 a2 b10 c15=
-3 a5EXPONENTE
BASE
COEFICIENTE SIGNO
Encuentra el valor numérico de la siguiente expresión de acuerdo con los valores que se dan:
8 a3 b10 c15 1 2
4 a2 b2 c4 b8 c11
a= 1,600
b=1545
c=2320
LEYES DE EXPONENTES
Multiplicación de potencias de la misma base
Para multiplicar potencias de la misma base, los exponentes se suman
Ej. x3 * x2 = x3+2 = x5
(a3 b2) (a4 b5 c2) = a7b7c2
(2 a5 b3 c4) (3 a4 b c2 c2) = 6 a9 b4 c8
Elementos de un término algebraico
División de potencias de la misma base
Para dividir potencias de la misma base los exponentes se restan ej.
3 | P a g e
=
a5/a3= a2
8 a 5 b 7 c 8 d 10 = 4 a b5 c3 d
2 a4 b2 c5 d9
Potencia de factores
Cuando una potencia este afectando a 2 o más factores contenidos entre paréntesis, todos y cada uno de ellos deberán ser afectados por esa potencia. Ej.
(5 abc)2 = 25 a2 b2 c2
Potencia de cocientes
Cuando una potencia este afectando a un cociente contenido en un paréntesis, tanto el numerador como el denominador deberán ser afectados por esa potencia por ej.
(x/y)4 = x4/y4
(2abc / xyz)5 = 32 a5 b5 c5 / x5 y5 z5
Potencia de potencias
Para elevar una potencia a otra o mas potencias los exponentes se multiplican ej.
(a3)2 = a6 ((x3)3)2 = x24
((a3 b2 c)3)2 = a18 b12 c6
Potencia 1 potencia 0
Todo número elevado a la 1 es igual a sí mismo ej.
a1= a
Todo número elevado a la 0 es igual a 1 ej.
4 | P a g e
x⁰= 1 a⁰ = 1 35⁰= 1 (1, 465, 875)⁰= 1
Potencias negativas
Cuando en un resultado tengamos potencias negativas y queremos presentar únicamente potencias positivas: se cambia el termino del numerador al denominador o viceversa ej.
a 5 b -3 c -4 d 3 = a 5 d 3 x 2 z 4
x-2 y4 z-4 b3 c4 y4
x -5 y = b 3 y
a b-3 a x5
Potencias de fracciones
Las potencias de fracciones se pueden combinar con radicales de tal manera que el numerador de la potencia afecte a la base y denominador afecte al radical ej.
a m/n = n√am
9½√9 = 3
3⅔ = 3√32
Para la raíz; numero + shift + numero y el exponente = resultado
Hermosillo, Son., a 17 de Junio de 2009
Ejercicios de exponentes Logaritmos Propiedad de los logaritmos Log. b0 = 1 Log. b1 = 0 Logaritmo de un producto Logaritmo de un cociente
5 | P a g e
Logaritmo de una potencia El exponente como incógnita
Ejercicios :
1. a5 * a6 = a 11
2. (a3 b4 c5) (a2 b c2) = a 5 b 5 c 7
3. a5/a3 = a 2
4. a8 b3 c5/a6 b c3 = a 2 b 2 c 2
5. (x6)2 = x 12
6. (a3b4c5)2 = a 6 b 8 c 10
7. (a8/b3)2 = a 16 /b 6
8. (a5 b2 c4/a3 b c2) = a 8 b 4 c 8
9. (a5 b2 c/a2 b c) (a2 b3 c4/a b2 c3) = (a3 b) (a b c) = a 4 b 2 c
10. ((a2 b4 c5/ab3 c2)2)3 ((a3 b5 c4/a b3 c2)5)6)0 = 1
LOGARITMOS
Se llama logaritmo de un número al exponente que debe elevarse la base para obtener el número dado es decir, log₁₀ log N= X = 10* = N
Comprueba que el Log de 25 es = a 1.397940009
10ˆ1.397940009 = 25
Logaritmo de un producto
Log (A*B) = Log A + Log B
6 | P a g e
Ejem. Log (3*4) = Log 3 + log 4
Log 12 = 1.079181246 = .477121254 + .602059991 = 1.079181246
Aplica la propiedad de Log en los siguientes productos
Log (10*2) = Log 10 + Log 2
1 + 0.301029995 = 1.301029995
Log 10 = 1
Log 1 = 0
Logaritmo de un cociente
Log A/B = Log A – Log B
Ejem. Log 10
2 = Log 10 – Log 2
Log 5 = .698970004 = 1 - .301029995 = .698970004
Logaritmo de una potencia
Log aⁿ = n Log a
Ejem.
Log 52 = 2 * Log 5
Log 25 (5*5) = 1.397940009
Se multiplica el exponente por el Log del entero
2 (.698970004) = 1.397940009
El Logaritmo como incógnita
8x = 64 X= 2
2x= 8 X=3
7 | P a g e
3x= 5.799546135 X= 1.6
4x= 16,384 X= 7
Teniendo una cantidad “a” (conocida) elevada a un exponente x (incógnita) = a “b” (conocida) es decir:
aX =b
X = Log b *para usarse en interés compuesto
Log a
Aplica las propiedades logarítmicas en los siguientes ejercicios
1. Log (8*2) = Log 8 Log 2 .903089987 + .301029995 = 1.204119983
2. Log de (14*3) = Log 14 Log 3 1.146128036 + .477121254 = 1.62324929
3. Log (12/4) = Log 12 Log 4 1.079181246 + .602059991 = 1.681241237
4. Log (15/3) = Log 15 Log 3 1.176091259 + .477121254 = 1.653212514
5. Log de 7₂ = Log. 7 = .84509804 2(.84509804) = 1.69019608Log 49 = 1.69019608
6. Log de 4₃ = Log. 4 = .6020599913(.602059991) = 1.086179974Log 64 = 1.086179974
Encuentra el valor del exponente
7. 5x = 625 Log 625 = 2.795880017 Log 5 = .698970004
8 | P a g e
X= 4
8. 6x = 25.15777628Log 25.15777628 = 1.400672251 Log 6 = .77815125X= 1.8
Hermosillo, Son., a 18 de Junio de 2009
TAREA LUNES
PROGRESIONES ARITMETICAS
Mediante las leyes de exponentes simplifica las siguientes operaciones
*cuaderno
xn = a
x= n√a
PROGRESIONES ARITMETICAS
Formula F= a+rt
F= Futuro
a= actual
r= rendimiento
t= tiempo
9 | P a g e
Ejemplo
Una fabrica produce 1000 artículos X y sabe que cada mes podrá producir el 18% sobre la cantidad actual que tantos artículos X tendrá en año quinto?
Datos:
F= ? F= 1,000 + 180(5)
a = 1,000 F= 1000 + 90
r= 180 (18% - 1000) F= 1900
t= 5 anos
1. En una granja porsicola inicia con 3000 cerdos y el dueño sabe que se reproducen al 15% sobre esta cifra cada año. De Japón le solicitan que envié 1500 cerdos en 3 anos. Podrá el dueño cumplir con este compromiso si desea conservar los 3000 cerdos iníciales?
Datos:
F= ? F= 3000 + 450(3)
a= 3000 F= 3000 + 1,350
r= 450 (15% 3000) F= 4,350 (cerdos en 3 años)
t= 3 años R= no podrá si desea conservar los 3000
Iníciales tendrá un faltante de 150.
2. Una persona solicita un préstamo por 5,000 y se compromete a pagar dentro de 4 meses y además pagara un 8% sobre el valor del préstamo cada mes. ¿Cuánto deberá pagar en ese tiempo y con esas condiciones?
F= ? F= 5000 + 400(4)
10 | P a g e
a= 5,000 F= 5000+ 1,600
r= 400 (15% 5000) F= 6,600 (en 4 meses)
t= 4 meses R= Tendrá que pagar un total de $6,600
400*4= 1,600 (interés 4 meses)
Hermosillo, Son., 24 de Junio de 2009
Progresión aritmética
1º 2º 30 40 50 60 70 80 90 100 110 120 130 140 150 … 800
1, 5, 9, 13, 17, 21, 25… 57… 317
Formula: 4n -3 4(5) -3 = 17
4(1)-3* = 1
*Lo que tienes que restar (sumar depende el caso) para llegar al primer término que en este caso es 1
Formula: Ʃn= n/2 (ti + tf)
Σ η = 5/2 (1+17) = 45
Σ η = 15/2 (1+57) = 435
Dada la siguiente progresión aritmética, encuentra el termino 20, la sumatoria hasta el termino 20 y la sumatoria hasta el termino 35. t20= 98, Ʃ20= 1,010 Ʃ35= 3,080
Progresión: t1 3, 8, 13, 18, 23.
5n -2 Σ η = n/2 (ti + tf) Σ η = 35/2 (3+173) = 3,080
5(20)-2 = 98 (tf de 20) Σ η = 20/2 (3+98)
Σ η = 10 (101) = 1,010
Razón
Dada la sucesión 8, 14, 20, 26, 32 encuentra el 100 termino y la sumatoria hasta este, el termino 30 y su sumatoria.
11 | P a g e
Formula: 6n +2
t10 = 6(10) +2 = 62 Σ η= 10/2 (8+62) Ʃn= 5 (70) = 350
t30 = 6(30)+2 = 182 (tf de 30) Σ η = 30/2 (8+182) Ʃn= 15 (190) = 2,850
PROGRESIONES GEÓMETRICAS
n=1 n=2 n=3
a (1 )2 +b (1 )+c a (2 )2 +b (2 )+c a (3 )2 +b (3 )+c
a+b+c 4 a+2b+c 9a+3b+c
1era Diferencia 3a+b 5a+b
Segunda Diferencia 2a
a+b+c=¿ 3, 7, 13, 21, 31, 43
3a+b = 4, 6, 8, 10
2a=¿ 2, 2, 2
2a=2
a = 2/2
a=¿ 1
3a+b=4
3 (1 )+b=4
3+b=4
b=4−3
b=1
a+b+c=3
1+1+c=3
c=3−2
c=1
12 | P a g e
an2+bn+c
tn=n2+n+1
t 4=42+4+1
¿16+4+1 3, 7, 13, 21, 31, 43, ?
¿21
t 6=62+6+1
¿36+6+1
¿43
t 7=72+7+1
¿49+7+1
¿57
Dada la siguiente progresión Geométrica determina la formula, el termino 12 y el termino 20.
5, 15, 31, 53, 81, 115
10,16, 22
6, 6
13 | P a g e
a+b+c=5
3a+b=10
2a=6
2a=6
a = 6/2
a=¿ 3
3a+b=10
3 (3 )+b=10
9+b=10
b=10−9
b=1
a+b+c=5
3+1+c=5
c=5−4
c=1
an2+bn+c
tn=3n2+n+1
t 4=3(4)2+4+1
¿48+4+1 5, 15, 31, 53, 81, 115
¿53
t 12=3(12)2+12+1
¿432+13
¿445
14 | P a g e
t 20=3(20)2+20+1
¿1200+21
¿1,221
Hermosillo, Son., 25 de Junio de 2009
Interés Compuesto
f =p(1+i)n
o f =futuro
o p=presente
o i=inter é s
o n=tiempo
P= f/(1+i)n
p(1+i)n=f
(1+i)n= f/p
1+i= n√ f / p
i = (n√ f / p)
(1+i)n = f/p
n = logfp
/¿ log (1+i)¿
f= p(1+i)n
p= f/(1+i)n
i= (n√ fp
¿−1
15 | P a g e
n= log fp
/ log (1+i)
Dada la siguiente sucesión Geométrica 6, 15, 28, 45, 66 determina la formula correspondiente y encuentra el termino 25 y 30.
a+b+c=6
3a+b=9
2a=4
6, 15, 28, 45, 66
9, 13, 17, 21
4, 4, 4
2a=4
a = 4/2
a=¿ 2
3a+b=9
3 (2 )+b=9
6+b=9
b=9−6
b=3
a+b+c=6
2+3+c=6
c=6−5
c=1
an2+bn+c
tn=2n2+3n+1
t 20=2(25)2+3(25)+1
¿1250+76
¿1326
t 30=2(30)2+3(30)+1
16 | P a g e
¿1800+91
¿1891
Los Crecimientos o progresiones Aritméticas o Geométricas no solo tienen aplicación en el ámbito financiero de una empresa sino que también sirven para pronosticar el futuro de la producción, ventas, mano de obra y otras necesidades de la empresa.
INTERÉS COMPUESTO
Se depositan en le banco $18,900 el cual rendirá un interés compuesto del 12% mensual, ¿Cuánto tendremos en el 70 mes?
Datos:
f= ?
p= $18,900
i= 12% = .12
n= 7 meses
Formula de futuro
f= p(1+i)n
=18,900(1+.12)7
=41,781.87
Si yo quiero tener en el banco $25,000 dentro de 4 meses y se que el banco me ofrece un interés del 4% mensual ¿Cuánto tendré que depositar hoy para tener la mencionada cantidad en ese tiempo?
f= $25,000
p= ?
i= 4% = .04
n= 4 meses
p= f/(1+i)n
p=25,000/(1+.04)4
= $21,370.00
17 | P a g e
Se depositaron en el banco $8,000 y al término de 9 meses se retiraron $9,700. Determina la tasa de interés que otorgo el banco.
f= $9,700
p= $8,000
i=?
n= 9 meses
i= (n√ fp
¿−1
i= (9√ 97008000¿−1
i= (9√1.2125¿−1
i= 1.0216−1
i=.02
i=2%
Hermosillo, Son., a 30 de Junio de 2009
Por cuánto tiempo deben permanecer en el banco $10,000 para que se conviertan en $11,592 si el banco ofrece un interés del 3% mensual.
n= log fp
/ log(1+i)
n= .064195835/.012837224
n= 5.000756576
n= 5 meses
18 | P a g e
19 | P a g e
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