matemáticas en acción – curso 2005-2006 1 enrique castillo universidad de cantabria un algoritmo...

Matemáticas en Acción – Curso 2005-2006 1

Enrique Castillo

Universidadde

Cantabria

Un Algoritmo que Revoluciona Un Algoritmo que Revoluciona la enseñanza del Álgebra. la enseñanza del Álgebra.

Aplicaciones a la IngenieríaAplicaciones a la Ingeniería

porpor

Matemáticas en Acción – Curso 2005-2006 2

El algoritmo de Jubete

1. Obtener el subespacio ortogonal a un subespacio dado y su complemento.

2. Calcular la inversa de una matriz.

3. Actualizar la inversa de una matriz tras cambiar una fila o columna.

4. Obtener el determinante de una matriz.

5. Actualizar el determinante de una matriz tras cambiar una fila o columna.

6. Determinar el rango de una matriz.

7. Determinar si un vector pertenece a un espacio vectorial.

8. Obtener el subespacio intersección de dos subespacios.

9. Resolver un sistema lineal homogéneo de ecuaciones.

10. Resolver un sistema lineal completo de ecuaciones.

11. Estudiar la compatibilidad de un sistema lineal de ecuaciones.

Matemáticas en Acción – Curso 2005-2006 3

ALGORITMO DE ORTOGONALIZACION DE JUBETE

Matemáticas en Acción – Curso 2005-2006 4

INVERSA Y DETERMINANTE DE UNA MATRIZ

Matemáticas en Acción – Curso 2005-2006 5

INVERSAS SIMULTANEAS DE SUBMATRICES DE UNA MATRIZ

Matemáticas en Acción – Curso 2005-2006 6

INVERSAS AL MODIFICAR FILAS DE UNA MATRIZ

ACTUALIZACION DE INVERSAS

Matemáticas en Acción – Curso 2005-2006 7

INVERSAS AL MODIFICAR FILAS DE UNA MATRIZ

ACTUALIZACION DE INVERSAS

Matemáticas en Acción – Curso 2005-2006 8

Subespacios Ortogonales y Complementos

Matemáticas en Acción – Curso 2005-2006 9

Subespacios Ortogonales y Complementos

Matemáticas en Acción – Curso 2005-2006 10

RANGO DE UNA MATRIZ

Además da los coeficientes de la

combinación lineal

Matemáticas en Acción – Curso 2005-2006 11

PERTENENCIA A UN ESPACIO VECTORIAL

Matemáticas en Acción – Curso 2005-2006 12

INTERSECCION DE DOS SUBESPACIOS

Matemáticas en Acción – Curso 2005-2006 13

RESOLUCION DE UN SISTEMA HOMOGENEO

Matemáticas en Acción – Curso 2005-2006 14

RESOLUCION DE UN SISTEMA HOMOGENEO (EJEMPLO)

Matemáticas en Acción – Curso 2005-2006 15

RESOLUCION DE UN SISTEMA COMPLETO

Matemáticas en Acción – Curso 2005-2006 16

RESOLUCION DE UN SISTEMA COMPLETO

Matemáticas en Acción – Curso 2005-2006 17

RESOLUCION DE UN SISTEMA COMPLETO

Matemáticas en Acción – Curso 2005-2006 18

COMPATIBILIDAD DE UN SISTEMA

Matemáticas en Acción – Curso 2005-2006 19

COMPATIBILIDAD DE UN SISTEMA (EJEMPLO)

Matemáticas en Acción – Curso 2005-2006 20

Conexión modelo-realidad

Las matemáticas son herramienta fundamental en Ciencia e Ingeniería.

Matemáticas en Acción – Curso 2005-2006 21

Conexión modelo-realidad

El alumno debe conocer la relación entre los elementos ingenieriles y los matemáticos.

El alumno debe saber cómo actualizar soluciones.

Matemáticas en Acción – Curso 2005-2006 22

Conexión modelo-realidad

El alumno debe saber cuando un elemento es redundante tanto desde el punto de vista ingenieril como matemático y de sus implicaciones en la seguridad del servicio y los grados de libertad de la solución general.

Matemáticas en Acción – Curso 2005-2006 23

Conexión modelo-realidad

El alumno debe relacionar la topología de una red con el número de incógnitas y ecuaciones matemáticas que la definen.

El alumno debe saber plantear el problema de formas diferentes.

Matemáticas en Acción – Curso 2005-2006 24

Conexión modelo-realidad

El alumno debe saber plantear problemas con desigualdades.

El alumno debe saber plantear hipótesis alternativas.

Matemáticas en Acción – Curso 2005-2006 25

El Problema del abastecimiento de agua

El alumno debe identificarlas incógnitas del problema.

El alumno debe identificarlas ecuaciones del problema.

Matemáticas en Acción – Curso 2005-2006 26

El Problema del abastecimiento de agua

Número de ecuaciones.Número de incógnitas.

Numeración de los nodos.Restricciones.

¿Cuáles son los datos? ¿Cuáles son las incógnitas?

Matemáticas en Acción – Curso 2005-2006 27

Planteamiento del

problema

El alumno debe saber plantear el problema enforma de ecuacionesmatemáticas y especialmenteen forma matricial.

Matemáticas en Acción – Curso 2005-2006 28

Planteamiento del

problema

El alumno debe saber numerar los nodos y diferenciar entre una numeración correcta y una que no lo es.

Matemáticas en Acción – Curso 2005-2006 29

Análisis de la

Solución

¿Tiene solución?

¿Es única la solución?

Matemáticas en Acción – Curso 2005-2006 30

CONDICION DE COMPATIBILIDAD

Caudal que entra = caudal que sale :

Matemáticas en Acción – Curso 2005-2006 31

CONDICION DE COMPATIBILIDAD

Matemáticas en Acción – Curso 2005-2006 32

CONJUNTO DE SOLUCIONES(sin límites de capacidad)

El alumno debe saber obtener todas las soluciones posibles.Hay infinitas soluciones.

(Espacio afín asociado a un espacio vectorial de dimensión 4).

Matemáticas en Acción – Curso 2005-2006 33

Interpretación de las soluciones

Solución particular.Se puede cambiar por cualquier otra.

Matemáticas en Acción – Curso 2005-2006 34

Interpretación de las

soluciones

Solución de flujo interno localsin entradas

ni salidasde fluído.

Matemáticas en Acción – Curso 2005-2006 35

Interpretación de las

soluciones

Solución de flujo interno localsin entradas

ni salidasde fluído.

Matemáticas en Acción – Curso 2005-2006 36

Interpretación de las

soluciones

Solución de flujo interno localsin entradas

ni salidasde fluído.

Matemáticas en Acción – Curso 2005-2006 37

Interpretación de las

soluciones

Solución de flujo interno localsin entradas

ni salidasde fluído.

Matemáticas en Acción – Curso 2005-2006 38

Planteamiento del

problema

El alumno deberáidentificar modelosno adecuados e identificar lasrestricciones quefaltan.

Matemáticas en Acción – Curso 2005-2006 39

Conos

a1

a2

a1

a2

-a1

Matemáticas en Acción – Curso 2005-2006 40

Espacio vectorial como cono

a1

a2

-a1

-a2

a1

a2

-a1-a2

Matemáticas en Acción – Curso 2005-2006 41

Cono y dual de un cono

a1

a2

Conoinicial

Conodual

w1

w2

Matemáticas en Acción – Curso 2005-2006 42

Dual de un cono. Algoritmo Gamma

Matemáticas en Acción – Curso 2005-2006 43

Dual de un cono. Algoritmo Gamma

Matemáticas en Acción – Curso 2005-2006 44

Algunos problemas que resuelve el algoritmo Gamma

1. Obtener el cono dual de uno dado

2. Obtener la representación mínima de un cono.

3. Obtener las caras de cualquier dimensión (vértices, aristas, caras, etc.) de un cono o polítopo.

4. Determinar si un vector pertenece a un cono.

5. Comprobar si dos conos son idénticos.

6. Obtener la intersección de dos conos.

7. Obtener la imagen recíproca de un cono por una aplicación lineal.

8. Decidir si un sistema lineal de inecuaciones es compatible.

9. Resolver un sistema lineal homogéneo de inecuaciones.

10. Resolver un sistema lineal completo de inecuaciones.

Matemáticas en Acción – Curso 2005-2006 45

Cono asociado a un polítopo

Matemáticas en Acción – Curso 2005-2006 46

Caras y vértices de un polítopo

Matemáticas en Acción – Curso 2005-2006 47

Caras y vértices de un politopo

Matemáticas en Acción – Curso 2005-2006 48

Caras y vértices de un polítopo

Matemáticas en Acción – Curso 2005-2006 49

Caras y vértices de un polítopo

Matemáticas en Acción – Curso 2005-2006 50

Caras y vértices de un polítopo

Matemáticas en Acción – Curso 2005-2006 51

Resolución de Sistemas homogéneos de inecuaciones

Matemáticas en Acción – Curso 2005-2006 52

Resolución de Sistemas completos de inecuaciones

Matemáticas en Acción – Curso 2005-2006 53

Resolución de Sistemas completos de inecuaciones

Matemáticas en Acción – Curso 2005-2006 54

Compatibilidad de Sistemas de inecuaciones

Matemáticas en Acción – Curso 2005-2006 55

Planteamiento del

problema

El alumno deberáidentificar modelosno adecuados e identificar lasrestricciones quefaltan.

Matemáticas en Acción – Curso 2005-2006 56

Condiciones de

compatibilidad

Es necesario Interpretarlasfísicamente paraver si representanel modelo deseado.

Matemáticas en Acción – Curso 2005-2006 57

Condiciones de

compatibilidad

Matemáticas en Acción – Curso 2005-2006 58

CONJUNTO DE SOLUCIONES (con límites de capacidad)

Capacidad de cada conducción = 6

El conjunto de todas las soluciones sirve para contestar a muchas preguntas interesantes desde los puntos de vista matemático e ingenieril.

La solución es un polítopo

Matemáticas en Acción – Curso 2005-2006 59

CONJUNTO DE SOLUCIONES (Búsqueda de conducciones sobredimensionadas)

Capacidad de cada conducción = 6

En ninguna de las componentes de la solución alcanzan su capacidad. Podría limitarse la capacidad de cada una de ellas al máximo que figura en las distintas soluciones.

Matemáticas en Acción – Curso 2005-2006 60

CONJUNTO DE SOLUCIONES (Búsqueda de conducciones que no pueden fallar)

Capacidad de cada conducción = 6

Toman valores del mismo signo (todos positivos o todos negativos) en todas las soluciones.

Matemáticas en Acción – Curso 2005-2006 61

CONJUNTO DE SOLUCIONES (Búsqueda de parejas que no pueden fallar simultáneamente)

Capacidad de cada conducción = 6

Esta condición implica que todas las landas deben ser nulas.

Matemáticas en Acción – Curso 2005-2006 62

CONJUNTO DE SOLUCIONES (Búsqueda de conducciones con caudal fijo)

Capacidad de cada conducción = 6

Toman idénticos valores en todas las aristas.

Matemáticas en Acción – Curso 2005-2006 63

CONJUNTO DE SOLUCIONES(Conducción 10 averiada)

Capacidad de cada conducción = 6

Para que la conducción 10 no lleve caudal deben ser las cuatro primeras landas nulas.

Matemáticas en Acción – Curso 2005-2006 64

CONJUNTO DE SOLUCIONES(Conducción 10 averiada)

La conducción 7 puede fallar pues tiene componentes positivas y negativas.

¿Puede fallar la conducción 7?

Matemáticas en Acción – Curso 2005-2006 65

CONJUNTO DE SOLUCIONES (Conducciones 7 y 10 averiadas)

La conducción 4 puede fallar si landa 2 es nula.

¿Puede fallar la conducción 4?

Matemáticas en Acción – Curso 2005-2006 66

CONJUNTO DE SOLUCIONES (Conducciones 4,7 y 10 averiadas)

¿Puede fallar alguna otra conducción?

Ninguna puede fallar, pues la solución es única (mala ingenierilmente, pues no queda flexibilidad alguna).

Matemáticas en Acción – Curso 2005-2006 67

VALVULAS DE RETENCION EN LAS CONDUCCIONES 2 Y 15

Es la suma de un espacio afin de dimensión 2 y un cono generado por dos vectores.

Matemáticas en Acción – Curso 2005-2006 68

EJEMPLO DE EVALUACION (1)

Matemáticas en Acción – Curso 2005-2006 69

EJEMPLO DE EVALUACION (2)

Matemáticas en Acción – Curso 2005-2006 70

EJEMPLO DE EVALUACION (3)

Matemáticas en Acción – Curso 2005-2006 71

EJEMPLO DE EVALUACION (4)

Matemáticas en Acción – Curso 2005-2006 72

BIBLIOGRAFIA

Matemáticas en Acción – Curso 2005-2006 73

INTERNET

Con la colaboración de Elena Alvarez Sáiz se ha implementado el algoritmo de ortogonalización en una aplicación de enseñanza asistida por computador, accesible a través de Internet:

http://personales.unican.es/alvareze/

Matemáticas en Acción – Curso 2005-2006 74

TALLER

1. Diseñar un sistema de abastecimiento de agua con dos depósitos y varios nudos de servicio que contenga un sistema redundante de tuberías.

2. Determinar la dimensión del espacio vectorial que aparece en la solución general del sistema de ecuaciones resultante.

3. Obtener la solución general de éste sistema manualmente.

4. Plantear un problema de programación matemática que conduzca a solución única del problema.