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MATE 3031
Dr. Pedro V·squez
UPRM
P. V·squez (UPRM) Conferencia 1 / 16
MATE 3031
Resumen de gr·Öca de curvas
En los capÌtulos anteriores han recordado como hallar dominio y trazar lasgr·Öcas de funciones; y han aprendido sobre lÌmites, continuidad,asÌntotas, derivadas, rectas tangentes, valores extremos, n˙meros crÌticos,intervalos de crecimiento, decrecimiento, cÛncava hacia arriba, cÛncavahacia abajo, puntos de ináexiÛn y la regla de LíHospital, en esta secciÛn seponen en pr·ctica todo lo aprendido anteriormente para graÖcar funciones.
Pasos para trazar la gr·Öca de una funciÛn y = f (x):
1 Dominio: Determinar los valores de x para los cuales est· deÖnida f .2 Interceptos: Determinar los interceptos con el eje X y eje Y.3 SimetrÌa: Determinar si la funciÛn es par, es decir, f (!x) = f (x) ,en ese caso tiene simetrÌa con el eje Y. Analizar si la funciÛn esimpar, es decir, f (!x) = !f (x) , en ese caso tiene simetrÌa con elorigen. Analizar si la funciÛn es periÛdica, es decir,f (x + p) = f (x) , para todo x en el dominio de f .
P. V·squez (UPRM) Conferencia 2 / 16
MATE 3031
4 AsÌntotas:a Horizontales: Si lim
x!∞f (x) = L o lim
x!!∞f (x) = L, la gr·Öca de f
tiene una asÌtota horizontal, y = L.b Verticales: La recta x = a es una asÌntota vertical si:
limx!a+
f (x) = ∞ limx!a!
f (x) = ∞
limx!a+
f (x) = !∞ limx!a!
f (x) = !∞
c Oblicuas: La recta y = mx + b es una asÌntota oblicua si:limx!∞
[f (x)! (mx + b)] = 0.
5 Intervalos de crecimiento y decrecimiento: Calcule la primeraderivada de f , f 0 y determine los intervalos en los cuales es positiva onegativa.
6 Valores m·ximos y mÌnimos locales: Determine los n˙meroscrÌticos de f , y use el criterio de la primera o segunda derivada.
7 Concavidad y puntos de ináexiÛn: Calcule la segunda derivada def , f 00 y determine los intervalos en los cuales es positiva o negativa.Los puntos de ináexiÛn ocurren donde cambia la concavidad.
8 Trace la gr·Öca de la curva: Use la informaciÛn obtenida en los 7pasos anteriores para trazar la gr·Öca de la funciÛn.P. V·squez (UPRM) Conferencia 3 / 16
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Ejemplos: Trace la gr·Öca de las siguientes funciones.1. f (x) = !x3 + 7x ! 6a. dom (f ) =b. Interceptos: Eje X: y = 0)
Eje X: x = 0)c. SimetrÌa: no tiened. AsÌntotas: no tiene.e. Hallar: f 0 =
f. Valores extremos: f posee un mÌnimo local en x =
y un m·ximo local en x =
g. Hallar: f 00 =
Tiene un punto de ináexiÛn en x =
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1
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3
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6
x
y
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2. f (x) =x
x3 ! 1=
x(x ! 1) (x2 + x + 1)
a. dom (f ) =b. Interceptos: Eje X: y = 0)
Eje X: x = 0)c. SimetrÌa: no tiened. AsÌntotas: Horizontal: . lim
x!%∞f (x) = lim
x!%∞
xx3 ! 1
=
Vertical: limx!1!
xx3 ! 1
= ; limx!1+
xx3 ! 1
=
e. Hallar: f 0 =
)f 0 > 0 enf. Valores extremos: f posee un m·ximo local en x =
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g .Hallar : f 00
Tiene un punto de ináexiÛn en x =f ( ) =
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−1
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2
3
4
5
x
y
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3. f (x) =sin x
2+ cos xa. dom (f ) = .b. Interceptos: Eje X: y = 0)
Eje X: x = 0) y =c. SimetrÌa:d. AsÌntotas: .e. Hallar: f 0 =f 0 > 0 en , f 0 < 0 en ,f. Valores extremos: f posee un mÌnimo local en x =, f () =y un m·ximo local en x =g. Hallar: f 00 =f 00 > 0 en , f 00 < 0 enTiene un punto de ináexiÛn en
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−191π/100 −113π/71 −127π/100 −19π/20 −7π/11 −7π/22 7π/22 7π/11 19π/20 127π/100 113π/71 191π/100 223π/100
−7π/11
−7π/22
7π/22
x
y
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4. f (x) =ex
x2a. dom (f ) = .b. Interceptos: Eje X: y = 0)
Eje X: x = 0) y =c. SimetrÌa:d. AsÌntotas: .e. Hallar: f 0 =f 0 > 0 en, f 0 < 0 enf. Valores extremos: f posee un mÌnimo local en x =y un m·ximo local en x =g. Hallar: f 00 =f 00 > 0 en , f 00 < 0 enTiene un punto de ináexiÛn en .
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5
6
7
x
y
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