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Marco Paluszny, Departamento de Matemáticas, Marco Paluszny, Departamento de Matemáticas, Universidad Nacional de Colombia, Sede MedellínUniversidad Nacional de Colombia, Sede Medellín
Geometría: un puente desde las Matemáticas hacia la Tecnología
Cátedra Pedro Nel Gómez, Universidad Nacional de Colombia, Sede Medellín, marzo 2009
La matemática, como construcción social,
"nace con una utilidad práctica"
Primero, hace decenas de miles de años para contar uno, dos, ..... , mucho - de hecho el número dos se inventado varias veces, de ahí sus varias formas fonéticas dos, par, couple acoplar.
Posteriormente, posiblemente se empezó a contar con el sistema decimal - diez dedos?
Los babilonios inventaron el sistema hexadecimal.
Del palacio del rey Sargon II, siglo VIII A.C
La puerta de Istar, Babilonia (Irak) - Berlín
El sistema hexadecimal: - en base de 64
decimal 3.245 = 3 *1.000 + 2*100 + 4*10 + 5 = [3 2 4 5]
hexadecimal 3.245 = 50*64 + 45 = [50 45]
ventajas: más versátil para aproximar fracciones, es divisible por 2, 4, 8, 16 y 32
2000-700 antes de Cristo, la civilización babilonia tenía tablas para los cuadrados de los números y sabían la fórmula
a*b = [(a + b)2 - (a - b)2]/4
o sea podían expresar el producto en términos de cuadrados.
En geometría conocían el teorema de Pitágoras (siglo VI antes de Cristo).
La matemática babilonia es la base de la astronomía (= astrología).
- muy importante en ese período
Gudea , monarca de Lagash, consultó la tabla de estrellas de la diosa Nanshe en una situación de crisis en Mesopotamia.Esto ocurrió 2.100 años antes de Cristo
¿Era relevante el conocimiento matemático para su sociedad?
- astrología como una técnica de producción de augurios - anticipación de intenciones sobrenaturales, - predicción del tiempo (importante para la productividad agrícola) y - preparación para las crisis sociales y también para la predicción de eclipses y posiciones de los planetas
El conocimiento de los babilonios sobre áreas y volúmenes parece no haber sido muy preciso: el número pi lo aproximaban con 3 (y en una era posterior, por 3 1/8).
La geometría griega empieza con Tales en Mileto, una ciudad situada en la costa de Turquía, unos 600 años antes de Cristo. Se le asocia el teorema de Tales
Escultura contemporánea de Alejandro, Lyssippos. Louvre.
Los conocimientos babilonios de astronomía influencian la matemática griega a través de la conquistas de Alejandro Magno.
- Año 330 antes de Cristo.
Cuentan los recopiladores griegos que Calístenes (cronista de Alejandro) le hace llegar a su tío Aristóteles una recopilación de los conocimientos babilonios en astronomía.
Aristóteles (der) con Platón, fresco de Rafael. Siglo XVI.
Los conocimientos babilonios de astronomía influencian la matemática griega a través de la conquistas de Alejandro Magno.
- Año 330 antes de Cristo.
Cuentan los recopiladores griegos que Calístenes (cronista de Alejandro) le hace llegar a su tío Aristóteles una recopilación de los conocimientos babilonios en astronomía.
En el siglo IV antes de la era cristiana, la famosa ciudad de Alejandría, en el delta del Nilo en Egipto es el centro del conocimiento, allí confluye Grecia, Babilonia y Egipto.
Aproximadamente, 300 años antes de Cristo, Euclides escribe sus Elementos en Alejandría.
Aproximadamente, 300 años antes de Cristo, Euclides escribe sus Elementos en Alejandría.
Euclides,escultura contemporánea, Oxford
La geometría griega introduce el rigor y la noción de prueba en las matemáticas.
Cerca de 250 años BC, Apolonio también trabaja en Alejandría - famoso por las cónicas, secciones del cono (a Euclides también se le atribuye haber estudiado las cónicas).
Las cónicas son secciones planas de un cono.
La gran biblioteca de Alejandría se quemó en el siglo I.
¿Conecta realmente la matemática griega con la tecnología?
Arquímedes en el siglo III antes de Cristo trabaja en la aproximación del círculo
L. Piegl y W. Tiller estudian las aproximaciones del círculo con cónicas, curvas de grado tres y de grado cuatro (IEEE CG&A, 2003)
¿Tienen las cónicas alguna otra aplicación, distinta de aproximar curvas?
¡ Si, para construir tubos !
Para eso debemos introducir el espacio 4D, de cuatro dimensiones
Esferas y el espacio multidimensional
- centro (a,b,c), radio r
está determinada por un punto en 4D
Una secuencia de esferas
- (a1,b1,c1,r1 ), (a2,b2,c2,r2 ), (a3,b3,c3,r3 )
4D
Un pionero de la visualización en 4D con Computación Gráfica es T. Banchoff, de Brown University.
Una curva en 4D, determina una familia de esferas
Cuando tomamos un cono en 4D, los puntos del círculo corresponden a las esferas que “barren” el toro
Si tomamos otras curvas en 4D
¿Cual es la aplicación tecnológica de la geometría 4D?
4D
4D
Para terminar, veremos algunas animaciones
- en todos los casos el tubo se deforma utilizando controles en 4D
- cada tubo está formado por dos o tres pedazos, cada uno corresponde a un pedazo de cónica en 4D
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