m kg mol - raquel serrano
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Problemas de cristalografía
PROBLEMA 1
El Wolframio cristaliza en el sistema cúbico centrado con un parámetro de red
a=316,48 pm y densidad teórica DT=19300 Kg/m3. Calcular:
a) Masa atómica.
b) Volumen atómico.
c) Radio atómico.
d) Densidad atómica lineal en las direcciones <1 1 1>, <1 1 0> y <1 0 0>.
e) Densidad atómica superficial en los planos (1 1 1), (1 1 0) y (1 0 0).
f) Número de átomos en 1 m3.
a) Masa atómica
La densidad teórica de un cristal es: cA
aT VN
MnD
⋅⋅
=
Donde n es el número de átomos de W por celdilla (C.C): celdatn /28181 =⋅+=
Ma es la masa atómica del W, Na el número de Avogadro y Vc el volumen de la celdilla ( a3).
Despejando Ma:
( )
molgrmolKgM
celdatceldmmolatmKg
na N D =
n V N D = M
a
3ATcAT
a
/24.184/18424.0
/2/1048.316/10023.6/19300 312233
==
⋅⋅⋅⋅=
−
b) Volumen atómico
La densidad teórica puede ser también expresada como la relación entre masa atómica y
volumen atómico, de donde:
molm
mKgmolKg
DM = V
T
aa /10546.9
/19300/1024.184 363
3−
−
⋅=⋅
=
1
Problemas de cristalografía c) Radio atómico
En el sistema C.C. el radio atómico es 1/4 de la diagonal del cubo, por tanto:
pmpmara 04.137
4348.316
43
=⋅
=⋅
=
d) Densidad atómica lineal
LatomosN = D >zy x<
º
Dirección <1 1 1>
matm
átomosa
D /106486.331048.316
232121
912111 ⋅=
⋅⋅=
⋅
⋅+=
−><
Dirección <1 0 0>
matm
átomosa
D /101598.31048.316
1212
912100 ⋅=
⋅=
⋅=
−><
Dirección <1 1 0>
matm
átomosa
D /102343.221048.316
12
212
912110 ⋅=
⋅⋅=
⋅
⋅=
−><
e) Densidad atómica superficial
SatomosN = D z)y (x
º
2
Problemas de cristalografía
Plano (1 1 1)
2h a = S 2
Donde h es la altura del triángulo de este plano que queda dentro de la celdilla.
23260sen2 ⋅== aah
La densidad superficial será:
( )( )
218
212111 /107643.5
1048.316321
21
2322
21
613
matm
átomos
aaD ⋅=
⋅⋅⋅=
⋅⋅⋅
⋅=
−
Plano (1 0 0)
( ) ( )218
2122100 /109841.91048.316
1414
matm
átomoa
D ⋅=⋅
=⋅
=−
Plano (1 1 0)
( ) ( )219
212110 /10412.11048.3162
224141
matm
átomosaa
D ⋅=⋅⋅
=⋅
⋅+=
−
f) Número de átomos por m3
328233
/103094.6/18424.0
/10023.6/19300º matmolKg
molatmKgM
N D = matomos/Na
aT3 ⋅=⋅⋅
=
3
Problemas de cristalografía PROBLEMA 2
La celdilla elemental del Aluminio es cúbica centrada en las caras. Su masa
atómica es 26.97 gr/mol y su densidad 2699 Kg/m3. Calcular:
a) Masa de un átomo.
b) Número de átomos en 1 mg
c) Número de átomos y moles por m3.
d) Masa de una celdilla unidad.
e) Número de celdillas en 1 gr de metal.
f) Volumen y arista de la celdilla unidad.
g) Radio atómico.
h) Factor de empaquetamiento.
i) Densidad atómica lineal en las direcciones <1 1 0> y <1 1 1>.
j) Densidad atómica superficial en los planos (1 1 0) y (1 1 1).
a) Masa de un átomo
Dividiendo la masa atómica por el número de Avogadro:
atgrmolat
molgrM a /10478.4/10023.6
/97.26 23231
−⋅=⋅
=
b) Número de átomos en un mg.
mgat
atgr mggr = atomos/mgN /10233.2
/10478.4/10º 1923
3
⋅=⋅ −
−
4
Problemas de cristalografía
c) Número de átomos y moles en un m3
328
3
/10027.6/8.
/º matatgr10 474
mgr10 2.699 = MD = matomos/N
23-
6
1a
T3 =
moles
molat10 6.023mat10 6.0 =
Nmatomos/ =mmoles/
23
28
A
33 5
3
10//27
=
d) Masa de una celdilla unidad
El número de átomos por celdilla es: n = 4.
Masa de la celdilla = n·M1a = 4 x 4,478·10-23 gr=1,791·10-22 gr
e) Número de celdillas por gr.
grceldceldgr
grceldillas /10583.5/10791.1
1/ 2122 ⋅=
⋅= −
f) Volumen y arista de la celdilla
33293623 10636.6
/10699.2/10023.6/97.26/4 am
mgrmolatmolgrceldat
DNMnV
Ta
ac =⋅=
⋅⋅⋅⋅
=⋅⋅
=
pmmma 9.40410049.410636.6 103 329 =⋅=⋅= −
g) Radio atómico
pmaR a 2.143
42
==El radio atómico será 1/4 de la diagonal de la cara.
h) Factor de empaquetamiento
( ) 74.02/4
3443443
3
3
3
=⋅
=⋅
=a
aa
R
Ra
RF ππ
i) Densidad atómica lineal
5
Problemas de cristalografía
Dirección <1 1 0>
matm
átomosa
D /10494.32109.404
222121
912110 ⋅=
⋅⋅=
⋅
⋅+=
−><
Dirección <1 1 1>
matm
átomosa
D /10426.13109.404
13
212
912111 ⋅=
⋅⋅=
⋅
⋅=
−><
j) Densidad atómica superficial
SatomosN = D z)y (x
º
Plano (1 1 0)
( ) ( )218
212110 /10626.8109.4042
22
414
212
matm
átomosaa
D ⋅=⋅⋅
=⋅
⋅+⋅=
−
Plano (1 1 1)
( )( )
219
212111 /10409.1
109.404321
2
2322
21
213
613
matm
átomos
aaD ⋅=
⋅⋅⋅=
⋅⋅⋅
⋅+⋅=
−
6
Problemas de cristalografía
PROBLEMA 3
Calcúlense los átomos que existen en 1 mg y en 1 m3 de los siguientes metales:
Nota: La estructura H.C. del Cobalto c = 1,118 x 10-9 m.
a) Plomo
Número de átomos en un mg:
mgat
molgrmolat mggr = atomos/mgN /10907.2
/19.207/10023.6/10º 18
233
⋅=⋅−
Número de átomos en un m3
32831033 /10298.3
21075.14
4
244º mat
m
at Rat =
an = matomos/N
a
3 ⋅=
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛ ⋅=
⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ ⋅ −
b) Hierro
Número de átomos en un mg.
mgat
molgrmolat mggr = atomos/mgN /10078.1
/847.55/10023.6/10º 19
233
⋅=⋅−
Número de átomos en un m3
328
31033 /10117.8
31026.14
2
342º mat
m
at Rat =
an = matomos/N
a
3 ⋅=
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛ ⋅=
⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ ⋅ −
7
Problemas de cristalografía c) Cobalto
Número de átomos en un mgr.
mgat
molgrmolat mggr = atomos/mgN /10022.1
/933.58/10023.6/10º 19
233
⋅=⋅−
El nº átomos por celdilla es 6. y el volumen de la celdilla será: 2
ha6cVc⋅
⋅⋅=
Donde c es la altura del prisma, a el lado del hexágono a = 2Ra y h la apotema:
23asen60ah =⋅=
El número de átomos en un m3 será:
( ) ( )328
210922/10957.4
31025.1210118.1
632
4
436
6 matmm
at Rc
at = ac
at
a
⋅=⋅⋅⋅
=⋅⋅⋅
⋅⋅−−
PROBLEMA 4
La densidad del Hierro a temperatura ambiente es de 7,87 gr/cm3. Calcular:
a) ¿Cuántos átomos hay por cm3?
b) ¿Cuál es el tanto por ciento de espacio ocupado?
c) ¿Qué red cristalográfica presenta? ¿Por qué?
DATOS: Peso atómico del Fe = 55.85 gr/mol; Radio atómico del Fe a 20 ºC = 0,1241 nm.
a) Atomos por cm3
322
233
/10487.8/85.55
/10023.6/87.7º cmatmolgr
molatcmgr = matomos/cN 3 ⋅=⋅
b) Porcentaje de espacio ocupado
( )6789.0
1
101241.03410487.8
totalvolumenesferasporocupadovolumen
3
3722
=⋅⋅
=
−
cm
cmat π
El porcentaje de volumen ocupado es el 67,9 %
8
Problemas de cristalografía
c) Sistema cristalográfico
Calculemos la densidad teórica del Fe con estructura C.C. y C.C.C. y comparemos con el valor
real, dato del problema.
Sistema C.C. 337
23
/878.7
3101241.04/10023.6
/85.55/2 cmgrcmmolat
molgrceldatVN
MnD
ca
aT =
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛ ⋅⋅
⋅=
⋅⋅
=−
Sistema C.C.C. 337
23
/577.8
2101241.04/10023.6
/85.55/4 cmgrcmmolat
molgrceldatVN
MnDca
aT =
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛ ⋅⋅
⋅=
⋅⋅
=−
El sistema es C.C. cuya densidad teórica coincide con la real.
PROBLEMA 5
El Cadmio cristaliza en el sistema hexagonal compacto con a = 297,8 pm. y c = 561,7 pm, la
masa atómica del Cd es 112,4 gr/mol. Calcular:
a) Indice de coordinación.
b) Factor de empaquetamiento.
c) Densidad teórica.
d) Densidad atómica superficial en los planos (1 0 -1 0) y (1 1 -2 0)
e) Densidad atómica lineal en la dirección <2 -1 -1 0>.
a) Indice de coordinación
633.1886.18.2977.561
>==pmpm
ac
Indice de coordinación = 6
9
Problemas de cristalografía b) Factor de empaquetamiento
( )641.0
8.29723
2167.561
28.297
346
23
216
346
2
33
=⋅⋅⋅
⎟⎠⎞
⎜⎝⎛⋅⋅
=⋅⋅⋅⋅
⋅⋅=
pmpm
pm
aac
RF
ππ
c) Densidad teórica
( )3
2101023
/651.8108.297
23
216107.561/10023.6
/4.112/6 cmgrcmcmmolat
molgrceldatVN
MnD
ca
aT =
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛⋅⋅⋅⋅
⋅=
⋅⋅
=−−
d) Densidad superficial
Plano (1 0 -1 0 ) Los puntos de corte con los ejes son (1,∞,-1,∞)
( )218
12121010 /10978.5107.561108.297
1414
matmm
atca
atD =
⋅=
⋅
⋅=
−−−
Plano (1 1 -2 0) Los puntos de corte con los ejes son: (1,1, -1/2,∞)
( )218
12121010 /10903.6107.5613108.297
23
1414
matmm
atca
atD =
⋅⋅=
⋅
+⋅=
−−−
e) Densidad lineal en la dirección <2 -1 -1 0>
matm
ata
atD /10358.3
108.29712
129
121012 ==⋅
= −>−−<
10
Problemas de cristalografía
PROBLEMA 6
Durante el calentamiento, el hierro puro cambia su estructura cristalina de C.C. a
C.C.C. a 912 ºC. Calcular:
a) ¿Sufrirá el hierro una expansión o una contracción en este cambio?
b) Calcular la relación de densidades entre ambas estructuras.
DATOS: A 912 ºC el radio atómico es de 1,258 Å.(C.C.) y de 1,292 Å.(C.C.C.).
a) Efecto del aumento de temperatura.
Al pasar la temperatura por 912 ºC el hierro sufrirá una contracción por ser la estructura C.C.C.
la de máxima compacidad, aunque esta contracción se verá compensada en parte por el
aumento del radio atómico. Esta contracción implica un aumento de la densidad como
calcularemos ahora.
Calcularemos la variación relativa de volumen que sufrirán N átomos al cambiar de estructura.
393.4
31258.0
21292.0
211
34
24
211
2
423
3
3
3
3
33
−=Δ
⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛
⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛
−=
⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛ ⋅
⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛ ⋅
−=⋅−⋅
=−
=Δ
EVV
nm
nm
R
R
aN
aNaN
VVV
VV
CC
CCC
CC
CCCCC
CC
CCCCC
El hierro se contrae un 0.493 %.
b) Relación de densidades
=⋅⋅
= 3aNMnD
a
aT
005.1
212920
31258.0
2
24
34
224
2
4
3
3
3
3
3
3
3
3
=
⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛ −
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛
⋅=
⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛ ⋅
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛ ⋅
⋅=⋅⋅
=
⋅⋅⋅⋅
=nm
nm
R
R
aa
aNMaNM
DD
CCC
CC
CCC
CC
CCa
a
CCCa
a
CC
CCC
11
Problemas de cristalografía PROBLEMA 7
Se sabe que cierto metal A ocupa las posiciones principales del sistema cúbico
centrado en las caras cuando se forma cierto compuesto. Otro metal B se sitúa en los
centros de las aristas y en el centro del cristal. Se pide:
a) Calcular la fórmula estequiométrica del compuesto.
b) Radio atómico del metal A.
c) Radio máximo admisible del metal B.
d) Compacidad del cristal.
e) Densidad del compuesto.
DATOS: Constante reticular a = 4,26 Å ; PA = 65 gr/mol ; PB = 32 gr/mol.
a) Fórmula estequiométrica
Por cristalizar el metal A en el sistema C.C.C. el número de átomos de A por celdilla será 4. El
metal B ocupa los huecos octaédricos del cristal que son: uno en el centro y uno en cada arista
compartido por 4 celdillas que son otros 3, en total 4 huecos por celdilla. La fórmula sería:A4BB4
Simplificando quedaría: AB
b) Radio atómico del metal A
Por ser el sistema C.C.C. el radio atómico será 1/4 de la diagonal de la cara. Por tanto, sabiendo
que la diagonal de la cara es 2a , nos quedará:
Α=⋅Α
=⋅
= 51.14
226.44
2aRa
c) Radio máximo del metal B
La relación máxima de radios debe ser r/R = 0,41
Por lo tanto: RB = 0,41 · RA = 0,619 D
12
Problemas de cristalografía
d) Compacidad del cristal
Compacidad = 79.8 %
798.0344
344
totalvolumenocupadoVolumenCompacidad 3
33
=⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ ⋅⋅+⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛ ⋅⋅
==a
RR BA ππ
e) Densidad del compuesto
( )3
3823/33.8
1026.4/10023.6
/32/4/65/4cmgr
cmmolat
molgrcelBatmolgrceldAatVN
MnD
ca
aT =
⋅⋅
⋅+⋅=
⋅⋅
=−
PROBLEMA 8
La densidad experimental de un cristal simple de aluminio, que cristaliza en el
sistema C.C.C., es 2,697 gr/cm3. La constante reticular es 4,049 Å Si la discrepancia entre
el valor teórico y el experimental de la densidad es una medida de los huecos de la malla
(vacantes), calcular:
a) Fracción de átomos ausentes.
b) Huecos por cm3
DATOS: PAl = 27 gr/mol
a) Fracción de átomos ausentes
Comparemos el número de átomos, teóricos y reales, por unidad de volumen:
t
r
t
r
Al
Att
Al
Arr
DD
nn
PND
Vn
PND
Vn
=⇒== ;
Calculamos la densidad teórica del aluminio
( )3
3823/701,2
10049,4/10023,6/27/4 cmgr
cmmolatmolgrceldatDt =⋅⋅
⋅=
−
9985,0/701,2/697,2
3
3
===cmgrcmgr
DD
nn
t
r
t
r
Por tanto la fracción de átomos ausentes será: 1- nr/nt=0,0015, es decir la fracción de átomos
ausentes es del 0,15%.
13
Problemas de cristalografía b) Huecos por cm3
Conociendo el número de átomos teóricos por cm3, y habiendo calculado la fracción de átomos
ausentes, podemos saber el número de huecos por cm3. Nº atm. teóricos por cm3:
322233
/10025,6/27
/10023,6/701,2 cmteóricoatmolgr
molatcmgrPND
Vn
Al
Att ⋅=⋅⋅
==
El número de huecos será:
32022
33huecosNº10904,010025,60015,0 ausentesat fracciónteóricosatnºhuecos Nºcmcmcm
⋅=⋅×=×=
PROBLEMA 9
El silicio cristaliza en el sistema C.C.C. de tal forma que no sólo ocupa las
posiciones principales de la malla sino también el 50 % de los intersticios tetraédricos.
Sabiendo que el parámetro de malla es 5,43 Å y que el peso atómico del silicio es 28,06
gr/mol. Calcular:
a) Densidad teórica del Si.
b) Atomos de Si por m3.
Para aumentar la concentración de huecos y mejorar, por tanto, sus características
semiconductoras se dopa el Si con una cantidad controlada de aluminio, de forma que
sustituye parcialmente al Si de sus posiciones originales.
c) Calcular el nº de átomos de Al por m3 con que es preciso dopar al Si para que se
produzca una disminución de la densidad del 0,5 % con respecto a la teórica del Si.
DATOS: PAl = 26,97 gr/mol
a) Densidad teórica del Si
En el sistema C.C.C.:
Nº at./celd. : n = 4
Nº huecos tetraédricos./celd. : h = 8
Nº total at. Si/celd.: N = n + h/2 = 8 at/celd.
El volumen de la celdilla:
14
Problemas de cristalografía
V = a3 =(5,43·10-8cm)3= 1,601 x 10-22 cm3
La densidad teórica será:
332223 /33,2
10601,1/10023,6/06,28/8 cmgr
cmmolatmolgrcelat
VNPnD
A
A =⋅⋅⋅
⋅=
⋅= −
b) Atomos de Si por m3
328322322 /105/105
/10601,1/8 matcmat
celdcmceldat
Vn
⋅=⋅=⋅
= −
c) Nº de átomos de Al
Al disminuir la densidad un 0,5 %, la densidad resultante será: 3/3185,2995,0' cmgrDD =⋅=
rr
A
Pmolatcmgrcmat
PND
Vn /10023,6/31835,2/105' 233
322 ⋅⋅=⋅==
donde Pr es el peso atómico medio o resultante, se obtiene: Pr = 27,927gr/cm3.
Por otra parte:
fSi x 28,06 + fAl x 26,97 = Pr
fSi + fAl = 1
(f indica fracción de átomos)
Resolviendo el sistema:
fSi = 0,87798 fAl = 0,12202
Nº at Al/m3 = 5 x 1028 x fAl
Nº at Al/m3 =6,101 x 1027
PROBLEMA 10
15
Problemas de cristalografía
Un carburo de wolframio cristaliza en el sistema hexagonal, de forma que los
átomos de wolframio se sitúan en las bases del prisma y los de carbono en la sección recta
media. Determinar:
a) Fórmula y densidad del carburo.
b) Radios atómicos de W y C.
DATOS: a = 2,84 Å ; c = 2,9 Å ; PC = 12 gr/mol ; PW = 184 gr/mol
a) Fórmula y densidad
C: 3 at./celd.
tre átomos en una celdilla es 3:3, por tanto, la fórmula será: C W
W: 1/2 x 2 bases + 1/6x12 vértices = 3 at./celd.
La relación en
Para calcular la densidad calcularemos primero el volumen de la celdilla:
323288 1008,6)1084,2(2222316109,2316 cmcmcmaacV −−− ⋅=⋅⋅⋅⋅⋅⋅=⋅⋅⋅⋅=
332323 /06,16
1008,6/10023,6/184/3/12/3 cmgr
cmmolatmolgrceldWatmolgrceldCat
VNPnPnD
A
wwcc =⋅⋅⋅
⋅+⋅=
+= −
b) Radios atómicos de C y W
=> r = a/2 = 1,42 Å ⇒ a2 + c2 = (2 rW + 2rC)2 ⇒ 16,5 = (2,84 + 2 rC)2
rC = 0,613 Å
a = 2 rW W
16
Problemas de cristalografía
PROBLEMA 11
Un cierto metal cristaliza en un sistema hexagonal sin planos intermedios y con
igual disposición atómica en las caras basales. Existen átomos en todos los vértices y en el
centro de los hexágonos, así como en los centros de los 6 triángulos equiláteros en que se
descomponen dichos hexágonos, siendo estos últimos tangentes a los anteriores y a su vez
entre sí. Los átomos correspondientes de las dos caras basales son tangentes uno a otro.
Calcular:
a) Número de átomos por celdilla.
b) Indice de coordinación.
c) Compacidad del sistema así definido.
d) Comparar la compacidad de este sistema con la del hexagonal compacto.
a) Nº de átomos por celdilla
1/6 x 12 (vértices) + l /2 x 14 (caras) = 9 at/celd
b) Indice de coordinación
Un átomo está rodeado en un mismo plano por otros 6,
además se encuentra con un átomo encima y otro debajo
tangentes a él. Por tanto son ocho los átomos que lo rodean
y que son tangentes, el índice de coordinación es pues 8.
c) Compacidad del sistema
Volumen de la celdilla: 32 312)2(23
2162
23
216 rrraacVc ⋅=⋅⋅⋅⋅=⋅⋅⋅⋅=
Volumen ocupado por los átomos: 33 1234/9 rrceldatVat ππ =⋅⋅=
577,0312
123
3
===rr
VVcompacidad
c
at π
17
Problemas de cristalografía d) Comparación
En el sistema H.C. el espacio hueco supone el 26 % lo que supone una compacidad de 0,74;
esta es superior a la del sistema bajo estudio (0,577).
PROBLEMA 12
Calcular la densidad del bronce (Cu - Sn) de 3% en átomos de Sn, suponiendo que
la constante de la red varía linealmente con la fracción de átomos.
DATOS: rCu = 0,1278 nm; rSn = 0,151 nm, MCu = 63,54 gr/mol; MSn = 118,69 gr/mol
Como el parámetro de la red varia con el porcentaje de elementos, el radio atómico medio será
también función de las cantidades relativas de cada uno:
0,97 · 0,1278 nm+ 0,03 · 0,151 nm = 0,1285 nm
cmgr
9,02 = )10 (0,3634 10 6,023
118,69) 0,03 (4 + 63,54) 0,97 (4 = mm 0,3634 =
20,1285 4
= 2r 4
=a 3323 7−⋅
⋅⋅⋅⋅⇒
⋅ρ
PROBLEMA 13
La estructura del latón β es cúbica centrada, colocándose un átomo de Cu en el centro del
cubo y los de Zn en los vértices. Calcular la densidad de la aleación.
Datos: rzn = 0,14 nm; rcu = 0,13 nm; Mat(Cu) = 63,54 gr/mol; Mat(Zn) = 63,38 gr/mol
Para calcular la densidad necesitamos conocer el parámetro
de la red en función de los radios atómicos de los átomos que
forman la estructura. Dado que es c.c. la diagonal del cubo es
una dirección compacta, por tanto :
18
Problemas de cristalografía
3
8
oZnCu
ZnCu
/08.712.3.
.1.1
A12.3312.0r rrr
cmgr = cm)10 (
molat
10 0236
molgr3865
celdCuat +
molgr 5463
celdCuat
= d
nm = 32 + 2 =a 2 + 2 = 3a
- 323
⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ ⋅⋅
=
PROBLEMA 14
Determinar los índices de Miller para los planos que cortan a los ejes en
a) a = -2, b = 2/3, c = 3/2
b) a = 1/2, b = -3/2, c = 1/3
c) a = -3, b = 5, c = 2.
15) 6, ,10( 21 ,
51 ,
31- 2 5, 3,-
9) ,2 (6, 3 ,32- 2,
31 ,
23- ,
21
4) 9, ,3( 32 ,
23 ,
21-
23 ,
32 2,-
I.MILLER INVERSOS P.DECORTE
→→
→→
→→
PROBLEMA 15
Un cierto plano cristalográfico contiene las posiciones (0,0,0), (1/2,1/4,0) y
(1/2,0,1/2). ¿Cuáles son sus índices de Miller?
El esquema de las posiciones y el plano cristalográfico que las contiene, se representa en la
19
Problemas de cristalografía figura. Como el plano pasa por el origen de coordenadas lo desplazamos, por ejemplo, una
unidad en la dirección x. Entonces los puntos de corte del plano con los ejes coordenados son –
1, ½, 1 y los índices de Miller vienen dados por los valores inversos de estos puntos de corte:
)121(−
Si hubiésemos desplazado el origen una unidad hacia arriba, los cortes en los ejes estaría en +1,
-1/2, -1, para dar unos índices de Miller , este plano es paralelo al anterior y por tanto equivalente.
)121(−−
PROBLEMA 16
Calcular la densidad atómica superficial (átomos/mm2) en:
a) El plano (1,1,1) en le hierro. rFe= 0,124 nm.
b) En el plano (2,1,0) en la plata. rAg = 0,144 nm
a) En el hierro C.C.
Calculamos el nº de átomos en el plano (1 1 1) limitado
por la celdilla unitaria
atomos 0,5 =
61 3 ⋅
La densidad superficial será el nº de átomos por unidad de superficie. Habrá que determinar el
área del plano delimitado por la celdilla unitaria.
222233221º60sen221triángulodelSuperficie 2 ⋅=⋅⋅⋅=⋅⋅⋅ aaaaa=
mm 10 0,28 = 0,28 = 3r 4 =a
10 7,36 = a
0,5 = d
6-
12(111)
2
23
Α
⋅ 20
Problemas de cristalografía
b) En la plata C.C.C
El nº de atomos que pertenecen al plano (2 1 0) será:
1 =
21 +
41 2 = atomos de n”
Se calcula previamente el valor de a para determinar la
superficie del plano. Esta será:
mm 10 9,41 = è 9,41 =
2r 4 =a 6-
Conociendo la superficie se puede determinar la densidad superficial igual que en el caso
anterior.
10 5,32 =
45 a
1
45a =
4a + a
12
2
22
21
Problemas de cristalografía PROBLEMAS PROPUESTOS.
Calcular la densidad del compuesto intermetálico FeTi, que cristaliza en el sistema c.c.. DATOS: Fe rat = 0,124 nm, Mat = 55,85; Ti rat = 0,146 nm Mat = 47,90 El volumen de la celdilla unidad del Ti (hc) es 0,106 nm3. La relación c/a es 1,59. Calcular: a) Cuales son los valores de c y a, b) Cual es el radio atómico del Ti y c) Cual es el factor de empaquetamiento El circonio es c.c. a alta temperatura. El radio atómico se incrementa en 1,5 % cuando al enfriar pasa a h.c.. Cual es el % de cambio de volumen en esta transformación. Calcular el tamaño de los huecos octaédricos en la estructura hexagonal compacta, cúbica centrada y cúbica centrada en las caras. (problema 4 colección antigua) Considerar una estructura cúbica centrada. Calcular: a) ¿Cuáles son los índices de Miller de un plano que corta al eje X y al eje Y a una unidad del origen y es, además, paralelo al eje Z? b) Suponga que un metal que cristaliza en dicha estructura tiene un radio atómico de 1,3 Å. ¿Cuál será la densidad atómica del plano anterior? c) Indicar los índices de Miller de la dirección perpendicular a dicho plano. Solución: a) (1 1 0) b) 1.569 E+19 at/m2 c)<110> Dibujar una celdilla cúbica centrada en las caras y señalar sobre ella el plano (1 1 1) y las direcciones <1 1 0> y <1 1 -2>. Calcular también la densidad superficial de un plano (1 1 0) del Cobre (C.C.C.), cuyo radio atómico es de 1,278 Å. Solución: D(110)= 1.08 · 1019 at/m2 Sabiendo que el radio atómico del plomo es 0,175 nm. y que cristaliza en el sistema C.C.C. calcular el número de átomos por mm2 en los planos ( 1 0 0 ) y (1 1 1). Solución: D(1 0 0)=8.16 1012 at/mm2 D(1 1 1)=9.44 1012 at/mm2. Calcular la variación relativa de volumen al pasar el hierro de estructura c.c. a c.c.c. a) Suponiendo que el radio atómico no varía. b) tomando r=0.1258nm para índice de coordinación 8 y r=0.1292 nm para índice de coordinación 12. Solución: a) 8.14 % b) 0.49 % ¿Cual sera el espaciado interplanar para los planos (2 0 0), (2 2 0) y (1 1 1) en el niquel?. Sabiendo que en una estructura c.c la distancia entre planos (1 1 0) es de 2,03 A, determinar el valor de la constante reticular y el radio atómico. El Al es c.c.c. Si en el plano (2 2 0) su densidad atómica vale 1,431 A. ¿Cual es su constante reticular?.
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